TRIGONOMETR1

TRIGONOMETRI

1Lembar Kerja Siswa Matematika Kelas Xi SMA/MA

STANDAR KOMPETENSI:2.Menurunkan rumus trigonometri

dan penggunaannya

KOMPETENSI DASAR :

2.1Menggunakan rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan cosinus sudut tertentu.

2.2Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus.

2.3Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus.

INDIKATOR

Menggunakn rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.

Menggunakan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.

Menyatakan perkalian sinus dan cosinus dalam jumlah atau selisih sinus atau cosinus.

Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dalam pemecahan masalah.

Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan selisih dari sinus dan cosinus dua sudut.

Merancang dan membuktikan identitas trigonometri.

Menyelesaiakan masalah yang melibatkan rumus jumlah dan selisih dua sudut.


RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

STANDAR KOMPETENSI:2.Menurunkan rumus trigonometri dan

penggunaannya

KOMPETENSI DASAR :


INDIKATOR


Memahami kembali perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewaRika mendapat tugas dari Pak Irman untuk menyelesaikan soal trigonometri tanpa

menggunakan kalkulator. Akan tetapi Rika binggung bagaimana menyelesaikannya, diapun bertanya pada Siti teman sebangkunya.

x 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330

sin x∘

cosx∘

tg x∘

Kita sudah mengetahui besar sudut-sudut istimewa dari isian kolom di atas. Dengan mengingat nilai sinus, cosinus dan tangen dari tiap sudut tersebut tentu akan sangat membantu kita dalam melakukan perhitungan.

Misalkan seorang tukang bangunan akan merenovasi bagian depan atap sebuah rumah yang berbentuk segitiga sama kaki. Pemilik rumah menginginkan bagian depan atap tersebut menjadi lebih tinggi. Oleh karena itu, pemilik rumah memutuskan agar besar sudut antara sisi miring atap dengan sisi alas sama dengan 750. Lalu, apakah tukang bangunan itu dapat memenuhi permintaan pemilik rumah, jika ia tidak menggunakan kalkulator atau sejenisnya untuk menghitung nilai dari sinus, cosinus, dan tangen.


Siti, Ika lagi bingung nih! Bagaimana cara menyelesaikan soal trigonometri tanpa

menggunakan kalkulator. Kamu bisa bantu

Oh, kalau soal itu aku bisa bantu. Begini ka, kamu bisa menggunakan perbandinggan trigonometri sudut-sudut

istimewa. Nah! Untuk melatih kamu, coba isi kotak-kotak di bawah ini. Jangan lupa perhatikan letak kuadratnya.

Ternyata, tukang bangunan menyanggupinya. Ia menggunakan salah satu aturan trigonometri yang dapat mempermudah dalam melakukan perhitungan. Jadi, sudut 750 ia pecah menjadi

penjumlahan dari dua sudut istimewa, yaitu (300+450). Selanjutnya ia menghitung nilai cos 750 menggunakan aturan trigonometri tersebut, yaitu:

cos 750=¿ cos (300+450 )=¿ cos 300 ∙ cos 450−¿sin 300 ∙ sin 450

¿ 12√3∙

12√2−1

2∙12

√2= 14

(√6−√2 )

Oleh karena tukang bangunan itu masih ingat nilai sinus dan cosinus dari sudut istimewa, maka hal ini menjadi tidak terlalu sulit baginya. Selanjutnya, untuk mengukur panjang sisi miring bagian

depan atap, ia menggunakan formula r=x

cos 750 , dengan r adalah panjang sisi miring dan x adalah

setengah panjang sisi alas.

Ada beberapa aturan trigonometri yang lebih menarik lagi. Untuk mengetahuinya, dapat kalian pelajari lebih mendalam pada materi ini.

1. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

1.1 Rumus cos (α ± β)

Y

C

B ❑β A O ❑− β X D

Pada segitiga ACO berlaku :

Dengan menggunakan rumus jarak :

AC2=( cos (α+ β )−1 )2+(sin (α+ β )−0 )2

¿cos❑2 (α+β )-..................+......+sin❑

2 (α+ β )¿{.............+...............}+.....-......................¿2-............... .........(1)

Pada segitiga BDO berlaku :

Dengan menggunakan rumus jarak :

BD2=(cos β−cos α )2+(−sinβ−sinα )2

¿cos❑2 β-2 cosα cos β+........+sin❑

2 β +.....................+sin❑2 α

¿(.........+.........)+(........+........)-......................+................¿2-............... .........(2)


Jika jari-jari lingkaran = 1,Koordinat A(1,0)Koordinat B(cos α , sinα)Koordinat C(cos (α+β ) , sin (α+β ))Koordinat D(cos β ,−sinβ)

Karena AC2=BD2 maka diperoleh hubungan

2−.................=2−................ .cos (α+β )=........−........

Jadi rumus cos (α+β )adalah

cos (α+β )=¿ .............

Karena sin (– β )=−sin β dan cos (– β )=cos β , maka :

cos (α−β )=cos (a+(−β ) )¿.....................-................¿..................-..................¿..................+..................

cos (α−β )=¿ .............

1. Tentukan nilai dari a) cos 15 °b) cos 75 °

Jawab :

a) cos

15 °=cos (45 °−30 ° )

¿…………………+………………¿………………

b) cos 75°=cos (45 °+30°)¿…………………-………………¿………………


Ayo, kerjakan dulu tugasnya

TUGAS SISWA I:

2. Dengan menggunakan segitiga siku-siku di bawah ini, tunjukkanCos ( α−β ¿=¿ cos α cos β + sin α sinβ , jika α = 900dan β = 300! Jawab :

Ruas kiri :Cos (α−β ¿=¿ cos¿ ... - ... ¿¿cos.....

¿…Ruas kanan :Cos α cos β + sin α sin β = cos.... cos ....+ sin... sin...

= ( .... x ..... .... ) + ( …. x…¿ = .... = ruas kiri Jadi, berlaku bahwa cos (α – β ) = cos α cos β + sin α sin β untuk α = 300 dan β = 900

3. Tentukan nilai cos 150 tanpa menggunakan kalkulator atau tabel trigonometri !Jawab : 15 = 45 – 30 Cos 15 = cos ( .... - ....) = cos ... cos.... + sin .... sin .... = ( .....)(......) + (.....)(...) = .... (√6+….¿

Jadi, nilai cos 150 14

( √6+√2¿.


TUGAS SISWA II :

TUGAS SISWA III :

300

2

√3

apa yang dipelajari sekarang

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

2. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya

2.1 Menggunakan rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan cosinus sudut tertentu.


“ AWALI SUATU HAL ATAU PUN PEKERJAAN DENGAN SUATU

KEJUJURAN,,,KARENA KEJUJURAN ADALAH AWAL DARI SUATU KEBERHASILAN”.

STANDAR KOMPETENSI:

KOMPETENSI DASAR :

INDIKATOR:

Menggunakan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut.

Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut.

Mengingat kembali materi tentang jumlah dan selisih cosinus.

Siti mendapat tugas dari Pak Zam untuk mencari nilai dari cos ( 12π−x ) karena belum begitu

paham meteri jumlah dan selisih cosinus yang lalu. Sitipun bertanya pada temannya Nopi.

Jadi, cos ( 12π−x )=cos

12π cos x+sin

12π sin x

¿ . . .. ∙ .. . .+. . .. ∙ .. . .

¿ . . .. .+. . .. .

¿ . . .. .

Kita telah menguasai materi jumlah dan selisih cosinus. Materi penjumlahan dan pengurangan

trigonometri yang lainnya akan kita bahas pada bagian ini! Selamat belajar!

1. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

1.2 Rumus sin(α ± β)

Karena cos (90°−α )=sinα dan

sin (90 °−α )=cosα , maka :

sin (α+β )=cos ( 90 °−(α+ β ) )

¿cos ( (90−α )−β )¿ . . .. . . .. .+. . .. . . .. .

