Top Banner
TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár
29

TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Jan 16, 2016

Download

Documents

vilina

TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár. Trigonometria. Riešenie všeobecného trojuholníka. B. β. a. c. γ. C. b. α. A. Mgr. Jozef Vozár. Trigonometria. Sinusova veta. Trigonometria. Treba vedieť: - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

TRIGONOMETRIA

Mgr. Jozef Vozár

Page 2: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Trigonometria

Riešenie všeobecného trojuholníka

A

B

C

α

β

γ

a

b

c

Mgr. Jozef Vozár

Page 3: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Trigonometria

Sinusova veta

Page 4: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Trigonometria

Treba vedieť: 1. Vzťah medzi obvodovým a stredovým uhlom

patriacim k tomu istému oblúku kružnice (stredový = 2x obvodový)

2. Vyjadrenie sinusu uhla v pravouhlom trojuholníku, ako podiel dĺžok protiľahlej odvesny a prepony.

Page 5: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

α

r

a/2

α

a/2Sin α = ––––––––––- r

S

A

B

C

P

Page 6: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Spájame goniometriu s geometriou

• SP je výška trojuholníka BSC• BSP je pravouhlý trojuholník• Uhol BAC je obvodový k oblúku BC• Uhol BSC je stredový uhol k oblúku BC

Z toho potom vyplývajú nasledovné vzťahy:

Page 7: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Sinusova veta

sin α ––––- = 2r a

Page 8: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Sinusova veta

sin β ––––- = 2r b

Page 9: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Sinusova veta

sin γ ––––- = 2r c

Page 10: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Sinusova vetaV každom trojuholníku ABC, so stranami a,b,c a uhlami α,

β, γ a polomerom opísanej kružnice r platí:

sin α sin γ sin β –––– = –––– = –––– = 2r a c b

Page 11: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Sinusova veta- príklad

V trojuholníku ABC platí:a=5, b = 7, α = 30°.

Vypočítaj c, r, β, γ.

Page 12: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Sinusova veta- príklad

Riešenie:1.sin α ½ 1 ––––- = 2r → –––– = –– → a 5 10

r =1/20

Page 13: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Sinusova veta- príklad

2. sin β sin β sin β ––––- = 2r →1/10 = ––––– = –––– → b b 7 sin β =7/10 →

β = 44,4°

Page 14: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Sinusova veta- príklad

3.γ = 180° - 30° - 44,4°

γ = 105,6°

Page 15: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Sinusova veta- príklad

4.

sin γ sin γ 0,96 –––- = 2r→ c = ––––- = –––––– → c 2r 1/10

c = 9,6

Page 16: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Trigonometria

Kosinusova veta

Page 17: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

C[x;y]

P

ba

cA

B

y

| x|

Page 18: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Kosinusova veta

| x | xcos α = – cos( π - α ) = - ––––––– = ––– b b

Page 19: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Kosínusová veta

y2 = b2 - x2

y2 = a2 – ( c – x )2

Obrázok 2

Page 20: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Kosínusová veta

b2 - x2 = a2 – ( c – x )2

a2 = b2 + c2 - 2cx

Page 21: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Kosínusová veta

Ale (viď obrázok)

x = b cos α

a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α

Page 22: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Kosínusová veta

V každom trojuholníku ABC so stranami a, b, c a uhlami α, β, γ platí:

a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α

b2 = a2 + c2 - 2 ac cos β

c2 = a2 + b2 - 2 ab cos γ

Page 23: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Kosínusová veta- príklad

V trojuholníku ABC sú dané dĺžky všetkých jeho strán:

a = 16,9b = 26c = 27,3Vypočítaj veľkosti jeho vnútorných uhlov.

Page 24: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Kosínusová veta- príklad

1. Najprv treba skontrolovať či to je trojuholník – či platia trojuholníkové nerovnosti. a + b > c

a + c > b b + c > a

Page 25: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Kosínusová veta- príklad

2. Pre výpočet uhla α použijeme kosinusovú vetu

a2 = b2 + c2 - 2 bc cos α

Page 26: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Kosínusová veta- príklad

2 bc cos α = b2 + c2 - a2

b2 + c2 - a2

cos α = ––––––––––––––––––2 bc

α = 36°50'

Page 27: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Kosínusová veta- príklad

3. Ďalej pokračujeme ako pri sinusovej vete,

pretože tá je ľahšia.

Page 28: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Obsah trouholníka

A

B

C

va

b

a

c

β

γ

Page 29: TRIGONOMETRIA Mgr. Jozef Vozár

Obsah trojuholníka

S = ½ a.va

va = b.cos γ

S = ½ a. b.cos γ