Trigonometría Trigonometría Plana. Idea de “ángulo”

TrigonometríaTrigonometría

Trigonometría PlanaTrigonometría Plana

Idea de “ángulo”

Rectas que se cortan → ángulos iguales

Segmento entre rectas paralelas → ángulos iguales

Entre rectas perpendic. → ángulos iguales

Ángulos de un poligono

Ángulos de un circulo

ÁNGULOS EN RADIANESSe define el radian como el ángulo que en una circunferencia subtiende respecto del centro O un arco MN con igual longitud que el radio r.

Para una circunferencia de radio r,   y un cierto ángulo α subtendiendo un arco de longitud s, el cociente s/r nos da el valor de ese ángulo en radianes.

r

s

M

N

O r

s

Relación entre grados y radianes.

180º Π radianes

Regla: ¿ cuántos radianes son 30° ?.

30180

x

x = π / 6 radianes

¿ cuántos grados son 0,357 radianes ?.

º45,20357,0

180 x

x

*  Es interesante también recordar que 1 radián son 180°/π , es decir, 57,29... grados. Mientras que 1 grado son π /180° , o sea, 0,1745... radianes.

Propiedad importante:

* puede establecerse la siguiente relación entre un ángulo  α  y el arco de circunferencia subtendido:

s = α . R (para α en radianes)

Algunas relaciones entre ángulos y radianes:

Ejemplo 1:  Queremos conocer rápidamente a qué equivalen 75° , entonces:                                75° = 60° + 15° π/3 + (1/2) π/6 5 π/12

  Ejemplo 2:  Queremos conocer rápidamente a qué equivalen 265° , entonces:                               265° = 270° - 5° 3 π/2 - (1/6) π/6 53 π/36

Relaciones Circulares

R. Fundamental: sin2 α + cos2 α = 1

Proyecciones

x = R cos α

y = R sin α

sin

cos

sintan

cos

y

Rx

Ry

x

Relaciones recíprocas.

sin

cos

sintan

cos

y

Rx

Ry

x

csc

sec

coscot

sin

R

y

R

xx

y

1csc

sin1

seccos

1cot

tan

Funciones seno, coseno y tangente.

Funciones seno, coseno y tangente.

Funciones seno, coseno y tangente.

La circunferencia Trigonométrica

s = α . R s = α

Las relaciones circulares en la circunf. Trigonométrica

sin α = y / R

cos α = x / R

tan α = y/x = sin α / cos α

En la circ. Trig. (con R = 1): sin α = y

cos α = x

1csc

1sec

y

x

Para la tangente:

recuérdese el “Teorema de Tales”

sintan

cos

tantan

cot

y xy

x yx

Atención:

En el anterior ejemplo tanto el seno como el coseno eran positivos, pues se encuentran o bien arriba del eje horizontal, o bien a la derecha del vertical.  Pero pueden darse otros casos:

Para la tangente hay que ver en qué cuadrante se halla.

Este tipo de circunferencias trigonométricas sirve para hacer diversas consideraciones sobre senos y cosenos de ciertos ángulos.

sin (α + π/2) = cos α cos (α + π/2) = - sin α

sin (π - α ) = sin α cos ( π - α ) = - cos α

EJERCICIOS

1) Dibuje una circunferencia trigonométrica con dos ángulos y , siendo pequeño y siendo  = π/2 - α (dos ángulos complementarios). Establezca las relaciones entre senos y cosenos de los ángulos complementarios.

2) Considere una circunferencia trigonométrica con dos ángulos α y β, siendo α pequeño y siendo  β = α + π . Establezca las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos.

3) Sean dos ángulos α y β, siendo α pequeño y siendo β = 3π/2 -α . Establezca con la ayuda de la circunferencia trigonométrica las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos.

4) Sean dos ángulos α y β, siendo α pequeño y siendo  β =  -α (también puede expresarse  β = 2π - α) . Establezca con la ayuda de la circunferencia trigonométrica las relaciones entre senos y cosenos de estos dos ángulos.

Relación fundamental

2 2sin cos 1

Razones trigonométricas de la suma

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

tan tantan( )

1 tan tan

Razones trigonométricas de la resta

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

tan tantan( )

1 tan tan

Razones del ángulo doble

2 2

2

sin 2 2sin cos

cos 2 cos sin

2 tantan 2

1 tan

Razones del ángulo mitad

1 cossin / 2

2

1 coscos / 2

2

1 cos sintan / 2

1 cos 1 cos

Suma y resta de razones trigon.

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2sin cos2 2

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

A B A BA B

A B A BA B

A B A BA B

A B A BA B