Tugas Matematika Industri 1 Integral

A. INTEGRALIntegral merupakan kebalikan atau invers dari proses diferensiasi atau turunan sehingga integral disebut juga anti diferensiasi. Integral dilambangkan dengan yang merupakan lambang untuk menyatakan kembali F(x) dari F(x). Secara umum integral dari sebuah fungsi terhadap variable tertentu dapat disajikan dalam bentuk sebagai berikut:

Untuk menentukan integral dari suatu fungsi, secara umum dapat ditentukan dengan menggunakan aturan di bawah ini.

Contoh :Tentukan nilai !Jawab : Integral dibagi menjadi dua macam, yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Perbedaan dari keduanya adalah integral tentu memiliki batas atas dan batas bawah dan biasanya integral tentu digunakan untuk mencari luas dan volume benda putar.

1. INTEGRAL TAK TENTUIntegral tak tentu adalah integral yang tidak ada batasnya atau tidak memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tak tentu atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru, fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu.Berikut adalah sifat sifat dari integral tak tentu, yaitu:a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m.

Contoh: Diketahui dan . Tentukan nilai !Jawab:

Jadi, nilai

Integral Tak Tentu TrigonometriUntuk memahami integral tak tentu trigonometri, maka perlu mengingat kembali turunan dari beberapa fungsi trigonometri, yaitu:Jika f(x) = sin x maka f(x) = cos xJika f(x) = cos x maka f(x) = sin x Sehingga dari turunan fungsi trigonometri tersebut dapat ditentukan integral setiap fungsi trigonometri, yaitu:

Sedangkan untuk fungsi trigonometri yang lain adalah mengikuti aturan sebagai berikut:a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q.

Contoh:Tentukan nilai !Jawab:

2. INTEGRAL TENTUIntegral tentu adalah pengintegralan yang digunakan pada aplikasi inetgral. Dalam aplikasi tersebut dikenal istilah batas bawah dan batas atas integral. Batas bawah dan batas atas inilah yang menjadi ciri dari integral tentu. Berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas, pada integral tentu ada nilai yang harus disubtitusi sehingga menyebabkan tidak ada lagi nilai C (konstanta) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu. Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dapat dirumuskan sebagai berikut:

Bentuk dapat dinyatakan dalam bentuk kurung siku, sehingga integral tertentu dari , dengan batas interval hingga , dapat ditulus menjadi:

Berikut adalah sifat sifat umum dari integral tentu, yaitu antara lain:a. b. c. d. e. f.

Contoh:Tentukan nilai dari !Jawab:

B. TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN1. TEKNIK SUBTITUSIa) Subtitusi Dalam Integral Tak TentuTeorema:Misal g adalah fungsi yang terdiferensialkan dan F adalah suatu anti turunan dari f, jika u = g(x) maka:

Contoh:Tentukan nilai dari !Jawab:Misal maka Sehingga:

b) Subtitusi Dalam Integral TentuTeorema:Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, maka:

Contoh:Hitunglah nilai dari !Jawab:Misal maka Sehingga:

2. PENGINTEGRALAN PARSIALPengintegral parsial adalah cara menyelesaikan integral yang memuat perkalian fungsi dan tidak dapat diselesaikan secara substitusi biasa, dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula. Integral parsial ini digunakan untuk integral perkalian.Rumus pengintegralan parsial adalah sebagai berikut:

Contoh: Jika turunan dari adalah , maka . Dari rumus tersebut carilah nilai !Jawab:Misal dan maka dan Sehingga:

3. PENGINTEGRALAN YANG MEMUAT BENTUK Untuk menyelesaikan bentuk harus dengan memisalkan atau sehingga jika maka . Rumus umum dari pengintegralan tersebut adalah sebagai berikut:

Contoh:Tentukan hasil dari !Jawab:Misal maka dan Sehingga:

C. PENGGUNAAN INTEGRAL 1. PENGGUNAAN INTEGRAL TAK TENTUIntegral tak tentu dapat dugunakan untuk menentukan persamaan dari suatu kurva dengan menggunakan gradiennya. Gradien dari suatu kurva merupakan turunan dari persamaan kurva sehingga gradien kurva adalah

Contoh: Diketahui turunan suatu persamaan kurva adalah . Tentukan persamaan kurvanya jika kurva tersebut melalui titik (2, 5)!Jawab:

Kurva melalui titik (2, 5)

