Mariano Benito Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T. •Razones trigonométricas •Relaciones entre las razones trigonométricas •Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales •Representación en la circunferencia unidad •Signo de las razones trigonométricas •Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos: opuestos, complementarios, … •Resolución de triángulos rectángulos •Teorema del Seno •Teorema del Coseno •Resolución de triángulos cualesquiera Departamento de Matemáticas
Departamento de Matemáticas. Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T. Razones trigonométricas Relaciones entre las razones trigonométricas Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales Representación en la circunferencia unidad Signo de las razones trigonométricas - PowerPoint PPT Presentation
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Mariano Benito
Trigonometría1º Bachillerato C.N.S. y T.
•Razones trigonométricas•Relaciones entre las razones trigonométricas
•Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales
•Representación en la circunferencia unidad•Signo de las razones trigonométricas
•Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos: opuestos, complementarios, …•Resolución de triángulos rectángulos
•Teorema del Seno•Teorema del Coseno
•Resolución de triángulos cualesquiera
Departamento de Matemáticas
Mariano Benito
ab
c
a
bsen
a
ccos
costan
sen
c
b
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Y sus inversas:
tgb
cg
c
a
senb
aec
1cot
cos
1sec
1cos
Mariano Benito
RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
ab
c
1a
a
a
cb
a
c
a
bcosαsenα
2
2
2
222222
222
2222 sec
cosα
1
cosα
senαcosα
cosα
senα1tanα1
222
2222 cos
senα
1
senα
cosαsenα
senα
cosα1cotg1 ec
Mariano Benito
VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES
0º
30º
45º
60º
90º
180º
270º
360 º
sen 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tg 0 1 0 0
cosec
1 -1
sec 1 -1 1
cotg 1 0 0
2
1
2
2
2
12
3
2
3
2
2
3
33
α
2 2
2
3
32
3
322
33
3
Mariano Benito
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1
senα
cosα
tgα
α
α en el primer cuadrante
90ºα0º
0º
90º
180º
270º
cotgα
secα
cosecα
Mariano Benito
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1
senβ
cosβ
tanβ
β en el segundo cuadrante
180ºβ90º
β
0º
90º
180º
270º
cosec
sec
cotg
Mariano Benito
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1
senγ
cosγ
tanγ
γ en el tercer cuadrante
270ºγ180º
0º
90º
180º
270º
γ
sec
cosec
cotg
Mariano Benito
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1
senδ
cosδ
tanδ
δ
δ en el cuarto cuadrante
360ºδ270º
0º
90º
180º
270º
cotgδ
secδ
cosecδ
Mariano Benito
SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Seno y Cosecante
Coseno y Secante
Tangente y Cotangente
+_+
_
+
+
+
+
__
__
Mariano Benito
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS
Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a.
a
-sen a
cos a
-tg a
-a
sen (-a) =
cos (-a) =
tg (-a) =
EJEMPLO:
sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º2
1
2
3
3
3
cos 330º = cos (-30º) = cos 30º
tg 330º = tg (-30º) = -tg 30º
cosec (-a) = -cosec a
sec (-a) = sec a
cotg (-a) = -cotg a
Calcula las demás razones trigonométricas
Mariano Benito
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a.
a
cos asen a
cotga
90º-a
sen (90º-a) =cos (90º-a) =
tg (90º-a) =
EJEMPLO:sen 60º = cos 30º
2
3
2
1
3
cos 60º = sen 30º
tg 60º = tg30º
sena
cosa
a)cos(90º
a)sen(90º
cosec(90º-a) = sec a
sec(90º-a) = cosec a
cotg(90º-a) = tg a
Calcula las demás razones trigonométricas
Mariano Benito
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a.
a
sen a
-cos a
-tg a
180º-a
sen (180º-a) =
cos (180º-a) =
tg (180º-a) =
EJEMPLO:sen 150º = sen 30º
2
1
2
3
3
3
cos 150º = -cos 30º
tg 150º = -tg 30º
cosec (180º-a) = cosec a
sec (180º-a) = -sec a
cotg (180º-a) = -cotg a
Calcula las demás razones trigonométricas
Mariano Benito
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
Dos ángulos a y b difieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a.
a
-sen a
-cos a
tg a
180º+a
sen (180º+a) =
cos (180º+a) =
tg (180º+a) =
EJEMPLO:
sen 210º = -sen 30º2
1
2
3
3
3
cos 210º = -cos 30º
tg 210º = tg 30º
cosec (180º+a) = -cosec a
sec (180º+a) = -sec a
cotg (180º+a) = cotg a
Calcula las demás razones trigonométricas
Mariano Benito
Resolución de triángulos rectángulos
Casos que pueden presentarse:I. Conocer un cateto y la hipotenusa
II. Conocer un cateto y un ángulo agudo
III. Conocer los dos catetos
IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo
ab
cA B
C
90º
Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, B y C), conociendo dos de ellos.
Mariano Benito
I. Conocer un cateto y la hipotenusa
cm.19.21369c
3691625bac 22222
a
b
cA B
C
90º
Datos: a = 25 cm., b = 16 cm.
Teorema de Pitágoras:
Definición de seno:
'29'12'50ºB90ºC
'31'47'39º4)arcsen(0.6B
0.6425
16
a
bsenB
Mariano Benito
II. Conocer un cateto y un ángulo agudo
.cm19.53cos35º
16
cosC
ba
a
bcosC
ab
cA
C
90º
Datos: C = 35º, b = 16 cm.
