Die Millennium-Probleme Grundlegende Begriffe Geschichtlicher Hintergrund Eigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen L¨ osungsans¨ atze und offene Fragen Turbulenzen um die Fluiddynamik Michelle Porth 18. Juni 2018 Michelle Porth Turbulenzen um die Fluiddynamik
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Turbulenzen um die Fluiddynamik - numerik.mathematik.uni ... · Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Str omungen von viskosen Fluiden, wobei ein Fluid als Kontinuum modelliert
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Die Millennium-ProblemeGrundlegende Begriffe
Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
Losungsansatze und offene Fragen
Turbulenzen um die Fluiddynamik
Michelle Porth
18. Juni 2018
Michelle Porth Turbulenzen um die Fluiddynamik
Die Millennium-ProblemeGrundlegende Begriffe
Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
Losungsansatze und offene Fragen
Inhaltsverzeichnis
1 Die Millennium-Probleme
2 Grundlegende Begriffe
3 Geschichtlicher Hintergrund
4 Eigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
5 Losungsansatze und offene Fragen
Michelle Porth Turbulenzen um die Fluiddynamik
Die Millennium-ProblemeGrundlegende Begriffe
Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
Losungsansatze und offene Fragen
Die Millennium-Probleme
Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer
Hodgevermutung
P-NP-Problem
Poincare-Vermutung → 2002 gelost von Perelman
Riemannsche-Vermutung
Gleichungen von Young-Mills
Navier-Stokes-Gleichungen
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Die Millennium-ProblemeGrundlegende Begriffe
Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
Losungsansatze und offene Fragen
Was ist ein Fluid?
Fluid ist der Oberbegriff fur Flussigkeiten und Gase.
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Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
Losungsansatze und offene Fragen
Was ist ein Kontinuum?
Ein Kontinuum ist eine physikalische Große, die in jedem Punkt inRaum und Zeit definiert ist.
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Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
Losungsansatze und offene Fragen
Was bedeutet Kompressibilitat?
Kompressibilitat ist die Eigenschaft von Korpern unter Einwirkungvon Druck ihr Volumen zu verringern.Beispiel:Luft kann sich kompressibel und inkompressibel verhalten.
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Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
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Was bedeutet Viskositat?
Viskositat ist die Zahigkeit von Fluiden.Je großer die Viskositat, desto dickflussiger ist das Fluid.
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Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
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Was bedeutet Turbulenz?
Eine Stromung heißt turbulent, wenn die Bewegung der Fluideweitreichende Verwirbelungen hat.Im Gegensatz dazu stehen laminare Stromungen.
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Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
Losungsansatze und offene Fragen
Was bedeutet Turbulenz?
Beispiele:
siehe Video
Motorradhelm
Fussball
Zeichnung von DaVinci
U-Boot
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Die Millennium-ProblemeGrundlegende Begriffe
Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
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Was ist ein blow-up?
Man spricht von einem blow-up, wenn sich die gesamte Energieeines Systems in der Umgebung eines Punktes konzentriert unddort gegen unendlich strebt.
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Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
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Was sind die Navier-Stokes-Gleichungen?
Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Stromungen vonviskosen Fluiden, wobei ein Fluid als Kontinuum modelliert wird.
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Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
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1755
”Principes generaux du mouvement des fluides“ von Leonhard
Euler→ Herleitung der Euler-Gleichungen
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Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
Losungsansatze und offene Fragen
Exkurs: Euler-Gleichungen
Fur inkompressible Stromungen im dreidimensionalen Raum lautendie Euler-Gleichungen
∂v
∂t+ (v • ∇) v +∇p = f ,
wobei p der Druck, f der Kraftvektor und v derGeschwindigkeitsvektor sind.Weiter gilt
div (v) = 0
Gesucht sind v und p.
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Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
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Exkurs: Euler-Gleichungen
In Worten:Beschleunigung plus Effekte der Fluidbewegung plus Kraft durchDruck gleich außere Kraft.