Jadi, persamaan kurvanya adalah

Integral tak tentu juga dapat digunakan untuk menentukan jarak suatu benda jika diketahui kecepatannya dan juga menentukan kecepatan benda jika diketahui percepatannya.Contoh: Dari suatu benda yang bergerak ditentukan percepatannya adalah dengan percepatan dan waktu. Jika pada detik ke 1 kecepatan benda adalah 2 m/s dan pada detik ke 3 benda tersebut menempuh jarak (s) 2 m. Tentukan rumus untuk jarak (s)!Jawab:

Diketahui untuk , . Maka:

Sehingga persamaan untuk kecepatan adalah Karena kecepatan merupakan turunan dari jarak maka:

Diketahui untuk , . Maka:

Jadi, rumus untuk jarak adalah

2. PENGGUNAAN INTEGRAL TENTUIntegral tentu digunakan untuk menentukan luas daerah dan volume benda putar.a. Luas Daerah Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu Sumbu KoordinatUntuk menentukan luas daerah di antara kurva dengan sumbu sumbu koordinat, ada beberapa kemungkinan, yaitu:1. Jika (Kurvanya di atas sumbu x)yy=f(x)

0 abx

2. Jika (Kurvanya di atas sumbu x)y0 abx y=f(x)

3. Jika dan (Kurvanya sebagian di bawah sumbu x dan sebagian lainnya di atas sumbu x)

y y=f(x)

0 ac b x

4. Jika (Kurvanya di sebelah kanan sumbu y)yd cx=g(y)0 x

5. Jika (Kurvanya di sebelah kanan sumbu y) y d x=g(y) cx 0

6. Jika dan (Kurvanya sebagian di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya di sebelah kanan sumbu y)yd x=g(y)e c0 xContoh:Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva , sumbu dan !Jawab:

satuan luas

Luas Daerah Antara Dua KurvaUntuk menghitung luas daerah antara dua kurva, luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan pada interval [a, b] dengan adalah1. Luas daerah antara dua kurva di atas sumbu xy y=f(x) y=g(x)

0 abx

2. Luas daerah antara dua kurva di bawah sumbu xy0 abx y=f(x)

Contoh:Tentukan luas daerah antara kurva dan !Jawab: y

-2 1 0 x

b. Volume Benda Putar Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu xVolume benda putar yang dibatasi oleh kurva , garis garis x = a, x = b dan sumbu x yang diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah:

y = f(x)

0a b x

Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu ySama seperti menghitung volume benda putar mengelilingi sumbu x, volume benda putar yang dibatasi oleh kurva , garis garis y = c, y = d dan sumbu y yang diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah:

Volume Benda Putar Antara Dua Kurva1. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva dan dalam interval diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600 adalah:

y y=f(x) y=g(x)0 abx

2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva dan dalam interval diputar mengelilingi sumbu y sejauh 3600 adalah:

ya y=g(x)x=f(x)b0 abxBerikut adalah contoh penggunaan integral tentu dalan perhitungan volume benda putar, yaitu:Daerah yang dibatasi oleh kurva , , dan sumbu y diputar mengelilingi sumbu x sejauh 3600. Berapakah volume benda putar yang terjadi?Jawab: Dibatasi sumbu y maka ; sehingga batas bawah = 0 dan atas = 1Maka:

DAFTAR PUSTAKA

Hendrijanto. 2011. Integral dalam mazhend.edublogs.org/files/2011/04/ modul-semester-1-10zp9ml.doc di unduh pada Minggu, 30 Desember 2012 jam 12.30.Indah. 2003. Rumus Integral dan Keterangannya dalam http://carapedia. com/rumus_integral_keterangannya-info3383.html diunduh Kamis, 27 12 12 jam 11.30.Indrawati, Eny. 2010. Integral dalam http://olalanenymoo.files.wordpress. com/2010/06/klik-materi-integral.doc diunduh pada Minggu, 30 Desember 2012 jam 12.15.Joko. 2008. Integral Tak Tentu dan Integral Tentu dalam jokosby.files.wordpress.com/2008/02/integral-plpg.doc diunduh pada Selasa, 01 Januari 2013 jam 09.50Kurnianingsih, Sri dkk. 2008. Matematika SMA dan MA untuk Kelas XII Semester 1 Program IPA. Jakarta: ESIS.Sunardi, dkk. 2008. MATEMATIKA 3 SMA/MA Program IPA. Jakarta: BUMI AKSARA.