B
Los ángulos B y C son complementarios:
B = 90º - C = 90º - 35º = 55ºDefinición de seno y coseno de C:
cm11.20sen35º19.53senCaca
csenC
Mariano Benito
III. Conocer los dos catetos
ab
cA
C
90º
Datos: b = 16 m. c = 12 m.
B
m.20400a
4001216cba 22222
Teorema de Pitágoras:
Definición de tangente:
'12'52'36ºB90ºC
'48'7'53º)arctg(1.33B
1.3312
16
c
btgB
Mariano Benito
IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo
ab
cA
C
90º
Datos: a = 30 m. C = 25º
B
Los ángulos B y C son complementarios:
B = 90º - C = 90º - 25º = 65º
.m19.27º25cos30Ccosaba
bcosC
Definición de seno y coseno de C:
m.12.68sen25º03senCaca
csenC
Mariano Benito
Teorema del Seno
b
hsenA
a
hsenB
senAbh
senBah
A B
C
c
b ah
m n Igualando la h en ambas ecuaciones
senB
b
senA
a
senAbsenBa
Y en general se tiene: senC
c
senB
b
senA
a
TEOREMA DEL SENO: En todo triángulo la razón entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante ……
Mariano Benito
Teorema del Seno
senC
c
senB
b
senA
a
º90sen
R2
senD
b
senB
b
…… y dicha constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
A B
C
90º D En el triángulo ABC:
En el triángulo ADC:
Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos y abarcar el mismo arco de circunferencia.
ab
c
2R
Por lo tanto: R2º90sen
R2
senC
c
senB
b
senA
a
Mariano Benito
Teorema del Coseno
Acosbmb
mAcos
mcn A B
C
c
b ah
m nH
cosAb2cAcosbcAcosbbnmbnha
cosAb2cAcosbc2cmmcm)(cn222222222222
2222222
Para cualquier lado queda:
Ccosba2bac
Bcosca2cab
Acoscb2cba
222
222
222
Si el triángulo es
rectángulo queda el Teorema de Pitágoras.
Mariano Benito
Resolución de triángulos cualesquiera
Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de ellos.
a
b
c
A
B
C
Casos que pueden presentarse:I. Conocer los tres lados
II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido
III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes
Mariano Benito
I. Conocer los tres lados
Datos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m.
a
b
c
A
B
C
Con el teorema del Coseno:
'34'28'50º364)arccos(0.6C0.636422152
172215
2ab
cbacosC
'45'37'86º588)arccos(0.0B0.058817152
221715
2ac
bcacosB
'43'53'42º326)arccos(0.7A0.732617222
151722
2bc
acbcosA
222222
222222
222222
Volver a resolución de triángulos cualesquiera
Mariano Benito
II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido
dm27.5cº30cos7102710Ccosba2bac 22222
Datos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30º.
a
b c
A
BCCon el teorema del Coseno
calculamos c:
Con el teorema del Seno hallamos B:
'40'23'138º
'20'36'41º64)arcsen(0.6B0.664sen30º
5.27
7senC
c
bsenB
senC
c
senB
b
Como el único ángulo obtuso es A, B = 41º 36’ 20’’:
y A = 180º- 30º - B = 108º 23’ 40’’
Volver a resolución de triángulos cualesquiera
Mariano Benito
III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Conocemos los lados a y b y el ángulo A.En este caso hemos de contemplar tres posibilidades.Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro triángulo. Puede ocurrir:
h
b a
A
h
b
a
A
h
b
a
A
h
b
a
Ah
b a
A
hba
A
III.1 a < hIII.2 a = h
III.3 a > h
III.3.1 a > h y a < b
III.3.2 a > h y a > b
Volver a resolución de triángulos cualesquiera
Mariano Benito
Ejemplo III.1 a<h
Resuelve el triángulo del que se conoce:a = 7 m., b = 20 m. y A = 30º
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.Como a = 7 < 10 = h, NO EXISTE EL TRIÁNGULO
10=h20=b
a=7
30º=A
c
Volver al caso IIIVolver a resolución de
triángulos cualesquiera
Mariano Benito
Ejemplo III.2 a=h
Resuelve el triángulo del que se conoce:a = 10 m., b = 20 m. y A = 30º
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.Como a = 10 = 10 = h, TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
10=h20=b a=10
A=30º c B
C B = 90º, C = 90º-A = 60º
cosA = c/b = c/20
c = 20.cosA = 17.32 m.
Volver al caso IIIVolver a resolución de
triángulos cualesquiera
Mariano Benito
Ejemplo III.3.1 a > h y a < b
Resuelve el triángulo del que se conoce:a = 15 m., b = 20 m. y A = 30º
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES.
Volver al caso III
h=10
20=b
a=15
A=30º
h=10
20=b
15=a
A=30ºB B
B agudo
C = 180-A-B = 108º11’23’’
c=(a.senC)/senA= 28.50 m.
B obtusoC = 180-A-B = 11º48’37’’c=(a.senC)/senA= 6.14 m.
''23'11º138
''37'48º41B66.0
15
)2/1(20
a
senAbsenB
senB
b
senA
a
c c
Volver a resolución de triángulos cualesquiera
Mariano Benito
Ejemplo III.3.2 a > h y a > b
.m23.40senA
senCac
''19'25º126BA180C''42'34º23B4.025
)2/1(20
a
senAbsenB
senB
b
senA
a
Volver al caso III
Resuelve el triángulo del que se conoce:a = 25 m., b = 20 m. y A = 30º
Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA
SOLUCIÓN.
h
b a
A
Resuelve el triángulo del que se conoce:a = 25 m., b = 20 m. y A =
150ºCalculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m.Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA