-
Trillingen
FREQUENTIEDe periode is 0,73 s. Bereken de frequentie.
PERIODIEKE BEWEGINGEen schijf met één stip wordt snel
rondgedraaid. Het toerental van de schijf is 20 Hz. Je belicht de
schijf met een stroboscoop met een flitsfrequentie van 21
Hz.Beredeneer wat je ziet. Dat kan op de achterkant.
VEEREen veer hangt aan het plafond. Door er een blokje van 100
gaan te hangen rekt de veer 6,3 cm uit. Bevestig je onder aandat
blokje nog zo’n zelfde blokje en laat je dat los, dan blijktdat
blokje te gaan trillen. De opeenvolgende situaties zijngeschetst in
figuur .Bereken de trillingstijd.
Uitwerking:Als je leest: Een veer ..... . dan schrijf je meteen
op
Dat betekent dat je m en C moet kennen om T te kunnen
uitrekenen.Als je leest: ‘Door een blokje van 100 g rekt het 6,3 cm
uit’ , denk je: F = Cu.De kracht die de veer uitrekt, is de
zwaartekracht. Dus 0,100 × 9,81 = C × 0,063 C = 15,57 N/m.(3)De
massa die gaat trillen aan de veer is 200 g.
Dus T
mC
2 20 20015 57
0 71 ,,
, s.
VEEREen veer hangt aan een statief. De lengte van de veer is
23,0 cm; de massa verwaarloosbaar. Hangen we een blokje van 250 g
eraan dan wordt de lengte 61,7 cm. Doorhem 2 cm op te tillen en los
te laten gaat het een harmonische beweging uitvoeren.Bereken de
frequentie waarmee het blokje gaat trillen.
Uitwerking:
en en
In evenwicht is Fv = Fz Cu = mg C × (0,617 - 0,230) = 0,250 ×
9,81 C = 6,34 N/m
TmC
2 20 2506 337
1 248 ,,
, s
fT
1 1
1 2480 801
,, Hz
fT
1
TmC
2 F C uv
TmC
2
-
VEERTJEEen blokje van 100 g hangt aan een veer met een
veerconstante van 10 N/m. We trekken het blokje dat zich in de
evenwichtsstand bevindt, 2,0 cm omlaag en laten het los.Bereken
waar het blokje na 1,0 s is.
Aan een veer met een veerconstante van 20 Nm-1 hangt men een
blokje van 100 g. Dit blokjetilt men 2,0 cm op en laat het los
zodat het gaat trillen. De trilling mag je als ongedempt
beschouwen.
A Bereken de trillingstijd van het blokje.B Bereken de snelheid
als de fase 0,30 is. Via energiebehoudC Bereken de terugdrijvende
kracht op het moment dat = 0,30.
-
SLINGEREen voorwerp van 1,019 kg krijgt een uitwijking van 0,90
m en wordt losgelaten. De terugdrijvende kracht fzt wordt als
functie van de uitwijking u gemeten en is de enige die arbeid
verricht. De uitwijking is gemetenlangs de baan.Zie de grafiek.
Deze staat vergroot ophet antwoordvel.
A Bepaal de arbeid die door fzt wordtverricht als de uitwijking
afneemt van0,90 m tot 0 m, de evenwichtsstand.
Voor kleine uitwijkingen is de bewegingvan het slingerende
voorwerp alsharmonisch te beschouwen en is
TmC
2.
B Bepaal C uit de verstrekte gegevens.
Uitwerking:A De verrichte arbeid is de oppervlakte onder de
grafiek. Deze is niet recht! We zullen dus zo
goed mogelijk moeten benaderen.De arbeid is meer dan ½ × 0,9 ×
7,9 = 3,6 J, gebruik maken van het ‘eindpunt’ en minder dan½ × 0,9
× 9,0 = 4,1 J, wat zou gelden als de lijn recht was.De verrichte
arbeid is 3,8 J via dedriehoek van de oorsprong naar punt (-0,9;
8,5).
B Voor kleine uitwijkingen is de bewegingharmonisch. Dan is ook
de terugdrijvendekracht evenredig met de uitwijking. Wemoeten dus
naar het rechte stuk door deoorsprong kijken. Het geldt binnen
denauwkeurigheid van de gegevens van -0,4m tot +0,4 m.Bij u = 0,40
m hoort fzt = 4,0 N C = F/u = 4,0 / 0,40 = 10 N/m
-
SLINGEREen slinger slingert met een trillingstijd van 1,40 s en
de amplitude is 7,0 cm.Bereken de tophoek die de slinger maakt met
de verticaal als de fase 10,60 is. Bereken daartoe eerst de
uitwijking op dat moment.
