UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Faculdade de Ciˆ encias Aplicadas C´ alculo II Prof M´ arcio Rosa Tutorial sobre o Wolfram Mathematica 6.0 Gabriela Yoriko Shimizu RA 091313 Limeira, 25 de novembro de 2009
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Ciencias Aplicadas
Calculo II
Prof Marcio Rosa
Tutorial sobre o Wolfram
Mathematica 6.0
Gabriela Yoriko Shimizu RA 091313
Limeira, 25 de novembro de 2009
Sumario
1 Introducao 3
2 Comandos basicos 4
3 Funcoes Gerais 8
4 Funcoes 11
5 Graficos 14
6 Comandos extras 19
7 Calculo I 25
8 Bibliografia 28
2
Capıtulo 1
Introducao
O programa Wolfram Mathematica c⃝e um software que tem como objetivo
auxiliar os estudantes em sua vida academica. E um programa pago, porem, pode
ser adquirida uma versao demo gratuitamente no site da empresa. Tal software
resolve equacoes simples e as mais complexas, alem de criar os graficos de deter-
minadas funcoes.E um programa de grande ajuda para o estudante que deseja
ver os graficos das funcoes que se aprendem, alem de poder conferir contas que
podem aparentar serem extremamente complicadas. A seguir, temos um tutorial
sobre como podemos utilizar o software em nosso cotidiano, para computadores
Windows c⃝XP ou Vista.
3
Capıtulo 2
Comandos basicos
O software possui alguns comandos basicos para que se possa iniciar o uso
do mesmo. Tais comandos podem ser utilizados a qualquer hora, e funcionam
nas versoes mais recentes do programa.
Ao se abrir o programa (que pode ser inicializado clicando: Iniciar → To-
dos os programas → Wolfram Mathematica c⃝ → Mathematica c⃝6), abre-se uma
tela branca, com aparencia similar ao bloco de notas. E nesse espaco inicialmente
em branco que serao digitadas as funcoes e aparecerao os resultados. Antes de
qualquer comando, e necessario primeiramente clicar no espaco em branco para
que se o selecione e entao os comandos poderao ser digitados.
Os comandos que sao digitados pelo usuario sao reconhecidos como “en-
tradas”, sendo representados pela abreviacao In[N], sendo N o numero do co-
mando digitado (se for o quarto comando a ser digitado, aparecera In[4]). Apos
a digitacao do comando, para que o programa o resolva, ou o apresente grafi-
camente, e necessario que se aperte os botoes shift + enter, ao mesmo tempo.
Assim que o programa aceitar o comando, aparecera logo abaixo a resposta, que
e representada por Out[N]. Exemplificando:
- A conta 22 + 3, sera digitada e reconhecida como In[5] (no caso 5 pois e o
quinto comando digitado no mesmo arquivo). Apos o uso de shift+enter temos
o resultado reconhecido como Out[5].
In[1]:= 22 + 3
Out[1]= 25
4
CAPITULO 2. COMANDOS BASICOS 5
Esta e a informacao basica de comandos do Mathematica c⃝, pois sem este
as funcoes e equacoes nao serao reconhecidas e muito menos resolvidas. Este e o
princepio basico de funcionamento do software
Em muitos casos, ao se digitar uma funcao ou equacao que nao possui como
resultado um numero inteiro, o software responde com uma nova funcao, ou sim-
plificada ou de uma maneira diferente. Exemplo:
In[2]:= 47 � 3
Out[2]=47
3
Porem, eu muitos casos, o que esta se procurando e o resultado da equacao,
por mais que possua casas decimais. Entao, para que o Mathematica c⃝apresente
o resultado algebrico, usa-se o comando N[funcao]. Exemplo:
In[3]:= N@47 � 3D
Out[3]= 15.6667
Isso ocorre porque o programa nao trabalha usualmente com numeros com-
plexos ou com casas decimais, somente quando pedido, como no caso acima. Para
que se obtenha o valor inteiro mais proximo do resultado da funcao, usa-se o co-
mando IntegerPart[funcao]. Exemplo:
In[4]:= IntegerPart @47 � 3D
Out[4]= 15
Vale lembrar que o Mathematica c⃝, por ser um programa originalmente
americano, os numeros que possuem casas decimais nao sao representados com
vırgula como normalmente fazemos, e sim por um ponto. Exemplo:
In[5]:= 10.5 � 2
Out[5]= 5.25
O programa nao aceita vırgulas, justificando que a expressao esta incom-
pleta. Ja se utilizando ponto ao inves de vırgula, o programa aceita a expressao
CAPITULO 2. COMANDOS BASICOS 6
normalmente, resolvendo-a.
