119 2 TEMA TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS I. CONCEPTOS PREVIOS Triángulo ABC (recto en B) B A C a b c a y c (catetos) b a b c b (hipotenusa) II. DEFINICIÓN La razón trigonométrica de un ángulo agudo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes de sus lados del triángulo rectángulo que lo contiene con respecto a este ángulo agudo. De esta manera, con respecto a un mismo ángulo agudo, podemos obtener seis distintos cocientes, para los que se define: Cateto opuesto a Sen A Hipotenusa b Cateto adyacente c Cos A Hipotenusa b Cateto opuesto a Tan A Cateto adyacente c Cateto adyacente c Cot A Cateto opuesto a Hipotenusa b Sec A Cateto adyacente c Hipotenusa b Csc A Cateto opuesto a TRIGONOMETRÍA - TEMA 2 III. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS A B C c a b Aplicando definiciones: Se incluyó en los exámenes de SAN MARCOS 2000, 2001, 2004 y 2007. • En todo ABC (recto en B), se cumple el teoremadePitágoras: a 2 + c 2 = b 2 a 2 =b 2 –c 2 La trigonometría fue inventada como un medio para medir indirectamente las partes de un triángulo rectángulo. De hecho, la palabra trigonometría significa 'medición de tres ángulos'. Actualmente la trigonometría tiene muchas aplicaciones que nada tienen que ver con triángulos, pero los conceptos básicos se entienden mejor todavía en relación con el triángulo rectángulo. Iniciamos nuestro estudio de la trigonometría con un breve análisis del triángulo rectángulo.
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1192
TEMATRIGONOMETRÍASAN MARCOS REGULAR 2009 - III
RAZONES TRIGONOMÉTRICASDE ÁNGULOS AGUDOS
I. CONCEPTOS PREVIOSTriángulo ABC (recto en B)
B A
C
a b
c
a y c (catetos) b ab c
b (hipotenusa)
II. DEFINICIÓNLa razón trigonométrica de un ángulo agudo se definecomo el cociente que se obtiene al dividir las medidasde las longitudes de sus lados del triángulo rectánguloque lo contiene con respecto a este ángulo agudo.De esta manera, con respecto a un mismo ánguloagudo, podemos obtener seis distintos cocientes, paralos que se define:
Cateto opuesto aSen AHipotenusa b
Cateto adyacente cCos AHipotenusa b
Cateto opuesto aTan ACateto adyacente cCateto adyacente cCot ACateto opuesto a
Hipotenusa bSec ACateto adyacente c
Hipotenusa bCsc ACateto opuesto a
TRIGONOMETRÍA - TEMA 2
III. PROPIEDADES DE LAS RAZONESTRIGONOMÉTRICAS
AB
C
c
a b
Aplicando definiciones:
Se incluyó en los exámenes de SAN MARCOS 2000, 2001, 2004 y 2007.
• En todo ABC (recto en B), se cumple elteorema de Pitágoras:a2 + c2 = b2
a2 = b2 – c2
La trigonometría fue inventada como un medio para medirindirectamente las partes de un triángulo rectángulo. De hecho,la palabra trigonometría significa 'medición de tres ángulos'.Actualmente la trigonometría tiene muchas aplicaciones que
nada tienen que ver con triángulos, pero los conceptos básicosse entienden mejor todavía en relación con el triángulorectángulo. Iniciamos nuestro estudio de la trigonometría conun breve análisis del triángulo rectángulo.
120TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III2
TEMA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
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A. Razones recíprocas
Sen A Csc A 1Cos A Sec A 1Tan A Cot A 1
Comprobación
a bSen A Csc A 1 1 1 1b a
B. Razones complementarias (Co-razones)De las definiciones, en (III) se observa:
Sen A Cos C Tan A Cot C
Sec A Csc C
m A m C 90
Ejemplo:
• Sen 70° = Cos 20º
• Sec (30°+x) = Csc(60º - x)
• Tan 70° = Cot 20º
• Tan (50°+ 50°+ ) = Cot (40º - )
• Cos (90°– )= Sen
• Csc (x – y) = Sec (90º – x + y)
En general:
RT( ) CO RT(90 )
C. El valor de una razón trigonométrica solodepende de la medida del ángulo de referencia
Sabemos:
C.O.TanC.A.
a mTanb n
IV. TRIÁNGULOS PITAGÓRICOSTriángulos en que las longitudes de los lados sonnúmeros enteros positivos.
V. TANGENTE Y COTANGENTE DELÁNGULO MITAD
A B
C
b a
c
ATan Csc A Cot A2
ACot Csc A Cot A2
Demostracíon:
A/2
A/2
A
b
b
B
C
D
a
cA
• Se prolonga la base BA hasta el punto (D) de manera
que AD = AC.
• Unimos el punto D y el punto C.
• El triángulo DAC es isósceles.
A b c b cCot2 a a a
• En el triángulo ABC:
ACot Csc A Cot A2
En todo ABC (recto en B)
m A m C 90
Si a y b son PESI, entonces m = ak ; n = bk .
121SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRÍA 2TEMA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
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Problema 1
Si4Cosx5 , calcula el valor de:
E = 9 ( C o t
2x + Csc2x)es:
San Marcos 1997
Nivel fácil
A) 27 B) 41 C) 81/41D) 9/41 E) 41/9
ResoluciónUbicación de incógnitaCalcula el valor de razonestrigonométricas.
