Trije klasicni problemi gr ke geometrijehladnik/ZgodMat/TrijePr(b).pdf · Hipokrat s Kiosa je odkril še dva primera lun, ki se dajo kvadrirati. M. Hladnik, Hipokratove lune, Presek

Zgodovinski okvir Duplikacija Trisekcija Kvadratura Teorija

Trije klasicni problemi grške geometrije

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

17. oktober 2012


Grcija v 5. stoletju pnš.

Perzijci sredi 6. stoletja zasedli Malo Azijo, vstaja jonskih mest499 pnš. zatrta, neuspešna pomoc Aten

Perzijske vojne: poraz Perzijcev na Maratonskem polju 490pnš., zmaga Kserksa pri Termopilah, poraz v pomorski bitki priSalamini 480, poraz pri Plataji 179 pnš.

Zlata doba Aten (Periklej, Sokrat, drugi filozofi, razvojmatematike v Atenah)

Peloponeške vojne 431 pnš., prevlada Šparte od 404 pnš. do371 pnš. Matematika se razvija tudi in predvsem v kolonijah.


Grcija

Slika: Kraji znanih grških matematikov


Trije klasicni problemi

Duplikacija kocke: konstruirati rob kocke z dvakrat vecjoprostornino kot dana kocka,

Trisekcija kota: razdeliti poljuben kot na tri enake dele,

Kvadratura kroga: konstruirati kvadrat, ki ima enakoplošcino kot dani krog.

Samo z evklidskim orodjem


Podvojtev kocke

Legenda: Dve varianti:- Kralj Minos in velikost grobnice sina Glavka- Deloški problem in povecanje oltarja boga Apolona

Hipokratova redukcija:

dvojno geometrijsko razmerje a : x = x : y = y : b

formula x3 = 2s3


Hipokrat s Kiosa (∼ 470 - 410 pnš.)

Slika: Hipokrat s Kiosa


Metode reševanja problema duplikacije

Menajhem ∼ 350 pnš.: stožnice

Platon : cevljarski kotnik

Apolonij : prilagoditev polmera kroga

Eratosten : trije enaki pravokotniki z diagonalo

Diokles : cisoida


Menajhemova podvojitev kocke s stožnicami

s

y2s

x = 2sy2

2y = sx

0

( )a

s

y

xy = 2s2

2y = sx

0

( )b

x x

Slika: Podvojitev kocke s stožnicami


Podvojitev kocke po Platonu

( )b

S

C

V

W

D

R

T

U

P

( )a

A B

C

D

P

a

b

xy

Slika: Podvojitev kocke po Platonu

PC/PB = PB/PA = PA/PDTocka V mora ležati na premici skozi D in P.


Platon (∼ 428 - 348 pnš.)

Slika: Filozof in matematik Platon


Dvojno razmerje po Apoloniju

0

( )B

( )a,b

a

b

x

y

Slika: Konstrukcija dvojnega razmerja po Apoloniju

Tetiva skozi tocko (a,b) mora sekati krožnico v presecišcih le-tez osema.Potem je a/y = y/x = x/b = (a+x)/(b+y).


