TSeries (1)

7/25/2019 TSeries (1)

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METODOS ELEMENTALES DE

PROCESAMIENTO DE SERIES DE TIEMPO

Jorge Galbiati Riesco

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En este apunte se da una visión general sobre algunos

procedimientos en el análisis en series de tiempo.

Inicialmente presentamos el problema general de predicción,

luego presentamos métodos clásicos ó ingenuos de

suavizamiento en el análisis de series de tiempo.

La aplicación de estas técnicas requieren de trabajocomputacional que debe ser complementado en la ejercitación

de este curso.

El material presentado fué escrito en base a apuntes del

profesor Renato llende, que tuvo como referencia notas de

clase de los profesores !ilar Iglesias " Eduardo Engel.

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INTRODUCCION

#na de las motivaciones para el estudio del tema surge

desde tiempos remotos donde una de las principales

inquietudes del $ombre $a sido estimar el futuro utilizando

información del presente " del pasado.

Esto se llama predecir .

Es evidente que las diversas instituciones requieren

conocer el comportamiento futuro de ciertos fenómenos

con el fin de planificar, preveer o prevenir.

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La Estad%stica $a desarrollado teor%a " métodos que

apuntan a resolver el problema de predicción.

&in embargo, este no puede ser resuelto por argumentos

puramente matemáticos, debe ser el resultado de una

combinación matemático'especialista.

La predicción es una (iencia " es un rte, " la ma"or

dificultad es la mala comunicación entre los analistas deinformación " de predicción " los usuarios de éstas.

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DEFINICION BÁSICA DE SERIE DE TIEMPO

#na serie de tiempo es una colección o conjunto de

mediciones de cierto fenómeno o e)perimento

registrados secuencialmente en el tiempo, en forma

equiespaciada *a intevalos de tiempo iguales+ .

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Las observaciones de una serie de tiempo serán

denotadas por

*t-+, *t+ ,... , *tn+

donde *ti+ es el valor tomado por el proceso en el

instante ti.

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Ejemplos de series de tiempo

-. Econom%a/ !recios de un articulo, tasas de desempleo,tasa de inflación, %ndice de precios, precio del dólar,

precio del cobre, precios de acciones, ingreso nacional

bruto, etc.

. 0eteorolog%a/ (antidad de agua ca%da, temperatura

má)ima diaria, 1elocidad del viento *energ%a eólica+,

energ%a solar, etc.

2. 3eof%sica/ &eries sismológicas.

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4. 5u%mica/ 1iscosidad de un proceso, temperatura de un

proceso.

6. 7emograf%a/ 8asas de natalidad, tasas de mortalidad.

9. 0edicina/ Electrocardiograma, electroencéfalograma.

:. 0ar;eting/ &eries de demanda, gastos, utilidades,

ventas, ofertas.

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<. 8elecomunicaciones/ nálisis de se=ales.

>. 8ransporte/ &eries de tráfico.

..." muc$os otros.

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ANALISIS GRAFICO DE UNA SERIE DE TIEMPO

!or mu" simple que parezca, el paso más importante en el

análisis de series de tiempo consiste en graficar la serie.

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Esto debe $acerse siempre, independiente de cuán simples o

complejos sean los procedimientos que se empleanposteriormente.

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El gráfico de la serie permitirá detectar los siguientes

elementos/

a+ ?utliers/

&e refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal.

&i se sospec$a que una observación es un outliers, se

debe reunir información adicional sobre posibles factoresque afectaron el proceso.

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!or ejemplo, en un estudio de la producción diaria de

cobre se presentó la siguiente situación/

Otliers

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b+ Te!"e!cias

La tendencia representa el comportamiento predominante

de la serie.

Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la

media a lo largo de un e)tenso per%odo de tiempo.

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8endencia

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c+ #ariacio!es ciclicas o estacio!ales

La variación estacional representa un movimiento periódico

de la serie de tiempo.

La duración del per%odo puede ser un a=o, un trimestre, un

mes, un d%a, etc.

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1ariaciones c%clicas o estacionales

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&e suele $acer una distinción entre componentes c$clicas "

estacio!arias.

Estas @ltimas ocurren con per%odos identificables, como la

estacionalidad del empleo, o de la venta de ciertos productos,

cu"o per%odo es un a=o.

