Natural science ( ILMU ALAM ) Mempelajari zat dan energi : 1. Fisika : phenomenal 2. Astronomi 3. Kimia : detail reaktif 4. Geologi 5. Biologi : implemantasi hidup Esensinya Mekanika : sebagai pemberi makna fisis (bergerak) Logika (alat komunikasi), terdiri dari : induktif ( statistik ) dan deduktif ( matematika ) Hukum laju reaksi adalah A + B P Hukum laju reaksi : V = k [A] x [B} y V = Ae -EaKbt [A] x [B} y V = c σ * e -EaKbt [A] x [B} y Untuk mencari pengaruh dari salah satu faktor, maka faktor yang lain dibuat tetap atau konstan.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Natural science ( ILMU ALAM )
Mempelajari zat dan energi :
1. Fisika : phenomenal
2. Astronomi
3. Kimia : detail reaktif
4. Geologi
5. Biologi : implemantasi hidup
Esensinya
Mekanika : sebagai pemberi makna fisis (bergerak)
Logika (alat komunikasi), terdiri dari : induktif ( statistik ) dan deduktif ( matematika )
Hukum laju reaksi adalah
A + B P
Hukum laju reaksi :
V = k [A]x [B}y
V = Ae-EaKbt [A]x [B}y
V = c σ* e-EaKbt [A]x [B}y
Untuk mencari pengaruh dari salah satu faktor, maka faktor yang lain dibuat tetap atau
konstan.
Persamaan Diferensial
1.dydx
+ sin x = 0
2.d2 ydx 2
+ y x = 0
3.d2wdx 2
+ h
mEy = 0
Untuk menyelesaikan Persamaan Dasar, dapat dilakukan dengan cara :
1. Variabel terpisah ( memisahkan variabel lalu mengintegralkannya )
F1 (x) . G2(y) dx + G1(y) . F2(x) dy = 0
Maka kedua ruas dikalikan dengan 1
g2( y) f 2(x)
f 1(x )f 2(x )
dx+g1( y)g2( y)
dy=0
∫ f 1(x)f 2(x)
dx+∫ g1( y )g2( y )
dy=∫0
F(x) + G(x) = c
Contoh :
1. x3 dx+ ( y+1 )2dy=0 variabel sudah terpisah maka langsung diintegralkan
∫ x3 dx+∫ ( y+1 )2dy=∫ 0
14
x4+ 13
( y+1 )2 dy=C agar bulat maka dikali 12
3 x4+4 ( y+1 )3=12C
3 x4+4 ( y+1 )3=C
2.dx
sin5 x+ dy
(1−sinx )=0
Dikali dengan (sin5 x ) (1−sinx )
(1−sinx )dx+sin5 x dy=0
∫ (1−sinx ) dx+∫ sin5 x dy=∫0
∫ dx+∫ dcosx+∫ (sin2 y )2sin y dy=∫ 0
x+cos x+∫ (1−cos2 y )2 dcos y=C
x+cos x+∫ (1−2cos2 y+cos4 y ) d cos y=C
Konstanta yang baru
Konstanta yang baru
x+cos x+cos y−23