Eratostenova metoda

A B C D

E

( )a

A B C D

EF

GH

( )b

Slika: Konstrukcija dvojnega razmerja po Eratostenu

AE : BF = BF : CG = CG : DH


Dioklova cisoida

Q

P

d

2d

d 23

( )b

O

B

A

O d

Q

PR

( )a

( ,0)d

R

Slika: Dioklova cisoida in podvojitev kocke

OP = RQ


Tretjinjenje kota z vstavljanjem

B

AD

C

E

F

Ga

a

a

a

Slika: Tretjinjenje kota z vstavljanjem

EF = 2AB


Arhimedova metoda

AO

B

C

D

aaa

Slika: Tretjinjenje kota po Arhimedu


Vietova in Newtonova metoda

60

a

a

A B

C

DM

N

bx

Slika: Tretjinjenje kota po Vietu in Newtonu


Nikomedova konhoida

B

A

D

C

O

L

Konhoida

b

bb

a

Slika: Tretjinjenje kota z Nikomedovo konhoido


Hipijeva trisektrisa oziroma Dinostratova kvadratrisa

0 1

1

A

B

b

a

b 3

Slika: Hipijeva trisektrisa oziroma Dinostratova kvadratrisa


Trisekcija z Arhimedov spiralo

A

B

O

P

a

aq aq

q

Q

Slika: Tretjinjenje kota z Arhimedovo spiralo


Trisekcija kota s tomahawkom

A

B

C

D

S T UR

Slika: Tretjinjenje kota s tomahawkom


Papusova trisekcija s hiperbolo

0

B

A

C

P

Q

2a

2a

a

b

a = b

Slika: Tretjinjenje kota s hiperbolo


Hipokratova kvadratura lune

( )a

A B

C

A

( )b

B

CD

Slika: Hipokratovi luni

Hipokrat s Kiosa je odkril še dva primera lun, ki se dajokvadrirati.

M. Hladnik, Hipokratove lune, Presek 28 (2001/02),št. 2,98-104.


Rektifikacija krožnice

Približne metode:

(a) Pogosto πd ≈ 3d +d√

2/10 oziroma π ≈ 3+√

2/10 ≈ 3.141

(b) Poljski jezuit Adam Kochanski (1631-1700): V krajišcu Bpremera AB danega kroga nacrtamo tangento, na eno stranodmerimo centralni kot 30 stopinj in od presecišca C kraka stangento na drugo stran odmerimo tri polmere do tocke D.Potem je obseg kroga približno enak 2AD.


Metoda Kochanskega

BA

C

300

D

Slika: Približna rektifikacija


Nezmožnost rešitve z evklidskim orodjem

(1) Duplikacija kocke (s stranico 1). Konstruirati število x =3√

2,ki reši enacbo x3 −2 = 0. Koren algebraicne enacbe lahkokonstruiramo z ravnilom in šestilom samo, ce se izraža ssamimi kvadratnimi koreni. Da pa se pokazati, da mora enacbatretje stopnje z racionalnimi koeficienti v tem primeru imeti vsajen racionalen koren.(2) Trisekcija kota. Konstruirati x = cos(θ/3), ce poznamocosθ . Zaradi cosθ = 4cos3(θ/3)−3cos(θ/3) bi pri θ = 600

tak x zadošcal kubicni enacbi 8x3 −6x −1 = 0, ki nimaracionalnih korenov.(3) Kvadratura kroga. Stranica kvadrata z isto plošcino kot krogs polmerom 1 meri

√π. Ker je to število transcendentno, se ga

ne da konstruirati samo z ravnilom in šestilom.


Kvadratura kroga

Kako konstruirati (z evklidskim orodjem) kvadrat, ki jeplošcinsko enak krogu?

Klasi cno: Konstrukcija z evklidskim orodjem

Ferdinand Lindemann 1882: Število π je transcendentno.Posledica: Klasicna kvadratura kroga ni možna

Moderno: V smislu teorije množic

Miklos Laczkovich 1990: Poljubna dva topološka diska zmerljivim robom in enako plošcino v ravnini sta enaka porazkosanju.Posledica: Moderna kvadratura kroga je možna.


Konstrukcije samo s šestilom ali samo z ravnilom

Samo s šestilom: Lorenzo Mascheroni (1750-1800) in (žeprej 1672) Georg Mohr

Samo z ravnilom: Jean Victor Poncelet (1788-1867)

Z ravnilom in fiksnim krogom: Abul Wefa (940-998), JakobSteiner (1796-1863), Francesc Severi (1879-1961)


Posebna literatura

H. Eves, An Introduction t the History of Mathematics, Holt,Rinehart and Winston, 1964.

G.E. Martin, Geometric Constructions, UTM, Springer1998.

Wikipedia, spletni portal.

Trije klasicni problemi gr ke geometrijehladnik/ZgodMat/TrijePr(b).pdf · Hipokrat s Kiosa je odkril še dva primera lun, ki se dajo kvadrirati. M. Hladnik, Hipokratove lune, Presek

Documents