El término %ariaci&! c$clica se suele referir a ciclos grandes,

cu"o per%odo no es atribuible a alguna causa.

!or ejemplo, fenómenos climáticos, que tienen ciclos que

duran varios a=os.

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Las tendencias " estacionalidades pueden darse

simultáneamente.

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d+ 1ariaciones aleatorias.

Los movimientos irregulares *al azar+ representan todos lostipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea

tendencia, variaciones estacionales " fluctuaciones c%clicas.

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El análisis gráfico de los datos se acostumbra a resumir en

una tabla como la que siguiente/

Tabla "e 'a(iliari)aci&!

Estacio!ali"a" Te!"e!cia AleatoriaAltaMe"iaBa*a

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Ejercicios/

-+ !ara cada una de las series graficadas a continuaciónrealizar al análisis gráfico completando la tabla de

familiarización.

&erie &erie A

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+ (onstru"a la grafica " la tabla de familiarización para lasiguiente serie/

!lanificación de un casino

?bjetivos/ !lanificación de compra de alimentos "

necesidades de servicio para satisfacer la demanda de

almuerzo en un gran casino.

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&erie/ B@mero de almuerzos servidos por mes en el casino

II de la #niversidad de (ampinas'Arasil para el per%odo de

enero ->>: a marzo de CCC, de acuerdo a la

administración general del restaurante.

t +,t- t +,t- t +,t-

- C929 -4 <-<2 : 92-9:

-<:C< -6 6992 < 46C

2 9>44 -9 6994- > 6C6:

4 6C: -: 69666 2C 62<:6

6 9>2:6 -< 6:-<6 2- :22

9 6CC69 -> 22>C9 2 6:>4

: C9C4 C 9:9- 22 4:9-C

< 64>4: - 62 24 9-:2<> 6C6:9 6<2 26 6--9<

-C 6C46 2 46:9 29 92:C

-- 44C 4 466C 2: 4>94

- :9C4 6 2C>64 2< 4:4<

-2 <:>- 9 24>6 2> 92>C

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Mo"elos Cl.sicos

#n modelo clásico de series de tiempo, supone que la serie

*-+, ..., *n+ puede ser e)presada como suma o

producto de tres componentes/

tendencia,

componente estacional,

término de error aleatorio.

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-. *t+ D 8*t+E*t+*t+ 0odelo aditivo

. *t+ D 8*t+ E*t+ *t+ 0odelo multiplicativo

donde/

8/ 8endencia de la serie.

E/ 1ariación Estacional.

/ 1ariaciones aleatorias.

El gráfico siguiente muestra la serie " sus componentes,

para el caso aditivo.

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El problema que se presenta es modelar adecuadamente las

componentes de la serie.

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E&8I0(IFB 7E L 8EB7EB(I

Ga" varios métodos para estimar la tendencia 8*t+, uno de

ellos es utilizar un modelo de regresión lineal.

&e pueden utilizar otros tipos de regresiones, como regresión

cuadrática, log%stica, e)ponencial, entre otros.

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EHE0!L? -/ La tabla presenta parte de los datos de una serie

de energ%a eléctrica. &on 4 datos mensuales referentes a

los a=os ->:: a ->:<.

(onsumo de Energ%a Eléctrica

t +,t- t +,t-

- <4,9 -2 --C,2 <>,> -4 --<,-

2 <-,> -6 --9,6

4 >6,4 -9 -24,

6 >-, -: -24,:

9 <>,< -< -44,<

: <>,: -> -44,4

< >:,> C -6>,

> -C2,4 - -9<,-C -C:,9 -:6,

-- -C,4 2 -:4,6

- -C>,9 4 -:2,:

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Consumo electrico

0

50

100

150

200

mes

c o n s u m o

Gráfico de la serie:

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El modelo de tendencia propuesto es un modelo de regresión

lineal/*t+ D βC β- t *t+

Recurriendo al método de ($!i(os ca"ra"os se estimanlos parámetros " se obtiene

t*4.2468.45T(t) +=

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La serie sin tendencia se de la siguiente manera/

Consumo e lectrico

-20,00

-10,00

0,00

10,00

20,00

mes

c o n s

u m o

&e observa un ciclo que dura casi todo el per%odo observado,

de 4 meses.

