Tutorial

Universidad Estatal del Valle de Ecatepec“Ingeniería en Comunicación Multimedia”

“Cálculo Diferencial e Integral”

Alumno: Irving Israel Vargas CárdenasGrupo: 1441Profesor: Ing. Luis Gustavo García Flores

¿Cómo resolver una

derivada Implícita?

¿Qué es una función Implícita?

Definición:

Es implícita una función cuando el valor de la variable no está

despejada.

En la siguiente imagen determine cual es la función implícita.

A) X + Y = 2

B) Y= 3 X + 5Si observa las dos opciones son muy diferentes, y determinamos que la siguiente es una función implícita:

X + Y = 2

Una vez que hemos identificado una función implícita procederemos a la resolución paso a paso de una derivada. Pero a su vez tener en cuenta los siguientes puntos:

1. Debemos derivar con respecto a “x” ambos lados de la ecuación, (“y” se considera como constante ).

2. Debemos derivar con respecto a “y” ambos lados de la ecuación, (“x” se considera como constante).

3. Cuando derivemos con respecto a “x” debemos colocar .dxdx

4. Cuando derivemos con respecto a “y” debemos colocar. dydy

5. Despejar dy del término izquierdo de la igualdad. dy

6. El termino dx pasa dividiendo del otro lado de la igualdad. dx

Derivación Implícita

Tomemos como referencia la siguiente ecuación:

3x2y+2y3x=x2

Con la siguiente ecuación vamos a derivar con respecto a “x” y “y” , tomando en cuenta las notas que se colocaron en la anterior diapositiva:

(3x2y+2y3x) dx (3x2y+2y3x) dy = (x2 ) dx (x2 ) dy dx dy dx dy

Podemos notar que lo que esta de rojo se deriva con respecto a “x”, y de verde lo que se deriva con respecto a “y”

(3x2y+2y3x) dx (3x2y+2y3x) dy = (x2 ) dx (x2 ) dy dx dy dx dy

Ahora una vez acomodada nuestra función procedemos a derivar:

(6xy+2y3 ) - - - - Este es el resultado de derivar con respecto a x, si observa la “y” fue tomada como una constante.

(3x2+6xy2) - - - - Este es el resultado de derivar con respecto a y, si observa aquí la “x” es la constante.

Del otro lado de la igualdad:

(2x) - - - - Este es el resultado de derivar el otro lado de la igualdad con respecto a x.

(0) - - - - Aquí podemos notar que cuando x es la constante y se deriva da como resultado O (cero) tal y como lo dice la formula.

Una vez que hemos derivado nuestra función, debemos de acomodarla y comenzar a despejar:

(6xy+2y3 ) + (3x2+6xy2) dy = (2x) + (0) dy

Despejamos dy del término izquierdo de la igualdad: dy

dy 3x2+6xy2= (de este lado pasamos lo que teníamos en la derivada de x con dy signo contrario).

dy 3x2+6xy2= 2x + 0 - 6xy -2y3

dy

Para que nos quede solo el termino dy solo falta pasar dividiendo del otro lado de la igualdad dy

dy 3x2+6xy2= 2x + 0 - 6xy -2y3

dy

dy = 2x + 0 - 6xy -2y3

dy 3x2+6xy2

Segundo tipo de Derivación Implícita

Otro tipo de derivación implícita, es por medio de la multiplicación de las derivadas de cada una de lasfunciones.

Lo único que hay que hacer para derivar es determinar si hay una función dentro de la otra, ejemplo:

y= 2n2 n=3x2+2x+1

Podemos observar que en la primera función tenemos 2n2 , y que la n está en función de la otra función.

Resolviendo

1.- Derivamos cada función

y= 2n2 Utilizamos las fórmulas de derivación según se necesiten:

(2)(2)n= 4n- - - resultado

n=3x2+2x+1

Utilizamos las fórmulas de derivación según se necesiten:

(2)(3)x+(2)(1)+0 = 6x+2 - - -resultado

Ya hemos derivado cada función, lo único que falta es multiplicar cada derivada:

(4n)(6x+2) =24nx+8n

Ya hemos analizado, la derivación implícita, elobjetivo fue dar una solución fácil a dichas funcionesque en ocasiones se nos dificultan.

Con ello se pretende que usted haya encontrado la solución a dicho problema.Si usted desea consultar las referencias bibliográficas acerca del tema diríjase:

Matemáticas Simplificadas vol. V“Calculo Diferencial” CONAMAT, 2003 pp.126-131