Trường THPT Phan Châu Trinh - Đà Nẵng...Trang 1/39 TRƯỜNG THPT PHAN CHÂU TRINH TỔ TOÁN CÂU HỎI THAM KHẢO ÔN TẬP THPT QUỐC GIA NĂM 2020- Môn: TOÁN PHẦN

Trang 1/39

TRƯỜNG THPT PHAN CHÂU TRINH

TỔ TOÁN

CÂU HỎI THAM KHẢO ÔN TẬP THPT QUỐC GIA

NĂM 2020 - Môn: TOÁN

PHẦN GIẢI TÍCH

Chương I: Ứng dụng đạo hàm

I.Phần lý thuyết

- Xét chiều biến thiên của hàm số

- Tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên , trong khoảng ( ; )a b .

- Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu I, dấu hiệu II.

- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập ; , ;D a b D a b .

- Xét sự tương giao của hai đồ thị bằng phương trình, bằng đồ thị

- Từ đồ thị của hàm số ( )y f x xác định đồ thị của hàm số ( ) , ( ), y ( )y f x y f x f x

- Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 0 0( ; )M x y

- Phương pháp tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang

- Hàm số bậc ba: 3 2y a x bx cx d

+ Đồ thị

+ Tính chất cực trị

- Hàm số trùng phương: 4 2y a x bx c

+ Đồ thị

+ Tính chất cực trị

- Hàm số a x b

yc x d

+ Đồ thị

+ Tiệm cận

II.Phần bài tập

Câu 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 2. (QG 2019 Mã 101-C6)

Đồ thị của hsố nào dưới đây có dạng như đường cong hình vẽ bên

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 3.Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?

A. 3 23 2y x x .

B. 4 22 2y x x .

C. 3 23 2y x x .

D. 4 22 2y x x .

Câu 4. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:

f x

2;0 2; 0;2 0;

3 23 3y x x 3 23 3y x x

4 22 3y x x 4 22 3y x x

Trang 2/39

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. 2x . B. 1x . C. 1x . D. 3x .

Câu 5. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. . B. . C. . D. .

Câu 6. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình 2 3 0 f x là

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Câu 7.Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình là

A. . B. . C. . D. .

Câu 8. GTNN của hàm số trên đoạn bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Cho hàm số có đạo hàm , . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Câu 10. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. B. C. D.

y f x

2x 2x 3x 1x

f x

2 3 0f x

3 1 2 0

3 3 2f x x x 3;3

20 4 0 16

f x 2

' 2f x x x x

0 3 2 1

y f x

4. 1. 3. 2.

Trang 3/39

Câu 11. Cho hàm số , bảng xét dấu của như sau:

Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình là

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 13. Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình

là

A. B. C. D.

Câu 14.Cho hàm số , bảng biến thiên của hsố như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 15. Cho hai hs và ( là tham số thực) có đồ thị

lần lượt là và . Tập hợp tất cả các giá trị của để và cắt nhau tại điểm phân

biệt là

A. . B. . C. . D. .

Câu 16. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số 8 5 2 42 4 1y x m x m x đạt cực

tiểu tại 0 ?x

A. 3 . B. 5 . C. 4 . D. Vô số.

Câu 17. Cho hàm số 4 21 7

4 2y x x có đồ thị C . Có bao nhiêu điểm A thuộc C sao cho tiếp tuyến

của C tại A cắt C tại hai điểm phân biệt 1 1 2 2; , ;M x y N x y ( ,M N khác A ) thỏa mãn

1 2 1 26y y x x ?

A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 .

Câu 18. Cho hàm số 1

2

xy

x

có đồ thị C . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của C . Xét tam

f x f x

x 3 1 1

f x 0 0 0

3 2 y f x

4; 2;1 2;4 1;2

y f x

3 43

3f x x

3

8

7

4

y f x

3 23

3f x x

6 10 3 9

f x f x

24 4y f x x

9 5 7 3

3 2 1

2 1 1

x x x xy

x x x x

2y x x m m

1C 2C m 1C 2C 4

; 2 2; ;2 2;

Trang 4/39

giác đều ABI có hai đỉnh A , B thuộc C , đoạn thẳng AB có độ dài bằng

A. 6 . B. 2 3 . C. 2 . D. 2 2 .

Câu 19. Cho hàm số f x thỏa mãn 2

29

f và 2

2f x x f x với mọi x . Giá trị của

1f bằng

A. 35

36 . B.

2

3 . C.

19

36 . D.

2

15 .

Câu 20.Cho hai hàm số y f x , y g x . Hai hàm số y f x và y g x có đồ thị như hình vẽ

bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y g x .

Hàm số 3

4 22

h x f x g x

đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. 31

5;5

. B. 9

;34

. C. 31

;5

. D.

256;

4

.

Câu 21. Cho hàm số 2 1x mx

yx m

(với m là tham số). Tìm tất cả các giá

trị của tham số để hàm số có giá trị cực đại là 7.

A. 9.m B. 5.m C. 7.m D. 5.m

Câu 22. Hỏi phương trình 323 ln 2 2 0x x có bao nhiêu nghiệm

phân biệt?

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

Chương II : Hàm số lũy thừa-Hàm số mũ-Hàm số logarit

I.Phần lý thuyết

- Công thức lũy thừa:

, 0; , . / :

. ; : ; . ( ) ; : ( : )

1; ;1 1

x y x y x y x y x x x x x x

yx xy x x

x

Cho a b x y T c

a a a a a a a b ab a b a b

a a aa

, 0, , . / :m

n mnCho a b m n T c a a

00. / : 1Cho a T c a

-Công thức logarit

log

Cho . 0; , 0 1. T/ c :

log ( ) log log ; log log log ;log log

1 1log log ; ;log ;log .log log

log

loglog ( 0 1); log 1 0

log

a

a a a a a a a a

x

a a a b aab

ca a

c

x y a b

xxy x y x y x x

y

x x a x b b c ca

bb c

a

-Hàm số mũ xy a

+ Đạo hàm ' .ln ; 'x x x xa a a e e

+ Đồ thị

+ Tính đơn điệu

-Hàm số logarit logay x

Trang 5/39

+ Đạo hàm 1 1

log ' ; ln '.ln

a x xx a x

+ Đồ thị

+ Tính đơn điệu

-Công thức lãi kép: (1 )n

np p r

II.Phần bài tập

Câu 1: Rút gọn biểu thức 5

33 :Q b b với 0b .

A.

4

3Q b B. 4

3Q b C. 5

9Q b D. 2Q b

Câu 2: Cho biểu thức 4 3 2 3. .P x x x , với 0x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 1

2P x B. 13

24P x C. 1

4P x D. 2

3P x

Câu 3: Tính giá trị của biểu thức 2017 2016

7 4 3 4 3 7P .

A. 1P B. 7 4 3P C. 7 4 3P D. 2016

7 4 3P

Câu 4: Với a và b là hai số thực dương tùy ý, 2log ab bằng

A. 2log loga b . B. log 2loga b .

C. 2 log loga b . D. 1

log log2

a b .

Câu 5: Đặt 3log 2a , khi đó 16log 27 bằng

A. 3

4

a. B.

3

4a. C.

4

3a. D.

4

3

a .

Câu 6: Với a là số thực dương tùy ý, ln 7 ln 3a a bằng

A.

ln 7

ln 3

a

a B.

ln 7

ln 3 C.

7ln

3 D. ln 4a

Câu 7: Với a là số thực dương tùy ý, 3

3log

a

bằng:

A. 31 log a B. 33 log a

C. 3

1

log a D. 31 log a

Câu 8: Cho a là số thực dương khác 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x , y .

A. log

loglog

aa

a

xx

y yB. log log

a a

xx y

yC. log log log

a a a

xx y

yD. log log log

a a a

xx y

y

Câu 9: Cho a là số thực dương 1a và 3

3loga

a . Mệnh đề nào đúng?

A. 3P B. 1P C. 9P D. 1

3P .

Câu 10: Với mọi a , b , x là các số thực dương thoả mãn 2 2 2log 5log 3logx a b . Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

A. 3 5x a b B. 5 3x a b C. 5 3x a b D. 5 3x a b

Câu 11: Cho 3

log 2a và 2

1log

2b . Tính

2

3 3 1

4

2log log 3 logI a b .

A. 0I B. 4I C. 3

2I D.

5

4I

Trang 6/39

Câu 12: Cho a là số thực dương khác 2 . Tính

2

2

log4a

aI .

A. 1

2I B. 2I C.

1

2I D. 2I

Câu 13: Với a , b là các số thực dương tùy ý và a khác 1 , đặt 2

3 6log loga a

P b b . Mệnh đề nào dưới

đây đúng?

A. 9loga

P b

B. 27 loga

P b C. 15loga

P b D. 6loga

P b

Câu 14: Với các số thực dương , ba bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 3

2 2 2

2log 1 3log log

aa b

b

. B.

3

2 2 2

2 1log 1 log log

3

aa b

b.

C. 3

2 2 2

2log 1 3log log

aa b

b. D.

3

2 2 2

2 1log 1 log log

3

aa b

b.

Câu 15: Cho log 3,log 4a bx x với ,a b là các số thực lớn hơn 1. Tính log .

abP x

A. 7

12P B.

1

12P

C. 12P D.

12

7P

Câu 16: Đặt2 5log 3, log 3.a b Hãy biểu diễn

6log 45 theo a và b .

A. 6

2log 45

a ab

ab

B.

2

6

2 2log 45

a ab

ab

C.

6

2log 45

a ab

ab b

D.

2

6

2 2log 45

a ab

ab b

Câu 17: Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn 2 2 8a b ab , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 1

log log log2

a b a b

B. 1

log log log2

a b a b

C. 1

log 1 log log2

a b a b

D. log 1 log loga b a b

Câu 18: Cho , x y là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn 2 29 6x y xy .

Tính

12 12

12

1 log log

2log 3

x yM

x y.

A. 1

2M . B.

1

3M . C.

1

4M . D. 1M

Câu 19: Tập xác định D của hàm số 3

2 2y x x

là

A. D B. 0;D

C. ; 1 2;D

D. \ 1;2D

Câu 20: Tập xác định D của hàm số 1

31y x là

A. ;1D

B. 1;D

C. D D. \ 1D

Câu 21: Tìm tập xác định D của hàm số 2

3log 4 3y x x .

A. 2 2;1 3;2 2D . B. 1;3D .

C. ;1 3;D . D. ;2 2 2 2;D .

Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2log 2 1y x x m có tập xác định là

.

A. 2m B. 0m C. 0m D. 2m

Câu 23: Tính đạo hàm của hàm số 2

log 2 1y x .

Trang 7/39

A.

2

2 1y

x B.

1

2 1y

x C.

2

2 1 ln 2y

x D.