cos3 y+ 15
cos5 y=C
15 x+15 cos x+15 cos y−10 cos3 y+3 cos y=C
Contoh soal
1. (1+x ) ydx+(1− y ) x dy=0 dikali dengan 1xy
(1+x ) (1+x )x
dx+(1− y ) (1− y )y
dy=0 diintegralkan
∫ (1+x ) 1x
dx+∫ (1− y ) 1y
dy=∫ 0
∫ 1x
dx+dx+n∫ 1y
dy−dy=∫0
ln x+x+ ln y− y=C
Pembuktian :
Mendifferensialkan hasilnya
d ln x+dx+d ln y−dy=dC
1x
dx+dx+ 1y
dy−dy=0
1+ x
xdx+ 1− y
ydy=0 dikali xy
(1+x ) ydx+(1− y ) x dy = 0 (TERBUKTI)
RUMUS INTEGRAL
1. ∫ eu du=eu+C
2. ∫ au du= au
ln au+C
3. ∫undu=¿ un+1
n+1+C ¿
4. ∫ lnu du=u ln u−u+C
5. ∫ duu ln u
=ln ( lnu )+C
Berkurang sebesar x tiap waktu ( t )x
6. ∫ueu du=eu(¿u−1)+C ¿
7. ∫un lnudu=un+1[ ¿un+1
−1
(n+1 )2 ]+C
A P
Ketika t = 0 maka A = a
t = t maka A = ( a-x )
maka persamaan laju reaksinya adalah :
−dAdt
=dpdt
=k [ A ]1
−d (a−x )dt
=k ( a−x )
−d (a−x)(a−x )
=k dt
∫0
x −d (a−x )( a−x )
=∫0
t
k dt
−ln ( a−x )∫0
x
¿kt∫0
t
❑
−ln ( a−x )+ln a=kt
ln a−ln ( a−x )=kt
Didapat lna
a−x=kt , maka grafiknya :
lna
a−x
------------------
t
jika t=t 12 atau waktu paroh
sehingga a ~ a/2 , sehingga persamaan menjadi
lnaa2
=k t 12
ln 2=¿k t 12
¿
0,693=k t 12
t 12=0,693
k , satuan waktu sedngkan didapat dari grafik.
lna
(a−x )=kt
a(a−x )
=ekt
(a−x )=a e−kt
At = ae−kt
A = Ao e− tℷ
ℷ=konstanta peluruhan
At = peluruhan Radioaktif
x
x
SOAL
1. A + B P
t = 0 A=a, B=a
t=t A=a-x , B=a-x
maka persamaan laju reaksinya adalah
−dAdt
=−dBdt
=dPdt
=k [ A ] [B]
−d (a−x)dt
=k ( a−x )(a−x )
∫−d (a−x )(a−x )2 =∫ k dt
−∫(a−x )−2 d ( a−x )=∫ k dt
−1−2+1
∫0
x
¿k t∫0
t
❑
1(a−x )∫0
x
¿kt∫0
t
❑
1(a−x )
−1a=kt
a−a+xa (a−x )
=kt
xa(a−x )
=kt
2. A + B + C P
t=0 A=B=C=a
t=t A=B=C=a-x
maka persamaan laju reaksinya :
−dAdt
=−dBdt
=−dCdt
=k [ A ] [B ] [C ]
−d (a−x)dt
=k ( a−x ) (a−x )(a−x )
−d (a−x )dt
=k ( a−x )3
−d (a−x)(a−x)3 =k dt
∫−d (a−x )(a−x )3 =∫ k dt
−(−12
(a−x )−2)∫0
x
¿k t∫0
t
❑
12(a−x)2∫
0
x
¿kt∫0
t
❑
1
2(a−x)2− 1
2a2=kt
PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN TINGKAT 1
f (x,y) = f (ƛx1 . ƛy) = ƛ f (x1.y)
Soal
(x2 +y2) dx = 2xy dy
x ƛ
[ ƛ x2 + ƛ y2] dx = 2xy dy
