TUGAS APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI DAN TEKNIK Disusun Oleh : Nama :Ikhda Nikmatul Mukharromah NIM :125100301111048 Fak/Jurusan :FTP/ Teknologi Industri Pertanian No. Absen : 12 / P Integral digunakan dalam analisis ekonomi dengan berbagai cara. Kita akan menggambarkan beberapa aplikasi dalam bagian sekarang dan kemudian menunjukkan aplikasi untuk model pertumbuhan Domar. Dari Fungsi Marginal ke Fungsi Total Bila diketahui fungsi total (misalnya, fungsi total biaya), proses diferensiasi dapat menghasilkan fungsi marginal (misalnya, fungsi biaya marginal). Karena proses integrasi merupakan kebalikan dari diferensiasi, hal ini sebaliknya, akan memungkinkan kita untuk mencari fungsi total dari fungsi marjinal tertentu. Contoh 1 : Jika biaya marjinal (MC) suatu perusahaan merupakan fungsi output C2Q’(Q) = 2e 0,2Q , jika biaya tetap adalah C F = 90, carilah fungsi biaya total C(Q). Dengan mengintegrasikan C’(Q) terhadap Q, kita dapat bahwa 2e 0,2Q dQ = ,e 0,2Q + c = 10e 0,2Q + c Hasil ini dapat digunakan sebagai fungsi C(Q) yang diinginkan kecuali, mengingat konstanta arbitrer c, jawabannya timbul tanpa ditentukan untungnya, informasi bahwa C F = 90 dapat digunakan sebagai kondisi awaluntuk menetapkan konstanta. Bila Q = 0, total biaya Chanya
19
Embed
TUGAS APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI DAN …blog.ub.ac.id/.../files/2013/01/INTEGRAL-APLICATION-baru.pdf · 2013. 1. 8. · Aplikasi Integral Dalam Ilmu Keteknikan Teknik
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
TUGAS
APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI DAN TEKNIK
Disusun Oleh :
Nama :Ikhda Nikmatul Mukharromah
NIM :125100301111048
Fak/Jurusan :FTP/ Teknologi Industri Pertanian
No. Absen : 12 / P
Integral digunakan dalam analisis ekonomi dengan berbagai cara. Kita akan
menggambarkan beberapa aplikasi dalam bagian sekarang dan kemudian menunjukkan aplikasi
untuk model pertumbuhan Domar.
Dari Fungsi Marginal ke Fungsi Total
Bila diketahui fungsi total (misalnya, fungsi total biaya), proses diferensiasi dapat
menghasilkan fungsi marginal (misalnya, fungsi biaya marginal). Karena proses integrasi
merupakan kebalikan dari diferensiasi, hal ini sebaliknya, akan memungkinkan kita untuk
mencari fungsi total dari fungsi marjinal tertentu.