¿ . . .. . . .. .+. . .. . . .. .

jadi:

sin (α+β )=. . .. . . .. . . ..


Nopi, bagaimana cara untuk mencari nilai dari cos ( 12π−x )

Coba ingat kembali rumus pengurangan cosinus! Kan rumusnya: cos (α−β )=cosα cos β+sinα sin β nah,

tinggal diganti aja α=12π dan β=x

Sekarang mari kita belajar rumus jumlah dan selisih sinus

Karena sin (– β )=−sin β dan cos (– β )=cos β , maka :

sin (α−β )=sin (α+(−β ) )¿ . . .. . . .. .+. . .. . . .. .

¿ . . .. . . .. .+. . .. . . ...

jadi:

sin (α−β )=. . . .. . . .. . . .

Tugas Siswa:

1) Tentukan nilai dari

a) Sin 75 °

b) Sin 105 °

c) Sin 195 °

d) Sin 255 °

Jawab :

a) Sin 75 °=sin (120 °−45° )

¿ . . .. . . .. .− .. . . .. . . .

¿ . . .. . .−. . . .. .

¿ . . .. .+. . .. .

¿ . . .. . .

b) Sin 105 °=sin (60 °+45 ° )= .. . . .. . . .+ .. . . .. . . .

¿ . . .. . .+. .. . . .

¿ . . .. .+. . .. .

¿ . . .. . .

c) Sin 195 °=sin (225 °−30 ° )

¿ . . .. . . .. .− .. . . .. . . .

¿ . . .. . .−. . . .. .

¿ . . .. .+. . .. .

¿ . . .. . .

d) Sin 255 °=sin (225 °+30 ° )

¿ . . .. . . .. .+. . .. . . .. .

¿ . . .. . .+. .. . . .

¿ . . .. .− .. . . .


Bagaimana agar lebih memahami

Coba kamu kerjakan tugas siswa berikut

Coba aja, pasti bisa dikerjain!

Tugasnya mudah ya . . .

:)

¿ . . .. . .

2) sin( 12π−x)sama dengan nilai

Jawab:

sin( 12π−x)= .. . . .. . . .. . .−. . . .. . . .. . . .

¿ . . .. . . .. . .−. . . .. . . .. .

¿ . . .. . .

1.3 Rumus tan(α ± β )

Karena tanα= sin αcos α

, maka:

tan (α+β )= sin (α+β )cos (α+β )

¿ . .. . .+. .. . ... . . .−. . .. .

Jika pembilang dan penyebut dibagi , maka :

¿ .. . . .+ . .. . .1−. . .. . . .. . .

¿ .. . . .+ .. . . .1−. . .. . . .. . ..

Jadi:

tan (α+β )=. . . .. . . .. . .

Jika β=−β maka:

tan (α+β )=tan (α+ (−β ) )

tan(α−β )= .. . . .+ .. . . .1−. .. . . .. . . .

Karenatan (−β )=¿−tan β¿, maka :

Jadi:

tan (α−β )=. .. . . .. . . ..

Tugas Siswa:

1) Tentukan nilai dari :


Sebelum ke “Latihan Siswa” kerjakan dulu “tugas siswa”

Don’t forget!

Selanjutnya adalah rumus

tan

a) Tan 105 °

b) Tan 75 °

c) Tan 195 °

Jawab:

a) Tan 105 °=tan (60°+45 ° )

¿ .. . .. .+. . . .. .1−. . .. . .∙ . . .. . .

¿ .. . .. .+. . . .. .1−. . .. . .∙ . . .. . .

¿ .. . . .... . . ..

∙. .. . . .. .. . . .

¿ .. . . .... . . ..

¿ .. . . .... . . ..

¿ . . .. . .

b) Tan 75 °=tan (120 °−45 ° )

¿ . . .. . .−. . . .. .1+ .. . . .. ∙ .. . . ..