Uitwerking:Een slinger slingert met een slingertijd van 1,40
s.....
Tlg
l 2 1 40 2
9 81 ,
, l = 0,487 m.u = A × sin 2 = 7 × sin(2 × 10,60) = - 4,11 cm
sin,,
, ul
o4 1148 7
4 8
SCHOMMELEen plank aan twee even lange touwtjes van 3,00 m
slingert heenen weer.
A Bereken de frequentie waarmee dat gebeurt.
Als ik op het plankje ga zitten, worden de touwtjes 3,05 m lang.
Je denkt misschien even dat daardoor de periode groter wordt. Dat
is echter niet het geval, die wordt juist kleiner.
B Leg uit waarom.
Uitwerking:A T = 2 × (L/g) = 2 × (3,00 / 9,81) = 3,47 s f = 1 /
T = 0,288 Hz.B De periode = slingertijd is onafhankelijk van de
massa en amplitude. Die is afhankelijk van de
lengte l. Een kleinere T moet verklaard worden met een kleinere
l. De vraag is dus waarom l kleiner wordt als ik erop ga zitten.
Nou mijn zwaartepunt zit niet in mijn kleine teen, maar kennelijk
meer dan 5 cm boven het plankje.
SPEELTUINOpa en kleinkind gaan naar de speeltuin. Daar zijn twee
schommels. Opa zet het kind op de schommel en duwt regelmatig,
zodat het kind van 25 kg rustig schommelt met een frequentievan
0,25 Hz en een amplitude van 1,50 m.
A Bereken de lengte van de schommel.
Opa (80 kg) gaat ook schommelen met een amplitude van 1,50 m op
een schommel ernaast,die even lang is. Toch blijken opa en
kleinkind niet even snel te schommelen. Opa gaat sneller, terwijl
hij verder toch geen moeite doet.
B Leg uit waarom opa sneller gaat.
a. Tlg
ll 2 4 0 2
9 814 0 ,
,, m
b. Opa sneller kan alleen maar betekenen dat l kleiner is. Als
je een tekening maakt met twee slingers, één met kleinkind en één
met opa, dan zul je opa groter moeten tekenen en zien dat het
zwaartepunt van opa dichter bij het ophangpunt van de slinger
ligt.
u
l
7,0 cm
-
SLINGERTarzan(85 kg) slingert met een periode van 7,0 s aan een
liaan.
A Bereken hoeveel hij omhoog zou moeten klimmen als hij met een
periode van 3,5 s wilde slingeren.Een aap van 10 kg springt en
houdt zich om de middel van Tarzan vast.
B Leid af in hoeverre de slingertijd van Tarzan hierdoor wordt
beïnvloed.
C Bereken de snelheid van dat koppel Tarzan-aap direct naar de
‘botsing’ als vlak voor de botsing Tarzan een snelheid van 1,0 m/s
naar links had en de aap een van 4,0 m/s naar rechts.
SLINGERAan een touw van 2,07 m hangt men een kogeltje van 75
g.Men pakt het touwtje 1,60 m onder het ophangpunt vast, trekt met
de andere hand het kogeltje 10 cm opzij en laat het kogeltje los,
zodat het kan slingeren.
A Bereken de maximale kinetische energie waarmee het kogeltje
gaat trillen.B Bereken hoeveel het kogeltje tijdens zijn
slingerbeweging omhoog gaat.C Bereken hoe lang het kogeltje erover
doet om vanuit de uiterste stand 1,0 cm naar de
evenwichtsstand toe te bewegen.D Bereken de fase als de
kinetische energie het dubbele is van de potentiële energie.
SLINGER MET ENERGIEAan een koord slingert een koperen bol van 87
g op en neer met een periode van 3,4 s; de bol bereikt tijdens het
slingeren een maximale snelheid van 0,20 m/s.A Leid af wat je als
lengte van het koord verwacht.B Bereken de amplitude waarmee de bol
slingert.C Bereken het quotiënt van kinetische en potentiële
energie als = 0,36.D Leid af bij welke fasen de snelheid even groot
is als bij = 0,36.Bij de slingers hebben we tot nu toe altijd
afgezien van demping. Dat wil zeggen dat de amplitude van een
slinger niet kleiner wordt in de loop van de tijd. In het echte
leven is dat niet altijd het geval.E Beredeneer wat er met de
trillingstijd gebeurd is, als door demping de amplitude nog
maar de helft is van de startwaarde.
