BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Kimia, Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan. Ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam
berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia,
ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Kimia,
Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model
matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk
dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact
solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode
penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah
baku atau lazim digunakan.
Ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan
dengan metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah
persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan
akar penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang
muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana
tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit.
Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila
metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat
digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik
yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga
dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah,
kurang, kali, dan bagi) (Susy, 2006 : 3-5).
Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi,
perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut
dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan
kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri
juga relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non-
linear , jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode
Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh angka
di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu
membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi
proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat
dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995 : 3).
Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat
dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa
parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh juga dapat
ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameter (Susy,
2006 : 9).
Penyelesaian yang digunakan dalam metode Numerik adalah
penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error).
Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil
mungkin.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka permasalahan dalam
makalah ini adalah bagaimana menyelesaikan persamaan non-linear
menggunakan berbagai metode dengan program komputer.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam makalah ini adalah persamaan non-linear dalam
bentuk polinomial satu variabel.
1.4 Tujuan
Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari makalah
ini adalah mengetahui perbedaan kecepatan dan tingkat kemudahan dalam
menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari berbagai metode yang
digunakan.
1.5 Manfaat
Ada beberapa manfaat yang diharapkan dari makalah ini, diantaranya
adalah memberikan wawasan tambahan mengenai cara-cara menyelesaikan
persamaan non linear menggunakan Metode Numerik yang paling efektif dan
efisien, karena hanya dengan beberapa langkah saja sudah bisa didapatkan
apa yang diinginkan. Metode analitik tidak berlaku lagi karena terlalu
memakan banyak waktu, tenaga dan pikiran
BAB II
PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR
DENGAN METODE NUMERIK
Dalam usaha mendapatkan persamaaan matematika yang menjabarkan
model dari suatu persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai
variabel x sedemikian rupa, sehingga terpenuhi persamaan f (x) = 0 yang
digunakan dalam model. Untuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat
diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit
telah mampu memberikan solusi melalui analisis matematik.
Apa yang dimaksud dengan menentukan x hingga terpenuhi persamaan f(x)
= 0 ? secara geometri ini berarti mencari suatu titik hal mana f(x) tepat memotong
sumbu x, sehingga f(x) = 0. jika dianggap f(x) sesungguhnya memotong sumbu x,
maka dapat dicari suatu interval [a,b], sedemikian rupa sehingga f(a) dan f(b)
mempunyai tanda berbeda.
Gambar 2.1 Grafik non linier
Dengan pembatasan interval ini, secara cermat dapat dicari x = λ yang
memberikan nilai f (λ ) = 0 sebagai berikut :
1. bagi dua interval [a,b] dan evaluasi nilai f(x) pada titik tengah interval.
2. Apabila f(m) = 0 berarti x = m, bila tidak sama dicari posisi nilai m apakah
berada pada interval [a,m] atau interval [m,b] ; yaitu dengan memeriksa
perbedaan tanda :
jika f (a) dan f(m) berbeda tanda berarti λ di [a,m]
jika f(a) dan f(m) mempunyai tanda sama berarti λ
di [n,b] proses
pembagian interval dapat diulang sampai ditemukan nilai λ
yang
memberikan f(λ
) = 0.
Pada bab ini dibahas solusi dari persamaan non linear yang banyak dijumpai
dalam formulasi kasus-kasus fisika, yaitu pencarian akar persamaan (finding
roots). Disajikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti pembahasan
terletak beberapa metode komputasi numerik yang akan dibahas, yaitu metode
Successive Substitution, metode Secant, metode Newton Raphson, dan metode
Regula Falsi beserta cara menangani berbagai kasus yang disertakan.
2. 1 Successive Substitution
Metode ini mempunyai strategi yang sama dengan metode iterasi titik
tetap dan metode Gauss-Seidel. Masing-masing persamaan tak linier diselesaikan
untuk memperoleh sebuah nilai x yang tak diketahui. Sistem persamaan ini
selanjutnya diproses secara iteratif untuk menghitung nilai-nilai x yang baru, yang
diharapkan akan konvergen.
Suatu persamaan non linier tunggal dalam bentuk
f(x) = 0
Dapat ditentukan akar-akarnya dengan cara iterasi subtitusi berurut, dengan cara
sebagai berikut:
1. Mengubah persamaan menjadi bentuk
X = g(x)
2. Dimulai dengan menebak nilai x0 awal untuk mengevaluasi nilai g(x0) dan
menentukan nilai x1, kemudian lakukan iterasi.
X(i+1) = g(xi) dimana i =1,2,3,…
Sampai hasilnya tidak mengalami perubahan lagi, dimana
|x i+1−xi|≤ ϵ
Tidak semua fungsi dapat diselesaikan dengan metode successive
substitution, karena ada iterasi yang divergen. Syarat agar iterasi dijamin
konvergen, adalah:
nilai dari 1
)(
dx
xdg
, pada nilai tebakan awal xo.
Ketika lereng dg (x)/dx < 1, maka metode tersebut konvergen seperti yang
ditunjukkan pada gambar.
Ketika lereng dg (x) / dx> 1, maka metode tersebut divergen seperti yang
ditunjukkan pada gambar.