1

2 1 ln 2y

x

Câu 24: Hàm số 2

2log 2 f x x x có đạo hàm bằng

A. 2

ln 2

2

f x

x x. B.

2

1

2 ln 2

f x

x x.

C.

2

2 2 ln 2

2

xf x

x x. D.

2

2 2

2 ln 2

xf x

x x.

Câu 25: Cho hàm số ln x

yx

, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 2

12y xy

x . B. 2

1y xy

x . C. 2

1y xy

x . D. 2

12y xy

x .

Câu 26: Cho hàm số , x xy a y b với , a b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là 1C và

2C

như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 0 1b a

B. 0 1a b

C. 0 1b a D. 0 1a b

Câu 27: Cho hàm số lnf x x x . Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây

là đồ thị của hàm số y f x . Tìm đồ thị đó?

A. Hình 1 B. Hình 2 C. Hình 3 D. Hình 4

Câu 28: Cho ba số thực dương , ,a b c khác 1. Đồ thị các hàm số , ,x x xy a y b y c được cho trong

hình vẽ bên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a b c B. a c b C. b c a D. c a b

Câu 29: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2y ln 1 1x mx đồng biến

O

1C 2C

Trang 8/39

trên khoảng ;

A. ; 1 B. ; 1

C. 1;1 D. 1;

Câu 30: Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,6% / năm. Biết rằng nếu không rút

tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo.

Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) lớn hơn hoặc bàng hai lần

số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi xuất không thay đổi và người đố không rút

tiền ra?

A. 11 năm B. 10 năm C. 13 năm D. 12 năm

Câu 31: Đầu năm 2016 , ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân

viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả cho nhân viên

trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền

ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả 5 năm lớn hơn 2 tỷ đồng?

A. Năm 2022 B. Năm 2021 C. Năm 2020 D. Năm 2023

Câu 32: Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân

hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách

nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ

ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi

tháng ôn ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 2,22 triệu đồng. B. 3,03 triệu đồng.

C. 2,25 triệu đồng. D. 2,20 triệu đồng.

Câu 33: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức

0 .2 ,ts t s trong đó 0s là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s t là số lượng vi khuẩn A có sau

t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số

lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút.

Câu 34: Tập nghiệm của bất phương trình 2 62 2x x

là

A. 0; 6 B. ; 6

C. 0;64 D. 6;

Câu 35: Tập nghiệm S của bất phương trình 1 1

5 05

x là

A. 1;S . B. 1;S . C. 2;S

.D. ; 2S .

Câu 36: Tập nghiệm của phương trình 2

log 1 2x là

A. 3x . B. 4x . C. 3x . D. 5x .

Câu 37: Tập nghiệm của phương trình 2

3log ( 7) 2x là

A. { 15; 15} B. { 4;4} C. 4 D. 4

Câu 38: Tập nghiệm S của bất phương trình 1 1

2 2

log 1 log 2 1x x là

A. 2;S . B. ;2S . C. 1;2

2S

. D. 1;2S .

Câu 39: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2

2 2log 5log 4 0x x là

A.  [2;16]S B. (0; 2] [16 ; ) S

C. ( ; 2] [ 6 1 ;  ) D. ( ;1] [4 ; ) S

Câu 40: Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình 1 216 .4 5 45 0x xm m có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 13 B. 3 C. 6 D. 4

Câu 41: Tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6 3 2 0x xm m có nghiệm thuộc

Trang 9/39

khoảng 0;1 là

A. 3;4 B. 2;4

C. 2;4 D. 3;4

Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 16 2.12 ( 2).9 0x x xm

có nghiệm dương?

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3

Câu 43: Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình 3 9 27 81

2log .log .log .log

3x x x x bằng

A. 82

9 B.

80

9 C. 9 D. 0

Câu 44: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3log 7 3 2 x x bằng

A. 2 . B. 1. C. 7 . D. 3 .

Câu 45: Tìm giá trị thực của m để phương trình 2

3 3log log 2 7 0x m x m có hai nghiệm thực 1 2

,x x

thỏa mãn 1 2

81.x x

A. 4m B. 44m C. 81m D. 4m

Câu 46: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2

2 2log 2 log 3 2 0x x m có

nghiệm thực.

A. 1m B. 1m C. 0m D. 2

3m

Câu 47:Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong 2017;2017 để phương trình log 2log 1mx x có

nghiệm duy nhất?

A. 2017 . B. 4014. C. 2018. D. 4015.

Câu 48: Hỏi phương trình 323 6 ln 1 1 0x x x có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

Câu 49: Xét các số thực a , b thỏa mãn 1 a b . Tìm giá trị nhỏ nhất minP của biểu thức

2 2log 3log

ba

b

aP a

b.

A. min 19P

B. min 13P

C. min 14P D. min 15P

Câu 50: Cho phương trình 55 logx m x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

20;20m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 20 B. 19 C. 9 D. 21

Câu 51: Cho 0a , 0b thỏa mãn 2 2

3 2 1 6 1log 9 1 log 3 2 1 2a b aba b a b . Giá trị của

2a b bằng

A. 6 B. 9 C. 7

2 D.

5

2

Câu 52: Xét hàm số 2

9

9

t

tf t

m với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m

sao cho 1f x f y với mọi số thực ,x y thỏa mãn

x ye e x y .Tìm số phần tử của S .

A. Vô số B. 1 C. 2 D. 0

Câu 53:Xét các số thực dương a , b thỏa mãn

2

1log 2 3

abab a b

a b. Tìm giá trị nhỏ nhất

minP của

2P a b .

A.

min

2 10 3

2P B.

min

2 10 5

2P

Trang 10/39

C.

min

3 10 7

2P D.

min

2 10 1

2P

Câu 54: Cho phương trình 2

9 3 3log log 3 1 logx x m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá

trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. Vô số.

Câu 55: Cho phương trình 2

2 24log log 5 7 0xx x m ( m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu

giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt

A. 49 . B. 47 . C. Vô số. D. 48 .

Chương III: Nguyên hàm-Tích phân và ứng dụng

I.Nguyên hàm

1. Các nguyên hàm cơ bản

dx x C

11( 1)

1x dx x C

1

lndx x Cx

sin cosxdx x C

cos sinxdx x C

2

1tandx x C

cos x

2

1cot

sindx x C

x

x xe dx e C

( 0, 1)ln

xx a

a dx C a aa

2.Bài tập vận dụng

Câu 1. Biết sin3x ax cos3x sin3x x dx b C , khi đó giá trị a+6b là

A. -21 B. -7 C. -5 D. -1

Câu 2. Biết 2 2 x xx e dx x mx n e C , giá trị m.n là

A. 6 B. 4 C. 0 D. -4

Câu 3. Biết 63 ( 1) ( 1)

x x x kae e dx e C

b,với

a

b là phân số tối giản; giá trị a+b+2k là

A. 33 B. 32 C. 28 D. 24

Câu 4. Biết 2

2tan(3x-1)

cos (3 1)

a

dx Cx b

, với a

b là phân số tối giản.Giá trị a+b là

A. -5 B. -1 C. 5 D. 7

Câu 5. Biết 2(2 3ln ) 1

(2 3lnx)

bx

dx Cx a

giá trị b

a là

A. 1

3 B.

1

2 C. 1 D. 2

Câu 6. Biết 2 2 22 ( 2) 2

ax x dx x x C

b, với

a

b là phân số tối giản; khi đó a+b là

A. 1 B. 3 C. 4 D. 5

Câu 7. Biết 2

1ln 1 tan3x

cos 3 (1 3 )

a

dx Cx tan x b

với a

b là phân số tối giản; giá trị 2a+b là

Trang 11/39

A. 5 B. 4 C. 7 D. 10

Câu 8. Biết sin a cos sin3 3 3

x x x

x dx x b C , khi đó a+b là

A. 2 B. 6 C. 9 D. -12

Câu 9. Biết 2

21 1ln(1 ) ln(1 ) ln 1 1

xx x dx x x x C

m n k, giá trị mn+k là

A. 12 B. 4 C. 2 D. 0

Câu 10. Biết 1

sin 2 cos 2 sin 2 a

x xdx x x x Cb n

với a

b là phân số tối giản; giá trị 2a+ b+n là

A. 2 B. 4 C. 6 D. 10

Câu 11. Biết 2 21( 3) e 2

x xx e dx x n Cm

, giá trị 2 2m n là

A. 5 B. 10 C. 41 D. 65

Câu 12. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A. f x dx F x C B. kf x dx k f x dx

C. f x g x dx f x dx g x dx D. . . f x g x dx f x dx g x dx

Câu 13. Cho ( )u u x , ( )v v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục, khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. udv uv vdu B. udv uv vdu C. u

udv vduv

D. vdu uv vdu

Câu 14. Cho ( ) ( ) f u du F u C và ( )u u x là hàm số có đạo hàm liên tục, khẳng định nào sau đây là

đúng ?

A. ( ( )) '( ) ( ( )) f u x u x dx f u x C B. ( '( )) '( ) ( ( )) f u x u x dx F u x C

C. '( ( )) '( ) ( ( )) f u x u x dx f u x C D. ( '( )) ( ) ( ( )) f u x u x dx F u x C

Câu 15. Cho 8

xxe dx , đặt

8

x

u x

dv e dx khi đó ta có

A. 81

8

x

du dx

v e B.

88

x

du dx

v e C.

2

8

2

8

x

xdu dx

v e

D.

2

8

2

1

8

x

xdu dx

v e

Câu 16. Cho I=32

xx e dx , đặt

3u x , khi đó viết I theo u và du ta được

A. 3 uI e du B.

uI e du C. 1

3

uI e du D. uI ue du

Câu 17. Cho I=5 2 15 x x dx , đặt 2 15 u x khi đó viết I theo u và du ta được

A. 6 4 2( 30 225u ) I u u du B. 4 2( 15 ) I u u du

C. 6 2 2( 30 225 ) I u u u du D. 5 3(u 15u ) I du

Câu 18. Biết 2 2 24 4 ln 4 x dx ax x b x x C giá trị ab là

A. -1 B. 1 C. 3 D. 4

Câu 19. Biết 2 21( 3) e 2

x xx e dx x n Cm

, giá trị 2 2m n là

A. 5 B. 10 C. 41 D. 65

Câu 20. Nếu 2( ) ( ) 2 -1 F x ax bx c x là một nguyên hàm của hàm số

210 - 7 2f( )

2 -1

x xx

x

Trang 12/39

trên khoảng 1

;2

thì a+b+c có giá trị là

A. 4 B. 3 C. 2 D. 0

Câu 21. Giá trị a, b, c để 2( ) ( ) 2 -3 g x ax bx c x là một nguyên hàm của hàm số 220 -30 7

( )2 -3

x xf x

x trong khoảng

3;

2

là

A.a=4, b=2, c=2 B. a=1, b=-2, c=4 C. a=-2, b=1, c=4 D. a=4, b=-2, c=1

Câu 22. Cho 3 2( ) ( ) xF x x kx lx m e là một nguyên hàm của hàm số 3( ) xf x x e trong . Ta có

2 2 2k l m bằng

A. 16 B. 25 C. 49 D. 81

Câu 23. Biết cos

ln 5sin 95sin 9

x a

dx x Cx b

với a

b là phân số tối giản; giá trị 2a- b là

A. -4 B. -3 C. 7 D. 10

Câu 24:Giả sử hàm số ( )f x liên tục, dương trên ; thỏa mãn 0 1f và 2 1

f x x

f x x

. Khi đó hiệu

2 2 2 1T f f thuộc khoảng

A. 2;3 B. 7;9 C. 0;1 D. 9;12

Câu 25: Cho hàm số f x thỏa mãn 2 2. 2 1f x f x f x x x , x và

0 0 3f f . Giá trị của 2

1f bằng

A. 28 B. 22 C. 19

2 D. 10

II. Tích phân

1.Định nghĩa

Cho là hàm số liên tục trên đoạn Giả sử là một nguyên hàm của trên Hiệu số

được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số kí

hiệu là

Ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số . Vậy

Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi hay Tích phân đó

chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì tích phân

là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox và hai đường

thẳng Vậy

2.Tính chất của tích phân

1. 2.

