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TURBOMÁQUINAS TÉRMICASCT-3412CT-3412

2-Conceptos básicos 3 – Análisis dimensional

Prof. Nathaly Moreno SalasIng. Victor Trejo

Contenido

� Definición de análisis dimensional� Utilidad del análisis dimensional� Teorema Π de Buckingham� Similitud� Análisis dimensional en las turbomáquinas� Análisis dimensional en las turbomáquinas� Escalamiento geométrico� Similitud en las turbomáquinas� Números adimensionales empleados en TMT� Introducción a los mapas de operación� Resumen

Definición de análisis dimensional

� El análisis dimensional es un procedimiento formal a través del cual un grupo de variables involucradas en una situación física es reducido a un número más pequeño de grupos adimensionales.

“I have often been impressed by the scanty attention paideven by original workers in physics to the great principle of similitude. It happens not infrequently that results in the form

of “laws” are put forward as novelties on the basis of elaborate experiments, which might have been predicted a

priori after a few minutes of consideration.”

Lord Rayleigh

Fuentes: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon S. Hall C.The principle of similitude – Lord Rayleigh

Utilidad del análisis dimensional

� En general el análisis dimensional permite en cálculo sencillo del comportamiento de un sistema, de sus pérdidas y procesos de transformación de energía conociendo las características de sistemas similares, por ejemplo sistemas con:por ejemplo sistemas con:� Otras dimensiones

� Régimen de operación diferente

(velocidad, velocidad angular)

� Otro fluido de trabajo

� Diferentes condiciones de entrada

Fuente: Presentaciones de la asignatura Fundamentos de las turbomáquinas térmicas de la universidad de Stuttgart

Prueba en túnel de viento de modelo a escala de la aeronove X-48C

Similitud

� El concepto de similitud se refiere a relaciones derivadas del análisis dimensional empleadas para validar la experimentación sobre modelos y para obtener información de estas pruebas.

� Tipos de similitud:Geométrica: Longitudes proporcionales (L =kL )� Geométrica: Longitudes proporcionales (Lp=kLm)

� Cinemática: Dirección de velocidad igual, magnitudes proporcionales

� Dinámica: Fuerzas viscosas, de fricción, de presión proporcionales

� Termodinámica: Cambios de estado (cocientes de temperatura, de presión, etc.) proporcionales. Mismo exponente politrópico.

Fuente: Dimensional Analysis – Gibbings J.C.

Teorema Π de Buckingham

� El análisis dimensional permite expresar un fenómeno físico en el cual las variables involucradas Q1, Q2, Q3,…, QN que pueden ser expresadas en términos de k cantidades físicas fundamentales y regido por una ecuación general de la forma:

en términos de un grupo de números adimensionales Π1, Π2, Π3,…, Πp, es decir,

0),...,,,( 321 =nQQQQfen términos de un grupo de números adimensionales Π1, Π2, Π3,…, Πp, es decir,

puede ser expresado de la siguiente forma:

El teorema Π de Buckingham establece que la cantidad de números adimensionales necesarios p es la diferencia entre el número de variables n y el número de cantidades físicas k

Este teorema permite hallar el grupo de números adimensionales involucrados en el fenómeno de interés aun sin conocer las ecuaciones que lo rigen. No dice nada sobre el orden de importancia de estas cantidades

0),...,,,( 321 =ΠΠΠΠ pf

knp −=

Fuente: Dimensional Analysis – Gibbings J.C.

Análisis dimensional en las turbomáquinas (1/3)

� El análisis dimensional ha sido fundamental en la comprensión del comportamiento general de las turbomáquinas.

Fuentes: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon S. Hall C.Turbomachinery performance Analysis – Lewis R.Presentaciones de la asignatura Fundamentos de las turbomáquinas térmicas de la

Universidad de Stuttgart

Tipos de flujo según presencia de turbulencia


� Emplear análisis dimensional permite:� Predecir el desempeño de un prototipo a través de experimentación

sobre un modelo a escala.

