Trigonometrische Funktionen Mathematik-Übungskurs - 28.05.19 bis 06.06.19 [email protected]Stichworte Dreiecke, Satz des Pythagoras, Kosinus- und Sinussätze, Einheitskreis, Radiant vs. Grad, Periodizität, Symmetrie, Nullstellen, Kehrwertfunktion, Additionstheoreme, Ableitungen und Stammfunktionen, zyklometrische Funktionen, Tylor-Reihen, Hyperbelfunktionen, Wellengleichungen, Kugelkoordinaten 1 EINLEITUNG Das Wort „Trigonometrie“ stammt aus dem Griechischen und setzt sich aus den Bestand- teilen τριγωνoν ’Dreieck’ und μ²τρ oν ’Maß’ zusammen.[1] Der Name gibt schon Auf- schluss darüber, auf welche Weise man sich am geschicktesten den trigonometrischen Funktionen nähern kann: Beziehungen im Dreieck. Die wichtigsten Vertreter der trigonometrischen Funktionen sind Sinus, Kosinus und Tangens. Das tiefergehende Verständnis ihrer Bedeutung und Anwendbarkeit ist uner- lässlich für wissenschaftliches Arbeiten. Weniger oft genutzt, aber durchaus nicht min- der wissenswert sind darüber hinaus die Funktionen Kotangens (cot), Sekans (sec) oder Kosekans (csc). 2 HERLEITUNG 2.1 DREIECKE 2.1.1 NOMENKLATUR • Eckpunkte werden mit großen, römischen Buchstaben versehen. • Alle Winkel werden in griechischen Buchstaben angegeben. Dabei erfolgt die Be- nennung entsprechend des Eckpunktnamens. Beispiel: ^BAC := α; α ist also der Winkel zwischen --→ BA und --→ AC, i.e. den Seiten b, c (siehe Abbildung 1). 1
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Trigonometrische Funktionen - bcp.fu-berlin.de · 3.2 tangens und kotangens Betrachten wir keine Winkel fi in der Einheit [ – ], sondern im Bogenmaß [rad], so müssen wir bei
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Trigonometrische FunktionenMathematik-Übungskurs − 28.05.19 bis 06.06.19
)gemessen, besteht der nachfolgende Zusammenhang zwischen
diesem Winkel im Gradmaß (α) und im Bogenmaß (b):[4]
ABBILDUNG 5. Zusammenhang zwischen Bo-genmaß und Gradmaß; entnommen von [8].
α
360◦ =b
2π .(10)
b > 0, wenn der Winkel eine Drehung
gegen den Uhrzeigersinn erzeugt
b < 0, vice versa.
Beachte! α und b beschreiben denselben Winkel.
Die Verbindung zwischen P(x, y) und b stellen die Funktionen Sinus und Kosinus dar:
Jeder Winkel α bzw. Länge b im Bogenmaß entspricht eindeutig einem Punkt P(x, y) auf
dem Einheitskreis, wobei gilt:
cos : b → x(b) ∧ sin : b → y(b). (11)
cos(α)= x ∧ sin(α)= y. (12)
tan(α)= sin(α)cos(α)
. (13)
In Abbildung 3 werden diese Definitionen für sin(x) und cos(x) veranschaulicht, wohinge-
gen tan(x) in Abbildung 6 gezeigt ist. Im dazugehörigen Abschnitt 3.2 wird der Tangensnäher beleuchtet und diskutiert, da die obige Definition des Tangens aufgrund seiner
Eigenschaften nicht für alle α−Werte in [◦] definiert ist.
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3 EIGENSCHAFTEN
3.1 ABGELEITET VOM EINHEITSKREIS
Beginnend mit dem Einheitskreis lässt sich bereits die wichtigste Eigenschaft der tri-
gonometrischen Funktionen zeigen: die Periodizität. Eine Funktion f heißt periodisch
mit der Periode T, wenn der Funktionswert an einer beliebigen Stelle x bzw. zu einem
beliebigen Zeitpunkt τ dem Funktionswert von x+T bzw. τ+T entspricht:
f (x)= f (x+T) ∀x ∈R. (14)
Diese Periodizität ist auch bei den Sinus− und Kosinus−Funktionen auffindbar. Für die
einfachen sin(x) und cos(x) lässt sich eine Periodizität von 2π feststellen:
sin(b)= sin(b+2π)= sin(b+2kπ)
cos(b)= cos(b+2π)= cos(b+2kπ)
∀(b ∈R∧k ∈Z)
. (15)
Man könnte auch sagen, dass nach einer Periode von 2π, sin(x) und cos(x) genau einen
ganzen Kreisbogen „abgelaufen“ sind. Neben der Periodizität lassen sich noch diese Ei-
genschaften für sin(x) und cos(x) am Einheitskreis (siehe Abbildung 3) ausmachen:[4]
Häufig trifft man in Anwendungen auf bestimmte Kombinationen von Exponentialfunk-
tionen ex und e−x, die sogenannten Hyperbelfunktionen. Diese sind mit den trigonome-
trischen Funktionen verwandt und sind nachfolgend definiert:[4]
Sinus hyperbolicus sinh(x) := 12
(ex −e−x). (49)
Cosinus hyperbolicus cosh(x) := 12
(ex +e−x). (50)
Tangens hyperbolicus tanh(x) := sinh(x)cosh(x)
. (51)
Analog zu den trigonometrischen Funktionen sind sinh(x) und tanh(x) ungerade und
cosh(x) gerade . Darüber hinaus gilt hier ebenfalls die Identität:
cosh2(x)+sinh2(x)= 1. (52)
3.8.3 KOMPLEXE ZAHLEN
Komplexe Zahlen bestehen aus einem Real- und einem Imaginärteil. Im Allgemeinen
werden sie so definiert:
z = x+ i y ∈C mit x, y ∈R. (53)
Komplexe Zahlen sind in der Gaußschen Zahlenebene definiert und lassen sich veran-
schaulichen, dass schnell eine Beziehung zu den trigonometrischen Funktionen ersicht-
lich wird:
ABBILDUNG 11. Polardarstellung einer beliebigen komplexen Zahl z; entnommen von [11].
Die obige Darstellung heißt Polardarstellung und zeigt, dass komplexe Zahlen auch fol-
gendermaßen formuliert werden dürfen (hier sei auf den Einheitskreis verwiesen; siehe
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Abschnitt 2.4):
z = r ·cos(φ)+ isin(φ), (54)
wobei r die Länge des schwarzen Vektors (siehe Abbildung 11) also den Betrag von zangibt. Nutzen wir in Gleichung 54 nun die Reihendarstellungen der Funktionen sin(x)
und cos(x) (siehe Gleichungen 46 und 47), erhalten wir:
cos(φ)+ isin(φ)=∞∑
n=0
(−1)n φ2n
(2n)!+ i
∞∑n=0
(−1)n φ2n+1
(2n+1)!(55)
=(1− φ2
2!+ φ4
4!∓ ...
)+ i
(φ− φ3
3!+ φ5
5!∓ ...
)(56)
Mit i2 = 1 entspricht dies genau der Reihendarstellung von eiφ:
eiφ =∞∑
n=0
(iφ)n
n!= 1+ iφ+ (iφ)2
2!+ (iφ)3
3!+ ... (57)
Dieser Zusammenhang zwischen der Exponentialfunktion und den trigonometrischen
Funktionen wird Euler-Formel genannt! Damit gilt:
eiφ = cos(φ)+ isin(φ) ∧ z = r · (cos(φ)+ isin(φ))= r ·eiφ (58)
Von der Euler-Formel herleitbar, ensteht ein Ausdruck, der die trigonometrischen Funk-
tionen mit den Hyperbelfunktionen verbindet:[4]
sin(φ)= eiφ−e−iφ
2i∧ cos(φ)= eiφ+e−iφ
2(59)
sin(iφ)= e−φ−eφ
2i= i
eφ−e−φ
2= isinh(φ) (60)
cos(iφ)= e−φ+eφ
2= eφ+e−φ
2= cosh(φ) (61)
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4 ANWENDUNG
4.1 WELLEN
Wellenfunktionen können über die trigonometrischen Funktionen definiert werden. Beim
„Teilchen im (1D)-Kasten“ wird folgender Ansatz gewählt:
ψ(x)= A sin(kx)+Bsin(kx) (62)
Im Folgenden wollen wir uns anschauen, welcher Wert welchen Einfluss auf die Form
der Funktion hat. Allgemein lässt sich eine beliebige Sinus− Funktion so formulieren:
f (x)= A ·sin(kx+φ)+n (63)
n Verschiebung in y−Richtung
Er gibt an, ob eine Funktion entlang der y-Achse verschoben wurde.
Beispiel: sin(x)+3 ist eine um drei Einheiten in positiver y−Richtung verschobene,
„normale“ Sinusfunktion.
A Die Amplitude
Sie bestimmt, wie stark die Funktion entlang der y−Achse gestreckt oder gestaucht
ist. Am besten erklärt sich die Amplitude über ein Federpendel, das im Idealfall
sinusförmig pendelt. Die Amplitude ist nun die Distanz zwischen der maximalen
Auslenkung und dem Ruhe-/Wendepunkt des Pendels.
k Die Veränderung der Periodenlänge
k ist ein Faktor, der sich auf die Periodenlänge T = 2πk auswirkt. Graphisch heißt
das, k beeinflusst die Streckung oder Stauchung entlang der x−Achse.
Beispiel: sin(2x) hat nicht mehr eine Periodenlänge von 2π, sondern nur noch von π,
d.h. sin(2x) ist den Einheitskreis bereits nach π ganz „abgelaufen“.
φ Die Phasenverschiebung
Sie gibt an, um wieviel der Graph entlang der x−Achse verschoben wird. Die effek-
tive Verschiebung entlang der x−Achse ist jedoch von k abhängig, so dass gilt:
Falls φ> 0: Verschiebung des Graphen nach links umφ
k.
Falls φ< 0: vice versa.
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4.2 KUGELKOORDINATEN
In Kugelkoordinaten wird ein Punkt nicht durch kartesische Koordinaten P(x|y|z), son-
dern durch seinen Abstand zum Ursprung r sowie zweier Winkel θ (Polarwinkel) und φ