3. ( ) 4.

f [ ; ].a b F f [ ; ].a b

( ) ( )F b F a [ ; ]a b ( ),f x

( ) .b

a

f x dx

( ) ( ) ( )b

aF x F b F a ( ) ( )F b F a ( ) ( ) ( ) ( )

bb

a

a

f x dx F x F b F a

f ( )b

a

f x dx ( ) .b

a

f t dt

f [ ; ]a b

( )b

a

f x dx ( )y f x

, .x a x b ( ) .b

a

S f x dx

( ) 0a

a

f x dx ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

( ) ( ) ( )b c c

a b a

f x dx f x dx f x dx a b c . ( ) . ( ) ( )b b

a a

k f x dx k f x dx k

Trang 13/39

5. .

3. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho biết 2

0

d 3f x x và 2

0

d 2g x x . Tính tích phân 2

0

2 2 dI x f x g x x .

A. 11I . B. 18I . C. 5I . D. 3I .

Câu 2. Cho hàm số f x liên tục trên và có 2 4

0 2

d 9; d 4f x x f x x . Tính 4

0

dI f x x ?

A. 9

4I . B. 36I . C. 13I . D. 5I .

Câu 3. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn 1;5 sao cho 5

1

d 2f x x và 5

1

d 3g x x . Giá

trị của 5

1

2 dg x f x x là

A. 4 . B. 6 . C. 2 . D. 2 .

Câu 4. Tìm số thực 0a thỏa mãn 3

1

8756 d

4

a

x x x .

A. 4a . B. 5a . C. 6a . D. 3a .

Câu 5. Cho 1

0

d 2f x x và 5

1

2 d 6f x x khi đó 5

0

df x x bằng:

A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 .

Câu 6. Giá trị của

0

1

1

e dx x

bằng

A. 1 e . B. e - 1. C. e . D. e .

Câu 7. Cho

2

1

d 3f x x

và

1

2

d 1g x x

. Tính

2

1

2 3 dI x f x g x x

.

A. 21

2. B.

26

2. C.

7

2. D.

5

2.

Câu 8. Cho 2

1

d 2f x x

và 2

1

1dg x x

. Tính 2

1

2 3 ( ) dI x f g xx x

.

A. 7

2I . B.

17

2I . C.

5

2I . D.

11

2I .

Câu 9. Cho 2

0

3 2 1 d 6m

x x x . Giá trị của tham số m thuộc khoảng nào sau đây?

A. 1;2 . B. ;0 . C. 0;4 . D. 3;1 .

Câu 10. Biết rằng , với là các số hữu tỉ.

Giá trị của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Tính 3

20

d1

ax x

I xx

.

[ ( ) ( )] ( ) ( )b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

1

0

dln 2 ln3 ln5

3 5 3 1 7

xa b c

x x

, ,a b c

a b c

10

3

5

3

10

3

5

3

Trang 14/39

A. 2 21 1 1I a a . B. 2 211 1 1

3I a a

.

C. 2 211 1 1

3I a a

. D. 2 21 1 1I a a .

Câu 12. Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả e

3

1

3e 1ln d

a

x x xb

?

A. . 64a b . B. . 46a b . C. 12a b . D. 4a b .

Câu 13. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên thỏa mãn 3 3 1,f x x x x . Tích

phân 4

0

f x dx bằng:

A. 25

4. B. 88 . C. 25 . D.

7

4.

Câu 14. Cho hàm số f x thỏa mãn 2

0

1 d 9A x f x x và 2 0 3f f . Tính 2

0

dI f x x

A. 12I . B. 12I . C. 6I . D. 6I .

Câu 15. Cho

1

0

3 1d ln 5 ln 3

5

xx a b c

x

với , ,a b c là các số hữu tỷ. Giá trị của biểu thức a b c

bằng :

A. 6. B. -4. C. 14. D. -2.

Câu 16. Cho hàm số y f x với 0 1 1f f . Biết rằng 1

0

e d ex f x f x x a b , a ,

b . Giá trị của biểu thức 2019 2019a b bằng

A. 20182 1 . B. 2 . C. 0 . D.

20182 1 .

Câu 17. Cho f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn 1

0

2 16, 2 d 6f f x x . Tính

2

0

. dI x f x x ta được kết quả

A. 14I . B. 20I . C. 10I . D. 4I .

Câu 18. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ.

Giá trị của biểu thức 4 2

0 0

' 2 d ' 2 dI f x x f x x bằng

A. 2 . B. 2 . C. 6 . D. 10 .

Câu 19. Cho hàm số f x liên tục có đồ thị như hình bên dưới

Trang 15/39

Biết ( ) ( ), [ 5;2]F x f x x và 1

3

14d

3f xx

. Tính 2 5F F .

A. 145

6 . B.

89

6 . C.

145

6. D.

89

6.

Câu 20. Cho hàm số f x có đạo hàm trên và thỏa mãn 3

0

2 4 d 8x f x x ; 2 2f . Tính

1

2

2 dI f x x

.

A. 5I . B. 10I . C. 5I . D. 10I .

Câu 21. Cho hàm : 0,2

f

là hàm liên tục thỏa mãn điều kiện

2

2

02 sin co ds 1

2f x f x x x x

. Tính 2

0( d)f x x

.

A. 2

0) 1d(f x x

. B. 2

0) 1d(f x x

. C. 2

0) 2d(f x x

. D. 2

0) 0d(f x x

.

III. Diện tích hình phẳng

1.Lý thuyết

a.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục trên đoạn , trục hoành và hai

đường thẳng , được xác định:

b.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , liên tục trên đoạn và hai

đường thẳng , được xác định:

( )y f x ;a b

x a x b ( )b

a

S f x dx

( )y f x ( )y g x ;a b

x a x b ( ) ( )b

a

S f x g x dx

( )

( )

y f x

y 0H

x a

x ba 1

c2

c

( )y f x

y

O x

3c b

( )

b

a

S f x dx

1 1

2 2

( ) : ( )

( ) : ( )( )

C y f x

C y f xH

x a

x b

1( )C

2( )C

1 2( ) ( )

b

a

S f x f x dx a1

c

y

O b x2

c

Trang 16/39

Chú ý:

- Nếu trên đoạn , hàm số không đổi dấu thì:

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , và hai đường thẳng ,

được xác định:

2. Phương pháp.

Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường là .

Phương pháp giải toán

+) Giải phương trình

+) Nếu (1) vô nghiệm thì .

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc. . giả sử thì

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn rồi dựa vào bảng xét dấu để tính

tích phân.

Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường là . Trong đó là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của

phương trình .

Phương pháp giải toán

Bước 1. Giải phương trình tìm các giá trị .

Bước 2. Tính như trường hợp 1.

IV. Thể tích

1.Lý thuyết

a.Thể tích vật thể không tròn xoay

Gọi là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; là

diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm , . Giả

sử là hàm số liên tục trên đoạn .

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:

b.Thể tích khối tròn xoay:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và

hai đường thẳng , quanh trục Ox:

[ ; ]a b ( )f x ( ) ( )b b

a a

f x dx f x dx

( )x g y ( )x h y y c y d

( ) ( )d

c

S g y h y dy

( ), ( ), , y f x y g x x a x b ( ) ( )b

a

S f x g x dx

( ) ( ) (1)f x g x

( ) ( )b

a

S f x g x dx

;a b ( ) ( ) ( ) ( )b

a

S f x g x dx f x g x dx

( ) ( )f x g x a; b

( ), ( )y f x y g x ( ) ( )S f x g x dx ,

( ) ( )f x g x a b

( ) ( )f x g x ,

( ) ( )S f x g x dx

B ( )S x

x ( )a x b

( )S x [ ; ]a b

( )b

a

V S x dx

( )y f x

x a x b

( )

b

a

S x dxV xO

a b

( )V

S(x)

x

Trang 17/39

Chú ý:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành

và hai đường thẳng , quanh trục Oy:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ,

và hai đường thẳng , quanh trục Ox:

2. Bài tập vận dụng.

Câu 1. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 3xy , 0y , 0x , 2x . Mệnh đề

nào dưới đây đúng ?

A.

2

0

3 dxS x . B.

2

2

0

3 dxS x . C.

2

0

3 dxS x . D.

2

2

0

3 dxS x .

Câu 2. Cho hàm số f x liên tục trên , diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,x a x b a b được tính theo công thức

A. db

a

S f x x .

B. db

a

S f x x . C. db

a

S f x x . D. 2 db

a

S f x x .

Câu 3. Cho hàm số f x liên tục và không âm trên đoạn ;a b , diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị hàm số f x , các đường thẳng ,x a x b và trục Ox là

A. db

a

f x x . B. db

a

f x x . C. 2

db

a

f x x . D. db

af x x .

Câu 4. Ký hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành, đường

, x a x b ( như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây là đúng?

( )x g y

y c y d

( )y f x ( )y g x

x a x b 2 2( ) ( )b

a

V f x g x dx

( ) : ( )

( ) :

C y f x

Ox y 0

x a

x b

2

( )

b

x

a

V f x dx a

( )y f x

y

O b x

c

y

O

d

x

( ) : ( )

( ) :

C x g y

Oy x 0

y c

y d

2

( )

d

y

c

V g y dy

Trang 18/39

A. d b

a

S f x x . B. d d c b

a c

S f x x f x x .

C. d d c b

a c

S f x x f x x . D. d d c b

a c

S f x x f x x .

Câu 5. Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào sau

đây?