Para se facilitar a digitacao de alguns comandos e expressoes, tem-se algu-
mas teclas de atalho que podem ser utilizadas, como por exemplo:
- ctrl + 2: permite-se digitar a raiz quadrada de uma expressao.
- ctrl + 6: permite-se digitar o expoente de um numero ou expressao.
- ctrl + / (barra): permite-se criar uma fracao.
- ctrl + tecla espaco: sai de algum dos comandos acima, permitindo-se continuar
a digitar a expressao normalmente, sem estar na raiz quadrada e sem estar no
expoente.
Os comandos acima podem ser utilizados simultaneamente, ou seja, o co-
mando de se criar uma fracao pode ser usado conjuntamente com o comando de
se criar uma raiz quadrada. Exemplo:
In[6]:=42
2+ 5 + 1
Out[6]= 1 + 13
No exemplo acima, todos os comando foram usado em apenas uma ex-
pressao: temos o uso de ctrl+2 para se criar a raiz quadrada; ctrl+/ para se criar
a fracao; ctrl+6 para se criar o expoente do numero 4; ctrl+espaco para sair do
comando do expoente; ctrl+espaco para sair do comando da raiz quadrada.
Assim como as funcoes acima, a seta que aponta para o lado esquerdo (⇒)e
obtida se digitando: sinal de menos(-) + sinal de maior (>). Caso se necessite
usar expressoes que nao se encontram no teclado normal, como por exemplo,
letras do alfabeto grego, pode-se obte-los da seguinte forma: esc + nome da ex-
pressao + esc.Assim, por exemplo, para obtermos a expressao � (alfa), temos
que digitar: esc + alpha + esc
Pelo mesmo motivo do uso do ponto no lugar da vırgula, algumas expressoes
ao serem digitadas devem ser digitadas como se e escrito em ingles. Portanto,
temos as seguintes expressoes:
Nome Nome em ingles
Alfa Alpha
Beta Beta
Gama Gamma
Delta Delta
CAPITULO 2. COMANDOS BASICOS 7
Teta Theta
Pi Pi
Senx Sinx
Conx Cosx
Tgx Tanx
Cossecx Cscx
Secx Secx
Cotgx Cotx
Para outras expressoes, a sessao Help do proprio Mathematica c⃝pode indicar
o nome correto a ser utilizado.
Capıtulo 3
Funcoes Gerais
As funcoes matematicas podem ser digitadas normalmente no Mathematica c⃝,
sem grandes empecilhos.
- Adicao:
Numero + Numero
Exemplo:
In[1]:= 25 + 27
Out[1]= 52
- Subtracao:
Numero − Numero
Exemplo:
In[2]:= 25 - 13
Out[2]= 12
- Multiplicacao:
Numero * Numero ou Numero (espaco) Numero
Exemplo:
8
CAPITULO 3. FUNCOES GERAIS 9
In[3]:= 2 * 2 * 3
Out[3]= 12
In[4]:= 2 ´ 2 ´ 3
Out[4]= 12
OBS.: O uso de espacos se deve ao fato de que, ao se digitar um espaco, o
programa entende automaticamente que se trata de uma multiplicacao, acres-
centando por si so o sinal de multiplicacao (x).
