Mikro¨okonomischeTheorie: Kostenminimierung Dr. Jan Heufer TU Dortmund 28. Juni 2011 Einf¨ uhrung Kostenminimierung Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion ¨ Ubersicht Einf¨ uhrung Kostenminimierung Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion 1 / 58
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TU Dortmund Dr. Jan Heufer · Einfuhrung Kostenminimierung Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion Motivation Zum Begri \Kosten" Wirtschaftskreislauf Konsumguter Produktionsfaktoren
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Mikrookonomische Theorie:
Kostenminimierung
Dr. Jan HeuferTU Dortmund
28. Juni 2011
EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
Ubersicht
Einfuhrung
Kostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
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EinfuhrungKostenminimierung
Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
MotivationZum Begriff “Kosten”
Wirtschaftskreislauf
Konsumguter
Produktionsfaktoren
Nachfrage Angebot
Angebot Nachfrage
KonsumentenHaushalte
ProduzentenFirmen
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MotivationZum Begriff “Kosten”
I Bisher: Theoretische Beschreibung derProduktionsmoglichkeiten eines Unternehmens
I Offene Frage: Wie begrundet sich—okonomisch—dieAuswahl bestimmter Produktionsprozesse?
I Die Kosten eines Unternehmens sind nicht einfachvorgegeben, sondern ergeben sich aus Optimierung
I Daher wenden wir uns hier den Kosten bzw. dersogenannten Kostenfunktion zu
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MotivationZum Begriff “Kosten”
I Ziel: Beschreibung des Verhaltens einesgewinnmaximierenden Unternehmens
I Vorgehen:I Beschreibung des Prinzips der Kostenminimierung.
Dies ist notwendiger Bestandteil der Gewinnmaximierungals Hypothese. Dabei wir fur jeden moglichen Output,den ein Unternehmen wahlen kann, diekostenminimierende Produktionsweise bestimmt.
I Danach wird der Output gewahlt, der den hochstenGewinn erbringt.
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MotivationZum Begriff “Kosten”
Quelle: Butzer et al. (2010): “Measures of Fixed Capital in Agriculture”, World Bank
Policy Research Working Paper 54725 / 58
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MotivationZum Begriff “Kosten”
I Betrachtet werden hier Faktorkosten.
I Unternehmen uberlegen sich—ex ante—mit welchenInputmengen ein Output x produziert werden kann.
I Es gibt regelmaßig viele verschiedene Kombinationen vonInput, mit denen ein Output produziert werden kann.
I Welche Kosten werden—bei gegebenenFaktorpreisen—fur diese Moglichkeiten anfallen?
I Nicht nur explizite (“tatsachliche”) Ausgaben zahlendabei, sondern auch implizite Ausgaben.
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MotivationZum Begriff “Kosten”
Implizite Kosten: Beispiel
I Zwei ansonsten identische Unternehmen erweitern ihreProduktionsstatten durch Ausgaben von 100,000 Euro.
I Unternehmen A nimmt dafur einen Kredit in dieser Hoheauf.
I Unternehmen B setzt eigene Mittel ein.
I Unternehmen A hat dann explizite Kosten in Hohe derZinslast.
I Unternehmen B hat keine expliziten Kosten.
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MotivationZum Begriff “Kosten”
Implizite Kosten: Beispiel
I Hat Unternehmen B nun gar keine Kosten?
I Doch: Unternehmen B hat implizite Kosten, die A nichthat.
I Diese Kosten ergeben sich aus dem Ertrag deralternativen Verwendungsform der 100,000 Euro.
I B hatte das Geld—zum Beispiel—fur einen Zinssatz von5% verleihen konnen.
I B verzichtet durch den Einsatz des Geldes im Betrieb aufZinsen in Hohe von 5,000 Euro.
I Dies sind sogenannte Opportunitatskosten.
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MotivationZum Begriff “Kosten”
Opportunitatskosten
I Buchhalterische Kosten erfassen nur wenige dieserOpportunitatskosten, die nur implizit anfallen.
Opportunitatskostenprinzip
Nach dem Opportunitatskostenprinzip entsprechen die Kosteneiner Handlung dem Wert der attraktivsten alternativenMoglichkeit, auf die zugunsten der gewahlten Handlungverzichtet wird.
I Was kostet demnach ein Studium?
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
I Zunachst ein einfaches Beispiel:
Beispiel
I Produktionsziel (angestrebter Output): x = 10 Einheiten.
I Produktionsmoglichkeiten: 4 Aktivitaten A1, A2, A3, A4.
I Im Beispiel mit vier Aktivitaten definieren A1, . . . ,A4 eineIsoquante, da sie alle x = 10 produzieren.
I Diese fasst die technologischen Beschrankungenzusammen.
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
Diagramm: Isoquante
A1
A2
A3
A4
Iq(10)
`
k
0 2 4 6 8 100
2
4
6
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
I Dieses Diagramm fasst also die technologischenBeschrankungen zusammen.
I In dasselbe Diagramm sollen nun dieKostenbeschrankungen eingetragen werden.
I Dazu betrachten wir nun die Faktorkombinationen, diealle zu denselben Kosten fuhren.
I Diese Kombinationen werden als Isokostengeradenbezeichnet.
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
Isokostengeraden
I Die Isokostengeraden sind durch
{(`, k) : w ` + r k = c}
gegeben.I Im Beispiel ist w = 10 und r = 15. Das heißt
10 ` + 15 k = c
bzw.
k = −2
3` +
c
15.
I Wie sieht die Isokostengerade fur c = 75 aus?
k = −2
3` + 5
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
Diagramm: Isokostengeraden
steigende Kosten
Steigung: −23
= −wr
`
k
0 2 4 6 8 100
2
4
6
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Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Isokostengeraden
I Die Isokostengeraden sind durch
{(`, k) : w ` + r k = c}
gegeben.