A.

2

4 2

1

1 34 d

2 2x x x x

. B.

2

4 2

1

1 31 d

2 2x x x x

.

C.

2

4 2

1

1 31 d

2 2x x x x

. D.

2

4 2

1

1 34 d

2 2x x x x

.

Câu 6. Gọi S là diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường y f x , trục hoành và 2 đường

thẳng 1, 2x x trong hình vẽ bên.

Đặt 0 2

1 2

1 0

d , dS f x x S f x x

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 1 2S S S . B. 1 2S S S . C. 1 2S S S . D. 2 1S S S .

Câu 7. Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc trong hình vẽ bên bằng

Trang 19/39

A. 3

1

2 dx x . B. 3

1

2 2 dx x . C. 3

1

2 2 dx x . D. 3

1

2 2 dx x .

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 3y x , trục hoành và hai đường thẳng

1x , 1x bằng

A. 1

3. B.

1

2. C.

2

3. D. 1.

Câu 9. Cho 4 2( ) 5 4f x x x . Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

( )y f x và trục hoành. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A.

2

2

( ) d .S f x x

B.1 2

0 1

2 ( )d 2 ( )d .S f x x f x x

C.

2

0

2 ( ) d .S f x x D. 2

0

2 ( )d .S f x x

Câu 10. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình dưới đây.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và trục Ox là

A. S 2 0

0 1

d df x x f x x

. B. 2

1

dS f x x

.

C. 2

1

dS f x x

. D. 0 2

1 0

d dS f x x f x x

.

Câu 11. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1

1

xy

x

và các trục tọa độ. Khi đó

giá trị của S là

A. 1 ln 2.S B. 2ln 2 1.S C. 2ln 2 1.S D. ln 2 1.S

Câu 12. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 3y x x ; 2y x và các đường 1x ;

1x được xác định bởi công thức:

A. 0 1

3 3

1 0

3 d 3 dS x x x x x x

. B. 0 1

3 3

1 0

3 d 3 dS x x x x x x

.

C. 1

3

1

3 dS x x x

. D. 1

3

1

3 dS x x x

.

Câu 13. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 2y x và đường thẳng 2y x bằng

A. 9

2. B.

5

2. C.

11

2. D.

12

2 .

Câu 14. Tính diện tích S của hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường cong 3 12y x x và

2y x .

A. 937

12S . B.

343

12S . C.

793

4S . D.

397

4S .

Trang 20/39

Câu 15. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên 2;1 . Hình bên là đồ thị của hàm số

.y f x Đặt 2

.2

xg x f x

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 1 2 0 .g g g B. 0 1 2 .g g g

C. 2 1 0 .g g g D. 0 2 1 .g g g

Câu 16. Cho hàm số 3 2 , ,y x ax bx c a b c có đồ thị C và 2 , ,y mx nx p m n p

có đồ thị P như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và P có giá trị nằm trong

khoảng nào sau đây?

A. 0;1 . B. 1;2 . C. 2;3 . D. 3;4 .

Câu 17. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường 2 1y x x , 0y , 0x , 2x . Gọi V là

thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay H xung quanh trục Ox . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 2

2

0

1 dV x x x . B. 2

22

0

1 dV x x x .

C. 2

22

0

1 dV x x x . D. 2

2

0

1 dV x x x .

Câu 18. Cho hình phẳng ( H ) (phần gạch chéo trong hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay khi hình ( H )

quay xung quanh Ox được tính theo công thức nào dưới đây?

Trang 21/39

A.

1 1

4 2 4

1 1

( 4 4)x x dx x dx

. B.

1 1

4 2 4

1 1

( 4 4)x x dx x dx

.

C.

1

4 2

1

(4 8 4)x x dx

. D.

1 1

4 4 2

1 1

( 4 4)x dx x x dx

.

Câu 19. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Thể tích của

khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục được định bởi công thức

A. . B. . C. . D. .

Câu 20. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng 0x , x . Biết rằng thiết diện của vật thể

cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x 0 x là một tam giác vuông cân có

cạnh huyền bằng s in 2x .

A. 7

16

. B.

91

8

. C.

72

6

. D.

92

8

.

Câu 21. Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình

parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6

mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại.

A. 372 m . B.

336 m . C. 372 m . D.

336 m .

Chương IV: Số phức

I.Lý thuyết

1. Định nghĩa

+ Một số phức là một biểu thức dạng z a bi với ,a b và 2 1i ,

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z a bi .

+ Tập hợp các số phức được kí hiệu là .

2/ , ; 1a bi a b i .

+ Chú ý:

- Khi phần ảo 0b z a : khi đó z là số thực.

- Khi phần thực 0a z bi z là số thuần ảo.

- Số 0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo.

+ Hai số phức bằng nhau: , , , ,a c

a bi c di a b c db d

.

+ Hai số phức 1 2; z a bi z a bi được gọi là hai số phức đối nhau.

2. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của z a bi với ,a b là a bi và được kí hiệu bởi z . Rõ ràng z z

3. Biểu diễn hình học

4. Trong mặt phẳng phức Oxy ( Ox là trục thực, Oy là trục ảo ), số phức z a bi với ,a b

được biểu diễn bằng điểm ;M a b .

5. Môđun của số phức

Môđun của số phức ,z a bi a b là 2 2z a b .

D 2 , 0, 0xy y x 2x V

D Ox

2

1

0

2 dxxV 2

1

0

2 dxxV 2

0

4 dxxV 2

0

4 dxxV

Trang 22/39

Như vậy, môđun của số phức z là z chính là khoảng cách từ điểm M biểu diễn số phức

,z a bi a b đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức là:

2 2OM a b zz .

6. Các phép toán trên tập số phức

Cho hai số phức ; ' ' ' z a b i với , b,a', b'a và số k .

+ Tổng hai số phức: ' ' ( ')z z a a b b i

+ Hiệu hai số phức: ' ' ( ') .z z a a b b i

+ Số đối của số phức z a bi là z a bi .

+ Nếu , 'u u theo thứ tự biểu diễn các số phức , 'z z thì

'u u biểu diễn số phức 'z z .

'u u biểu diễn số phức 'z z .

+ Nhân hai số phức:

. ' ' ' . ' . ' . ' '.z z a bi a b i a a b b a b a b i .

+ Chia 2 số phức:

- + Số phức nghịch đảo: 1

2

1z z

z

- Nếu 0z thì 2

' '.z z z

z z , nghĩa là nếu muốn chia số phức 'z cho số phức 0z thì ta nhân cả tử và

mẫu của thương 'z

zcho z .

+ Chú ý: 4 4 1 4 2 4 31; ; 1; (k )k k k ki i i i i i

7. Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn 2 wz được gọi là một căn thức bậc 2 của w. Mỗi số phức

w 0 0 có hai căn bậc hai là hai số phức đối nhau (z và –z).

*Trường hợp w là số thực ( w a )

+ Khi a>0 thì w có hai căn bậc hai là a và a .

+ Khi a<0 nên 2( )a a i , do đó w có hai căn bậc hai là .a i và .a i .

Ví dụ 1: Hai căn bậc 2 của -1 là i và –i.

Hai căn bậc 2 của 2 ( 0)a a là , .ai ai

*Trường hợp w ( , ; 0)a bi a b b

+ Cách 1:

Gọi (x,y )z x yi là căn bậc 2 của w khi và chỉ khi 2 wz , tức là:

2

2 2

( )

...; ...2

x yi a bi

x y ax y

xy b

Trang 23/39

Mỗi cặp số thực (x;y) nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ra một căn bậc hai z x yi của số phức

w a bi .

+ Cách 2:

Có thể biến đổi w thành bình phương của một tổng, nghĩa là 2w z . Từ đó kết luận căn bậc hai của w là

z và - z .

8. Giải phương trình bậc hai trên tập số phức

a) Phương pháp giải:

Cho phương trình bậc 2: 2 0 (1)Az Bz C

Trong đó A,B,C là những số phức A≠0.

Xét biệt thức 2 4B AC

+ Nếu 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: 1 2;

2 2

B Bz z

A A

Trong đó là một căn bậc 2 của .

+ Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2

2

Bz z

A

CHÚ Ý:

+ Mọi phương trình bậc n: 1

0 1 1... 0n n

n nA z A z A z A

luôn có n nghiệm phức (không nhất

thiết phân biệt).

+ Hệ thức Vi-ét đối với phương trình bậc 2 số phức hệ số thực:

Cho phương trình bậc 2 : 2 0 ( , , ; 0)Az Bz C A B C A có 2 nghiệm phân biệt (thực hoặc phức).

Ta có:

1 2

1 2 .

BS z z

A

CP z z

A

II.Bài tập vận dụng.

Câu 1. Cho số phức 1 2z i . Tìm phần ảo của số phức z .

A. 2. B. 2 . C. 1 . D. 1.

Câu 2. Tìm các số thực ,x y thỏa mãn 3 2 4 1 2 i x yi i i x yi

A. 3, 1 x y . B. 3, 1 x y . C. 1, 3 x y . D. 3, 1 x y .

Câu 3. Cho số phức 2

1 1 2 .z i i Số phức z có phần ảo là

A. 2i . B. 4 . C. 2 . D. 4 .

Câu 4. Cho số phức 1z thỏa mãn 3 1z . Tính 2018 20181 1z z z z .

A.1. B.-2. C.4. D.2.

Câu 5. Cho số phức 1 2z i . Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức 2w z z .

A. 3. B. 5. C. 1. D. 2.

Câu 6. Trên tập số phức, cho biểu thức 1A a bi i ( , a b là số thực). Khẳng định nào sau đây

đúng?

A. .A a b a b i B. .A a b b a i

C. .A a b a b i D. .A a b a b i

Câu 7. Kí hiệu 1 2,z z là hai nghiệm của phương trình 2 4 5 0z z . Giá trị của

2 2

1 2z z bằng

A. 6 . B. 10 . C. 2 5 . D. 4 .

Câu 8. Tìm các số thực x , y thỏa mãn 2 1 2 1x y i i với i là đơn vị ảo.

A. 1; 1x y . B. 1; 2x y . C. 1; 3x y . D. 1; 3x y .

Trang 24/39

Câu 9. Tìm số phức z biết 4 5 27 7z z i .

A. 3 7z i . B. 3 7z i . C. 3 7z i . D. 3 7z i .

Câu 10. Cho số phức . Môđun của số phức là

A. 370

10. B.

10

10. C. 10 . D.

3 1

10 10i

.

Câu 11. Cho 1 22 4 , 3 5z i z i . Xác định phần thực của

2

1 2.w z z

A. 120 . B. 32 . C. 88 . D. 152 .

Câu 12. Cho các số thực x , y thỏa mãn 4 3 2 4 2i x yi . Tính giá trị của P x y .