Problem:Es gibt keinen allgemeinen Existenz- und Eindeutigkeitssatz fur dieEuler-Gleichungen.→
”unvollstandige“ Version der Navier-Stokes-Gleichungen
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1822
”Memoire sur les lois du mouvement des fluides“ von Claude Louis
Marie Henri Navier→ Nutzt Molekulartheorie, Elastizitatstheorie und Cauchysallgemeine Methoden der Kontinuumsmechanik→ Stellt math. Modell fur die Bewegung zaher Fluide unterAnnahme molekularer Kraft auf→ Erkennt
”No-Slip-Randbedingung“
→ Unklarheiten/ offene Fragen zu seiner Theorie bleiben
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1831
Klarere Formulierung von Naviers Ergebnissen von Simeon-DenisPoisson
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1834
”Memoire sur la dynamique des fluides“ von Adhemar Barre de
Saint-Venant→ Ausgleichseffekt: Problemstellen wie bei den Euler-Gleichungentritt durch sein Modell der Viskositat nicht auf→ Benotigt keine Annahme zu molekularen Kraften
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1845
”On the Theories of the internal Friction of Fluids in Motion“ von
George Gabriel Stokes→ Beinhaltet die Ergebnisse von Saint-Venant
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2000
Formulierung der Navier-Stokes-Gleichungen alsMillenniumsproblem
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Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen im dreidim.Raum
Fur inkompressible Stromungen im dreidimensionalen Raum lautendie Navier-Stokes-Gleichungen
∂v
∂t+ (v • ∇) v +∇p − ν∆v = f ,
wobei ν der Viskositatskoeffizient, p der Druck, f der Kraftvektorund v der Geschwindigkeitsvektor sind.Weiter gilt
div (v) = 0
Gesucht sind v und p.
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Eigenschaften
inkompressibler Fall: Dichte als Unbekannte abhangig von Ortund Zeit ist konstant
nichtlinear
partielle Differentialgleichung
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Exkurs: Wellenphanomene
Wellenphanomene werden haufig von linearen Gleichungenbeschrieben.→ Losung ahnlich schwierig wie gegebene Anfangs- undRandbedingungen
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Exkurs: Newtons Punktmechanik
Es seien endlich viele Massepunkte, sowie deren Orte undGeschwindigkeiten zu einem bestimmten Zeitpunkt gegeben.Das Naturgesetz zur Beschreibung deren Bewegung sei stetig.Dann ist jeder folgende Systemzustand eindeutig bestimmt.→ gewohnliche Differentialgleichung
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Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
Losungsansatze und offene Fragen
Was bisher moglich ist
In der Anwendung nutzt man Computerprogramme zur num.Losung der Navier-Stokes-Gleichungen.Mithilfe von Experimenten erkennt man, dass sich das Verhaltenvon Fluiden mit der Theorie deckt.
Problem:Um zeigen zu konnen, dass die Naherungslosung die exakte Losunggut approximiert, muss diese existieren.
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Geschichtlicher HintergrundEigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen
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Was bisher moglich ist
Die Navier-Stokes-Gleichungen besitzen keine Losungen, bei denenkinetische und potenzielle Energie des Systems zunehmen.
Problem:Blow-up ist noch nicht ausgeschlossen.
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Was bisher moglich ist
Jean Leray zeigte Existenzaussagen fur schwache Losungen sowiedie Existenz glatter Losungen bis zu einer endlichen Zeit, die durchdie gegebenen Daten beschrankt ist.
Problem:Regularitatsaussage noch nicht gefunden.
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Alternativideen
Navier-Stokes-Gleichungen nahern das Verhalten von Fluiden an.→ Annahme des Kontinuums
Alternativen:
Modellierung der Stromung auf Ebene der Molekule→ Boltzmann-Gleichungen
Beschreibung der Viskositat durch hohere Ableitungen→ Versuch des Mathematikers Jindrich Necas scheiterte
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offene Fragen
Grundproblematik:Es gibt keinen Beweis/ kein Gegenbeispiel zur Existenz undEindeutigkeit einer Losung unter gegebenen Anfangsbedingungenfur die Navier-Stokes-Gleichungen.
Clay-Frage:Gibt es eine offensichtlich unphysikalische Losung derNavier-Stokes-Gleichungen?
Schwierigkeit:Das Phanomen der Turbulenz ist noch immer unklar.
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Losungsansatze und offene Fragen
aktueller Forschungsstand
2009: Man versucht die Menge aller Punkte, in denenSingularitaten auftreten konnen, abzuschatzen.
2014: Professor aus Kasachstan behauptet, er habe einenBeweis gefunden.→ Stellt sich als falsch heraus