[(ƛx)2 + (ƛy)2] dx = 2 (ƛx) (ƛy) dy
[ƛ2 x2 + ƛ2y2] dx = 2 (ƛ2 xy) dy
ƛ2 (x2 + y2) dx = ƛ2 2xy dy
(x2 + y2) dx = 2xy dy
: x2
(1 + y2/ x2) dx = 2y/x dy
Misal : y = u x dy = u dx + x du
u = y/x
(1 + u2) dx = 2u (u dx + x du)
(1 + u2) dx = 2u2 dx + 2 ux du
(1 + u2 ) dx - 2u2 dx - 2 ux du = 0
(1 + u2 - 2u2) dx – 2 ux du = 0
[(1 - u2 ) dx - 2 ux du] = 0 ditukar
dx / x – 2u / 1-u2 du = 0
ʃ dx / x - ʃ 2u / 1-u2 du = 0
ln x + ln (1 - u2 ) = ln C
ln x (1 - u2 ) = ln C
x (1 - u2 ) = C
x (1- (y/x)2) = C
{x( 1- y2/x2) = C} : x2
x / x2 (x2 - y2) = C
[x2 - y2 / x] = C dikali x
x2 - y2 = C x
Contoh Soal
1. (x3 + y3) dx – 3xy2 dy = 0
[(x3 + y3) dx = 3xy2 dy] : x3
(1 + y3 / x3 ) dx = 3 y2 / x2 dy
Misal :
y = u x ; dy = u dx + x du
u =y /x
(1 + u3) dx = 3 u2 (u dx + x du)
(1 + u3) dx = 3 u3 dx + 2 u2 x du
(1 + u3) dx - 3 u3 dx - 3 u2 x du = 0
(1 + u3 - 3 u3) dx - 3 u2 x du = 0
[(1-2u3) dx – 3u2x du = 0] ditukar
dx/x – 3u2 / (1-2u3) du = 0
ʃ dx / x -ʃ 3u2 / (1-2u3) du = ʃ 0
ln x + ½ ln (1-2u3) = ln C
2 ln x + ln (1-2u3) = ln C
ln x2 (1-2u3) = ln C
x2 (1-2u3) = C
x2 (1-2 (y/ x)3 ) =C
{ x2 (1-2 y3/ x3 ) = C} dibagi x3
x2 / x3 (x3 – 2y3) = cx3
[ 1/x (x3 – 2y3) = C] dikali x
x3 – 2y3 = Cx
2. (2x + 3y) dx + (y – x) dy = 0
[ (2x + 3y) dx = - (y – x) dy ] dibagi x
(2 + 3y / x) dx = -y /x + 1 dy
Misal :
y = ux ; dy = u dx + x du
u = y/x
(2 + 3u) dx = -u +1 (u dx + x du )
(2 + 3u) dx = -u +1 (u dx + x du )
(2 + 3u) dx = -u2 dx – u x du + u dx + x du
(2 + 3u) dx + u2 dx + u x du - u dx - x du = 0
(2 + 3u + u2 – u) dx + (ux – x) du = 0
dx / ux – x + du / 2+3u+u2 = 0
ʃ dx / ux-x + ʃ du / 2+3u+u2 = ʃ 0
PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINEAR TINGKAT 1
dydx
+P (x) y=g(x )
ye∫p ( x ) dx → y = U.V
dy = U.dV + V.dUdydx
e∫ p ( x ) dx = y.de∫p ( x ) dx + e∫ p ( x ) dx dy
dx
= y p(x)e∫ p ( x ) dx + e∫ p ( x ) dx dydx
= e∫ p ( x ) dx [ y p ( x )+ dydx ]
= e∫ p ( x ) dx [ dydx
+ p(x ) y ]= e∫ p ( x ) dx
Q(x )
= Q ( x ) . e∫ p ( x ) dxdx
∫ dye∫p ( x )dx = ∫Q( x)e∫ p ( x ) dx
dx