Contoh 1 :
Jika biaya marjinal (MC) suatu perusahaan merupakan fungsi output C2Q’(Q) = 2e0,2Q
,
jika biaya tetap adalah CF = 90, carilah fungsi biaya total C(Q). Dengan mengintegrasikan C’(Q)
terhadap Q, kita dapat bahwa
2e0,2Q
dQ = 𝟐𝟏
𝟎,𝟐 e
0,2Q + c = 10e
0,2Q + c
Hasil ini dapat digunakan sebagai fungsi C(Q) yang diinginkan kecuali, mengingat konstanta
arbitrer c, jawabannya timbul tanpa ditentukan untungnya, informasi bahwa CF = 90 dapat
digunakan sebagai kondisi awaluntuk menetapkan konstanta. Bila Q = 0, total biaya Chanya
akan terdiri dari CF. Oleh karena itu, dengan menetapkan Q = 0 dalam hasil kita dapatkan nilai
90; yaitu 10e0,2Q
+ c = 90. Tetapi ini akan beerarti bahwa c = 90 – 10 = 80. Jadi, fungsi total
biaya adalah
C (Q) = 10e0,2Q
+ 80
Contoh 2 :
Jika kecenderungan menabung marjinal – Marginal Propensity to Save = (MPS) – merupakan
fungsi pendapatan berikut, S’(Y) = 0,3 – 0,1Y1/2
, dan jika tabungan agregat (aggregate saving) S adalah
nol bila pendapatan Y adalah 81, carilah fungsi tabungan S(Y). Karena MPS merupakan derivative
dari fungsi S, masalahnya sekarang adalah mencari integrasi dari S’(Y) :
S(Y) = (0,3 - 0,1Y-1/2
) dY = 0,3Y - 0,1Y1/2
+ c
Nilai spesifik konstanta c dapat diperoleh dari kenyataan bahwa S = 0 bila Y = 81. Meskipun diatakan
secara tegas bahwa hal ini bukanlah kondisi awal ( tidak berhubungan dengan Y = 0), mensubtitusikan
informasi ini ke dalam integral sebelumnya akan membantu untuk menentukan c. Karena
0 = 0,3 (81) – 0,2 (9) + c c = -22,5
Fungsi tabungan yang diinginkan adalah
S(Y) = (0,3Y – 0,2Y1/2
– 22,5
Teknik yang digambarkan dalam contoh 1 dan 2 dapat diperluas secara langsung ke persoalan
lain yang melibatkan pencarian fungsi total (seperti total pendapatan, total konsumsi) dari fungsi marjinal
tertentu. Dapat juga diulang kembali bahwa dalam persoalan jenis ini validitas jawaban (suatu integral)
selalu dapat dicek dengan diferensiasi.
Investasi Dan Pembentukan Modal
Pembentukan modal adalah proses penjumlahan persediaan atau stok modal. Dengan
menganggap proses ini sebagai proses yang kontinu sepanjang waktu, kita bisa menyatakan
persediaan modal sebagai suatu fungsi waktu, K(t), dan menggunakan derivative dK / dt untuk
menunjukkan tingkat pembentukan modal.* Tetapi tingkat pembentukan modal pada waktu t
adalah identik dengan arus investasi netto (net investment) pada waktu t, yang ditujukkan dengan
I(t). jadi persediaan modal K dan investasi netto I dihubungkan dengan dua persamaan berikut :
𝒅𝑲
𝒅𝒕= 𝑰 (𝒕)
*Dalam hal notasi, derivative, dari suatu variabel yang berhubungan dengan waktu juga sering ditunjukkan denga n
titik tang ditetapkan di tas variabel, seperti K = dK / dt. Dalam analisis dinamis, di mana derevatif yang
berhubungan dengan waktu terlalu sering terjadi, symbol yang lebih singkat dapat memberikan bantuan yang besar
dalam penyederhanaan notasi. Akan tetapi, suatu titik, merupakan tanda kecil, mudah tak terlihat atau salah tempat;
jadi perlu hati – hati dalam menggunakan symbol ini.
dan K(t) = I(t) dt = 𝒅𝑲
𝒅𝒕𝒅𝒕 = dK
Persamaan pertama pertama merupakan suatu identitas yang menunjukkan sinonimitas antara
investasi netto dan pertambahan modal. Karena I(t) adalah derevatif dari K(t), maka beralasan
bahwa K(t) merupakan integral atau antiderevaif dari I(t), seperti yang ditunjukkan dalam
persamaan kedua. Transformasi integral dalam persamaan yang terakhir juga mudah dipahami :
Peralihan daro I ke dK / dt adalah menurut definisi, dan transformasi selanjutnya adalah dengan
pembatalan dua diferensial yang identik, yaitu menurut aturan subtitusi.