VEERTJEEen voorwerp gaat harmonisch trillen met een frequentie
van 0,65 Hz als het 1,2 cm onder de evenwichtsstand op t = 0 wordt
losgelaten.
a Maak een schets van de uitwijking als functie van de tijd van
t = 0 tot t = T.b Bereken de uitwijking op het tijdstip t = 1,0 s.c
Bereken de maximale snelheid van het trillende voorwerp.
EIGENTRILLINGDe tweede-klassers moeten een blokje van 36 g
hangen aan een veerunster met een schaalbereik van 0 - 1,0 N. Deze
schaal is 8,0 cm lang.Bereken de eigenfrequentie van het
veer-blokje-systeem.
-
KubusAan een koperen kubus met ribben van 2,0 cm zit in een
hoekpunt een nylon koord vast van 100,0 cm lengte. Ik knip er een
stukje af, pak het uiteinde stevig vast en laat de kubus zo
slingeren. De periode blijkt 1,79 s te zijn. Bereken zo goed
mogelijk(?!?) hoeveel ik eraf geknipt heb.
Uitwerking:
m 796,081,9
279,12 llglT
Die lengte is de lengte van zwaartepunt tot ophangpunt. Hetkoord
moet dus 1,7 cm korter zijn. Aan de andere kant moethet ook
vastgehouden worden tussen duim en wijsvinger oftussen de nagels
geklemd worden. Doe er nog maar 0,5 cmbij.Het koord moet dus 78,4
cm lang zijn.Knip er maar 21 cm af.
TRILLINGSENERGIEAls de gereduceerde fase van een 500 g zwaar
trillend voorwerp 0,40 is, blijkt de snelheid 2,00 m/s te
zijn.Bereken de trillingsenergie van het trillende voorwerp.
Uitwerking:v(t) = vmax × cos 2 2,00 = vmax × cos (2 ×0,40) vmax
= 2,47 m/s.De trillingsenergie is de maximale kinetische energie =
½mv2 = ½ × 0,500 × 2,472 = 1,53 J
-
ZWEVING:Op een beeldscherm bekijken we een zweving. Zie de
linker afbeelding.
De zweving voldoet aan de vergelijking u t t t( ) sin( ) sin( ,
) 2 2 500 2 0 3 Een stukje van het beeld is vergroot weergegeven in
de rechter afbeelding.Leid af hoe groot het aangegeven
tijdsinterval is tussen de streeplijnen in de rechter
afbeelding.
UITWERKING:De vergelijking geeft aan dat de ‘snelle’ trilling
met 500 Hz gaat en het langzame ‘buitenpatroon’ met 0,3 Hz. Wat je
rechts ziet is de snelle trilling. Hiervan is één trilling
aangegeven. Dat betekent 1/500 s = 2,00 ms.
-
ENERGIEEen voorwerp van 450 g slingert aan een touw van 3,00 m
lengte, waarbij het touw in de uiterste stand een hoek van 30°
maakt met de verticaal. Het voorwerp passeert op t = 0 de
verticaal.Bereken de maximale snelheid van het slingerende
voorwerp.Bereken de gereduceerde fase van een moment waarop de
snelheid 20% is van de maximale snelheid. Geef in een schets van de
u,t-grafiek het bewuste moment aan.
UitwerkingVoor het uitrekenen van de maximale snelheid kun
jeuitgaan van de energie en van de vergelijkingen vaneen trillend
voorwerp.
Energie: De potentiële energie van de uiterstestand wordt
omgezet in kinetische energie in hetlaagste punt. Dus mgh = ½mv2
9,81h = ½ v2.De hoogte leiden we af uit de geometrie en is h = 0,40
m, waarmee v = 2,80 m/s.
Trilling/slinger:
Tlg
2 23 009 81
3 47 ,,
, s en
v fAmax,
, , 22
3 4715 2 7
m / s
. De grootte van de amplitude leiden we af uit de geometrie.Als
de snelheid 20% van de maximale snelheid is, dan is in de
vergelijkingv(t) = 2fA cos 2, de waarde van de cosinus 0,20.Vergeet
niet je rekenmachine in radialen te zetten, als je deze formule
gebruikt. Je vindt dan 2 = 1,37 en = 0,22. Dat is ‘vlak’ voor de
uiterste stand.
SCHIJFOp de rand van een ronddraaiende schijf is een witte stip
geplakt. De frequentie waar de schijf mee ronddraait is 24 Hz.
Beredeneer wat ik zie als ik hem met 49 Hz belicht.
-
ENERGIEEen blok van 100 g hangt aan een veer. De veer is dan 17
cm lang. We trekken het blokje nog 1,0 cm naar beneden en laten het
dan los. Het blokje gaat trillen met een frequentie van 2,0 Hz.
a. Bereken de kinetische energie van het blokje als het door de
evenwichtsstand gaat.We halen het blokje van de veer.
b. Bereken de lengte van de hangende veer zonder blokje
eraan.
Uitwerkinga Ekin = ½mv2 = ½m·(2fA cos 2ft)2.
Gaat het blokje door de evenwichtsstand dan isde snelheid en dus
de kinetische energiemaximaal. De cosinus heeft dan de waarde 1
of-1 en dus isEkin, max = ½·0,100·(2·2,0·0,010·1)2
= 7,9·10-4 Jb. We moeten achterhalen hoe groot l is en dat
van de 17 cm aftrekken.Voor een veer geldt Fv = C·u = C·l.In
evenwicht is Fv = Fz C·l = mg.Nu nog C bepalen. C = m(2f)2 =15,79
Nm-1l = 0,062 ml onbelast =17 – 6,2 = 11 cm
TRILLEND DEELTJEVan een harmonisch trillend deeltje is het
volgende bekend:m = 10 g; f = 11 Hz; A = 12 mm; (0) = 13
a. Bereken de (t = 1,00 s).b. Bereken u(0,10).c. Bereken Fmax.d.
Bereken wanneer u(t) = 6,0 mm.e. Bereken de kinetische energie op t
= 0,100 s
UITWERKING:a Beter is het de formules met f te gebruiken dan met
een afgeronde T.b. u(t) = A·sin(2ft) u(0,10) = 12·sin(2·11·0,10) =
7,1 mmc. Fmax = m·amax = m·(2f)2A = 0,010·(2·11)2·0,012 = 0,57
N
c. u(t) = A·sin(2ft) 6,0 = 12·sin(2·11·t) t = 7,6·10 -3 s.Als je
het nog niet gedaan hebt, is dit een momentom een (u,t)-grafiek te
tekenen.Je ziet dan dat de oplossing niet alleen 7,6 ms is,maar ook
38 ms.Bovendien natuurlijk modulo 0,091 s.
e. Ekin = ½mv2 = ½·m·[2fA cos(2ft)] 2=
½·0,010·[2·11·0,012·cos(2·11·0,10)] 2 = 2,25 mJ
-
GRAFIEKIn de hierbij getekende (u,t)-grafiek is u op waregrootte
weergegeven.De grafiek is getekend tot t = 2,4 s.
a. Bepaal vmax.b. Bepaal de uitwijking op t = 2,5 s.
Uitwerking:a De meesten zijn gaan rekenen. Daar is
niets mis mee, maar merk op dat als erstaat 'Bepaal' dat aan een
grafischeoplossing wordt gedacht.
b u(2,5) = u(0,1) = 0,5·A = 0,85 cm.
ENERGIEEen voorwerp maakt een harmonische trilling.Bereken de
verhouding van zijn kinetische en potentiële energie als =
0,30.
PIRATENSCHIPJe gaat naar het piratenschipop de Efteling en ziet
ervoor eengeleerd uitziend figuur staan dieprobeert om een steentje
heenen weer te laten slingeren inhetzelfde tempo als
hetpiratenschip. Hij heeft een helecollectie stenen bij zich.
Kleineen grote. Geef dat geleerd uitziend figuureen natuurkundig
onderbouwdadvies.
-
BONUSAan een koperen kubus met ribben van 2,0 cm zit in een
hoekpunt een nylon koord vast van 100,0 cm lengte. Ik knip er een
stukje af, pak het stevig vast en laat het slingeren. De periode
blijkt 1,79 s te zijn. Bereken zo goed mogelijk(?!?) hoeveel ik
eraf geknipt heb.
Uitwerking:
m 796,081,9
279,12 llglT
Die lengte is de lengte van zwaartepunt tot ophangpunt.Het koord
moet dus 1,7 cm korter zijn. Aan de andere kantmoet het ook
vastgehouden worden tussen duim enwijsvinger of tussen de nagels
geklemd worden. Doe ernog maar 0,5 cm bij.Het koord moet dus 78,4
cm lang zijn.Knip er maar 21 cm af.