y e∫p ( x ) dx = ∫Q( x)e∫ p ( x ) dx
dx+c
Contoh soal :dydx
− y=2ex
y. e∫ p ( x ) dx = ∫Q ( x ) e∫ p (x ) dxdx+c
ye−∫ dx=∫2ex . e
−∫dxdx+c
ye∫−x=∫2ex . e− xdx+c
ye− x = ∫ dx+c
ye− x=2x+c
y=2x ex+c ex
dydx
=2 [x ex+ex ]+ c ex
dydx
− y=2ex
2 ( x ex+ex)+C ex−(2 x ex+C ex )=2e x
2 xex+2ex−2 x ex−C ex=2e x
2ex = 2ex
Soal
1.dydx
+ 3x2y = x . e− x3
Jawab :
1.dydx
+ 3x2y = x . e− x3
y . e∫p ( x ) dx = ∫Q( x) . e∫ p ( x ) dxdx + C
y . e∫3 x2dx = ∫ x . e−x 3 . e∫
3 x2dxdx+C
y . ex 3 = ∫ x . e−x 3 . ex 3 dx+C
y . ex 3 = 12
x2 + C
y = 12
x2 . e− x3+C .e− x3
PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI
dydx
+ p ( x ) y=Q(x ) ynmisal :
y−n dydx
+ p ( x ) y(−n+1)=Q(x ) u= y(−n+1)
1(−n+1)
dydx
+p (x ) u=p (x) dudx
= (-n+1)y−n dy
dx
y−n dydx
= 1(−n+1)
dydx
contoh :
dydx
− y=x y5
Jawab :
dydx
− y=x y5
y−n dydx
− y−4=x
misal
y−4=u
-4dudx
−u=xdudx
=−4 y−5 dydx
dudx
+4u=−4 x -4dudx
= y−5 dydx
u . e∫4dx = ∫−4 x . e∫
4dx. dx+c
u . e4x=∫−4.e4x dx+c
u . e4x=−∫ x d e4x+c
¿ [x e4x−∫ e4x dx ]+c
u . e4x=−[ xe4 x−14
e4 x]+c
:e4 x
u=−x+ 14+c . e−4 x
y−4=−x+ 14+c . e−4 x
Pembuktian:
dy−4=d(−x+ 14+c .e−4 x)
−4 y−5 dy=(−1−4 c . e−4 x ) dx
−4 y−5 dydx
=(−1−4 c . e−4 x )
: -4
y−5 dydx
=( 14+c . e−4 x)
( 14+c . e−4 x)— x+( 1
4+c . e−4x )=x
x=x (Terbukti)
Soal
1.dydx
+xy=x3 y3
2. Sin y dydx
=cos y (1−xcos y )
3.dydx
+ y tg x= y3 sec6 x
4.dydx
+ yctg x= y2 cos2 x
Jawaban
1.dydx
+xy=x3 y3
y−3 dy
dx + xy−2 =x3
Misal :
y−2 = u
dudx
= -2 y−3 dy
dx
−du2dx
+ xu = x3
dudx
−2 xu=−2x3
u x ∫−2 xdx= ∫−2 x3e ∫−2x3 dx
ue− x2= ∫ −2 x3e− x2 dx + c
= ∫ −2 x2 x e−x 2 dx + c
=∫x2 de− x2 + c
=x2 e−x 2− ∫ e− x2 dx2
=x2 e−x 2− ∫ 2 x . e−x 2 dx
= x2 e−x 2+ ∫ de−x 2
= x2 e−x 2+e−x 2 + c
U = x2+ 1 + cex 2
y−3 = x2 + 1 + cex 2
PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK
F(x,y) = C
dF(x,y) = (∂F∂ x
)y dx + (∂F∂ y
)x dy
0 = (∂F∂ x
)y dx + (∂F∂ y
)x dy
(∂F∂ x
)y = M(x,y) (∂F∂ y
)x = N(x,y)
(∂F∂ x
)y dx + (∂F∂ y
)x dy = 0
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
(∂ M∂ y
)x = (∂N∂ x
)y
(∂F∂ x
)y = M(x,y)
