Trigonometria na circunferência

Trigonometria na

circunferência.

Relembrando conceitos sobre

arcos de circunferência e

ângulos. O que é um arco de uma circunferência ?

Sejam A e B, dois pontos sobre uma circunferência L.

.

.B

A

L

Se unirmos os pontos A e B, partindo de A e chegando a B, no

sentido anti-horário, teremos o arco AB. Denotamos 𝐴𝐵.

.

- Dois pontos A e B numa circunferência, dividem-na em duas partes, denominadas

arcos.

- O sentido que adotamos para representar um arco numa circunferência, influencia na

sua representação e denotação.

- Os pontos A e B são as extremidades do arco.

.

.

B

A

L

Se unirmos os pontos A e B, partindo de A e chegando a B, no

sentido horário, teremos o arco AB. Denotamos 𝐴𝐵.

Ângulo Central Observe a figura da circunferência L, de centro no ponto O, que

contém o arco 𝐴𝐵.

Sabemos que, todo ângulo coplanar com uma circunferência L, cujo vértice

é o centro de L, é denominado ângulo central relativo à L.

𝐴𝐵 é chamado de arco correspondente ao ângulo central A 𝑂𝐵.

O

A

B

L

Medida de arcos de

circunferência. Há dois tipos de medições que podem ser feitas para um arco 𝐴𝐵 de

uma circunferência, que são:

- Linear: é o comprimento do arco 𝐴𝐵, ou seja, a distância entreas suas extremidades.

- Angular: está relacionada à medida do ângulo central,correspondente à este arco, ou seja, a medida angular do arco 𝐴𝐵 é igual àmedida do ângulo central associado à ele.

• Denotaremos por m( 𝐴𝐵) a medida angular do arco 𝐴𝐵, e m( amedida do ângulo central do arco 𝐴𝐵.

A 𝑂𝐵)

Medida em graus.

É a unidade de medida que conhecemos desde o ensino

fundamental.

Dividindo uma circunferência em 360 partes congruentes entre

sí, temos que cada parte dela equivale a 1°(um grau).

1°

Medida em radianos.

Medir um arco com essa unidade de medida, significa

responder à pergunta: Quantos arcos de comprimento igual à

um raio da circunferência, “cabem” no arco que se deseja

medir ?

Veja os exemplos de um arco de medida 1 rad e 2 rad.

Obs: lembre-se que a medida angular do arco está

relacionada à medida do seu ângulo central.

De um modo geral, temos a relação:

𝛼 =𝑙

𝑟Onde, 𝑙 é o comprimento do arco, 𝑟 é o raio da circunferência e 𝛼 é a

medida do ângulo central do arco, conforme o desenho abaixo.

r

r

𝑙𝛼

Trigonometria na circunferência.

O que é uma circunferência trigonométrica ?

Por que estudar trigonometria utilizando uma círcunferência ?

Onde vamos usar estes conceitos ?

No decorrer desta aula, vamos nos preocupar em responder

estas questões.

Observe às figuras abaixo, elas lembram conteúdos já vistos

anteriormente, como arcos de circunferência, e ângulos.

1º Passo: Construção da circunferência

trigonométrica. Para construir uma circunferência trigonométrica, faremos algumas

convenções a seguir:

No plano cartesiano, vamos considerar a circunferência de centro naorigem e raio unitário, conforme a figura abaixo. Vamos estudar ummétodo, que possamos utilizar para representar e calcular medidas dearcos.

Os arcos serão medidos a partir do ponto A.

A representação acima, é a de uma circunferência trigonométrica.

O

r = 1

.A(1,0)

Vimos que, para representar um arco em uma circunferência,

podemos nos deslocar por ela em dois sentidos, horário e anti-

horário.

- O sentido anti-horário, será indicado com o sinal positivo.

- O sentido horário, será indicado com o sinal negativo.

Para ilustrar esta ideia, veja as representações abaixo.

Consideremos um arco AP qualquer, numa circunferência de centro em

O e raio unitário.

* Se , então m( 𝐴𝑃) =∝> 0 ;

..

A

P

* Se, então -m( 𝐴𝑃) =∝< 0;

* Se A=P, então m( 𝐴𝑃) =0.

A

P

A=P

..

.

IMPORTANTE: O ponto P é chamado de imagem do ângulo de

medida ∝.

Atividades:

Para responder os itens abaixo, considere sempre uma circunferência

de raio unitário, e com centro na origem O do plano cartesiano.

1-) Represente os arcos de medidas: 0rad, 𝜋

2rad, 𝜋rad,

3𝜋

2rad e 2𝜋rad.