Kadang – kadang konsep investasi bruto digunakan bersama dengan investasi netto
dalam model. Dengan menunjukkan investasi bruto dengan Ig dan investasi netto dengan I, kita
dapat menghubungkan satu sama lain dengan persamaan
Ig = I + K
dimana menggambarkan tingkat penyusutan modal dan K pengkat investasi penggnti
(replacement investment).dsb
Nilai Sekarang Dari Arus Kas
Pembahasan kita sebelumnya tentang pendiskontoan dan nilai sekarang, yang dibatasi
pada kasus nilai masa depan tunggal V, memberikan kita rumus pendiskontoan
A = V(1 + i) -1
[kasus diskret]
dan A = Ve –rt
[kasus kontinu]
Sekarang misalkan kita mempunyai aliran atau arus nilai masa depan – yaitu serangkaian
pendapatan piutang pada berbagai waktu atau pengeluaran biaya hutang pada berbagai waktu.
Bagaimana kita menghitung nilai sekarang dari seluruh aliran kas atau arus kas?
Dalam kasus diskret, jika kita anggap tiga angka pendapatan di masa mendatang Rt (t = 1,
2, 3) tersedia pada akhir tahun ke – t dan juga mengansumsikan suku bunga i per tahun, nilai
sekarang Rt masing – masing akan menjadi
𝐼
I = I(t)
𝑰 𝒕 𝒅𝒕 =𝒕𝟎
𝟎 K(t0) - K(0)
0 t0 𝑡
R1 ( 1 + i) -2
R2 (1 + 1) -2
R3 ( 1 + i)-3
Jadi total nilai sekarang merupakan jumlah
= 𝟑𝒕=𝟏 Rt (1 + i)
-1 (14.11)
( dalam kasus di atas adalah huruf Yunani pi, yang menunjukkan waktu sekarang).
Perbedaaan hal ini dengan rumus nilai tungal hanya terletak dalam penggantian V dan Rt dan
dalam penyisipan tanda .
Konsep penjumlahan tersebut berlanjut ke kasus arus kas yang kontinu, tetapi dalam
konteks yang belakangan symbol tentunya harus dihilangkan dan diganti dengan tanda
integral definit. Pertimbangkan aliran pendapatan yang kontinu pada tingkat R(t) dollar per
tahun. Ini berarti bahwa pada t = t1 tingkat arus adalah R(t1) dollar per tahun, tetapi pada titik
waktu lain t = t2 tingkatannya akan menjadi R( t2 ) dollar per tahun-dengan t dianggap sebagai
variabel kontinu.Pada setiap titik waktu, jumlah pendapatan selama interval [t, t + dt] dapat
ditulis sebagai R(t) dt [lihat pembahasan terdahulu atas dK l(t) dt]. Bila didiskontokan secara
kontinu pada tingkat r per tahun, nilai sekarangnya akan menjadi R(t)e–rt
dt. Bila
permasalahannya sekarang adalah mencari total nilai sekarang dari aliran tiga tahun, jawaban
kita akan diperoleh dalam integral defining berikut:
= 𝑹(𝒕)𝟑
𝟎 e
–rt dt (14.11’)
Ekspresi ini, yang merupakan versi kontinu dari jumlah (14.11), hanya berbeda dengan rumus
nilai tunggal dalam penggatian V dengan R(t) dan dalam pembubuhan tanda integral devinit.*
Contoh 1
Berapakah nilai sekarang dari arus pendapatan kontinu yang berlangsung selama y tahun
pada tingkat yang konstan sebesar D dolar per tahun dan didiskontokan pada tingkat r per tahun?
Menurut (14.11’), kita punya
= 𝑫𝒚
𝟎e–rt
dt = 𝑫 𝒚
𝟎e–rt
dt = D −𝟏
𝒓 e
–rto
y
= −𝑫
𝒓 e
–rtt = 0
t = y = −𝑫
𝒓 e
–ry – 1) =
𝑫
𝒓 ( 1 -e
–ry)
Jadi tergantung pada D, r, dan y. Bila D = $3.000, r = 0,06, dan y = 2, misalnya kita