A. 4P . B. 7P . C. 1P . D. 8P .

Câu 13. Cho ba số phức 1 2 3; ;z z z thỏa mãn

1 2 3

1 2 3

0

2 2

3

z z z

z z z

. Tính

2 2 2

1 2 2 3 3 1A z z z z z z

A.2 2

3 . B. 2 2 . C.

8

3. D.

3

8.

Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn phương trình 2

3 2 2 4i z i i . Tìm tọa độ điểm M biểu

diễn số phức z .

A. 1;1M . B. 1; 1M . C. 1;1M . D. 1; 1M .

Câu 15. Tìm số phức z thỏa mãn (2 ) 3 5z i z i .

A. 2 3z i . B. 2 3z i . C. 2 3z i . D. 2 3z i .

Câu 16. Cho 1 2,z z là hai số phức thỏa mãn điều kiện | z 5 3i | 5 đồng thời 1 2| | 8z z . Tập hợp các

điểm biểu diễn số phức 1 2w z z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình

A. 2 2( 10) ( 6) 36x y . B.2 2( 10) ( 6) 16x y .

C.2 25 3

( ) ( ) 92 2

x y . D.2 25 3 9

( ) ( )2 2 4

x y .

Câu 17. Số phức z có điểm biểu diễn A . Phần ảo của số phức z

z i bằng

A. 1

4. B.

5

4. C.

1

4i . D.

5

4i .

Câu 18. Cho số phức z thoả mãn 2z . Biết điểm A trong hình vẽ bên biểu diễn số phức z . Trong

hình vẽ bên, điểm nào dưới đây biểu diễn số phức 1

wiz

.

3

3

iz i

i

z

Trang 25/39

A. M . B. N . C. P . D. Q .

Câu 19. Cho số phức z thỏa mãn 1 2 3i z i z . Môđun của số phức 2

1

i zw

i

là?

A. 122

5. B.

3 10

2. C.

45

4. D.

122

2.

Câu 20. Cho số phức 2 3 20171 2 3 4 ... 2018z i i i i có phần thực là a và phần ảo là b . Tính b a .

A.1 . B. 1 . C.1010 . D. 2017 .

Câu 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu biễn các số phức z thỏa mãn

1 2 1 2z i z i là đường thẳng có phương trình

A. 2 1 0x y . B. 2 0x y . C. 2 0x y . D. 2 1 0x y .

Câu 22. Mô đun số phức nghịch đảo của số phức 2(1 ) z i bằng

A. 5 . B. 2 . C. 1

2. D.

1

2.

Câu 23. Cho số phức ,z a bi a b thỏa mãn 1 3

11 2

ia b i

i

.Giá trị nào dưới đây là môđun

của z ?

A. 5 . B. 1. C. 10 . D. 5 .

Câu 24. Cho số phức z thỏa 1 2z và số phức 1 3 2w i z . Tính giá trị của biểu thức

3 3A w i

A. 8. B. 12. C. 6. D. 4.

Câu 25. Gọi 1 2,z z là hai nghiệm phức của phương trình 22 7 0z z . Tính 1 2 2 1. .S z z z z .

A. 1

2. B.

27

4. C. 2 . D.

7

2.

Câu 26. Cho số phức z thỏa mãn 2.z Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 4P z i bằng:

A. 5. B. 3. C. -3. D. 7.

Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn 2 2 2z iz . Giá trị lớn nhất của biểu thức 1P iz bằng

A. 2 . B. 3 . C. 3 . D. 2 .

Câu 28. Giả sử z là số phức thỏa mãn 2 3iz i . Giá trị lớn nhất của biểu thức

2 4 5 8z i z i bằng

A. 18 5 . B. 3 15 . C. 15 3 . D. 9 5 .

Trang 26/39

Câu 29. Cho số phức z thỏa 5z . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4

5

z i

z

bằng

A. 5

.34

B. 2

.5

C. 9

.10 41

D. 4

.13

Câu 30. Xét số phức z thỏa 2 1 3 2 2z z i . Mệnh đề nào dưới đây đúng

A.

32

2z . B. 2z . C.

1

2z . D.

1 3

2 2z .

Câu 31. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | 2 | 2 2z i và 2( 1)z là số thuần ảo ?

A. 3 . B. 3 . C. 4 . D. 2 .

HÌNH HỌC 12

ChươngI. Khối đa diện

1.Lý thuyết

- Các khối đa diện đều:

Tứ diện đều 3;3 ; Lập phương 4;3 ; Bát diện đều 3;4 ;

Mười hai mặt đều 5;3 ; Hai mươi mặt đều 3;5

-Thể tích khối chóp 1

.3

V S h với S : Diện tích đáy, h : Đường cao của hình chóp

-Thể tích khối lăng trụ .V S h với S : Diện tích đáy, h : Đường cao của lăng trụ

2.Bài tập

Câu 1. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ?

A. 4. B. 3 mặt phẳng. C. 6 mặt phẳng. D. 9 mặt phẳng.

Câu 2.Mặt phẳng ( )AB C chia khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C thành các khối đa diện nào ?

A. Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác. C. Hai khối chóp tam giác.

B. Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác. D. Hai khối chóp tứ giác.

Câu 3. Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ?

A. 4 mặt phẳng B. 1 mặt phẳng C. 2 mặt phẳng D.3

Câu 4. Cho hình bát diện đều cạnh a. Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều đó.

Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 24 3S a B. 23S a C. 22 3S a D. 28S a

Câu 5. Có bao nhiêu loại khối đa diện đều có mỗi mặt là một tam giác đều?

A. 5. B. 4. C. 2. D. 3.

Câu 6: Cho các khối: khối tứ diện đều, khối bát điện đều, khối lập phương, khối hộp. Khối nào không có

tâm đối xứng?

A. Khối hộp. B. Khối tứ diện đều. C. Khối lập phương. D. Khối bát diện

đều.

Câu 7: Cho khối chóp có đáy là một thập giác. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Số đỉnh của khối chóp là 11. B. Số mặt bên của khối chóp là 10.

C. Khối chóp có số mặt nhỏ hơn số đỉnh. D. Khối chóp có số cạnh lớn hơn số đỉnh.

Câu 8: Khối đa diện đều loại 5;3 có số đỉnh là D và số cạnh là C . Tính T D C .

A. 50.T B. 32.T C. 18.T D. 42.T Câu 9. Cho hình đa diện đều loại 4;3 cạnh .a Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của hình đa diện

đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 24 .S a B. 28 .S a C. 26 .S a D. 210 .S a

Câu 10: Gọi M và C lần lượt là số mặt và số cạnh của một khối đa diện đều. Số đỉnh của khối đa diện đều

đó là bao nhiêu, biết rằng 4 33 2 432M C .

A. 4 . B. 12 . C. 6. D. 8 .

Câu 11. (Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính tích V của

khối chóp tứ giác đã cho.

Trang 27/39

A. 32

2

aV B.

32

6

aV C.

314

2

aV D.

314

6

aV

Câu 12. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với mặt

phẳng (SAB) một góc 30 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 36

3

aV B.

32

3

aV C.

32

3

aV D. 32V a

Câu 13. Cho khối chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a , 3AD a , SA vuông góc với đáy và mặt

phẳng ( )SBC tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối chóp .S ABCD .

A. 3

3

aV B.

33

3

aV C. 3V a D. 33V a

Câu 14. Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, 4, 6, 10SA AB BC và 8CA . Tính thể tích V

của khối chóp S.ABC.

A. 40V B. 192V C. 32V D. 24V

Câu 15. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( )SBC bằng 2

2

a. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. 3

2

aV B. 3V a C.

33

9

aV D.

3

3

aV

Câu 16. Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ

A đến mặt phẳng (SBC) bằng 3. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ( )ABC , tính cos khi thể tích

khối chóp S.ABC nhỏ nhất.

A. 1

cos3

B. 3

cos3

C. 2

cos2

D. 2

cos3

Câu 17. Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của

khối chóp S.ABC.

A. 313

12

aV B.

311

12

aV C.

311V=

6

a D.

311V=

4

a

Câu 18. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng SBD và mặt phẳng ABCD bằng 060 . Tính theo a thể tích V của khối

chóp .S ABCD .

A. 3 6

12

aV . B. 3V a . C.

3 6

6

aV . D.

3 6

2

aV .

Câu 19. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , đường chéo AC a , tam giác SAB

cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa SCD và đáy bằng 045 . Tính theo a thể

tích V của khối chóp .S ABCD .

A. 3

4

aV . B.

33

4

aV . C.

3

2

aV . D.

3

12

aV .

Câu 20. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , 1AD DC , 2AB ;

cạnh bên SA vuông góc với đáy; mặt phẳng SBC tạo với mặt đáy ABCD một góc 045 . Tính thể tích V

của khối chóp .S ABCD .

A. 2V . B. 3 2

2V . C.

2

2V . D.

2

6V .

Câu 21. Cho tứ diện ABCD có 24cmABCS , 26cmABDS , 3cmAB . Góc giữa hai mặt phẳng ABC và

ABD bằng 60 . Tính thể tích V của khối tứ diện đã cho.

A. 32 3cm

3V . B. 34 3

cm3

V . C. 32 3cmV . D. 38 3cm

3V

Câu 22. Cho tứ diện ABCD có các cạnh , AB AC và AD đôi một vuông góc với nhau; 6 , 7AB a AC a

và 4 .AD a Gọi , , M N P tương ứng là trung điểm các cạnh , , .BC CD BD Tính thể tích V của tứ diện

.AMNP

Trang 28/39

A. 37.

2V a B. 314 .V a C. 328

.3

V a D. 37 .V a

Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và

E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong

đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V.

A. 37 2

216

aV B.

311 2

216

aV C.

313 2

216

aV D.

32V=

18

a

Câu 24. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B , 2AC a , SA a và vuông góc

với đáy ABC . Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Mặt phẳng qua AG và song song với BC cắt SB

SC lần lượt tại M , N . Tính theo a thể tích V của khối chóp .S AMN .

A. 32

27V

a. B.

32

29V

a. C.

3

9V

a. D.

3

27V

a.

Câu 25. Cho hình chóp .S ABC có 0 060 , 90ASB CSB ASC và ,SA SB a 3SC a . Tính thể tích V

của khối chóp . .S ABC

A. 3 6

.3

aV B.

3 6.

12

aV C.

3 3.

12

aV D.

3 2.

4

aV

Câu 26. Cho khối lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có 'BB a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và 2AC a

. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. 3V a . B. 3

3

aV . C.

3

6

aV . D.

3

2

aV .

Câu 27. Cho khối lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a , 120BAC , mặt

phẳng ( ' ')AB C tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. 33

8

aV B.

39

8

aV C.

3

8

aV D.

33

4

aV

Câu 28. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng .a

A. 3 3

.6

aV B.

3 3.

12

aV C.

3 3.