- Divisao:
Numero/Numero ou ctrl+/ (numero acima e numero abaixo)
Exemplo:
In[5]:= 25 � 5
Out[5]= 5
In[6]:=25
5
Out[6]= 5
- Raiz:
Sqrt[numero ou ctrl+2 (numero)
Exemplo:
In[7]:= Sqrt @25D
Out[7]= 5
In[8]:= 25
Out[8]= 5
- Potencia:
Numero.Expoente ou Numero + ctrl+2
Exemplo:
CAPITULO 3. FUNCOES GERAIS 10
In[9]:= 5^2
Out[9]= 25
In[10]:= 52
Out[10]= 25
- Logaritmo:
Log[Numero]
Exemplo:
In[11]:= Log@1D
Out[11]= 0
OBS.: Quando se digita na forma acima, o programa entende que o logaritmo e
na base e. Caso se deseje que o logaritmo calculado esteja em outra base, basta
acrescenta-la na expressao: Log[base,numero]
Exemplo:
In[12]:= Log@10, 100 D
Out[12]= 2
Capıtulo 4
Funcoes
As funcoes estao sempre presentes em nosso cotidiano, e embora algumas
tenham aparencia simples, outras podem ser bem mais complicadas de se re-
solver. Assim, o Mathematica c⃝tem como mais uma funceo, resolve-las.
O modo de se digitar uma funcao segue basicamente os mesmo passos vistos
anteriormente, com a excecao de que se, se deseja igualar uma equacao a outra
ou a um numero, deve-se digitar duas vezes o sinal de igual (=), para que o
programa reconheca que se trata de uma igualdade.
Exemplo:
In[13]:= x2+ 2 x3
+ 4 � 0
Out[13]= 4 + x2 + 2 x3 � 0
Nota-se que a unica alteracao que ocorre e a ordem dos termos da equacao,
ja que o programa os coloca em ordem crescente de incognita. Ao se digitar tal
expressao ou uma semelhante, o Mathematica c⃝a aceita como uma afirmacao
verdadeira. Caso se deseje utilizar a expressao novamente, nao e necessario que
se digite tudo novamente. E necessario somente dar um “nome” a expressao, que
nas proximas vezes que esse “nome” for escrito, o programa o reconhece auto-
maticamente. O comando para se reconhecer a funcao novamente e Type[funcao].
Exemplo:
11
CAPITULO 4. FUNCOES 12
In[15]:= Α = x2+ x3
+ 4
Out[15]= 4 + x2 + x3
In[16]:= Type @ΑD
Out[16]= TypeA4 + x2 + x3E
No caso acima, considerou-se a equacao como alfa, e depois, quando foi pe-
dido para que o programa digitasse alfa, ele respondeu com a equacao nomeada
anteriormente. Isso tambem pode ocorrer com funcoes mais complexas, como
por exemplo, em funcoes que descrevem curvas. Pode-se sobrepor curvas usando
comando semelhante, como veremos posteriormente.
Dado uma funcao, o programa pode calcular o resultado dela, ou seja,
mostrar suas raızes. O comando a ser utilizado e: Solve[funcao]. Exemplo:
In[17]:= Solve Ax2+ 2 x + 1 � 0E
Out[17]= 88x ® -1<, 8x ® -1<<
Caso a funcao digitada seja extremamente complexa, o programa, ao inves
de oferecer respostas algebricas, oferecera uma nova funcao como raiz. Caso seja
preciso, pode-se simplificar a equacao para facilitar a resolucao. O comando uti-
lizado e: Simplify[funcao] . Tal comando pode ser utilizado a qualquer momento,
sempre que se julgar necessario. Exemplo:
In[18]:= Solve Ax4+ 4 x2
+ 4 � 0E
Out[18]= ::x ® -ä 2 >, :x ® -ä 2 >, :x ® ä 2 >, :x ® ä 2 >>
In[19]:= Simplify Ax4+ 4 x2
+ 4 � 0E
Out[19]= 2 + x2 � 0
In[20]:= Solve A2 + x2� 0E
Out[20]= ::x ® -ä 2 >, :x ® ä 2 >>
Assim como ocorre nos comandos basicos, caso se deseje encontrar um valor
para a equacao e no somente uma expressao, pode-se utilizar o seguinte comando:
NSolve[funcao]. Exemplo:
CAPITULO 4. FUNCOES 13
In[21]:= NSolve A2 + x2� 0E
Out[21]= 99x ® -4.00942 ´ 10-27 - 1.41421 ä=, 9x ® -4.00942 ´ 10-27 + 1.41421 ä==
Tambem e possıvel digitar sistemas no programa. Basta digitar entre
colchetes ({ })as equacoes que formam o sistema e coloca-los entre vırgulas.