∫ dF = ∫M (x,y) dx + h(y)
F(x,y) = ∫M (x,y) dx + h(y)
(∂F∂ x
) = ∂
∂ y ∫M (x,y) dx + d
h( y )dy
N(x,y)= ∂
∂ y ∫M (x,y) dx +
dh( y )dy
dh(y) = [N(x,y) - ∂
∂ y ∫M (x,y)dx]dy
h(y) = ∫¿¿N(x,y) - ∂dy∫M(x,y)dx]dy
F(x,y) = ∫M (x,y)dx + ∫N(x,y) - ∂
∂ y ∫M (x,y)dx]dy
nRV
dT - nRTV 2
dV = 0
M(T,V) = nRV
N(T,V) = - nRTV 2
(∂ M∂V
)T = - nRV 2
(∂N∂T
)V = -nRV 2
(∂ M∂V
)T = (∂N∂T
)V
(∂F∂T
)V = M(T,V)
∫ dF = ∫ nRV
dT + h(V)
F(T,V) = nRTV
+ h(V)
N(T,V)
(∂ F∂V
)T = - nRTV 2
+ dh (V )
dV
- nRTV 2
= - nRTV 2
+ dh (V )
dV
0 = dh (V )
dV = h(V) = 0
F(T,V)= nRTV
+ 0
P = nRTV
→ PV = nRT
SOAL
1. (3e3xy-2x)dx + e3xdy = 0
2. (y2exy2 + 4x3)dx + (2xyexy2 – 3y2)dy = 0
JAWABAN
1. (3e3xy-2x)dx + e3xdy = 0
M(x,y) = 3e3xy-2x N(x,y) = e3x
(∂ M∂ y
)x = 3e3x (∂N∂ x
)y = 3e3x
(∂ M∂ y
)x = (∂N∂ x
)y
(∂F∂ x
)y = M(x,y) (∂F∂ y
)x = M(x,y)
∫ dF = ∫M (x,y)dx + h(y)
∫ dF = ∫¿¿3e3xy-2x)dx + h(y)
F(x,y) = 3/3e3xy-x2 + h(y)
F(x,y) = e3xy-x2 + h(y)
Mencari nilai h(y) dengan cara mendiferensial secara parsial
persamaan tersebut terhadap x :
(∂F∂ y
)x = e3x + dh( y )
dy
e3x = e3x + dh( y )
dy
0 = dh( y )
dy
h(y) = 0
Jadi, hasilnya adalah....
F(x,y) = e3xy-x2 + h(y)
F(x,y) = e3xy-x2
2. (y2exy2 + 4x3)dx + (2xyexy2 – 3y2)dy = 0
M(x,y) = y2exy2 + 4x3 N(x,y) = 2xyexy2 – 3y2
= UdV + VdU = UdV + VdU
= y2.2xyexy2 + 2y.exy2 = 2xy.y2exy2 + 2y.exy2
= 2xy3exy2 + 2yexy2 = 2xy3exy2 + 2yexy2
(∂ M∂ y
)x = 2xy3exy2 + 2yexy2 (∂N∂ x
)y = 2xy3exy2 + 2yexy2
(∂ M∂ y
)x = (∂N∂ x
)y
(∂F∂ x
)y = M(x,y) (∂F∂ y
) = N(x,y)
∫ dF = ∫M (x,y)dx + h(y)
∫ dF = ∫¿¿2exy2 + 4x3)dx + h(y)
F(x,y) = y2.1/y2exy2 + x4 + h(y)
Mencari nilai h(y) dengan cara mendiferensialkan secara parsial
persamaan tersebut terhadap y menjadi...
[∂F∂ y
]x = 2xyexy2 + dh( y )
dy
N(x,y) = 2xyexy2 + dh( y )
dy
2xyexy2 – 3y2 = 2xyexy + dh( y )
dy
– 3y2 = dh( y )
dy
dh(y) = -3y2dy
h(y) = ∫−3y2dy
h(y) = -3.1/3y3
h(y) = -y3
maka hasilnya adalah..
F(x,y) = exy2 + x4 + h(y)
F(x,y) = exy2 + x4 – y3
Pembuktian
Dengan mendiferensialkan hasil secara parsial terhadap x dan y....