2

aV D.

3 3.

4

aV

Câu 29. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và tổng diện tích các mặt bên

bằng 23 .a

A. 3 3

.6

aV B.

3 3.

12

aV C.

3 2.

3

aV D.

3 3.

4

aV

Câu 30. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác với AB a , 2AC a , 0120BAC ,

' 2 5AA a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. 34 5V a . B. 3 15V a . C. 3 15

3

aV . D.

34 5

3

aV .

Câu 31. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tính thể tích V của khối

lăng trụ đã cho theo a , biết ' 3A B a .

A. 34 5

3

aV . B. 34 5V a . C. 32 5V a . D. 312V a .

Câu 32. Tính theo a thể tích V của khối hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D . Biết rằng mặt phẳng 'A BC hợp

với đáy ABCD một góc 060 , 'A C hợp với đáy ABCD một góc 030 và ' 3AA a .

A. 32 6V a . B. 32 6

3

aV . C. 32 2V a . D. 3V a .

Câu 33. Cho lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1 , 0120BAD . Góc

giữa đường thẳng 'AC và mặt phẳng ' 'ADD A bằng 030 . Tính thể tích V của khối lăng trụ.

A. 6V . B. 6

6V . C.

6

2V . D. 3V .

Câu 34. Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có tất cả các cạnh đều bằng 2a , đáy ABCD là hình vuông. Hình

chiếu vuông góc của đỉnh 'A trên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. Tính theo a thể tích V của khối

Trang 29/39

hộp đã cho.

A. 34 2

3

aV . B.

38

3

aV . C. 38V a . D. 34 2V a

Câu 35. Cho lăng trụ . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên 'AA a , hình chiếu

vuông góc của 'A trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm H của AB . Tính theo a thể tích V của

khối lăng trụ đã cho.

A. 3 3

6

aV . B.

3 3

2

aV . C. 3V a . D.

3

3

aV .

Câu 36. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và 2AC a . Hình chiếu

vuông góc của 'A trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AB và ' 2A A a . Tính thể tích V

của khối lăng trụ đã cho.

A. 3 3V a . B.3 6

6

aV . C.

3 6

2

aV . D. 32 2V a .

Câu 37. Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm

'A lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết 'A O a . Tính

thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. 3 3

12

aV . B.

3 3

4

aV . C.

3

4

aV . D.

3

6

aV .

Câu 38. Cho hình lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh 2 2a và ' 3A A a . Hình chiếu

vuông góc của điểm 'A trên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G của tam giác ABC . Tính thể tích V

của khối lăng trụ đã cho.

A. 3

2

aV . B.

32

3

aV . C.

3

6

aV . D. 32V a .

Câu 39. Tính thể tích V của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A ,

AB AC a . Biết rằng ' ' 'A A A B A C a .

A. 3

2

aV . B.

3 3

4

aV . C.

3 2

4

aV . D.

3 2

12

aV .

Câu 40. Cho hình lăng trụ tam giác ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh 2 2AC . Biết

AC tạo với mặt phẳng ABC một góc 060 và 4AC . Tính thể tích V của khối đa diện ABCB C .

A. 8

.3

V B. 16

.3

V C. 8 3

.3

V D. 16 3

.3

V

Chương II. Khối tròn xoay

1.Lý thuyết

- Công thức liên quan đến hình trụ- khối trụ: 22 ;xqS Rl V R h

- Công thức liên quan đến hình nón- khối nón: 21

;3

xqS Rl V R h

- Công thức liên quan đến mặt cầu- khối cầu: 2 34

4 ;3

S R V R

2.Bài tập

Câu 1. Tính thể tích V của khối trụ có bán kính đáy 4r và chiều cao 4 2h .

A. 128V B. 64 2V C. 32V D. 32 2V

Câu 2. Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 50 và có độ dài đường sinh bằng đường kính của

đường tròn đáy. Tính bán kính r của đường tròn đáy.

A.

5 2

2R B. 5r C. 5r D.

5 2

2r

Trang 30/39

Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có 8, 6, 12AD CD AC . Tính diện tích toàn phần tpS của

hình trụ có hai đường tròn đáy là hai đường tròn ngoại tiếp hai hình chữ nhật ABCD và ' ' ' 'A B C D .

A. 576tpS B. 10(2 11 5)tpS C. 26tpS D. 5(4 11 5)tpS

Câu 4. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có 1AB và 2AD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm

của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần

của hình trụ bằng:

A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 8 .

Câu 5. Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm 240cm , người ta làm các thùng đựng nước hình

trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa sau đây):

● Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.

● Cách 2. Cắt tấm tôn ban đầu thành hai tấm tôn bằng nhau, rồi gò mỗi

tấm đó thành mặt xung quanh của một thùng.

Kí hiệu 1V là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và 2V là thể tích

của cả hai thùng gò được theo cách 2. Khi đó tỉ số 1

2

V

V bằng:

A.1

2. B. 1 . C. 2 . D. 4 .

Câu 6. Một hình trụ có bán kính đáy 70cmR , chiều cao hình trụ 20cmh . Một hình vuông có các đỉnh

nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục

hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?

A. 80cm. B. 100cm. C. 100 2cm. D. 140cm.

Câu 7. Bán kính đáy hình trụ bằng 4cm , chiều cao bằng 6cm . Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục

bằng:

A. 10cm. B. 6cm. C. 5cm. D. 8cm.

Câu 8. Cho một hình trụ có bán kính đáy bằng R và có chiều cao bằng 3.R Hai điểm , A B lần lượt

nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 030 . Khoảng cách giữa AB

và trục của hình trụ bằng:

A. .R B. 3.R C. 3

.2

R D.

3.

4

R

Câu 9. Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và 'O , bán kính bằng chiều cao và bằng a . Trên

đường tròn tâm O lấy điểm A , trên đường tròn tâm 'O lấy điểm B sao cho 2AB a . Thể tích của khối

tứ diện 'OO AB bằng:

A. 33

.12

a B.

33.

6

a C.

33.

4

a D.

33.

2

a

Câu 10. Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn O và 'O , thiết diện qua trục của hình trụ là hình

vuông. Gọi , A B là hai điểm lần lượt nằm trên hai đường tròn O và 'O . Biết 2AB a và khoảng cách

giữa hai đường thẳng AB và 'OO bằng 3

2

a. Bán kính đáy bằng:

A. 14

.4

a B.

14.

2

a C.

14.

3

a D.

14.

9

a

Câu 11. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có các cạnh đều bằng 2a . Tính thể tích V của khối nón đỉnh

S và đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD.

A.

3

2

aV B.

32

6

aV C.

3

6

aV D.

32

2

aV

Câu 12. Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h a và bán kính đáy 2r a . Mặt phẳng (P) đi qua S cắt

đường tròn đáy tại A và B sao cho 2 3AB a . Tính khoảng cách d từ tâm của đường tròn đáy đến (P).

A. 3

2

ad B. d a C.

5

5

ad D.

2

2

ad

Câu 13. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3a. Hình nón (N) có đỉnh A và đường tròn đáy là đường

tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính diện tích xung quanh xqS của (N).

Trang 31/39

A. 2xqS =6 a B. 2

xqS =3 3 a C. 2xqS =12 a D. 2

xqS =6 3 a

Câu 14. Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB a và 30ACB . Tính thể tích V của khối

nón nhận được khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC.

A.

33

3

aV B. 33V a C.

33

9

aV D. 3V a

Câu 15. Cho hình nón N có đường sinh tạo với đáy góc 60 . Mặt phẳng qua trục của N cắt N được

thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Tính thể tích V của khối nón giới hạn

bởi N .

A. 9 3V B. 9V C. 3 3V D. 3V

Câu 16. Cho hình nón có bán kính đáy 3r và độ dài đường sinh 4l . Tính diện tích xung quanh xqS

của hình nón đã cho.

A. xqS =12 . B. xqS =4 3 . C. xqS = 39 . D. xqS =8 3 .

Câu 17. Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính 3R . Mặt phẳng (P) cách O một khoảng bằng 1 và cắt (S) theo

giao tuyến là đường tròn (C) có tâm H. Gọi T là giao điểm của tia HO với (S), tính thể tích V của khối nón

có đỉnh T và đáy là hình tròn (C).

A.

32

3V B. 16V C.

16

3V D. 32V

Câu 18. Cho khối nón có bán kính đáy 3r và chiều cao 4h . Tính thể tích V của khối nón đã cho.

A.

16 3

3V B. 4V C. 16 3V D. 12V

Câu 19. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và 3AC a . Độ dài đường sinh

của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB bằng:

A. .a B. 2.a C. 3.a D. 2 .a

Câu 20. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a .

A. 3

3

aR B. R a C. 2 3R a D. 3R a

Câu 21. Cho mặt cầu bán kính R ngoại tiếp một hình lập phương cạnh a. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. 2 3a R B. 3

3

Ra C. 2a R D.

2 3

3

Ra

Câu 22. Cho mặt cầu ( )S có bán kính bằng , hình trụ có chiều cao bằng và hai đường tròn đáy

nằm trên . Gọi là thể tích của khối trụ và là thể tích của khối cầu . Tính tỉ số .

A. B. C. D.

Câu 23. Cho tứ diện ABCD có BCD vuông tại C, AB vuông góc với mp(BCD), và

. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. . B. . C. . D. .

Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với và SA vuông góc

với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. B. C.

D.

Câu 25. Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 9, tính thể tích V của

khối chóp có thể tích lớn nhất.

A. B. C. D.

Câu 26. Một người dùng một cái ca hình bán cầu có bán kính là cm để múc nước đổ vào trong một

thùng hình trụ chiều cao và bán kính đáy bằng cm. Hỏi người ấy sau bao nhiêu lần đổ thì nước

đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn đầy)

4 ( )H 4

( )S 1V ( )H 2V ( )S 1

2

V

V

1

2

9

16

V

V1

2

1

3

V

V1

2

3

16

V

V1

2

2

3

V

V

5 , 3AB a BC a

4CD a

5 2

3

aR

5 3

3

aR

5 2

2

aR

5 3

2

aR

3 , 4 , 12AB a BC a SA a

5

2

aR

17

2

aR

13

2

aR 6R a

144V 576V 576 2V 144 6V

3

3cm 12

Trang 32/39

A. lần. B. lần. C. lần. D. lần.

Câu 27. Cho hình nón có chiều cao không đổi. Tính chiều cao của khối

trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo .

A. . B. .

C. . D. .

Câu 28. Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu

có bán kính là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 29. Hình nón có thể tích lớn nhất nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho

trước bằng:

A.

B.

C.

D.

Chương III. Phương pháp tọa độ trong không gian

I.Lý thuyết

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, xét ba trục tọa độ vuông góc với nhau từng đôi một và chung một

điểm gốc O. Gọi là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục . Hệ ba trục như vậy gọi

là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý: và .

2. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa:

b) Tính chất: Cho

cùng phương

10 20 24 12

h xh

2

hx

3

hx

2

3

hx

3

hx

3R3

3

R

4 3

3

R 2 3

3

R

364

81

R

2 332

81

R

332

81

R

2 364

81

R

, ,Ox Oy Oz

, ,i j k , ,Ox Oy Oz

2 2 2

1i j k . . . 0i j i k k j

; ;u x y z u xi y j zk

1 2 3 1 2 3( ; ; ), ( ; ; ),a a a a b b b b k R

1 1 2 2 3 3( ; ; )a b a b a b a b

1 2 3( ; ; )ka ka ka ka

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

0 (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1)i j k

a ( 0)b b ( )a kb k

r

r'O'

O

S

Trang 33/39

(với )

3. Tọa độ của điểm

a. Định nghĩa: (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Chú ý:

.

b. Tính chất: Cho

Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng :

Toạ độ trọng tâm của tam giác :

Toạ độ trọng tâm của tứ diện :

4. Tích có hướng của hai vectơ

a. Định nghĩa: Trong không gian cho hai vectơ , . Tích có hướng của

hai vectơ và kí hiệu là , được xác định bởi

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b. Tính chất:

cùng phương (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

Chú ý:

5. Phương trình mặt phẳng

a. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

* Định nghĩa: Cho mặt phẳng . Nếu vectơ và có giá vuông góc với mặt phẳng thì là

vectơ pháp tuyến (VTPT) của .

1 1

31 22 2 1 2 3

1 2 3

3 3

, ( , , 0)

a kbaa a

a kb b b bb b b

a kb

1 1 2 2 3 3. . . .a b a b a b a b 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b

2 2 2 2

1 2 3a a a a 2 2 2

1 2 2a a a a

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

.cos( , )

. .

a b a b a ba ba b

a b a a a b b b

, 0a b

( ; ; ) . . .M x y z OM x i y j z k

0; 0; 0M Oxy z M Oyz x M Oxz y

0; 0; 0M Ox y z M Oy x z M Oz x y

( ; ; ), ( ; ; )A A A B B BA x y z B x y z

( ; ; )B A B A B AAB x x y y z z

2 2 2( ) ( ) ( )B A B A B AAB x x y y z z

M AB ; ;2 2 2

A B A B A Bx x y y z zM

G ABC

; ;3 3 3

A B C A B C A B Cx x x y y y z z zG

G ABCD

; ;4 4 4

A B C D A B C D A B C Cx x x x y y y y z z z zG

Oxyz 1 2 3( ; ; )a a a a 1 2 3( ; ; )b b b b

a ,b ,a b

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

, ; ; ; ;a a a a a a

a b a b a b a b a b a b a bb b b b b b

[ , ] ; [ , ]a b a a b b

, ,a b b a

, ; , ; ,i j k j k i k i j

,a b [ , ] 0a b

0

0

0

a b a b

a vaøb cuøng phöông a b

a b c ñoàng phaúng a b c

.

,

, , , .

( ) 0n ( ) n

( )

Trang 34/39

Chú ý:

+ Nếu là một VTPT của mặt phẳng thì cũng là một VTPT của mặt phẳng

+ Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.

+ Nếu có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng thì là một VTPT của

b. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

* Phương trình: với được gọi là PTTQ của mặt phẳng.

* Nhận xét:

+ Nếu mặt phẳng có phương trình thì nó có một VTPT là .

+ Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và nhận vectơ khác là VTPT là:

.

* Các trường hợp riêng Xét : với

Các hệ số Phương trình mặt phẳng

Tính chất mặt phẳng

đi qua gốc tọa độ .

hoặc .

hoặc .

hoặc .

hoặc .

hoặc .

hoặc .

Chú ý:

Nếu trong phương trình không chứa ẩn nào thì song song hoặc chứa trục tương ứng.

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn . Ở đây cắt các trục tọa độ tại các điểm

, , với .

c. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

* Trong không gian Oxyz cho và

có các VTPT

với

với

cắt

* Đặc biệt:

d. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Định lí: Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng

Khi đó khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính:

e. Góc giữa hai mặt phẳng: Trong không gian cho hai mặt phẳng :

và

Góc giữa và bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT . Tức là:

n ( ) kn ( 0)k ( )

,u v ( ) [ , ]n u v ( )

0Ax By Cz D 2 2 2 0A B C

( ) 0Ax By Cz D ( ; ; )n A B C

0 0 0 0( ; ; )M x y z ( ; ; )n A B C 0

0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z

( ) 0Ax By Cz D 2 2 2 0A B C

0D 0Ax By Cz O

0A 0By Cz D Ox Ox

0B 0Ax Cz D Oy Oy

0C 0Ax By D Oz Oz

0A B 0Cz D Oxy Oxy

0A C 0By D Oxz Oxz

0B C 0Ax D Oyz Oyz

( ) ( )

: 1x y z

a b c ( )

;0;0a 0; ;0b 0;0;c 0abc

: Ax By Cz D 0 ' : A 'x B' y C'z D' 0

n (A;B;C);n' (A';B';C')

n kn' A B C D

/ / 'A ' B' C' D'D kD'

A',B',C',D' 0

n kn' A B C D

'A' B' C' D'D kD'

A',B',C',D' 0

' A : B: C A ' : B' : C '

1 2' n .n 0 A.A' B.B' C.C' 0

Oxyz0 0 0 0(x ; ; )M y z : 0Ax By Cz D

0M ( ) 0 0 00

2 2 2

| |( , ( ))

Ax By Cz Dd M

A B C

Oxyz

1 1 1 1: 0A x B y C z D 2 2 2 2: 0.A x B y C z D

,n n

Trang 35/39

6. Phương trinh đường thẳng.

a. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Vectơ khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của vectơ

song song hoặc trùng với đường thẳng .

- Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng thì vectơ với cũng là vectơ chỉ phương của

đường thẳng đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và các vectơ chỉ phương này cùng phương.

- Một đường thẳng trong không gian hoàn toàn xác định nếu biết một điểm thuộc d và một vectơ

chỉ phương của nó.

b. Phương trình tham số – Phương trình chính tắc của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

(với ) là phương trình có dạng trong đó là tham số.

- Nếu thì ta có thể viết phương trình đường thẳng dưới dạng chính tắc như sau:

.

II. Bài tập luyện tập

Dạng: Tọa độ điểm, vectơ, tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Câu 1. Trong KG Oxyz, cho 3 vecto ( ) ( ) ( ) Tọa độ của vectơ

là:

A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( )

Câu 2. Trong KG Oxyz, cho 3 vecto ( ) ( ) ( ) Trong các mệnh đề sau

mệnh đề nào sai?

A. . B. . C. . D. | | | |.

Câu 3. Trong KG Oxyz, cho hình bình hành OADB có ( ) ( ) khi đó tọa độ

tâm I là giao điểm của 2 đường thẳng OD và AB là:

A. I(-2;-2;4) B. I(6;-8;2) C. I(-1;-1;2) D. I(3;-4;1)

Câu 4. Trong KG Oxyz, cho ABC với A(-3;2;-7), B(2;2;-3), C(-3;6;-2). Tọa độ trọng tâm G của tam

giác ABC.

A. G(-4; 10;-12) B. G(4;-10;12) C. G(

) D. G(

)

Câu 5. Trong KG Oxyz cho 3 điểm A(2;1;-2), B(3;0;1), C(2;-1;3). Gọi là góc giữa đường thẳng OA và

BC. Khi đó, cos bằng

A. - √

B.

√

C.

√

D. -

√

Câu 6. Trong KG Oxyz, cho ( ) . Tọa độ của điểm A là

A. A(3;-2;5) B. A(-3;-17;2) C. A(3;17;-2) D. A(3;5;-2)

Câu 7. Trong KG Oxyz, cho các vecto ( ) ( ) ( ). Chọn khẳng định sai:

A. . B. | | √ . C. | | √ . D. .

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm và . Tọa độ trung

điểm của đoạn thẳng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 9. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

.cos , cos ,

. .

n n A A B B C Cn n

n n A B C A B C

a d a

d

a d ka 0k

d d

d A

a

d 0 0 0 0; ;M x y z

1 2 3; ;a a a a2 2 2

1 2 3 0a a a 0 1

0 2

0 3

:

x x a t

d y y a t

z z a t

t

1 2 3 0a a a d

0 0 0

1 2 3

:x x y y z z

da a a

Oxyz 3; 2;3A 1;2;5B

I AB

2;2;1I 1;0;4I 2;0;8I 2; 2; 1 I

Oxyz 2;1; 1M Oy

0;0; 1 2;0; 1 0;1;0 2;0;0

Trang 36/39

Câu 10. Trong không gian , cho điểm . Hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt

phẳng là điểm

A. . B. . C. . D. .

Câu 11. Trong không gian , hình chiếu vuông góc của điểm trên trục có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Câu 12. Trong không gian , cho hai điểm và . Véctơ có tọa độ là

A. . B. . C. . D. .

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ cho ba điểm , và .

Tìm để tam giác vuông tại .

A. . B. . C. . D. .

Dạng: tích có hướng của hai vectơ

Câu 14. Trong KG Oxyz, cho 2 vecto . Nếu | | = 3, | |=10 và ( ) thì |[ ]| bằng:

A.9 B.11 C.15 D. kết quả khác

Câu 15. Trong KG Oxyz, cho ( ) ( ). Với giá trị nào của m thì vectơ [ ] có

độ lớn bằng √

A.m = 1 B.m = -3 C. m = -1 D. Cả A, B

Câu 16. Trong KG Oxyz, cho 4 điểm với A(2; -4; 3), B(0; 2; 1), C(x; y; 4). Với giá trị x, y nào dưới đây

thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng ?