Exemplo:
82 x + y + 5 z � 0, 3 x + 5 y + z � 2, x + y + z � 1<
82 x + y + 5 z � 0, 3 x + 5 y + z � 2, x + y + z � 1<
O sistema acima corresponde ao sistema:
2x + y + 5z = 0
3x + 5y + z = 2
x + y + z = 1
Capıtulo 5
Graficos
O software Mathematica tambem permite que sejam criados graficos das
funcoes digitadas. No caso de graficos de duas dimensoes, ou seja, graficos cujas
funcoes possuem somente as incognitas x e y, sendo que uma depende de outra,
o comando utilizado e: Plot[funcao,{variavel, limite mınimo, limite maximo}].
Exemplo:
Plot A2 x2+ 3 x, 8x, 0, 2 <E
0.5 1.0 1.5 2.0
2
4
6
8
10
12
14
Caso se deseje, pode-se alterar a escala dos eixos, para que se tenha uma
melhor visibilidade, acrescentando o comando AspectRatio → 1 ao comando
acima descrito, o que significa que os eixos estarao na proporcao de um para um.
Exemplo:
14
CAPITULO 5. GRAFICOS 15
Plot A2 x2+ 3 x, 8x, 0, 2 <, AspectRatio ® 1E
0.5 1.0 1.5 2.0
2
4
6
8
10
12
14
Assim como nos comandos basicos, pode-se usar o comando Plot para cri-
armos um grao que naopresente a funcao, mas que tambem a resolva. Para isso,
usa-se o comando NSolve[funcao,variavel]
NSolve A2 x2+ 3 x � 0, x E
88x ® -1.5<, 8x ® 0.<<
Agora, para que se tenham os graficos de varias e diferentes funcoes em
um mesmo plano cartesiano, pode-se aplicar “nomes” as funcoes, assim como
dito anteriormente, e depois pedir para que o programa as mostre em um mesmo
plano com o comando Show[nome1,nome2] Exemplo:
CAPITULO 5. GRAFICOS 16
a = Plot A2 x2+ 3 x, 8x, 0, 2 <, AspectRatio ® 1E
0.5 1.0 1.5 2.0
2
4
6
8
10
12
14
b = Plot A3 x2+ 2 x, 8x, 0, 2 <, AspectRatio ® 1E
0.5 1.0 1.5 2.0
5
10
15
CAPITULO 5. GRAFICOS 17
Show@a, b D
0.5 1.0 1.5 2.0
2
4
6
8
10
12
14
Porem, caso nao se queira realizar todas as etapas acima, pode-se criar
um plano cartesiano com as funcoes desejadas somente digitando-as. Porem, elas
nao serao reconhecidas posteriormente. Exemplo:
Plot A92 x2+ 3 x, 3 x2
+ 2 x=, 8x, 0, 2 <E
0.5 1.0 1.5 2.0
5
10
15
Caso de deseje diferenciar as funcoes por cores, para facilitar a visualizacao
e comparacoes, acrescenta-se o comando PlotStyle → {cor1 em ingles, cor2 em
ingles}, sendo a cor1 a cor que a primeira funcao adquirira e cor2 a cor que a
segunda funcao adquirira. Exemplo:
CAPITULO 5. GRAFICOS 18
Plot A92 x 2+ 3 x, 3 x 2
+ 2 x=, 8x, 0, 2 <, PlotStyle ® 8Purple, Green <E
0.5 1.0 1.5 2.0
5
10
15
Ja funcoes que possuem mais de duas variaveis, ou seja, duas variaveis
em funcao de uma terceira, o grafico apresentado pelo programa nao sera mais
somente no plano cartesiano xy e sim no plano xyz. O comando e semelhante,
sendo Plot3D[funcao,{variavel1,limite mınimo,limite maximo},{variavel2,limite
mınimo,limite maximo}. Exemplo
Plot3D Ax2+ 2 y2, 8x, 0, 2 <, 8y, 0, 2 <E
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0
5
10
No software Mathematica 6, ao se plotar um grafico 3D como o exemplo
acima, ao se posicionar o mouse perto do grafico, aparecera uma seta indicadora
de rotacao, ou seja, clicando na figura e movimentando o mouse ,pode-se ver o
grafico em diferentes angulos.