Contoh:
1. Tentukan nilai x dari persamaan berikut:
x3+2 x+2=10 e−2 x2
Jawab:
Ubah persamaan menjadi bentuk X = g(x)
X = g(x) = √−12
ln( x3+2x+210
¿)¿
Misalkan x0 = -0.5
Penyelesaian iterasi dapat dilihat pada tabel.
X g(x)
-0.5
1.10365
7
1.10365
7
0.54244
5
0.54244
5
0.75020
8
0.75020
8
0.68403
9
0.68403
9
0.70620
8
0.70620
8
0.69890
5
0.69890
5
0.70132
5
0.70132
5
0.70052
5
0.70052
5
0.70078
9
0.70078
9
0.70070
2
0.70070
2
0.70073
1
0.70073
1
0.70072
1
0.70072
1
0.70072
4
0.70072
4
0.70072
3
0.70072
3
0.70072
4
2. Temukan penyelesaian dari:
f(x)= x (tan x) - 1, Untuk 0 < x < π/2
Jawab:
Pilih tebakan awal dalam range yg dipersyaratkan, missal π/8
Cari g(x)
X=g(x)
X=1/tan x
Cek konvergensi, ternyata dx
xdg )(
>1 maka tidak dijamin
konvergen.
Di coba subtitusi x0= π/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakan
awal
Maka menghasilkan
x1=2,4142 atau 0,7 π, sehingga berada di luar range 0 < x < π/2 atau
divergen
untuk g(x) yg lain:
x=tan-1(1/x)
Cek konvergensi, ternyata dx
xdg )(
<1 maka dijamin konvergen.
Di coba subtitusi x0= π/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakan
awal.
Maka menghasilkan table iterasi
X g(x)
0.3927 1.196599
1.196599 0.696135
0.696135 0.962669
0.962669 0.804416
0.804416 0.893368
0.893368 0.841657
0.841657 0.871166
0.871166 0.854142
0.854142 0.863902
0.863902 0.858286
0.858286 0.861511
0.861511 0.859657
0.859657 0.860722
0.860722 0.86011
0.86011 0.860462
0.860462 0.86026
0.86026 0.860376
0.860376 0.860309
0.860309 0.860348
0.860348 0.860326
2.2 Metode Newton – Raphson
Metode Newton Rapshon adalah salah satu metode untuk menemukan
solusi numerik dari persamaan non linier. Metode pendekatan yang
menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope
atau gradien pada titik tersebut. Dengan konsep menggunakan iterasi
(pengulangan) mencari nilai x dengan rumus :
Xn+1=Xn−f ( Xn )f ' (Xn )
Sedangkan penentuan x awal harus memenuhi syarat sebagai berikut:
Jadi sebelum kita melakukan iterasi pencarian nilai x, terlebih dahulu
harus mencari turunan pertama dan turunan kedua sebagai syarat dengan
rumus di atas.
Gambar 2.2 Grafik metode Newton-Raphson
2.2.1 Alogaritma metode Newton Raphson
1. Definisikan fungsi f(x) dan f1(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f(x0) dan f’(x0)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(xn)|> e
Hitung f(xn) dan f1(xn)
X n+1=Xn−f ( Xn )f ' (Xn )
Akar persamaan adalah nilai xi yang terakhir diperoleh.
Contoh soal :
1) Selesaikan persamaan x - e-x = 0 dengan titik pendekatan awal x0 =0
Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:
f(x) = x - e-x à f’(x)=1+e-x
f(x0) = 0 - e-0 = -1
f’(x0) = 1 + e-0 = 2
f(x1) = -0,106631 dan f1(x1) = 1,60653
x2 =
f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762
x3 =
f(x3) = -1,96.10-7. Suatu bilangan yang sangat kecil.
Sehingga akar persamaan x = 0,567143.
x - e-x = 0 à x0 =0, e = 0.00001
2) Selesaikan persamaan x + e-x cos x -2 = 0 à x0=1
Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:
f(x) = x + e-x cos x - 2
f’(x) = 1 – e-x cos x – e-x sin x
x1=x0−f (x0)f 1( x0)
=0−−12
=0,5
x1−f (x1 )f 1 (x1)
=0,5−−0 ,1065311 ,60653
=0 ,566311
x2−f (x2 )f 1 (x2)
=0 ,566311−−0 ,001304511 ,56762
=0 , 567143
Gambar 2.3 Grafik pers. x + e-x cos x -2 = 0
3) Carilah penyelesaian persamaan di bawah ini dengan menggunakan
metode Newton Rapshon
Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:
1. Mencari turunan pertama dan kedua dari f(x), yaitu:
o
o
2. Menentukan titik awal atau X1. Misalkan X1 = 0.5, maka didapat:
o
o
o
3. Langkah selanjutnya adalah mengecek persyaratan dengan rumus:
4. Kemudian dilanjutkan dengan melakukan interasi dengan rumus :
X n+1=Xn−f ( Xn )f ' (Xn )
Dan, iterasinya adalah sebagai berikut:
Iterasi dihentikan saat nilai Xn yang didapat tidak berubah secara
signifikan atau nilai f(x) kurang dari 0.0000001. Jadi dari data di atas
didapatkan nilai x = 0.360421703.
2.2.2 Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson
Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada
pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F1(x) = 0
sehingga nilai penyebut dari sama dengan nol, secara grafis dapat