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E&8I0(I?B 7E L (?0!?BEB8E E&8(I?BL

!ara estimarla, se debe conocer el per%odo, " se deben tener

datos de varios per%odos consecutivos.

!or ejemplo, datos mensuales, estacionalidad de un a=o.

El ejemplo siguiente ilustra la forma de obtener la

componente estacional.

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EHE0!L? .

Indicador 0ensual de ctividad Económica *I0(E(+. Aasedel %ndice / ->>9D-CC

(orresponde al nuevo Indicador 0ensual de ctividad

Económica *Imacec+, estructurado a base de la matriz

insumo'producto de ->>9. La cobertura de este

indicador comprende casi la totalidad de las actividades

económicas incluidas en el !IA.

Las cifras de CCC " CC- son provisionales.

Las cifras de CC " CC2 son preliminares.

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1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

Enero >>.9 -C6.C --C.< -C>. --.9 --9.4 -->.: -.9

Iebrero >4.> ><.9 -C4.2 -C2.: -C:.9 ---.< --2.C --<.2

0arzo -C6.4 -C>.- --:.6 --9.4 --. -4.2 -4.4 -<.<

bril -C2.4 -C<.- --9.- -C<.C --2.< --<.C -.C -6.2

0a"o -C4. -C>. --4.4 ---. --:.> --.: -2.C -9.-

Hunio -C-.2 -C9.6 ---.> --C.C --2.- -->.- -C.-

Hulio ><.: -C:.- --C.> -C9.4 --.2 --9.C --<.>

gosto ><.: -C6.9 -C>.C -C<.- --2.4 --9.> -->.-

&eptiembre >4.< -C2.< -C6.4 -C6.: -C<.9 ---.4 --4.9

?ctubre -C.C --C.> -C:.: -C>. --6.4 --<.4 --.:

Boviembre ><.C -C9.< -C9.- --C.: --4.> --:.2 -->.>

7iciembre >>. -C<.4 -C9.6 ---.> --4.4 --6.: -C.>

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Indicador Mensual Actividad Económica

0.0

20.0

40.0

60.0

80.0

100.0

120.0

140.0

mes-año

I M A

C E

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&e estima la tendencia por el método de m%nimos

cuadrados, de regresión lineal

dando el siguiente resultado/

Intercepto a / 01123 . (orresponde al valor de

partida.

!endiente b / 12453 . (orresponde al aumento medio

mensual.

(oeficiente de determinación R 4 / 1267, que indica unajuste moderadamente bueno.

El error estándar de los errores se estimó en 3289.

)()( t Abt at Y ++=

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La recta de regresión correspondiente a la tendencia se

muestra en el siguiente gráfico/

Tendencia Indicador Mensual Actividad

Económica

0

20

40

60

80

100

120

140

mes-año

I M

A C E

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sumiremos un modelo clásico aditivo.

Entonces para obtener una estimación de la estacionalidad,

restamos los valores ajustados de la tendencia a los datos,

obteniendo una serie sin tendencia.

Luego promediamos todos los valores de enero, los de

febrero, los de marzo, etc., obteniendo doce valores

mensuales promedio/

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0es Prom.

Enero 0.8

Iebrero -4.9

0arzo 6.7

bril 2.4

0a"o 3.8

Hunio 0.8Hulio -1.2

gosto -1.3

&eptiembre -5.4

?ctubre 0.2

Boviembre -1.7

7iciembre -1.5

Componente Cíclica Indicador Me nsual

Actividad Económica

-10

-5

0

5

10

15

20

mes-año

I M

A C

E

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&e observan valores altos a partir de marzo, " bajos en

torno a septiembre.

&i recomponemos la serie con tendencia " componente

c%clica, sin la componente aleatoria, tenemos la situación

que se ilustra en el gráfico siguiente/

Tendencia más Componente Cíclica Indicador

Mensual Actividad Económica

0

20

40

60

80

100

120

140

mes-año

I M

A C

E

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(on esto se pueden $acer predicciones futuras,

e)trapolando la recta de regresión " sumándole la

componente c%clica del mes correspondiente.

7entro de un rango limitado, estas predicciones pueden ser

acertadas.

continuación se muestra el gráfico de la componente

aleatoria sola.