A.x = 3, y = 7 B.x = 3, y = -7 C. x = -3, y = 7 D. x = 3, y = -7

Câu 17. Trong KG Oxyz, cho A(1;1;1), B(-4;3;1), C(3;1;-1), D(-9;5;1). Bộ 3 điểm thẳng hàng là

A.ba điểm A, B, C B.ba điểm A, B, D C.ba điểm A, C, D D.ba điểm B, C, D

Dạng: Phương trình mặt phẳng

Câu 18. Trong KG Oxyz, cho M(3;0;-1) và mặt phẳng (P): x + y – 2z = 0. Phương trình mặt phẳng (Q)

qua M và song song với (P) là:

A.(Q): x + y – 2z – 3 = 0 B.(Q): x – y – 2z – 5 = 0

C.(Q): x + y + 2z – 1 = 0 D.(Q): x + y – 2z – 5 = 0

Câu 19. Trong KG Oxyz, cho A(2;-1;1) và đường thẳng d:

. Phương trình mặt phẳng (P)

đi qua A và vuông góc với d là

A.(P): x – 3y + 2z – 7 = 0 B.(P): x – 3y + 2z + 7 = 0

C.(P): x – 3y –2z – 3 = 0 D.(P): x +3y – 2z + 3 = 0

Câu 20. Trong KG Oxyz, cho A(1;3;-1), B(-1;1;3). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

AB là

A.x + 2y – 2z = 0 B.x + 2y – 2z – 4 = 0

C.x + 2y +2z +4 = 0 D.x + 2y + 2z – 8= 0

Câu 21. Trong KG Oxyz, cho A(-1;2;-1), B(2;1;-1), C(3;0;1). Phương trình (P) đi qua 3 điểm A, B,C là

A.(P): x +3y – z – 6 = 0 B.(P): x – 3y + z +8 = 0

C.(P): x – 3y – z + 6 = 0 D.(P): x +3y + z – 4 = 0

Câu 22. Trong KG Oxyz, cho A(-2;2;0), B(-1;1;-1), và mặt (Q): 2x + 2y – z +2= 0. Phương trình mặt

phẳng (Q) chứa AB, vuông góc với (P) có phương trình:

A.(Q):3x – y + 4z + 8 = 0 B.(Q):3x + y + 4z + 2 = 0

C.(Q):3x – y – 4z + 3 = 0 D.(Q):3x + y – 4z + 4 = 0

Câu 23. Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z – 3 = 0 và đường thẳng d:

.

Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d, vuông góc với (P) có phương trình:

A.(Q): x + y – z = 0 B.(Q): –x + y + z = 0

C.(Q): y – z – 2 = 0 D.(Q): y – z = 0

Câu 24. Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và đường thẳng d:

. Mặt

phẳng (Q) chứa d, vuông góc với (P) đi qua điểm nào dưới đây?

A.M(1;2;2) B.N(0;-3;-1) C.P(1;-2;2) D.Q(1;2;-3)

Oxyz 3; 1;1A A

Oyz

3;0;0M 0; 1;1N 0; 1;0P 0;0;1Q

Oxyz 2;1; 1M Oz

2;1;0 0;0; 1 2;0;0 0;1;0

Oxyz 1;1; 1A 2;3;2B AB

1;2;3 1; 2;3 3;5;1 3;4;1

Oxyz 2;3; 1M 1;1;1N 1; 1;2P m

m MNP N

6m 0m 4m 2m

Trang 37/39

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Đường thẳng

cắt mặt phẳng tại điểm . Tính tỉ số .

A. . B. . C. . D.

Dạng: Mặt cầu Câu 26. Trong KG Oxyz, cho mặt cầu (S): (x+1)

2 + (y – 2)

2 + (z – 1)

2 = 9. Tọa độ tâm I và bán kính R

của (S) là:

A.I(-1;2;1), R = 3 B.I(1;-2;-1), R = 3 C. I(-1;2;1), R = 9 D. I(1;-2;-1), R = 9

Câu 27. Trong KG Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y

2 + z

2 – 2x + 4y + 1 = 0. Tọa độ tâm I và bán kính R của

(S) là:

A.I(1;-2;0), R = √ B.I(1;-2;1), R = √ C. I(1;-2;1), R = 2 D. A.I(1;-2;0), R = 2

Câu 28. Trong KG Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y

2 + z

2 – 2x + 6y + 4z= 0. Biết OA là đường kính của mặt

cầu (S)(O là gốc tọa độ). Tọa độ điểm A là:

A.A(-1;3;2) B.A(-1;-3;2) C.A(2;-6;-4) D.A(-2;6;4)

Câu 29. Trong KG Oxyz, trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình của mặt cầu?

A.x2 + y

2 + z

2 – 10xy – 8y + 2z – 1 = 0 B. 3x

2 + 3y

2 + 3z

2 – 2x – 6y + 4z – 1 = 0

C. 2x2 + 2y

2 + 2z

2 – 2x – 6y + 4z +9 = 0 D. x

2 + (y – z)

2 – 2x + 4(y – z) – 9 = 0

Câu 30. Trong không gian hệ tọa độ , tìm tất cả các giá trị của để phương trình

là phương trình của một mặt cầu.

A. . B. . C. . D. .

Câu 31. Trong không gian , cho hai điểm và . Phương trình của mặt cầu có tâm

và đi qua điểm là

A. . B. .

C. . D. .

Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm . Gọi là hình chiếu vuông góc

của trên trục . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm bán kính ?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 33. Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và đi qua điểm . Xét

các điểm , , thuộc sao cho , , đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ

diện có giá trị lớn nhất bằng

A. . B. . C. . D. .

Dạng: vị trí tương đối

Câu 34. Trong KG Oxyz, cặp giá trị (a;b) để 2 mặt phẳng (P): 2x + ay + 3z – 5 = 0, (Q): bx – 6y – 6z – 2

= 0 song song với nhau là

A.(3;-4) B.(-4; 3) C.(4; -3) D.(2; -6)

Câu 35. Trong KG Oxyz

. Khi đó m bằng bao nhiêu để d1, d2

cắt nhau?

A.

B.

C.

D.

Câu 36. Trong KG Oxyz , vị trí tương đối của 2 đường thẳng

{

là

A.Cắt nhau B.Song song C.trùng nhau D.Chéo nhau

2;3;1A 5; 6; 2B

AB Oxz MAM

BM

1

2

AM

BM 2

AM

BM

1

3

AM

BM 3

AM

BM

Oxyz m2 2 2 2 2 4 0x y z x y z m

6m 6m 6m 6m

Oxyz 1;1;1I 1;2;3A

I A

2 2 2

1 1 1 29 x y z 2 2 2

1 1 1 5 x y z

2 2 2

1 1 1 25 x y z 2 2 2

1 1 1 5 x y z

Oxyz 1; 2;3M I

M Ox I IM

2 2 21 13x y z

2 2 21 13x y z

2 2 21 17x y z

2 2 21 13x y z

Oxyz S 2;1;2I 1; 2; 1A

B C D S AB AC AD

ABCD

72 216 108 36

Trang 38/39

Câu 37. Trong KG Oxyz cho {

và mặt phẳng (P) : x + 3y + z + 1 = 0. Trong các khẳng định

sau khẳng định nào đúng?

A.d//(P) B.d nằm trong (P) C.d vuông góc (P) D. d cắt (P)

Câu 38. Trong KG Oxyz, cho A(-1;2;1), hai mặt phẳng (P):2x+4y – 6z – 5 = 0, (Q): x + 2y – 3z = 0.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A.(Q) qua A và không song song (P) B.(Q) không đi qua A và song song (P)

C.(Q) qua A và song song (P) D.(Q) không đi qua A và không song song (P)

Dạng: Phương trình đường thẳng

Câu 39. Trong KG Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – 4y + z – 7 = 0 và đường thẳng d:

.

Mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d đồng thời vuông góc với (P) và vuông góc với đường thẳng nào dưới

đây?

A.{

B.{

C.{

D.{

Câu 40. Trong KG Oxyz, cho đường thẳng d1; d2 lần lượt có phương trình {

, {

.

Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d1; d2 là

A.(Q): x + y – z +1 = 0 B.(Q): x – y – z –3 = 0

C.(Q): x–y – z +3 = 0 D.(Q): x– y + z+3 = 0

Dạng: khoảng cách

Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng cho mặt phẳng có phương trình

và điểm . Tính khoảng cách từ đến

A. . B. . C. . D. .

Câu 42. Trong không gian , khoảng cách giữa hai mặt phẳng và

bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , , và

. Hỏi tất cả có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó?

A. mặt phẳng. B. mặt phẳng. C. mặt phẳng. D. có vô số.

Dạng: tổng hợp

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm và mặt phẳng

. Mặt cầu tâm tiếp xúc với tại điểm . Tìm tọa độ điểm .

A. . B. . C. . D. .

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm

Gọi là điểm đối xứng với qua , tính

A. . B. . C. . D. .

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng .

Phương trình của mặt cầu có tâm là và cắt tại hai điểm sao cho diện tích tam giác

bằng 12 là

A. B.

Oxyz P

3 4 2 4 0x y z 1; 2;3A d A P

5

9d

5

29d

5

29d

5

3d

Oxyz : 2 2 10 0 P x y z

: 2 2 3 0 Q x y z

8

3

7

33

4

3

Oxyz 1; 2;0A 0; 1;1B 2;1; 1C

3;1;4D

1 4 7

Oxyz 1;2;3I : 2 2 4 0P x y z

I P H H

3;0; 2H 1;4;4H 3;0;2H 1; 1;0H

Oxyz : 6 2 35 0P x y z

1;3;6 .A 'A A P '.OA

3 26OA 5 3OA 46OA 186OA

Oxyz (1; 1;2)A 2

:1 2 2

x y zd

( )S A d ,B C ABC

2 2 21 ( 1) ( 2) 36x y z

2 2 21 ( 1) ( 2) 25x y z

Trang 39/39

C. D.

Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và mặt cầu (S):

x2 + y

2 + z

2 – 2x - 4y - 6z - 11= 0. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi

A. B. C. D.

Câu 48. Trong không gian , cho ba điểm , và . Gọi là mặt

cầu có tâm , bán kính bằng ; và là hai mặt cầu có tâm lần lượt là , và bán kính

đều bằng . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu , , .

A. . B. . C. . D. .

Câu 49.Trong không gian , cho hai điểm , và mặt phẳng

. Xét là điểm thay đổi thuộc , giá trị nhỏ nhất của bằng

A. . B. . C. . D. .

Câu 50.Trong không gian , cho hình lập phương có tọa độ ,

. Gọi là một điểm bất kỳ thuộc mặt cầu . Tính tổng

các khoảng cách từ điểm đến tất cả các mặt của hình lập phương .

A. . B. . C. D. .

Câu 51. Trong không gian cho mặt cầu tiếp xúc với hai mặt

phẳng , lần lượt tại và . Độ dài đoạn thẳng là

A. . B. . C. . D. .

2 2 21 ( 1) ( 2) 144x y z

2 2 21 ( 1) ( 2) 64x y z

Oxyz : 6 2 35 0P x y z

2 4 6 8

Oxyz 1;2;1A 3; 1;1B 1; 1;1C 1S

A 2 2S 3S B C

1 1S 2S 3S

5 7 6 8

Oxyz 2; 2;4A 3;3; 1 B

: 2 2 8 0 P x y z M P 2 22 3MA MB

135 105 108 145

Oxyz .ABCD A B C D 1;2;1A

3;6; 3C M 2 2 2

: 2 4 1 1S x y z

M .ABCD A B C D

2 3 3 3 6 3 12

Oxyz 2 2 2

: 1 2 1 6 S x y z

: 2 5 0 P x y z : 2 5 0 Q x y z A B AB

2 6 3 3 2 2 3