Capıtulo 6
Comandos extras
Alem dos comandos basicos apresentados acima, existem alguns comandos
a mais que podem auxiliar na resolucao de problemas e na plotagem de graficos.
Existem algumas funcoes que nao sao faceis de serem plotadas normalmente
no Mathematica c⃝, portanto, para simplifica-las e necessaria uma parametrizacao
das funcoes. Apos a parametrizacao delas, usa-se o comando:
ParametricPlot[{parametrizacao},{variavel1,limite mınimo,limite maximo}].
Exemplo:
ParametricPlot @8Cos@t D, Sin @t D<, 8t, 0, 2 Π<D
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Para parametrizacao de solidos, o comando e analogo ao o que ocorre com
19
CAPITULO 6. COMANDOS EXTRAS 20
o desenho de graficos normais. O comando passa a ser:
ParametricPlot3D[{parametrizacao},{variavel,limite mınimo,limite maximo},
{variavel2,limite mınimo,limite maximo}].
Exemplo:
ParametricPlot3D @8u, Cos @t D, Sin @t D<, 8u, -2, 2 <, 8t, 0, 2 Π<D
-2
-1
0
1
2-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Algumas partes da materia de calculo II necessitam que se conheca as
curvas de nıveis de uma determinada funcao. Para facilitar esse trabalho, o
Mathematica possui um comando que desenha as curvas de nıveis e permite que
as altere em algumas funcoes. O comando : ContourPlot[funcao,{variavel1,limite
mınimo,limite maximo},{variavel2,limite mınimo,limite maximo}]
Exemplo:
CAPITULO 6. COMANDOS EXTRAS 21
ContourPlot Ax2+ y2, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <E
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Caso se queira retirar as cores das curvas de nıveis, acrescenta-se o co-
mando ContourShading → None no comando acima descrito. Exemplo:
In[27]:= ContourPlot Ax2+ y2, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <, ContourShading ® NoneE
Out[27]=
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Caso se queira selecionar apenas uma das curvas, ou seja, a partir do resul-
tado da funcao descrita encontrar a curva, basta igualar a equacao ao resultado
que se quer ver a curva. Exemplo:
CAPITULO 6. COMANDOS EXTRAS 22
ContourPlot Ax2+ y2
� 1, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <E
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Porem, caso se deseja encontrar curvas especıficas da funcao, acrescenta-se
o comando Contours → numero da curva. Exemplo:
ContourPlot Ax2+ y2, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <, Contours ® 80.5, 1 <E
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Ou sem as cores das curvas de nevel:
CAPITULO 6. COMANDOS EXTRAS 23
ContourPlot Ax2+ y2, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <, ContourShading ® None, Contours ® 80.5, 1 <E
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Pode-se selecionar quantas curvas se quer que apareca no grafico, a par-
tir do comando a ser acrescentado Contours → numero de curvas desejadas.
Exemplo:
ContourPlot Ax2+ y2, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <, Contours ® 30E
-2 -1 0 1 2
-2
-1
0
1
2
Alguns comandos que podem ser utilizados no Mathematica c⃝nao estao
carregados no programa inicialmente, portanto, e necessario que se instale-os.