F(x,y) = exy2 + x4 – y3
[∂F∂ x
]y = y2exy2 + 4x3
[∂F∂ y
]x = 2xexy2 – 3y2
dF(x,y) = [∂F∂ x
]y dx + [∂F∂ y
]x dy = 0
dF(x,y) = (y2exy2 + 4x3)dx + (2xyexy2 – 3y2)dy
PERSAMAAN DIFFERENSIAL TIDAK EKSAK
Bentuk Umum Persamaan Differensial Tidak Eksak:
m ( x , y ) dx+N ( x , y ) dy=0
( ∂m∂ y )x ≠( ∂ N
∂ x ) y
( ∂m∂ y )x−( ∂ N
∂ x ) y≠ 0
Maka untuk menyelesaikannya harus diubah terlebih dahulu menjadi Persamaan
Differensial Eksak dengan cara mengalikannya dengan faktor integral dari persamaan
tersebut.
Beberapa faktor integral diantaranya:
Jika:
1. ( ∂m∂ y
−∂ N∂ x
N )=f ( x ) ,maka faktor integralnya fi=e∫ f (x)dx
2. ( ∂m∂ y
−∂ N∂ x
m )=f ( y ) ,maka faktor integralnya fi=e−∫ f ( y)dy
3. mx+Ny ≠ 0 ,maka faktor integralnya fi= 1mx+Ny
4. y f ( x , y ) dx+x g ( x , y )dy=0
f ( x , y )≠ g ( x , y ) ,maka faktor integralnya fi= 1mx−Ny
5. Dll
Contoh :
1. (x¿¿2+ y2+x)dx+xy dy=0¿
Jawab :
(x¿¿2+ y2+x)dx+xy dy=0¿
m ( x , y )= x2+ y2+x N ( x , y )= xy
(∂ M∂ y
¿ x = 2 y (∂N∂ x
¿ y = y
∂ M∂ y
≠∂ N∂ x
persamaan diferensial tidak eksaks.
Maka harus mencari faktor integralnya dulu:
∂ M∂ y
−∂N∂ x
N=
2 y− yxy
¿ yxy
¿1x f ( x )
fi¿e∫ 1
xdx
= e ln x
fi = x
Untuk dijadikan persamaan eksaks, maka dikalikan dengan faktor integralnya :
x [(x¿¿2+ y2+x)dx+xy dy¿=0
( x3+x y2+x2 ) dx+ x2 y dy=0
m ( x , y )= x3+x y2+x2 N ( x , y ) = x2 y
( ∂ M∂ y )x=2xy ( ∂ N
∂ x ) y=2 xy
∂ M∂ y
=∂ N∂ x
eksaks.
(∂F∂ x
¿ y = m ( x , y ) ; (∂F∂ y
¿ x = N ( x , y )
dF=m ( x , y ) dx
∫ df =∫ ( x3+x y2+x2 ) dx+h( y )
F ( x,y ) = 14
x4+ 12
x2 y2+ 13
x3+h( y )
Selanjutnya mencari nilai h(y) dengan cara mendifferensialkan fungsi diatas secara
parsial terhadap y:
(∂F∂ y
¿ x = x2 y + dh( y )
dy
x2 y = x2 y + dh( y )
dy
dh( y ) = 0 dy
h ( y ) = 0
Maka hasilnya menjadi:
F ( x,y ) = 14
x4+ 12
x2 y2+ 13
x3+h( y )
= 14
x4+ 12
x2 y2+ 13
x3+0
= 14
x4+ 12
x2 y2+ 13
x3
Pembuktian :
Dibuktikan dengan cara mendifferensialkan hasilnya secara parsial terhadap x
maupun y:
14
x4+ 12
x2 y2+ 13
x3 = F ( x,y )
(∂F∂ x
¿ y = ( x3 + xy2 + x2 ) ; (∂F∂ y
¿ x = x2y
d F ( x , y )=( ∂ F∂x ) y dx+( ∂ F
∂ y ) xdy=0