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Componente Aleatoria Indicador Mensual

Actividad Económica

-10

-5

0

5

10

15

20

mes-año

I M

A C E

&i se usa el modelo multiplicativo, el procedimiento es

parecido.

Bota/ Hunto con las series de datos como esta, el Aanco (entral también

entrega series sin tendencia " desestacionalizadas.

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&#1IJ0IEB8? 7E &ERIE& 7E 8IE0!?

#na forma de visualizar la tendencia, es mediante

suavizamiento de la serie.

La idea central es definir a partir de la serie observada una

nueva serie que filtra o suaviza los efectos ajenos a la

tendencia *estacionalidad, efectos aleatorios+, de manera que

podamos visualizar la tendencia.

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&erie original &erie suavizada

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Pro(e"io M&%il2

Este método de suavizamiento es uno de los más usados para

describir la tendencia.

(onsiste en fijar un n@mero ;, preferentemente impar, como 2,

6, :, etc., " calcular los promedios de todos los grupos de ;

términos consecutivos de la serie.

&e obtiene una nueva serie suavizada por promedios móviles

de orden ;.

7e este modo se tienden a anular las variaciones aleatorias.

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!or ejemplo, consideremos una serie de seis observaciones " fijemos

el orden ;D2.

Entonces los términos de la serie suavizada son

Bótese que J*-+ " J*9+ no se pueden calcular.

En general, se pierden ;K términos en cada e)tremo.

( )

−

++=

++=

++=

++=

−

=

)6(63

)6()5()4()5Z()5(5

3

)5()4()3()4Z()4(4

3

)4()3((2))3Z()3(3

3(3)(2))1(Z(2)(2)2

(1)1

________ __________ __________ __________

3)(

Y

Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y Y Y Y

Y

k ordendemóvil mediat Z t Y t

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EHE0!L? 2.

!recio del dólar observado, d%as miércoles, enero a junio

a=o CC2.

uente/ Aanco (entral de ($ile.

En las columnas 2 a 9, se entregan los promedios

móviles de orden 2, 6, : " >, respectivamente.

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mes precio k3 k5 k7 k9

!"e 713.4

712.6 717.5

726.6 725.4 725.7737.1 734.2 731.6 730.3

#e$ 738.9 739.7 737.2 736.2 735.5

743.1 740.7 742.9 742.0 740.1

740.2 746.2 746.0 746.0 742.8

755.3 749.4 749.2 745.9 743.0

%ar 752.8 754.3 747.9 744.4 742.2

754.8 748.0 745.5 742.5 740.1

736.5 739.9 740.4 739.6 737.4

728.3 731.5 733.9 734.4 734.7 &$r 729.8 726.0 726.6 729.2 729.2

720.0 722.8 722.6 722.1 723.4

718.7 718.4 718.0 717.1 716.7

716.5 713.5 712.3 712.2 714.2

%a' 705.3 707.7 707.2 709.9 712.4

701.2 700.2 706.2 708.8 710.5

694.2 703.1 705.3 708.0 710.2

713.7 706.7 706.9 708.2 708.8

()" 712.2 713.0 710.1 708.2 707.3713.0 714.2 712.5 708.5

717.4 712.1 710.3

706.0 708.8

()l 703.1

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La serie original aparece graficada a continuación.

Precio del dolar observado 200

660.0

680.0

700.0

720.0

740.0

760.0

semana

p r e c i o

!

7/25/2019 TSeries (1)


Los gráficos siguientes corresponden a las medias móviles. &e

observa cómo a medida que aumenta el orden, el efecto del

suavizado es ma"or. !ero también se pierden más datos en los

e)tremos.


Media móvil orden

660

680

700

720

740

760

semana

p r e c i o !


Media móvil orden "

680

700

720

740

760

semana

p r e c

i o

!


Media móvil orden #

680

700

720

740

760

semana

p r e c i o !


Media móvil orden $

680

700

720

740

760

semana

p r e c i o

!

El i i d di ó il fá il d li

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El suavizamiento de media móvil es mu" fácil de aplicar,

permite visualizar la tendencia de la serie. !ero tiene dos

inconvenientes/

Bo es posible obtener estimaciones de la tendencia en

e)tremos " no entrega un medio para $acer predicciones.