* Note que, pela relação 𝛼 =𝑙

𝑟, como 𝑟 = 1, temos que ∝= 𝑙. Ou seja, a

medida angular do arco está diretamente associada a medida do seu

comprimento.

2-) Represente, numa mesma circunferência, as imagens dos arcos do

item 1.

3-) No item 2, represente as imagens dos arcos com as respectivas

medidas abaixo:

* 𝜋

4rad,

3𝜋

4rad,

5𝜋

4rad,

7𝜋

4rad;

* 𝜋

6rad,

5𝜋

6rad,

7𝜋

6rad,

11𝜋

6rad;

* 𝜋

3rad,

2𝜋

3rad,

4𝜋

3rad,

5𝜋

3rad.

4-) Qual foi o seu raciocínio para construção destes valores ?

5-) Represente agora, no sentido horário, os arcos de medidas: 0rad,

−𝜋

2rad,−𝜋rad, −

3𝜋

2rad e −2𝜋rad.

6-) Represente, numa mesma circunferência, as imagens dos arcos do

item 5.

7-) No item 5, represente as imagens dos arcos com as respectivas

medidas abaixo:

* −𝜋

4rad, −

3𝜋

4rad, −

5𝜋

4rad, −

7𝜋

4rad;

* −𝜋

6rad, −

5𝜋

6rad, −

7𝜋

6rad, −

11𝜋

6rad;

* −𝜋

3rad, −

2𝜋

3rad, −

4𝜋

3rad, −

5𝜋

3rad.

8-) Volte para a atividade 3, e escreva algumas medidas de arcos em

graus.

BATALHA NAVAL

Montagem do tabuleiro:

• Número de jogadores: 2.

• Em seu tabuleiro, sem que seu oponente veja, o jogador posiciona suaesquadra composta de:

- 1 porta-aviões (quatro marcas em posições consecutivas numa reta ou numacircunferência).

- 2 submarinos (três marcas em posições consecutivas numa reta ou numacircunferência).

- 3 destroyers ( 2 marcas em posições consecutivas numa reta ou numacircunferência).

- 4 fragatas ( 1 marca # ).

* As marcas são para cada peça da esquadra.

Os jogadores decidem quem começa.

Regras do jogo:

Alternadamente, cada jogador tem direito a “dar um tiro” falando uma posição do

tabuleiro da seguinte forma: primeiro o raio da circunferência e depois o ângulo. Por

exemplo: (3,60°).

Se o tiro atingir algum dos navios do adversário, este diz “acertou” e especifica o tipo

de navio. O jogador que acertou, registra no seu tabuleiro, o navio do adversário

com uma cor diferente da que usou para marcar a sua esquadra e tem direito a

novos tiros até errar.

No caso de o tiro não atingir nenhum navio, o adversário diz “água” e é sua vez de

jogar.

O jogo prossegue dessa forma até que uma das frotas seja totalmente destruída.

O vencedor é o jogador que conseguir afundar todos os navios de seu adversário.

Destroyer Fragata

Porta-aviões

Submarino

Tabuleiro do jogo Batalha Naval

0°2 31

30°

60°90°

Arcos Côngruos

Se a medida de um ângulo for maior que 2𝜋𝑟𝑎𝑑(𝑜𝑢 360°), como faremos para representá-lo no círculo trigonométrico? Qual é a sua imagem?

* Tente representar alguns valores, como 3𝜋(540°), 7𝜋

3, −

9𝜋

2.

8-) Construa um círculo trigonométrico, e verifique o que ocorre com as imagens dos arcos de medidas:

1.𝜋

2rad,

𝜋

2+ 2 𝜋 rad,

𝜋

2+ 4𝜋 rad,

𝜋

2+ 6𝜋 rad;

2.𝜋

2− 2𝜋 rad,

𝜋

2− 4𝜋 rad,

𝜋

2− 6𝜋 rad;

9-) O que você percebeu com relação à imagem dos arcos anteriores ?

10-) Quantas voltas, no sentido anti-horário, nós completamos no item1, para cada um dos arcos?

11-) Quantas voltas, no sentido horário, nós completamos no item 2,para cada um dos arcos?

12-) O que todos estes arcos, possuem em comum ?

13-) Escreva uma expressão matemática que determina os valoresdestes arcos, em função do número de voltas no círculotrigonométrico.

Familiarizados com a circunferência

trigonométrica, os alunos já tem base para estudar

cálculos de seno, cosseno e tangente de arcos

com o auxílio do ciclo na próxima aula, e também,

complementar seu estudo de funções

trigonométricas.