VEERAan een veer met C = 2,0 N/m hangt een blokje van 50 g.
a. Bereken de frequentie van het blokje als je het 1,0 cm naar
beneden trekt en loslaat.b. Idem, als je het 2,0 cm naar beneden
trekt en loslaat.
Uitwerking:
Hz 01,1 s 99,00,2
050,022 fCmT
Deze waarde in onafhankelijk van de amplitude.
-
SlingerAan een 50 cm lang ideaal touw hangt een blokje van 20 g.
We geven dat een uitwijking van 10 cm en laten het op t = 0 s
los.
a. Bereken de uitwijking op t = 2,0 s.b. Bereken wanneer het
halverwege de maximale uitwijking en de evenwichtsstand is.c.
Bereken de uitwijking als de fase 8234990144237952,12 is.d. Bereken
de trillingsenergie van het blokje.d. Bereken de fase van een
moment, waarop de kinetische energie en potentiële energie even
groot zijn.
Uitwerking:1-s 48,42 Hz70494,0s418,1
81,950,022 ff
glT
Houd er rekening mee dat u(0) = 10 cm.
a. De vergelijking is u(t) = A·cos(2f·t) u(2,0) =
10·cos(4,43·2,0) = - 8,4 cmb. Er zijn per periode 4 momenten waarop
de uitwijking halverwege evenwichtsstand en
uiterste stand is. Zie de pijltjes is de bovenste grafiek.De
tijd van de eerste rekenen we met de formule uit: u(t) =
10·cos(4,43·t) = 5 cmt = 0,24 s.Je kunt in de tekening zien dat dat
wel zal kloppen.Het volgende tijdstip ligt evenver voor ½T als 0,24
s na 0 ligt: t = 0,47 s.En deze twee waarden gelden modulo ½T, dus
modulo 0,71 s.
c. Voor de fase gaan we uit van de passage van de
evenwichtsstand. Dan is u(t) = A·sin(2) = 10·sin(2·0,12) = 6,8
cm
d. Etril = ½mvmax2 = ½·0,020·(2fA)² = 0,010·(4,43·0,10)² =
0,00196 J = 2,0 mJe. Hier zijn vele mogelijkheden tot oplossing. In
de grafiek kun je zien dat dat bij = 1/8 is.
De kinetische en potentiële energie zijn gelijk als de
kinetische energie de helft is van trillingsenergie, dus v2 =
½vmax2 × cos2(2) = ½ = 1/8
SPEELTUIN
-
In een wat ouderwetse speeltuin staan twee rijen identieke
schommels tegenover elkaar. Op een zo'n schommel zit mijn 3 jaar
oude neefje en op die er tegenover neem jij plaats. We verbinden de
schommels met een elastiek. Het neefje begint met schommelen en jij
wacht af.Beschrijf of je bij het schommelen resonantie-effecten
verwacht en waarom je die al dan niet verwacht.
Uitwerking:Resonantie treedt op als de gedwongen trilling
dezelfde frequentie heeft als de eigentrilling.De trilling van een
mathematische slinger hangt bij kleine amplitude alleen af van de
lengte.De lengte van de slingers/schommels zijn gelijk en dus
verwacht je resonantie.Bij nader inzien echter ligt het zwaartepunt
van mij hoger dan dat van mijn neefje en daarom is de slinger
effectief korter. Hoe hoger mijn zwaartepunt ligt, des te meer
wijkt mijn eigenfrequentie af van de door mijn neefje opgelegde
frequentie en hoe minder je op resonantie mag rekenen.De massa zelf
speelt hierin geen rol. De invloed daarvan is te merken aan de
grote van de respectievelijke amplituden, maar niet in het optreden
van de resonantie.