&i la serie presenta un efecto estacional de per%odo ;, es

conveniente aplicar un suavizamiento de media móvil de

orden ;.

En tal caso se elimina el efecto estacional, junto con la

variación aleatoria, observándose solamente la tendencia.

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SUA#I:AMIENTO E;PONENCIAL

Este modelo se basa en que una observación suavizada, entiempo t , es un promedio ponderado entre el valor actual de la

serie original " el valor de la serie suavizada, en el tiempo

inmediatamente anterior.

&i Y(t) representa la serie de tiempo original, " Z(t) la serie de

tiempo suavizada, entonces lo anterior se puede escribir

en que a es un n@mero entre C " -.

1)-Z(ta)-(1Y(t)aZ(t) ⋅+⋅=

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&i a es cercano a -, la serie suavizada pondera más

fuertemente el valor original, luego ambas se parecen, " en

consecuencia, el suavizamiento es poco.

&i a se acerca a -K, se ponderan moderadamente la serie

original " la suavizada, por lo que el suavizamiento esmoderado.

&i a es cercano a cero, (1-a) es cercano a -, " la seriesuavizada pondera más fuertemente el valor suavizado

inmediatamente anterior, por lo que el suavizado es

importante.

7/25/2019 TSeries (1)


(onsecuencia de la fórmula anterior es que la serie suavizadase puede e)presar como

Es decir, cada término suavizado es un promedio ponderado

de todos los términos $istóricos de la serie original, con

ponderaciones

etc.

⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅⋅+⋅= )3(a)-(1a)2(a)-(1a)1(Ya)-(1a)(Ya)(Z 32t Y t Y t t t

,)1(,)1(,)1(),1(, 432aaaaaaaaa −⋅−⋅−⋅−⋅

7/25/2019 TSeries (1)


(omo a está entre C " -, estos n@meros se van ac$icando a

medida que avanzan.

Eso significa que a medida que nos alejamos $acia el pasado,

los término van influ"endo cada vez menos en el término

presente.

La rapidez con que disminu"e la influencia es ma"or mientras

más grande *cercano a -+ es a.

Los gráficos siguientes muestran las ponderaciones de los

términos $acia el pasado, cuando a = 0.3 " cuando a = 0.7

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a % 0&

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14 15

pasado

a % 0&#

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

pasado

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(riterio para elegir a/

&i la serie var%a lentamente, se eligen valores de a cercanos

a C. *valor t%pico a D C.2+.

En cambio, si var%a bruscamente, se eligen valores de a

cercanos a - *valor t%pico a D C.:+.

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El método de suavizamiento e)ponencial sirve para $acer

predicciones, pero sólo de un valor, siguiente al @ltimovalor observado.

&i se tienen observaciones *t+, *t'-+, *t'+, ... *t';+.

&i tratáramos de obtener el término J*n-+ con la fórmula

para el suavizamiento e)ponencial, nos dar%a

7/25/2019 TSeries (1)


&i tratáramos de obtener el término J*n-+ con la fórmula

para el suavizamiento e)ponencial, nos dar%a

)(Za)-(1)1(Ya)1(Z nnn ⋅++⋅=+

pero como no tenemos una observación *n-+, laapro)imamos por *n+.

!or lo tanto podemos $acer una predicción para *n-+ con lafórmula del suavizamiento e)ponencial modificada de la

siguiente forma/

7/25/2019 TSeries (1)


&i se intentara $acer más de una predicción, dar%a el mismovalor, por eso que sólo se usa para predecir un valor a la

vez.

pero como no tenemos una observación *n-+, la

apro)imamos por *n+.

!or lo tanto podemos $acer una predicción para *n-+ con la

fórmula del suavizamiento e)ponencial modificada de la

siguiente forma/

)(a)-(1)(Ya)1(Z n Z nn ⋅+⋅=+

7/25/2019 TSeries (1)


&in embargo, en la práctica, cada vez que aparece una

nueva observación real, se actualiza la fórmula anterior,

pera predecir la siguiente.

s%, cada vez que el tiempo avanza en una unidad, se

predice un nuevo valor a futuro.

El valor de a se que sirve mejor se suele buscar por un

sistema de prueba " error, $asta encontrar el que permitepredecir mejor.

