Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT

METODE NUMERIK BISEKSI(TUGAS UTS)

Desta Puspitarani

March 29, 2016

Desta Puspitarani METODE NUMERIK BISEKSI (TUGAS UTS) March 29, 2016 1 / 20

METODE NUMERIK BISEKSI

Metode Biseksi

Pertama Tentukan a1 dan b1, dan δ

Kedua Tentukan n terkecil yang memenuhi(1

2

)n

≤ δ2

L

ketiga Penentuan λk adalah sebagai berikut:

λk =ak + bk

2

keempatKondisi 1: Jika f

′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1

kelima iterasi berhenti ketika bk − ak < δ2



Metode Biseksi



2

)n

≤ δ2

L


λk =ak + bk

2


′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1





Metode Biseksi



2

)n

≤ δ2

L


λk =ak + bk

2


′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1





Metode Biseksi



2

)n

≤ δ2

L


λk =ak + bk

2


′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1





Metode Biseksi



2

)n

≤ δ2

L


λk =ak + bk

2


′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1





Metode Biseksi



2

)n

≤ δ2

L


λk =ak + bk

2


′(λk) > 0, λk = bk+1dan ak = ak+1





Contoh Soal

carilah nilai x yang meminimumkan

f (x) = 2x2 + 4x

dengan δ = 0.4 dan selang{−3 + 0,

∑nim}≤ x ≤

{3− 0,

∑nim}

Dengan Metode Numerik Biseksi



Jawab :

meminimumkanf (x) = 2x2 + 4x

dengan δ = 0, 4 pada selang

−3 + 0, 29 6 0 6 3− 0, 29

−2, 71 6 0 6 2, 71

L = 5, 42



Metode Numerik Biseksii

Dicari nilai n terkecil(1

2

)n

6δ2

L=

0, 16

2, 71− (−2, 71)=

0, 16

5, 42=

1

33, 875

maka nilai n = 6

Karena (1

2

)6

=1

646

1

33, 875=δ2

L





2

)n

6δ2

L=

0, 16

2, 71− (−2, 71)=

0, 16

5, 42=

1

33, 875

maka nilai n = 6

Karena (1

2

)6

=1

646

1

33, 875=δ2

L





2

)n

6δ2

L=

0, 16

2, 71− (−2, 71)=

0, 16

5, 42=

1

33, 875

maka nilai n = 6

Karena (1

2

)6

=1

646

1

33, 875=δ2

L



Iterasi 1

λ1 =a1 + b1

2=−2, 71 + 2, 71

2=

0

2= 0

Subtitusikan λ1 pada persamaan

f ′ (λ1) = 4λ1 + 4

Sehinggaf ′ (λ1) = 4λ1 + 4 = 4(0) + 4 = 4



Lanjutan Iterasi 1

karenaf ′ (λ1) = 4

maka akan digunakan kondisi 1 dimana

λ1 = b2 = 0

dana1 = a2 = −2, 71

Untuk iterasi 2



Iterasi 2

λ2 =a2 + b2

2=−2, 71 + 0

2=−2, 71

2= −1, 355


f ′ (λ2) = 4λ1 + 4

Sehingga

f ′ (λ2) = 4λ2 + 4 = 4(−1, 355) + 4 = −1, 42



Lanjutan Iterasi 2

karenaf ′ (λ2) = −1, 42⇒ f ′ (λ2) < 0


λ2 = a3 = −1, 355

danb2 = b3 = 0

Untuk iterasi 3



Iterasi 3

λ3 =a3 + b3

2=−1, 355 + 0

2=−1, 355

2= −0, 6775


f ′ (λ3) = 4λ3 + 4

Sehingga

f ′ (λ3) = 4λ3 + 4 = 4(−0, 6775) + 4 = 1, 29



Lanjutan Iterasi 3

karenaf ′ (λ3) = 1, 29⇒ f ′ (λ3) > 0


λ3 = b4 = 0, 6775

dana3 = a4 = −1, 355

Untuk iterasi 4



Iterasi 4

λ4 =a4 + b4

2=−1, 355− 0, 6775

2=−2, 0325

2= −1, 01625


f ′ (λ4) = 4λ4 + 4

Sehingga

f ′ (λ4) = 4λ4 + 4 = 4(−1, 01625) + 4 = −0, 065



Lanjutan Iterasi 4

karenaf ′ (λ4) = −0, 065⇒ f ′ (λ4) < 0


λ4 = a5 = −1, 01625

danb4 = b5 = −0, 6775

Untuk iterasi 5



Iterasi 5

λ5 =a5 + b5

2=−1, 01625− 0, 6775

2=−1, 69375

2

= −0, 846875


f ′ (λ5) = 4λ5 + 4

Sehingga

f ′ (λ5) = 4λ5 + 4 = 4(−0, 846875) + 4 = 0, 612570



Lanjutan Iterasi 5

karenaf ′ (λ5) = 0, 612570⇒ f ′ (λ5) > 0


λ5 = b6 = −0, 846875

dana5 = a6 = −1, 01625

Untuk iterasi 6



Iterasi 6

λ6 =a6 + b6

2=−1, 01625− (−0, 846875)

2=−1, 863125

2

= −0, 9315625


f ′ (λ6) = 4λ6 + 4

Sehingga

f ′ (λ6) = 4λ6 + 4 = 4(−0, 9315625) + 4 = 0, 27375



Lanjutan Iterasi 6

karenaf ′ (λ6) = 0, 27375⇒ f ′ (λ5) > 0


λ6 = b7 = −0, 9315625

dana6 = a7 = −1, 01625

Untuk iterasi 7



Iterasi 7

b7 − a7 = −0, 9315625 + 1, 01625 = 0, 0846875

pada iterasi ke-7

bk − ak < δ2 ⇔ 0, 0846875 < δ2

Maka iterasi berhenti pada iterasi ke-7



Lanjutan

Dengan cara metode numerik Biseksi diperoleh perhitungan sbb :

Iterasi ak bk λk f (λk) bk -ak1 -2,71 2,71 0 4 5,422 -2,71 0 -1,355 -1,42 2,713 -1,355 0 -0,6775 1,29 1,3554 -1,355 -0,6775 -1,01625 -0,065 0,67755 -1,01625 -0,6775 -0,846875 0,612570 0,338756 -1,01625 -0,846875 -0,9315625 0,27375 0,1693757 -1,01625 -0,9315625 .... .... 0,0846875



Estimasi

x∗ = a6 +b6 − a6

2= 0, 847 +

1, 01625− 0, 847

2= 0, 931625

Dengan demikian diperoleh

x∗ = 0, 931625 ≈ −1

dengan cara analitik, diperoleh nilai x yang memaksimalkan f (x)adalah x = −1


Tugas Metode Numerik Biseksi Pendidikan Matematika UMT

Science