-
TRILLINGEen punt voert een beweging uit, waarvan de uitwijking
als functie van de tijd te schrijven is als : u1(t) =
0,010·sin(2·2t)
a. Bereken de snelheid op t = 0,10 s.b. Schets de grafiek van
u1(t) voor 0 < t < 1 s. Neem voor de amplitude 1 cm en voor
een
trillingstijd 6 cm.c. Schets eveneens de grafiek van u2(t) =
0,010·sin(2·2t)·cos(t)
UITWERKINGUit de gegeven formule kun je de amplitude, 0,010 m,
en de frequentie, 2 Hz, afleiden.
a. v(t) = 2f·A·cos(2ft) = 2·2·0,010·cos(2·2·0,10) = 0,039
m/s.Ook via v(t) = u'(t)
b. Omdat de frequentie 2 Hz, moeten we 2 trillingen tekenen in
het domein 0 < t < 1 s.
c. Herleid cos(t) eerst tot cos(2·0,5t). Er is in die ene
seconde dus slechts een halve cosinus te tekenen. Zie de middelste
van bovenstaande tekeningen.De gevraagde grafiek is het product van
beide. Waar de cosinus negatief is, verandert niet alleen de
grootte, maar ook het teken van u1Het resultaat is de onderste
grafiek.
-
SLINGERAan een touw met een lengte van 2,00 m hangt een blokje
van 50 g.
a. Bereken de frequentie van het blokje als je het 1,0 cm opzij
trekt en loslaat.b. Idem, als je er 100 g aan hangt en het 4,00 cm
opzij trekt.
VEERAan een 20 cm lange veer hangt een blokje van 20 g. Het is
door het blokje 5,0 cm uitgerekt.We trekken het blokje 3,0 cm naar
beneden en laten het op t = 0 s los.
a. Bereken de uitwijking op t = 2,0 s.b. Bereken wanneer het
halverwege de maximale uitwijking en de evenwichtsstand is.c.
Bereken de uitwijking als de fase 8234990144237952,12 is.d Bereken
de trillingsenergie van het blokje.
TOUWAan een touw van 1,00 m lengte hangt een blok van 400 g. Het
ophangpunt wordt door een mechaniek heen en weer bewogen met een
frequentie van 20 Hz.
a. Beredeneer wat je van het blok verwacht aan bewegingen.
De frequentie kunnen we regelen en laten we dalen.b. Beredeneer
wat je verwachten moet en bij welke frequentie.
AARDBEVINGIn Kobe, Japan, is de ellende niet te overzien. Als je
naar uitleg op de TV gekeken hebt, weetje hoe dat gekomen is.De
moderne gebouwen zijn gebouwd op rubber'voeten'. Ook zijn de grote
gebouwen opgebouwd uit segmenten die ten opzichte van elkaar
enigszins kunnen bewegen. Ze zijn niet 'star'.Als er een schok
komt, kan de grond bewegen, zonder dat het gebouw mee wordt
getrokken en breekt.Helaas kwam er niet alleen een grote schok,
maar bleef de grond ook een tijdje door trillen. Leg uit waarom
juist dat tot grote problemen kan leiden.
UITWERKING:Tijdens het langzame trillen treedt resonantie op. De
gebouwen gaan steeds heftiger trillen tot ze 'knappen'.
-
ZEEROVERIn pretparken tref je grote boten aan, waarin de
'zeerovers' al gillend heen en weer bewegen.Uitgangspunt: een boot
van 20 ton aan 50 m lange stalen stangen slingert met een
maximaleuitwijking van 5,0 m.
a. Bepaal de fase als u = 2,0 m.
We stoppen extra energie in de boot en maken zo de totale
trillingsenergie van de boot 4,0 maal zo groot.Leg van onderstaande
grootheden uit hoeveel keer zo groot zij worden:
b. slingertijdc. amplituded. maximum hoogtee. maximum
snelheid.
Uitwerking:a. u(t)= A sin 2 2 = 5 sin 2 2 = 0,41 rad = 0,065
Deze waarde geldt voor de heenweg van evenwichtsstand naar
uiterste stand. Op de terugweg is de fase juist die waarde van de
0,5 verwijderd. terug = 0,500 - 0,065 = 0,435
b. glT 2 ; de grootheden zijn alle onveranderd, T is niet
veranderd.
c. E = ½ CA². Daar E viermaal zo groot is en C = 4²f² m
ongewijzigd, is A verdubbeld.d. De energie wordt van kinetische in
potentiële omgezet. Voor de potentiële kun je in deze
situatie ook mgh schrijven. h wordt dus viermaal zo hoog.e. De
energie en dus ook ½mv2 wordt viermaal zo groot, v dus
tweemaal.