¿ . . .. . .−. . . .. .1+ .. . . .. ∙ .. . . ..

¿ .. . . .... . . ..

∙. .. . . .. .. . . .

¿ .. . . .... . . ..

¿ .. . . .... . . ..

¿ . . .. . .

c) Tan 195 °=tan (150 °+45 ° )

¿ .. . .. .+. . . .. .1−. . .. . .∙ . . .. . .


¿ .. . .. .+. . . .. .1−. . .. . .∙ . . .. . .

¿ .. . . .... . . ..

¿ . . . .. .. . . .. .. . . .. .

¿ .. . . .... . . ..

∙. .. . . .. .. . . .

¿ .. . . .... . . ..

¿ . . .. . .

2) Diketahui tan5 °=x . Maka nilai dari tan 40 °adalah

Jawab:

tan 40 °=tan ( 45 °−5 ° )

¿ . . .. . .−. . . .. .1+ .. . . .. ∙ .. . . ..

¿ . . .. . .−. . . .. .1+ .. . . .. ∙ .. . . ..

¿ .. . . .... . . ..

3) Diketahui tan6 °=p. Maka nilai dari tan141 °adalah

Jawab:

tan141 °=tan (135°+6 ° )

¿ .. . .. .+. . . .. .1−. . .. . .∙ . . .. . .

¿ .. . .. .+. . . .. .1−. . .. . .∙ . . .. . .

¿ .. . . .... . . ..


Great, you can do it yourself!

Kerjakan soal-soal dibawah ini!

1) Jika α dan β adalah sudut-sudut lancip, dengan cos α= 45

dan cos β=2425

.Hitunglah:

a) sin (α+β )

b) sin (α−β )

Jawab:

2) Jika α dan β adalah sudut-sudut lancip, dengan sinα=35

dan tan β=43.Hitunglah:

a) sin (α+β )

b) sin (α−β )

Jawab:

3) sin ( A+B )= 45

dan cos A cosB=23

nilai tan AtanB

adalah

Jawab:


Latihan Siswa

4) Diberikan 2 buah sudut Adan B dengan nilai sinus masing-masing sin A=45dan sinB=12

13, sudut

A adalah sudut tumpul sedangkan sudut B adalah sudut lancip. Tentukan:

a) tan (A+B )

b) tan (A−B )

Jawab:


“Berusalah sendiri dalam mengerjakan sesuatu, karena itu

akan kamu ingat selamanya”

“Get it yourself in a work something, cause it will you remember

forever”

Memahami kembali rumus jumlah dan selisih dua sudut


STANDAR KOMPETENSI:

2. Menurunkan Rumus

Trigonometri

dan Penggunaannya

KOMPETENSI DASAR :

2.5 Menggunakan rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan cosinus sudut tertentu.

SUDUT RANGKAP

INDIKATOR


Menggunakan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.

Kalian tentu sudah mempelajari rumus jumlah dan selisih dua sudut?

Bagimana? Sangat mudah bukan mengerjakan soal trigonometri menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut.

Untuk mengetahui apakah kalian sudah benar-benar memahami rumus dan dan

1. Jika sinα=45

dan cos β= 725

dengan 0≤α ≤π2

dan 0≤ β≤π2

, tentukan nilai dari:

a) sin(α+β )

b) cos (α−β )

Jawab :

Dik : sinα=45

, maka cos α=…………

cos β= 725

, maka sin β=…………

Dit : a) sin(α+β )

b) cos (α−β )

penyelesian :

a) sin(α+β ) = ....................+....................

= ..............+.............

= .......

b) cos (α−β ) = ....................+....................

= ..............+.............

= .......


Kalian tentu sudah mempelajari rumus jumlah dan selisih dua sudut?

Bagimana? Sangat mudah bukan mengerjakan soal trigonometri menggunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut.

