Tugas Kalkulus 2Dosen Pembimbing Ervina Maret, S.Si,M.Pd.
INTEGRAL
Disusun oleh:
SETIYONO Nim. 10211060 II B
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER
STT DHARMA ISWARA MADIUNTahun Akademik 2011KATA PENGANTAR
Pertama-tama penulis mengucapkan rasa syukur pada Allah SWT yang telah memberikan kesehatan dan kesempatan pada penulis untuk menyelesaikan makalah bidang studi Kalkulus 2 dengan judul Integral. Makalah ini berjudul Integral. Dengan makalah ini pembaca bisa mengetahui pengertian Integral, integral tak tentu, integral dengan cara substitusi, Integral dengan cara Integrasi, Integral dengan cara Parsial dan Integral tertentu. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang turut membantu menyelesaikan Makalah ini, khususnya kepada guru bidang studi Kalkulus yang telah memberikan teori-teori dan pengalaman dalam bidang studi Kalkulus, sehingga banyaknya masukan-masukan yang penulis terima. Walaupun penulis sudah berusaha sesuai dengan pengetahuan, pengalaman atau kemampuan penulis, namun penulis masih merasakan adanya kekurangan-kekurangan, sehingga saran-saran atau masukan-masukan sangat penulis harapkan. Mudah-mudahan Makalah ini bermanfaat bagi pembaca terutama penulis.
Penulis
2
DAFTAR ISIHALAMAN JUDUL ............................................................................................ KATA PENGANTAR .......................................................................................... DAFTAR ISI ........................................................................................................ BAB I BAB II BAB III PENDAHULUAN ............................................................................. PEMBAHASAN ................................................................................ KESIMPULAN ................................................................................. i ii iii 1 2 14 15
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................
1
2
BAB I PENDAHULUANIntegral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi
diferensiasi. Lambang integral adalah Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas. Konsep integral tentu dan tak tentu untuk fungsi vektor dirancang dengan memanfaatkan sebanyak mungkin informasi dari integral tentu dan tak tentu untuk fungsi real. Sebelum konsep penting ini dibahas, kita ingat kembali bahwa integral tentu untuk fungsi real diperkenalkan sebagai limit jumlah Riemann sedangkan integral tak tentunya diperkenalkan sebagai kebalikan dari diferensial.
BAB II PEMBAHASAN
1
1.
Integral Tak TentuIntegral sering desebut dengan anti turunan. Hal ini karena memang integral diperoleh dengan membalik turunan. Perhatikan hitungan berikut: y = x5 maka y' = 5x4 y = x5 + 2 maka y' = 5x4 y = x5 + 100 maka y' = 5x4 y = x5 - 100 maka y' = 5x4 Jika bentuk ini dibalik dari kanan ke kiri maka diperoleh
dengan c adalah konstanta yang besarnya tidak tentu. Sesuai dengan turunan di atas mungkin anda akan berfikir bahwa nilai c adalah 0, 2, 100, atau -100. Ya, ini tidak salah. karena banyaknya kemungkinan selain kemungkinan di atas maka akhirnya disepakati dengan memakai c saja. Dari sini bisa diambil kesimpulan bahwa
dengan ketentuan kenapa? Karena jika n = -1 maka penyebut di ruas kanan menjadi nol Untuk n = -1 maka akan menjadi
dengan ln melambangkan logaritma natural. ln x = elog x dengan e = bilangan natural Besarnya e adalah 3
e = 2,71828 ....... yang merupakan bilangan natural Sifat-sifat integral tak tentu :
Contoh soal Integral Tak Tentu :
2. Integral Tertentu Diberikan suatu fungsi bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu: secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik , sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b. Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan. Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.
3
Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n1 titik {x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:
Himpunan
tersebut
kita
sebut
sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval . Lebar subinterval pertama [x0,x1] kita nyatakan sebagai x1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai xi = xi - xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar x dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, (ti)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan (ti) xi dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:
Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut. Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah: Diberikan (x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu di sepanjang [a,b] dan
bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann
apabila kondisi
berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan > 0 apapun terdapat sebuah bilangan > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi
3
di sepanjang [a,b] dengan apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan
dan pilihan ti
Secara matematis dapat kita tuliskan:
Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar x = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:
Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya. Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu ,
yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y = x pada interval [0,b], b>0, maka
perhitungan integral tertentu Riemannnya adalah
sebagai limit dari penjumlahan
Pemilihan partisi ataupun titik ti secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama x = (b - 0)/n = b/n dan titik t'i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah: dan , sehingga:
4
Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi
mendekati 0,
maka didapatkan: Contoh soal Integral Tertentu : 1.
2.
5
1.
Integral Parsial Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:
Contoh soal: Cari nilai dari:
Gunakan rumus di atas
Contoh soal Integral Parsial :
1. Cari nilai dari:
Akan diperoleh dua persamaan yaitu
dan
1
Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil
2.
3
1.
Integral dengan Metode SubstitusiDalam pengintegralan kita sering kesulitan karena masalah fungsi, misalkan adanya pangkat yang tinggi, bentuk akar, serta fungsi-fungi trigonometri. Untuk itu maka digunakan penggantian, atau disebut substitusi. karena itulah pada langkah ini dilakukan pemisalan. Contoh :
dari bentuk ini yang kita lakukan adalah dengan memisalkan misal y = 3x - 4 maka
sehingga
Jadi, bentuk integral menjadi
Contoh soal Integral dengan Metode Substitusi :
1. misal : y = x2 + 6 maka
sehingga
Jadi :
1
2. Jawab : Misal y = x2 + 8 maka
Sehingga
Maka
3
BAB III KESIMPULAN Integral Tak Tentu suatu operator Anti Turunan Fungsi Integral Tentu sebagai Limit Jumlah Riemann yang mendeskripsikan jumlah dari luaspersegi panjang-persegi panjang. Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan dalam menghitung Integral Tentu Beberapa sifat Integral Tentu antaranya : sifat linear, sifat penambahan selang dan sifatsimetri. Beberapa teknik-teknik pengintegralan untuk menghitung Intagral Tak Tentu/Integral Tentu antaranya : teknik subtitusi, teknik parsial, teknik Integrasi. Integral Tentu dapat digunakan untuk mencari Luas Daerah.
3
DAFTAR PUSTAKAhttp://web-matematika.blogspot.com/2010/08/integral-tak-tentu.html http://id.wikipedia.org/wiki/Integral http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus http://oemahmatematika.com/kalkulus/integral-fungsi-vektor
1