1
Jan 22, 2016
1
Aljabar Linear 2
Determinan Matriks
Sub Pokok BahasanDeterminan MatriksDeterminan dengan Ekspansi KofaktorSifat Determinan
Aplikasi penggunaan determinan Beberapa Aplikasi Determinan
Solusi SPL Optimasi Model Ekonomi dan lain-lain
Aljabar Linear 4
Definisi Determinan Matriks
Hasil kali elementer A hasilkali n buah unsur A tanpa ada pengambilan unsur dari baris/kolom yang sama.Contoh :
Ada 6 (3!) hasil kali elementer dari matriks A, yaitu:a11 a22 a33, a11 a23 a32 , a12 a21 a33 ,
a12 a23 a31 , a13 a21 a32 , a13 a22 a31
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
11
21111
11111
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
Aljabar Linear 5
Hasil kali elementer bertandaa11 a22 a33
– a11 a23 a32
– a12 a21 a33
a12 a23 a31
a13 a21 a32
– a13 a22 a31
Jadi, Misalkan Anxn maka determinan dari matriks A didefinisikan sebagai jumlah dari semua hasil kali elementer bertanda matriks tersebut.
Notasi : Det(A) atau |A|
Perhatikan…Tanda (+/-) muncul sesuai hasil
klasifikasi permutasi indeks kolom, yaitu : jika genap + (positif) jika ganjil - (negatif)
Aljabar Linear 6
Contoh : Tentukan Determinan matriks
Jawab :Menurut definisi :Det(A3x3) = a11 a22 a33 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 +
a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a13 a22 a31
atau
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
2331
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
Aljabar Linear 7
Contoh :Tentukan determinan matriks
Jawab :
122
011
123
B
122
011
123
det
B
)1)(1)(2()2)(0)(3()2)(1)(1()2)(1)(1()2)(0)(2()1)(1)(3(
202203
1
22
11
23
Aljabar Linear 8
bcaddc
baA
det)det(
Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkar
Lambang determinan matrik A adalah det(A) atau A
Dengan menggunakan determinan matrik 2x2 ini, akan didefinisikan determinan matrik yang berordo yang lebih besar
Aljabar Linier 9
332112322311312213322113312312332211
333231
232221
131211
)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
A
det(A)= )()1()()1()()1( 3122322131
133123332121
123223332211
11 aaaaaaaaaaaaaaa
det(A)=3231
22213113
3331
23212112
3332
23221111 )1()1()1(
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
det(A)= )()1()()1()()1( 3112321132
233113331122
223213331212
21 aaaaaaaaaaaaaaa
det(A)= 3231
12113223
3331
13112222
3332
13121221 )1()1()1(
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa
Dari kenyataan di atas dapat dirumuskan berikut:
21/04/23 19:03 MA-1223 Aljabar Linear 10
Determinan dengan ekspansi kofaktorMisalkan
Beberapa definisi yang perlu diketahui :
• Mij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A.Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
:::
...
...
21
22221
11211
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A 1
1 0
2 1
maka 13 M
Aljabar Linear 11
• Cij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)i+j Mij
Contoh :
maka
= (– 1)3 .2 = – 2
2 1
0 1 1 12
12C
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Aljabar Linear 12
Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor :
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i
det (A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + . . . + ain Cin
• Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j
det (A) = aij C1j + a2j C2j + . . . + anj Cjn
Contoh 6 :Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor :
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Aljabar Linear 13
Jawab :Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3
= a31 C31 + a32 C32 + a33 C33
= 0 – 2 + 6 = 4
3
133)det(
jjjcaA
23)1(10 1 1
0 2 33)1(2 2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Aljabar Linear 14
Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-3
= a13 C13 + a23 C23 + a33 C33
= 0 – 2 + 6 = 4
3
133)det(
iii caA
32)1(10 1 0
1 2 33)1(2 2 1
1 2
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
Aljabar Linear 15
Sehingga matriks kofaktor dari A :
Maka matriks Adjoin dari A adalah :
1- 1 1
2- 1 2
2 1- 1-
C
1- 2- 2
1 1 1-
1 2 1-
)( TCAadj
Aljabar Linear 16
Latihan Bab 2
1. Tentukan determinan matriks dengan determinan/cramer dan ekspansi kofaktor
dan
2. Diketahui :
dan
Tunjukan bahwa : det (A) det (B) = det (AB)
211
121
112
P
144
010
023
Q
200
043
012
A
105
217
311
B
Aljabar Linear 17
3. Diketahui :
Tentukan k jika det (D) = 29
4. Diketahui matriks
Jika B = A-1 dan At merupakan transpos dari A. Tentukan nilai
43
101
51
k
k
D
543
012
001
A
BA
BAx
tdet
5det2det 2
Aljaar Linear 18
Sifat-sifat determinan
1. det(AB)=det(A)det(B)2. det(AT)=det(A)3. Jika A matrik diagonal, maka det(A)=a11a22...ann
{perkalian dari semua entri pada diagonal utama}4. Jika A matrik segitiga, maka det(A)=a11a22...ann
{perkalian dari semua entri pada diagonal utama}5. Jika Anxn, maka det(kA)=kndet(A)6. det(A-1)=1/det(A)7. Jika A memuat baris nol atau kolom nol, maka
det(A)=0
Aljabar Linear 19
Sifat-sifat determinan
8. Terhadap operasi baris elementer, determinan mempunyai sifat, sebagai berikut:
a. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara mengalikan satu baris dari A dengan konstanta k0, maka det(A’)=k det(A)
b. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menukar dua baris, maka det(A’) = - det(A)
c. Jika A’ diperoleh dari A dengan cara menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain, maka det(A’)=det(A)
9. Jika A memuat dua baris yang saling berkelipatan atau dua kolom yang saling berkelipatan, maka det(A)=0