q2 u 1 u 2 k1 k2 q1 k1 k2 u 1 u 2 k1 JAWABAN TUGAS XIII DINAMIKA Diketahui struktur sebagai berikut: h h L Diketahui data sebagai berikut: w1 = q1 x L = 4400 kg w2 = q2 x L = 2900 kg k1 = 2000 kg/cm k2 = 1500 kg/cm Ditanyakan: a. Tentukan frekuensi alami dan pola dari sistem b. Tentukan respon pada struktur dengan getaran bebas tak teredam c. Jika ditambahkan damping (c) sebesar 2c dan c, tentukan Mn, Kn, Cn dan persamaan geraknya. c 2c d. Jika () () () () 0 0 ; 0 0 ; 0 0 ; 1 0 ; 05 , 0 ; 100 2 1 2 1 1 = = = = = = q q q q km c ζ , tentukan respon getaran bebas untuk pola natural pertama.
15
Embed
Tugas XIII 28mei2012 - sugengpb.lecture.ub.ac.id€¦ · JAWABAN TUGAS XIII DINAMIKA Diketahui struktur sebagai berikut: h h L Diketahui data sebagai berikut: w1 = q1 x L = 4400 kg
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
q2
u1
u2
k1
k2 q1
k1
k2
u1
u2
k1
JAWABAN TUGAS XIII DINAMIKA
Diketahui struktur sebagai berikut:
h
h
L
Diketahui data sebagai berikut:
w1 = q1 x L = 4400 kg
w2 = q2 x L = 2900 kg
k1 = 2000 kg/cm
k2 = 1500 kg/cm
Ditanyakan:
a. Tentukan frekuensi alami dan pola dari sistem
b. Tentukan respon pada struktur dengan getaran bebas tak teredam
c. Jika ditambahkan damping (c) sebesar 2c dan c, tentukan Mn, Kn, Cn dan
persamaan geraknya.
c
2c
d. Jika ( ) ( ) ( ) ( ) 00;00;00;10;05,0;100 21211 ====== qqqqkmc ζ , tentukan respon
getaran bebas untuk pola natural pertama.
u1
u2
k1
k2
k1
k2
e. Jika ( ) ( ) ( ) ( ) 00;00;10;00;10,0;100 21212 ====== qqqqkmc ζ , tentukan respon
getaran bebas untuk pola natural kedua.
Penyelesaian:
a. Menentukan frekuensi alami dan pola dari sistem
m2
h ke2
m1
h ke1
L
Jika w1 = 4400 kg à mskg
gwm
2.49,4981440011 ===
w2 = 2900 kg à mskg
gwm
2.96,2981290022 ===
ke1 = k1 + k1 = 2000 + 2000 = 4000 kg/cm
ke2 = k2 + k2 = 1500 + 1500 = 3000 kg/cm
Ø Matriks massa
m = mskg
mm 2
2
1 .96,20049,4
00
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
Ø Matriks kekakuan
k = cmkg
kkkkk
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−+
3000300030007000
30003000300030004000
22
221
Nilai frekuensi alami (ωn)
det [k - ωn2 m] = 0
[ ] [ ]
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=−
2
2
22
96,230003000300049,47000
96,20049,4
3000300030007000
n
n
nn MK
ω
ω
ωω
[ ] [ ]( )
( )( ) ( )( )
010.2,13419029,13
010.929,13134702072010.1,2
03000300096,2300049,47000
096,230003000
300049,47000det
0det
724
64227
22
2
2
2
=+−
=−+−−
=−−−−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−
=−
nn
nnn
nn
n
n
n MK
ωω
ωωω
ωω
ω
ω
ω
Persamaan penyelesaian:
( ) ( ) ( )( )( )
58,2622,2304434190
29,13210.2,129,1343412034190
10.2,13419029,13
722
7
±=
−−±−−=
=
−=
=
n
cba
ω
40,4628,215358,26
22,2304434190
48,2033,41958,26
22,2304434190
222
121
=⇒=+
=
=⇒=−
=
ωω
ωω
Pola natural untuk sistem I diperoleh dengan mensubstitusikan �n = �1
[ ]{ } 33,4190 221=→=− ωφω nnmk
( )( )
078,17583000
300021,5117
033,41996,230003000
300033,41949,47000
33,419096,230003000
300049,47000
21
11
21
11
2
21
1121
21
1
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−
=→=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−
φ
φ
φ
φ
ωφ
φ
ω
ω
Pola natural ditentukan dengan menentukan satu satuan harga untuk salah satu pola.
Misalkan iniberikutanalisisdari nilaidiperoleh sehingga ,1 1121 φφ =
58625,022,124121,2117
022,124121,2117
078,175830000300021,5117
00178,17583000
300021,5117
11
11
11
11
11
11
=
=
=−
+=+−
=−
==⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
φ
φ
φ
φ
φ
φ
Pola natural untuk sistem II diperoleh dengan mensubstitusikan �n = �2
( )( )
071,33733000
300023,2668
028,215396,230003000
300028,215349,47000
28,2153096,230003000
300049,47000
22
12
22
12
22
22
1222
22
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−
=→=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−
φ
φ
φ
φ
ωφ
φ
ω
ω
Pola natural ditentukan dengan menentukan satu satuan harga untuk salah satu pola.
Misalkan iniberikutanalisisdari nilaidiperoleh sehingga ,1 1222 φφ =
12641,171,37377,331
071,37377,331
071,337330000300023,2668
0171,33733000
300023,2668
12
12
12
12
12
12
−=
−=
=+
−=−−
=−−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−
φ
φ
φ
φ
φ
φ
Sehingga, pola natural dari sistem tersebut adalah:
{ }
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
112641,1
158625,0
22
122
21
111
φ
φφ
φ
φφ
u1
u2
k k
k k 2m
21φ
11φ
12φ
22φ
m
h
h
Pola Natural I
Pola Natural II
Kontrol kondisi orthogonal
{ }[ ]{ }
{ }
{ }[ ]{ }
{ } OK
M
OK
K
T
T
0112641,1
96,20049,4
158625,0
0
0112641,1
3000300030007000
158625,0
0
21
21
≈⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
=
≈⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
=
φφ
φφ
b. Penentuan Respons Getaran Bebas jika diketahui:
!! 0 = 1, !! 0 = 1, !! 0 = 0, !! 0 = 0.
Persamaan gerak:
u (t) = ( ) ( ) ( )∑∑==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
n
nnn
n
nn
n
nnnn tqtSinqtCosq
11.00 φω
ωωφ
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )tCostSinqtCosqtq
tCostSinqtCosqtq
40,46100
48,20100
22
2122
11
1111
=+=
=+=
ωω
ω
ωω
ω
Persamaan Getaran à u (t) = ( )∑=
n
nnn tq
1
.φ
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tCostCostu
tCostCostu
tCostCostutu
tqtqtutu
40,4648,2040,4612641,148,2058625,0
40,46112641,1
48,20158625,0
..
2
1
2
1
22112
1
+=
−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
φφ
Data: ω1 = 20.480 rad/dt
ω2 = 46.400 rad/dt
No
Time Cos ω 1t Cos ω 2t u1 (t) u2 (t) t (s) (q1 (t)) (q2 (t))