= ( x 3 + xy 2 ) dx + x 2 y dy = 0 : x
= (x2 + y2 + x ) dx + xy dy = 0 terbukti
Soal :
1. (2 x y 4 . e y+2 x y3+ y ) dx+( x2 y 4 .e y−x2 y2−3 x ) dy=0
f. Integral = f(y)
2. (2 x3 y2+4 x2 y+2 x y2+x y 4+2 y ) dx+2 ( y3+x2 y+x ) dy=0 f. Integral = f(x)
3. ( x4+ y 4 ) dx−x y3dy=0 f. Integral = 1
mx+Ny
Jawab :
1. (2 x y 4 . e y+2 x y3+ y ) dx+( x2 y 4 .e y−x2 y2−3 x ) dy=0
m ( x , y )=2 x y 4 .e y+2 x y3+ y
N ( x , y )=x2 y4 . e y−x2 y2−3 x
( ∂m∂ y )x=8 x y3 . ey+e y 2x y4+6 x y2+1
( ∂ N∂ x ) y=2 x y 4 . e y−2 x y2−3
( ∂m∂ y )x ≠( ∂ N
∂ x ) y
maka harus mencari faktor integralnya :
∂m∂ y
−∂N∂ x
m=
8 x y3 . e y+ey 2x y4+6 x y2+1−(2x y4 . e y−2x y2−3)2 x y4 . ey+2 x y3+ y
¿ 8 x y3 e y+8 x y2+42x y4 e y+2x y3+ y
¿4(2 x y3 . e y+2x y2+1)y (2x y3 .e y+2 x y2+1)
¿ 4y
¿4 y−1
maka fi=e−∫ f ( y ) dy
¿e−∫ 4 y−1 dy
¿e−4 ln y
¿e ln y−4
fi= 1
y4
sehingga :
1
y4 [(2 x y 4 . e y+2 x y3+ y ) dx+( x2 y 4 .e y−x2 y2−3 x ) dy=0 ]
¿ (2 xe y+2 x y−1+ y−3 ) dx+( x2 e y−x2 y−2−3 x y−4 ) dy=0
m ( x , y )=2 x ey+2 x y−1+ y−3
N ( x , y )=x2 e y−x2 y−2−3x y−4
( ∂m∂ y )x=2x e y−2 x y−2−3 y−4
( ∂ N∂ x ) y=2 xe y−2 x y−2−3 y−4
( ∂m∂ y )x=( ∂ N
∂ x ) y pers. Differensial eksaks.
(∂F∂ x
¿ y = m ( x , y ) ; (∂F∂ y
¿ x = N ( x , y )
( ∂ F∂ x ) y=2x e y+2x y−1+ y−3
dF=2 x e y+2 x y−1+ y−3 dx
∫ dF=∫ (2x e y+2x y−1+ y−3 ) dx+h( y)
F ( x , y )=x2e y+x2 y−1+ y−3+h( y )
persamaan inididifferensialkan secara parsial terhadap y
( ∂ F∂ y )x=x2 e y+(−x2 y−2 )−3x y−4+
d h( y)dy
N ( x , y )=x2 e y−x2 y−2−3xy−4+d h( y )
dy
x2 ey−x2 y−2−3 x y−4= x2 e y−x2 y−2−3 x y−4+dh( y)
dy
0=dh ( y)
dy
h ( y )=0
maka persamaannya menjadi :
F ( x , y )=x2e y+x2 y−1+ y−3+h( y )
¿ x2e y+x2 y−1+ y−3+0
¿ x2e y+x2 y−1+ y−3
Pembuktian :
Dengan cara mendifferensialkan hasil diatas secara parsial terhadap x
maupun terhadap y:
F ( x , y )=x2e y+x2 y−1+ y−3
( ∂ F∂ x ) y=2x e y+2x y−1+ y−3
( ∂ F∂ y )x=x2 e y−x2 y−2−3x y−4
d F ( x , y )=( ∂ F∂x ) y dx+( ∂ F
∂ y ) xdy=0
¿ (2 xe y+2 x y−1+ y−3 ) dx+( x2 e y−x2 y−2−3 x y− 4 ) dy=0
terbukti
2. (2 x3 y2+4 x2 y+2 x y2+x y 4+2 y ) dx+2 ( y3+x2 y+x ) dy=0