� Determinar el tipo de máquina mas apropiado sobre la base de máxima eficiencia, carga, velocidad y flujo másico.

Escalamiento geométrico

Curva de máxima eficiencia de una familia de bombas o ventiladores en función de parámetros adimensionales


� Emplear análisis dimensional permite:

� Al diseñador disponer de un marco para unificar el proceso de diseño de una turbomáquina vinculando las condiciones de operación (flujo, trabajo) con los triángulos de velocidad y el diseño aerodinámico.

� Representar información (de operación o experimental) de forma condensada.

Mapa de operación de un compresorMapa de operación de una turbina

Triángulos de velocidad enel rotor de una turbina

Escalamiento geométrico (1/2)

� Uno de los usos más extendidos del análisis dimensional es la experimentación sobre modelos a escala. Las consecuencias del escalamiento geométrico sobre las magnitudes físicas son:� Velocidades y ángulos iguales� Velocidades y ángulos iguales

� Superficie:

� Volumen:

� Flujo volumétrico:

� Peso:

� Igual número de Mach (si las condiciones de referencia son iguales)

mp AkA 2=

mp VkV 3=

mp VkVAcV &&& 2=⇒=

mp PesokPeso 3=


Escalamiento geométrico (2/2)

� Trabajar sobre un modelo reducido permite el

perfeccionamiento del prototipo final y una reducción de costos importante en la importante en la

experimentación gracias a la disminución de espacio requerido, de materiales y

en particular de flujo másico (menos uso de

combustible en caso de turbinas y menor consumo

de energía en caso de compresores)

Modelo de turbina a vapor de baja presión reducidoen un factor de 4,2 en un banco de prueba en la

Universidad de Stuttgart

Similitud en las turbomáquinas (1/4)

� En el estudio de las turbomáquinas térmicas aparecen los siguientes números adimensionales en distintas formas:

� Número de Euler: Fuerzas de presión/fuerzas viscosas Número de Euler: Fuerzas de presión/fuerzas viscosas (da una idea del trabajo trasmitido, presente como factor de carga)


Retrato de Leonhard Euler,matemático y físico suizo(1707-1783)


� Número de Reynolds: Fuerzas inerciales/fuerzas viscosas (da una idea de la importancia de las fuerzas viscosas en el proceso)

Retrato de Osborne Reynolds,ingeniero y físico irlandés(1842-1912)


� Número de Mach: Velocidad del fluido/velocidad del sonido (da una idea de la importancia de los efectos de la compresibilidad del fluido en el proceso)

Retrato de Ernst Mach,físico y filósofo austriaco(1838-1916)


� Número de Strouhal: Velocidad/Frecuencia*longitud (da una idea del flujo másico, presenta en la forma de factor de flujo)

Retrato de Vincent Strouhal,físico checo(1850-1922)

Números adimensionales empleados en las TMT (1/13)

� El propósito de las turbomáquinas es la transferencia de energía desde o hacia el fluido de trabajo. Por esto es de especial interés conocer:� el trabajo específico que es posible transferir ∆h0s,

� la tasa de transferencia de trabajo, es decir, la potencia P� la tasa de transferencia de trabajo, es decir, la potencia P

� y la eficiencia con la que se realiza la transformación energética η

Proceso de compresión (izquierda) y de expansión (derecha)

El diagrama h-s ofrece un medio de inspección del trabajo específico (diferencia de entalpía total) y de la eficiencia (diferencia de entropía)


� Estas 3 variables o parámetros de desempeño (trabajo especifico, potencia y eficiencia) dependen de otras variables como:� las propiedades del fluido y la cantidad de fluido

� y las características de la máquina (geometría, velocidad de giro, etc.)� y las características de la máquina (geometría, velocidad de giro, etc.)