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EHE0!L? 4

En la página siguiente se muestra el !roducto Interno Aruto

trimestral de ($ile, desde el primer trimestre de ->>9 $asta

el primer trimestre de CC2, en millones de pesos.

uente/ Aanco (entral de ($ile.

7/25/2019 TSeries (1)


'uavi(amiento e)ponencial

A<o Tri(2 PIB a % 0& a % 0&" a % 0&#

->>9 I :<C4>24 7804934 7804934 7804934

II <C2<:: 7875085 7921853 7968620

III :9C4996 7793959 7763259 7713852

I1 ::<<>-< 7792447 7776088 7766398

->>: I <-4-424 7897143 7958761 8028923

II <42-44 8057427 8195093 8310674

III <2<94- 8111791 8216867 8260251

I1 <4<>->4 8225012 8353030 8420511

->>< I <96<C:6 8354931 8505553 8586806

II <>-C>94 8521741 8708258 8813716

III <49<<9- 8505877 8588559 8572317

I1 <22<9>< 8455723 8463629 8408784

->>> I <6:42: 8490737 8518033 8523341II <6:-4< 8514945 8544730 8557002

III <224<C: 8460903 8439769 8401465

I1 <9292:C 8513543 8538069 8565899

CCC I <<<::-2 8625794 8712891 8791169

II <>:>:< 8729949 8842935 8918435

III <:C42C2 8722255 8773619 8768543

I1 <>:-:6- 8797104 8872685 8910788

CC- I >-:62:: 8910586 9024031 9096000

II >24<49 9040264 9183438 9268792

III <>9C<< 9016449 9072160 9053255

I1 >-49><- 9055609 9109571 9118863

CC I >><-C 9126769 9201190 9240626

II >6C2>>C 9239935 9352590 9424981

III >-:>429 9221786 9266013 9253099

I1 >4266:C 9285921 9350792 9380829

CC2 I >9-<-C 9386688 9486301 9549516

7/25/2019 TSeries (1)


Hunto a los datos se muestran tres suavizamientos

e)ponenciales con a=0.3, a=0.5 " a=0.7.

(omo no $a" datos indefinidamente $acia el pasado, los

primeros términos de la serie sauvizada salen algo

distorsionados, pues no consideran suficientes términos

$acia atrás.

7/25/2019 TSeries (1)


La forma de calcular es la siguiente, partiendo del primertrimestre ->>9, que llamaremos tD- /

Z(1) = X(1)

Z(2) = a Y(2)+(1-a) Z(1)

Z(3) = a Y(3)+(1-a) Z(2)

etc.

(omo se ve Z(1) no contiene toda la $istoria $acia atrás

7/25/2019 TSeries (1)


(omo se ve, Z(1) no contiene toda la $istoria $acia atrás,

Z(2) sólo un termino $acia el pasado, Z(3) sólo , etc.

Producto Interno *ruto

7.000.000

11.000.000

trimestre-año

P I *


'uavi(amiento e)ponencial a % 0&

7000000

11000000

trimestre-año

P I *


'uavi(amiento e )ponencial a % 0&"

7000000

11000000

trimestre-año

P I *


'uavi(amie nto e )ponencial a % 0&#

7000000

11000000

trimestre-año

P I *

Los gráficos de la serie " los tres suavizamientos semuestran a continuación.

7/25/2019 TSeries (1)


En los gráficos se puede apreciar que cuando la constante a

es peque=a, cercana a cero, el suavizamiento es

significativo.

medida que aumenta a acercándose a -, el suavizamiento

es menos " la serie suavizada se parece más a la serie

original.

7/25/2019 TSeries (1)


&e dispone de > datos. Es posible $acer una predicción del

término de orden 2C, que corresponde al segundo trimestre de

CC2, mediante la fórmula

Y(30) = a Y(29) + (1-a) Z(29)

En el caso de aDC.2, se tiene

Y(30) = 0.3 9!21"10 + 0.7 93"!!"" = 9#5722# millones de

pesos.

En el caso aDC.6, la predicción da >664C66 millones de pesos. en

el caso aDC.:, se obtiene el valor >9CC- millones. ?bservando el

gráfico, cuál de las tres predicciones parece ser mejor M

7/25/2019 TSeries (1)


FIN

TSeries (1)

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