SLINGERENERGIEWe hangen een blokje van 80 g aan een touwtje,
trekken het opzij en laten het los. De grafiek van de uitwijking
als functie van de tijd staat hieronder. De uitwijking is op ware
grootte. De trillingstijd is 1,20 s. Op een zeker moment als het
blokje in de uiterste stand is, starten we de stopwatch. Dit
tijdstip noemen we t = 0.
a. Geef in de grafiek een mogelijke tijd voor t = 0 aan. Doe dit
zover mogelijk naar links.b. Lees uit de grafiek af op welke
tijdstippen u = +½A.c. Lees de waarde van de uitwijking u uit de
grafiek af als t = 2,20 s.d. Bereken hoe groot de snelheid van het
blokje is op t = 0,10 s.e. Bepaal grafisch de maximale snelheid van
het blokje.e. Bereken de maximale trillingsenergie van het
blokje.
-
TRILLING-ENERGIE-RESONANTIEEen blokje van 40 g hangt aan een
veer en trilt. Het blijkt dat de tijd voor 10 trilllingen 3,0 s
bedraagt.
a. Bepaal de grootte van de veerconstante.Dit blokje trek ik
1,00 cm naar beneden en laat het los. Het gaat een ongedempte
harmonische trilling maken. Op een zeker moment is = 567 890
123,12.
b. Bereken de uitwijking op dat moment.c. Met welke formule zou
je de kinetische energie kunnen uitrekenen op dat moment.
Bereken deze kinetische energie.c. Als je resonantie met dit
trillende blokje wilt aantonen door een blokje van 100 g aan
een
slinger te hangen, bereken dan welke lengte die slinger moet
hebben.
2 EXPERIMENTENAan het plafond hangt een veer met een
veerconstante van 10 N/m. Daaraan hangt een blok M.We trekken het
blok een beetje naar beneden en laten het los. De trillingstijd
blijkt hetzelfde te zijn als in een tweedeexperiment, dat er
uitziet als in figuur 1.Twee blokjes van 100 en 200 g worden met
elkaar viadezelfde veer verbonden en kunnen verder zonderwrijving
bewegen langs een horizontale rechte lijn. De plaats-tijd-grafiek
van elk van beide blokken tref je infiguur 2 aan.
a Bepaal de massa van blok M.
Uit de plaats-tijd-grafiekvan een voorwerp kun jede snelheid
afleiden.Wanneer de snelheid 0 m/sis, zie je zo, maar voor
desnelheid in deevenwichtstand moet jeiets meer doen.
b Bepaal de snelheid van hetblokje van de bovenstegrafiek op het
moment datdat door deevenwichtsstand gaat.
-
VEERENERGIEUitgangspunt is een veer met een veerconstante C = 10
N/m. Hieraan hangt een blokje van 250 g. Vanuit de evenwichtsstand
trekken we het blokje 1,2 cm naar beneden en laten het dan los. Het
blokje gaat trillen.Bereken een positie van het blokje als de
snelheid de helft van de maximale snelheid is.
Door het blokje 1,2 cm naar beneden te trekken stop je er
energie in ter waarde ½Cu² = ½ × 10 × 0,012² = 7,2 × 10-4 J.Als de
snelheid de helft van de maximale snelheid is, dan is de kinetische
energie van het blokje slechts een kwart. De veerenergie is dan
driekwart van het totaal en dus½Cu² = ¾ × 7,2 × 10-4 = 5,4 × 10-4
J, dus u = 0,010 m = 1,0 cm.
De maximale snelheid is te berekenen uit ½mv² = 7,2 × 10-4 J of
metv
AT
2
en
TmC
2.
VEERENERGIEUitgangspunt is een veer met een veerconstante C = 10
N/m. Hieraan hangt een blokje van 125 g. Vanuit de evenwichtsstand
trekken we het blokje 12 mm naar beneden en laten het dan los. Het
blokje gaat trillen.Bereken de snelheid van het blokje als de
uitwijking 6,0 mm is.
Tijdens het trillen wordt veerenergie omgezet in kinetische
energie en terug. De som van beide is constant en gelijk aan de
veerenergie in de uiterste stand.½CA² = ½Cu² + ½mv² 10 × 0,012² =
10 × 0,006² + 0,125 × v² v = 0,093 m/s.
-
VEEREen voorwerp van 0,010 kg hangt aan een veer. Van dat
voorwerp wordt de hoogte h boven
de grond gemeten. Voor die hoogte geldt )25,02sin(100,0500,0)(
tth
a Bereken de frequentie waarmee het voorwerp trilt.b Bereken de
kleinst mogelijke hoogte h.c Bereken de hoogte van het voorwerp op
t = 0,10 sd Bereken de veerconstante C van de gebruikte veer.