Análisis de los datos– Sabemos:
C.A.CosH
C.A.CotC.O. HCot
C.O.
Operación del problema:En el triángulo, reemplazando en E:
4 5 16 25 41E 9 9 93 3 9 9 9
2 2
E = 41
Respuesta: B) 41
Problema 2De la figura QM y MR están en la razónde 3 a 4. Calcula Tan .
San Marcos 2003
Nivel intermedio
A)35 B)
2 27
C)25
D)45 E)
27
Resolución
Ubicación de la incógnitaCalcula el valor de una razóntrigonométrica (Tan)
Análisis del gráfico
VI. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLESa. Exactos
45º
45º
1 k
1 k
k 2
60º
30º
2 k1 k
k 3
b. Aproximados
37º
53º
3 k
4 k
5 k74º
16º
25 k7 k
24 k
VII.TABLA DE VALORES NOTABLES
30° 60° 45° 37° 53°
Sen 1/2 3 /2 2 /2 3/5 4/5
Cos 3 /2 1/2 2 /2 4/5 3/5
Tan 3 /3 3 1 3/4 4/3
Cot 3 3 /3 1 4/3 ¾
Sec 2 3 /3 2 2 5/4 5/3
Csc 2 2 3 /3 2 5/3 5/4
Operación del problema– Trazamos MN perpendicular al
lado PR.
– Triángulo rectángulo RNM(de 45°)
– Dato:QM 3KMR 4K
QM 3K Sea K 2MR 4K
QM 3 2MR 4 2
– Triángulo rectángulo PQR(de 45°)
– PQ = QR = 7 2 PR 14
Conclusiones
Graficando:
4 2Tan10 5
Respuesta: C)25
122TRIGONOMETRÍA SAN MARCOS REGULAR 2009 - III2
TEMA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
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NIVEL I1. En un triángulo rectángulo, el
coseno de uno de sus ánguosagudos es 0,96. Si su hipotenusamide 50 m, hallar el perímetro dedicho triángulo.A) 112 m B) 224 m C) 96 mD) 52 m E) 412 m
2. Si 6Sen –Csc 1 y es agudo,
calcula 2 2A Cos Cot
A) 1,7 B) 2,7 C) 3,7D) 4,7 E) 5,7
3. ABCD es un cuadrado dondeBC = 5CE. Calcula Cos .
A) 5/4 B) 41 /5
C) 41 /4 D) 17 /5
E) 17 /9
4. Si F x Csc Tan 2Cos3n 2n n 1
Calcula: F(2)A) 2º B) 2C) 22 D) 23
E) 0
NIVEL II5. En la figura, hallar "Tan "
A) 2 B) 2
C) 3 D) 3 /2
E) 5
6. Si Senx.Secy = 1, "x" e "y" sonángulos agudos.Calcula:
x y x yE Tan .Cot .Tanx.Tany
2 3
A) 1 B) 2
C) 3 D) 5
E) 6
7. Si: 3
Sen –2x y Tanx 1
2
El valor de "q" es:
2
21 Tan x
q1 Cot x
A) 2 B) 2/3
C) 3 D) 1/2
E) 1/3
8. Siendo "x" un ángulo agudo, secumple que:
Sen Cot Secx . Csc Tan Secx 18 3
Calcula: Tanx.
A) 22 /11 B) 23 /11
C) 2 6 /11 D) 26 /11
E) 29 /11
Problema 3En la figura, EF = 2 cm. Halla BC.
San Marcos 2008
Nivel díficil
A) 2sen cm B) 2ctg cmC) 2cos cm D) 2tg cmE) 2sec cm
ResoluciónUbicación de incógnitaDeterminar la longitud del lado BC
Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema* Desde el punto E, trazamos una
perpendicular al segmento CF.* BC // EH también BC = EH.* Graficamos:
x
2E
H
F
Por resolución:x = cos2x = 2cos
Conclusiones
En el sombreado:
x =2cos
Método práctico
Sabemos:
Respuesta: C) 2cos α c m
123SAN MARCOS REGULAR 2009 - III TRIGONOMETRÍA 2TEMA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
123
9. Si
2 2
2 2ab Sen10º–1 a –b Cos80º
Mab Cos80º 1 a b Sen10º
Simplifica:
1 M1–M
A) b/a B) 2C) 2a/b D) 3b/aE) a/b
10.En un triángulo rectángulo ABC(C = 90º), se cumple:
TanA + TanB =23
(SecA + CscB)
Hallar el valor de: E = SenA + CosBA) 3/2 B) 2/3C) 4/3 D) 3E) 5/3
11.En un triángulo rectángulo (C = 90º)se cumple:SenA . TanB – SecB.TanA = –2Calcular: T = 2TanB.CscA – 3A) –5 B) 1C) 1/2 D) –2E) –3
12.Del gráfico mostrado, determine elvalor de sabiendo que
AB = BC = AC
A) 1/2 B) 3 /8 C) 3 /4
D) 2/5 E) 3 /6
NIVEL III
13.A partir del gráfico, halla:
P 1 Tan , siendo AB = BC = CD.
A) 2 3 B) 4 3
C) 6 3 D) 3 2
E) 2 2
14.Del gráfico, calcula: " Tan "(T y C son puntos de tangencia).
A) 1/3 B) 1/4C) 1/6 D) 1/8E) 1/16
15.En el cuadrado ABCD, calcula:K 3Tan –9Tan ; A es un centrode EC.