Para tanto, basta digitar o comando Needs[“nomedopacote‘”]. Ao ser inicializado
o comando, o programa faz o download automtico do pacote para determinada
CAPITULO 6. COMANDOS EXTRAS 24
funcao. Exemplo: download de pacote para vetores:
Needs@"VectorFieldPlots`" D
O mesmo ocorre para os outros pacotes que precisam ser instalados. Nor-
malmente, sabe-se que um pacote nao esta carregado quando se tenta usar algum
comando e o programa nao o aceita, ja que nao possui tal comando registrado.
Nesses casos, aparecera uma mensagem de erro, que pedira a instalacao do pa-
cote. Prossiga da forma acima.
Capıtulo 7
Calculo I
Para estudantes de calculo I, pode-se usar o Mathematica para realizar as
operacoes de limites, derivadas e integrais. A seguir, apresentaremos como cada
uma das operacoes pode ser resolvida.
Limite e um dos primeiros conceitos que aprendemos em calculo. Para cal-
cularmos o limite de alguma funcao, usa-se o comando Limit[funcao,x → x0].
Exemplo:
Limit Ax2+ 5 x, x ® 0E
Para funcoes que possuem uma descontinuidade, convem calcular os limites
laterais da funcao. O comando utilizado sera: Limit[funcao,x → x0,Direction →
numero]. Exemplo:
Limit @1 � x, x ® 0, Direction ® 1D
-¥
Limit @1 � x, x ® 0, Direction ® -1D
¥
Derivada e a funcao que mede a inclinacao de uma reta tangente a uma
curva. No Mathematica, calcula-se atraves do comando Dt[funcao,variavel]. Ex-
emplo:
Dt Ax4+ x3, x E
3 x2 + 4 x3
25
CAPITULO 7. CALCULO I 26
Para questoes de maximizacao e minimizacao de funcoes, o software pode
ser util para encontrar os pontos maximos e m’inimos de uma funcao, tanto os
globais como os locais. Para se calcular o ponto maximo global, usa-se o comando:
Maximize[funcao,{variavel}]. Ja para o ponto mınimo global, usa-se: Mini-
mize[funcao,{variavel}]. Para pontos maximos locais: FindMaximun[funcao,{x,xo}].
Para pontos mınimos locias: FindMinimum[funcao,{x,xo}]. Sendo {x,xo} o in-
tervalo no qual se quer achar os pontos locais, tanto maximo quanto m’inimo.
Exemplo:
In[28]:= Maximize A-x2+ 2 x + 1, 8x<E
Out[28]= 82, 8x ® 1<<
Minimize Ax2+ 2 x + 1, 8x<E
80, 8x ® -1<<
In[30]:= FindMaximum A-x2+ 7 x + 3, 8x, -3, 3 <E
Out[30]= 815.25, 8x ® 3.5<<
In[29]:= FindMinimum Ax2+ 5 x + 2, 8x, -5, 5 <E
Out[29]= 8-4.25, 8x ® -2.5<<
Integral e uma funcao inversa da derivada, ou seja, uma anti-derivada. Ela
pode se dividir em dois tipos: integrais proprias ou integrais improprias, sendo
aquela uma integral que resulta em um numero, e esta uma integral que resulta e
um numero e uma constante. Para se calcular uma integral propria, usa-se o co-
mando Integrate[funcao,{variavel,limite mınimo,limite maximo}]. Caso se queira
calcular uma integral impropria, o comando e basicamente o mesmo, se diferen-
ciando pela nao-presenca do limite mınimo e do limite maximo. O comando e
Integrate[funcao,variavel]. Exemplo:
Integrate Ax5+ x2, 8x, -2, 2 <E
16
3
CAPITULO 7. CALCULO I 27
Integrate Ax5+ x2, x E
x3
3+
x6
6
Capıtulo 8
Bibliografia
Tutorial Reginaldo J. Santos
Tutorial Andre Ulitzka
Tutorial Beatriz Cristina Betin
Tutorial site www.ime.unicamp.br/marcio
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