Uitwerking
a De frequentie is af te leiden uit het tijdsafhankelijke deel
van de vergelijking.
Je moet 25,02 t herkennen als
Tt
2 met als conclusie T = 0,25 s en dus
Hz 0,425,011
T
f
b De sinusfunctie in de vergelijking kan variëren van –1 tot +1.
De kleinst mogelijke hoogte wordt bereikt als de sinus als waarde
–1 heeft.h = 0,500 + 0,100 × –1 = 0,400 m.Misschien heb je
overwogen om de afgeleide te nemen en die nul te stellen. Dan
moet
025,0
2cos25,0
2100,0
t . Hieruit volgt de tijd t = 0,0625 s modulo 0,125 s.
Je vindt dan de uiterste waarden voor h, als je die invult, met
als laagste 0,400 m.
c Invullen: m 559,025,010,0360sin100,0500,0)10,0( 0
h
Je hebt de keuze voor 2 met het rekenmachine in radialen of 360
met het rekenmachine ingraden.
d C = m (2f)2 = 0,010 × (2 4,0)2 = 6,3 N/m.
-
TRILLINGEen blokje van 100 g hangt aan een 20 cm lange veer met
een veerconstante van 0,10 N/cm. Babette trekt het 4,6 cm naar
beneden en laat het los.
1 Bereken de frequentie waarmee het blokje gaat trillen.2
Bereken de kinetische energie van het blokje als het door de
evenwichtsstand gaat.
Uitwerking:
Hz 6,11s 628,010100,022
Tf
CmT
J 011,0628,0
046,02100,02100,02
21
2
212
max21
max kin,
TAmvE
J 011,0046,010 2212
21
trillingmaxkin, CAEE
HARMONISCHE TRILLING – FORMULE BEGRIJPENAan een haak aan een
plafond hangt een zeer lange spiraalveer. Aan deze spiraalveer is
een ijzeren bol met een massa van 123 g bevestigd.De door deze bol
uitgerekte spiraalveer is 234 cm lang.De veerconstante C = 1,41
N·m-1.
1 Bereken de lengte van de onbelaste spiraalveer.
Hans vervangt de bol door een andere en beweegt deze verticaal
omlaag. De veer rekt steeds verder uit. Dan laat hij hem los. De
veer met bol gaat harmonisch trillen.Voor de snelheid v van de bol
als functie van de tijd noteert Hans: ttv 00,3sin00,1 .De snelheid
is positief als de bol omhoog beweegt.
2 Bereken de amplitude van deze trilling.
UITWERKING:1 m 856,041,181,9123,0 uuCuF
m 48,1856,034,2onbelast l
2 De formule van de snelheid heeft de vorm )2sin()( max ftvtv
.En dus is 2f = 3,00.
m 33,000,300,122max
AAfATAv
-
VEERENERGIEUitgangspunt is een veer met een veerconstante C = 10
N/m. Hieraan hangt een blokje van 250 g. Vanuit de evenwichtsstand
trekken we het blokje 1,2 cm naar beneden en laten het dan los. Het
blokje gaat trillen.Bereken een positie van het blokje als de
snelheid de helft van de maximale snelheid is.
uitwerking:Door het blokje 1,2 cm naar beneden te trekken stop
je er energie in ter waarde ½Cu² = ½ × 10 × 0,012² = 7,2 × 10-4
J.Als de snelheid de helft van de maximale snelheid is, dan is de
kinetische energie van het blokje slechts een kwart. De veerenergie
is dan driekwart van het totaal en dus½Cu² = ¾ × 7,2 × 10-4 = 5,4 ×
10-4 J, dus u = 0,010 m = 1,0 cm.
De maximale snelheid is te berekenen uit ½mv² = 7,2 × 10-4 J of
metv
AT
2
en T
mC
2
.
VEERENERGIEUitgangspunt is een veer met een veerconstante C = 10
N/m. Hieraan hangt een blokje van 125 g. Vanuit de evenwichtsstand
trekken we het blokje 12 mm naar beneden en laten het dan los. Het
blokje gaat trillen.Bereken de snelheid van het blokje als de
uitwijking 6,0 mm is.
uitwerking:Tijdens het trillen wordt veerenergie omgezet in
kinetische energie en terug. De som van beide is constant en gelijk
aan de veerenergie in de uiterste stand.½CA² = ½Cu² + ½mv² 10 ×
0,012² = 10 × 0,006² + 0,125 × v² v = 0,093 m/s.
--
Slinger met energie