),,,,,,(,, 01010 γρµη amDNfPh s &=∆La velocidad del sonido a01 y la densidad total ρ01 se eligen a la entrada de la máquina como magnitudes de referencia ya que éstas varían durante el proceso.sespecífico calores de ecoeficient:

entrada de scondicione a sonido del velocidad:

entrada de scondicione a totaldensidad:

másico flujo:

máquina la de ticacaracterís longitud:

máquina la de giro de velocidad:

d viscosida:

01

01

γ

ρ

µ

a

m

D

N

&

Fuente: Fluid mechanics and thermodynamics of turbomachinery – Dixon S. Hall C.


� Aplicar el teorema Π de Buckingham permite hallar los grupos adimensionales de variables relevantes en el análisis global de las turbomáquinas térmicas:

=∆ γµ

ρρρ

η ,,,,,2

0135322

0

a

NDND

ND

mf

DN

P

DN

h s &

� Se ha reducido el grupo de 8 variables dimensionales (η y eran ya adimensionales) a 5 números adimensionales. Estos números suelen ser reformulados de forma más conveniente en función de variables fácilmente medibles…

= γµρρ

η ,,,,,01

301

5301

22 aNDf

DNDN

γ



� Una suposición común en las TMT es que el fluido de trabajo se comporta como un gas ideal. La siguiente reformulación de los números adimensionales emplea esta suposición.

� puede ser interpretado como número de Mach del álabe (ND es proporcional a la velocidad del álabe). Reescribiendo la velocidad del sonido para gas ideal se obtiene:


=∆ γ

µρ

ρρη ,,,,,

01

201

301

5301

220

a

NDND

ND

mf

DN

P

DN

h s &

01a

ND

01RT

ND

γ


� Nótese que tiene dimensiones de velocidad por longitud y que es proporcional a la velocidad del álabe U.

=∆ γ

µρ

ρρη ,,,,,

01

201

301

5301

220

a

NDND

ND

mf

DN

P

DN

h s &

2NDND

álabe U.

� Ahora es fácilmente reconocible como el número de Reynolds.

� Las TMT suelen girar a altas velocidades, por lo que los efectos viscosos suelen ser despreciables

µρ

µρ UDND 01

201 ∝

Re01 =µ

ρ UD



� Si observamos el denominador, identificamos el producto ND también contenido en el número de Mach. Si multiplicamos y

=∆ γ

µρ

ρρη ,,,,,

01

201

301

5301

220

a

NDND

ND

mf

DN

P

DN

h s &

también contenido en el número de Mach. Si multiplicamos y dividimos el denominador por tenemos ahora la presencia de Mach y lo podemos eliminar porque ya está contemplado en el estudio:

01a

20101

20101

01

20101

01

01201

301 Da

m

MaDa

m

a

NDDa

m

a

aNDD

m

ND

m

ρρρρ

ρ&&&&& ≈=

=

=


� Ahora pueden ser reescritos de la siguiente forma con la suposición de gas ideal:

=∆ γ

µρ

ρρη ,,,,,

01

201

301

5301

220

a

NDND

ND

mf

DN

P

DN

h s &

0101 y aρ

p

� Sustituyendo y reordenando:

� A este número se le conoce como factor de flujo:

0101 RTa γ=01

0101 RT

p=ρ

γγρ 201

01

201

01

012

0101 Dp

RTm

DRTRT

pm

Da

m &&& ==

γ201

01

Dp

RTm&=Φ


� Al inspeccionar este grupo adimensional notamos que el denominador se parece al del factor de flujo. Si además expresamos la potencia como (gas ideal):

=∆ γ

µρ

ρρη ,,,,,

01

201

301

5301

220

a

NDND

ND

mf

DN

P

DN

h s &

expresamos la potencia como (gas ideal):

� Y ahora podemos eliminar el factor de flujo porque ya está entre los grupos adimensionales obtenidos. Si ahora multiplicamos y dividimos por el cuadrado de a01, obtenemos:

TCpmP ∆= &

22301

5301

5301 DN

TCp

ND

m

DN

TCpm

DN

P ∆=∆=ρρρ

&&

201

022

01

022

201

201

201

220 1

a

TCp

Maa

TCp

DN

a

a

a

DN

TCp ∆=∆=∆


� Nuevamente podemos eliminar al número de Mach. Al expresar la velocidad del sonido en función de la temperatura, tenemos:

=∆ γ

µρ

ρρη ,,,,,

01

201

301

5301

220

a

NDND

ND

mf

DN

P

DN

h s &

TCpTCp ∆=∆

� El calor específico, la constante R y el cociente de calores específicos están relacionados mediante

� Al emplear esta relación obtenemos finalmente una expresión conveniente para el factor de potencia:

01

0201

0

RT

TCp

a

TCp

γ∆=∆

1−=

γγR

Cp

γ201

01

Dp

RTm&=Φ


� Revisemos primero el numerador del factor de carga. Para un gas ideal tenemos las dos siguientes

=∆ γ

µρ

ρρη ,,,,,

01

201

301

5301

220

a

NDND

ND

mf

DN

P

DN

h s &

carga. Para un gas ideal tenemos las dos siguientes relaciones:

� Si tomamos T01 como factor común y sustituimos el cociente de temperaturas resultante por el cociente de presión, tenemos:

( )γ

γ 1

01

02

01

0201020 y

−

=

−=∆

p

p

T

TTTCph s

ss

−

=

−=∆

−

11

1

01

0201

01

02010

γγ

p

pCpT

T

TCpTh s

s


� Veamos el cociente completo. Reemplazando ahora en el denominador el cuadrado de ND por el

=∆ γ

µρ

ρρη ,,,,,

01

201

301

5301

220

a

NDND

ND

mf

DN

P

DN

h s &

en el denominador el cuadrado de ND por el cuadrado de la velocidad del sonido y expresándola en función de la temperatura (gas ideal):

−

=

−

=∆

−−

11

1

01

02

1

01

02

01

0122

0γ

γγ

γ

γγ p

p

R

Cp

p

p

RT

CpT

DN

h s


� Recordando nuevamente que , podemos sustituir Cp y obtener una expresión más conveniente del factor

=∆ γ

µρ

ρρη ,,,,,

01

201

301

5301

220

a

NDND

ND

mf

DN

P

DN

h s &

1−=

γγR

Cp

Cp y obtener una expresión más conveniente del factor de carga:

� Éste es un resultado importante porque expresa el trabajo específico isentrópico como función del fluido (cociente de calores específico) y del cociente de presiones totales.

−

−=∆

−

11

11

01

0222

0γ

γ

γ p

p

DN

h s


� Gracias a este desarrollo podemos expresar los grupos adimensionales de esta forma:

( )

=

−∆

−

−

−

γγγγ

ηγ

γγ

,Re,,1

,,11

1

012

01

01

01

0

1

01

02

RT

ND

Dp

RTmf

T

T

p

p &

� Usando sólo la suposición de gas ideal se logró expresar los números adimensionales obtenidos a través del teorema Π de Buckingham en función de las temperaturas y presiones de estancamiento de entrada y salida, variables fácilmente medibles en una turbomáquina.

� Es práctica común eliminar el cociente de calores específicos cuando se trabaja con el mismo fluido y la longitud característica D cuando se trabaja con la misma máquina, llegándose a expresiones más sencillas de estos números. El número de Reynolds es frecuentemente eliminado del análisis (altas velocidades).

01010101

Resumen

� En esta presentación se hizo una breve revisión de los conceptos básicos del análisis dimensional y se describieron los beneficios de su uso.

� En el ámbito de las turbomáquinas térmicas se hizo énfasis en las aplicaciones del análisis dimensional énfasis en las aplicaciones del análisis dimensional en el escalamiento geométrico y en la condensación de información en los mapas de operación.

� Los beneficios del análisis dimensional en el diseño de equipos serán mostrados a lo largo del curso al introducir otros conceptos importantes en el diseño.

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