I Im Beispiel ist w = 10 und r = 15. Das heißt
10 ` + 15 k = c
bzw.
k = −2
3` +
c
15.
I Wie sieht die Isokostengerade fur c = 75 aus?
k = −2
3` + 5
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
Diagramm: Isokostengeraden
Iq(10)
`
k
0 2 4 6 8 100
2
4
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
Isokostengeraden
I Die Isokostengerade k = −(2/3) ` + 5 beruhrt dieIsoquante Iq(10) im Produktionspunkt (3, 3), der derAktivitat A3 entsprecht.
I Die Isokostengerade, die gerade noch einen Punkt mit derIsoquante gemeinsam hat, entspricht dem niedrigstenKostenniveau.
I Alle anderen Punkte der Isoquante liegen aufIsokostengeraden mit hoherem Kostenniveau.
I Also: (3, 3) ist die kostenminimale Faktorkombination beiPreisen (w , r) = (10, 15) zur Produktion von x = 10.
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
Isokostengeraden
I Allgemein gilt:
k = −w
r` +
c
r.
I Wenn sich die relativen Faktorpreise andern, andert sichdie Steigung der Isokostengerade unddaher—moglicherweise—auch der Bruhrungspunkt mitder Isoquante.
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung
I Sei F (`, k) eine (neoklassische) Produktionsfunktion.I min(`,k) w ` + r k u.d.Nb. F (`, k) = x
Isokostengerade
Ix
`
k
k∗
`∗
In (`∗, k∗) gilt:
Isokostengerade = Tangente an Isoquante
Steigung Isokostengerade =
Steigung Ix in (`∗, k∗)
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung
I Also: −wr
= −F`(`∗,k∗)Fk (`∗,k∗)
.
I Wir haben also: Faktorpreisverhaltnis = Verhaltnis derGrenzproduktivitaten der Faktoren.
I Letzeres entspricht der technischen Grenzrate derSubstitution
Ergebnis
w
r=
F`(`∗, k∗)
Fk(`∗, k∗)
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung: Lagrange
I min(`,k) w ` + r k + λ[F (`, k)− x ].
I Ableitung nach `: (1) w + λ ∂F (`,k)∂`
= 0.
I Ableitung nach k : (2) r + λ ∂F (`,k)∂k
= 0.
I Aus (1) und (2): wr
= −λ ∂F/∂`−λ ∂F/∂k = F`(`,k)
Fk (`,k).
I Ableitung nach λ: F (`, k)− x = 0⇔ F (`, k) = x .
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Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung: Lagrange
I Parameter des Problems: Outputziel x und Faktorpreisew und r
I Die Losung (`∗, k∗) wird von diesen Parameternabhangen:
I `∗ = `∗(x ;w , r)
I k∗ = k∗(x ;w , r)
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BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung
Definition
Sei also (`∗(x ;w , r), k∗(x ;w , r)) die Losung desKostenminimierungsproblems (also die kostenmininaleFaktorkombination) in Abhangigkeit von Outputziel undFaktorpreisen. Dann heißt
C (x ,w , r) = w `∗(x ;w , r) + r k∗(x ;w , r)
Kostenfunktion (zur Produktionsfunktion F ).
I Kurz: C (x) bei gegebenen Preisen (w , r) ist gleichw `∗(x) + r k∗(x).
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Langfristige und Kurzfristige Kostenfunktion
BeispielAllgemeine Charakterisierung
Allgemeine Kostenminimierung: Bemerkungen
I ` ∗ (x ;w , r) und k∗(x ;w , r) heißen auch abgeleitete oderbedingte Faktornachfragefunktionen.
I Kostenminimierung fuhrt also zur Faktornachfrage
I LK (x) ergibt sich als “Einhullende” der KK (x ; ki).
I Es ist kein Zufall, dass KK (x , ki) konvexe Funktionensind:
Satz
Ist F (`, k) eine Produktionsfunktion mit konstanten bzw.abnehmenden Skalenertragen, so ist KK (x ; ki) konvex (furbeliebige ki).
I Intuition: Bei konstanten bzw. abnehmendenSkalenertragen gilt das “Gesetz des abnehmendenGrenzertrages” bei partieller Faktorvariation (d.h. F (`, ki)ist konkav).
Das Grenzkostenkonzept ist wichtig fur die Beschreibung desVerhaltens eines gewinnmaximierenden Unternehmens. Es wirdseine Produktion gerade soweit ausdehnen, bis die Grenzkostender letzten produzierten Einheit gerade dem Marktpreis furihren Output entsprechen. Aufgrund dieser Eigenschaftgewinnmaximierender Produktion spricht man auch vonGrenzkostenpreisen (“marginal cost pricing”).
I “Kurzfristig” bedeutet hier immer “fixer Kapitalstock”.Es gibt also—je nach Hohe des fixen Kapitals—vielekurzfristige Kosten- bzw. Durchschnittskostenfunktionen.
I Auch fur KDK (x) gilt, dass LDK (x) die “Einhullende”der kurzfristigen Kostenfunktion KDK (x , k1) ist:
I Es gilt zum Beispiel KGK (x , k3) < KGK (x , k2), aber k3
ist nicht optimal.
I Ware k frei variabel (und nicht auf k3 fixiert, so wurdeeine Kapitalaustattung gewahlt mit GrenzkostenLGK (x) > KGK (x , k3) (hier namlich genau k2).
I Das heißt aber: “Grenzkosten so gering wie moglich” istkein Optimalitatskriterium.