Untuk mengetahui apakah kalian sudah benar-benar memahami rumus dan dan

Ayo, ingat kembali rumus sin(α+β ) dan

cos (α−β )

RUMUS SUDUT RANGKAP

Mencoba, lalu gagal jauh lebih baik daripada tidak pernah mencoba sama

sekali

Misalkan α adalah sebuah sudut tunggal, maka dua sudut α ( ditulis : 2α) disebut juga

sebagai sudut rangkap. Trigonometri sudut rangkap yaitu: sin 2α ,cos2α dan tan2α .

2.1 Rumus sin 2α

Ingat kembali rumus sin (α+β )

sin (α+β ) = = ....................+....................

Jika kita ambil β=α maka rumus diatas menjadi :

sin 2α=¿ sin (α+α )¿

¿.....................+....................

¿.....................

jadi:

sin 2α=.....................

1) Diketahui cos A=43

berada di kuadaran II. Tentukan nilai sin 2 A !

Jawab :

Dik : cos A=43

, karena berada di kuadaran II maka cos A=−43

cos A=−43

= xr

, maka nilai sin A = …….……

Dit : sin 2 A ?

Penyelesaian:

sin 2 A = 2 sin A ......

= 2( .............. )( .......

....... ) = .......


Tugas Siswa

Gunakan dalil Phythagorass

2) Perhatikan gambar segitiga dibawah ini

Tentukan nilai sin A ,cos A ,dan sin 2 A!

Jawab :

Jika x=p dan y=q, maka nilai r

r=√ (x )2+( y )2 = √ (…. )2+(…. )2 = √….2+….2

sin A = …….…….

cos A = …………

sin 2 A = 2 sin A….

= 2(… ..… .. )(… ..

… .. )= …………

2.2 Rumus cos2α

Kita ingat kembali rumus cos (α+β ) .

cos (α+β ) = .................... −¿....................

Jika kita ambil β=α maka rumus diatas menjadi:

cos2α=¿cos (α+α ) ¿

¿.....................−¿....................

¿............−¿............ .....(1)

Karena maka persamaan (1) menjadi :

cos2α=¿¿............−¿............

¿1−¿............−¿............

¿1−¿...............

Karena , maka persamaan (1) menjadi :

cos2α=¿............−¿............

¿............-1-............

¿............


p

q

θ

Jadi:

cos2α=¿........................

¿........................

¿........................

1) Jika cos x= 45

, dimana 0≤ x≤90. Hitunglah nilai dari cos2 x!

Jawab :

cos2 x = .......−1

= 2( … ..…… )−1

= ........

2) Diketahui sin A=23

. Tentukan nilai dari cos2 A!

Jawab : sin A=23

. Maka nilai cos A=…………

cos2 A = … ..2−…..2

= (… ..…. )

2

−(… ..…. )

2

= …… ..…….

− ..… ...… ..

= ……… ..

2.3 Rumus tan2α

Perhatikan kembali rumus untuk tan (α+β )

jika β=α maka rumusnya menjadi:

tan2α=¿ tan (α+α ) ¿

¿ ...... ..+...... .. ..1−.............. ....

¿ 2 ...... ..1−........

Jadi:19

Lembar Kerja Siswa Matematika Kelas Xi SMA/MA

Tugas Siswa

tan2α=¿........................

1) Jika tan x= 43

dan tan y=12

. Hitunglah nilai tan2 x dan tan2 y

jawab :

tan2 x = 2……

1−…… ..

=

2(……… .. )

1−(…… ..……. )

2 = −..…..……

2) Diketahui sin p= 2

√5,0≤ p≤90. Tentukan nilai dari tan2 p!

Jawab : sin p= 2

√5 , maka tan p =

…………

= ......

tan2 p = 2……

1−……

= 2(….)

1−(… ..)2

= −…………

Diketahui α adalah sudut lancip dan sinα=45. Hitunglah:

a) sin 2α

b) cos2α

c) tan2α


Tugas Siswa

Tugas Siswa

Jawab:

α adalah sudut lancip dan sinα=45

, maka sudut α dapat di lukis dengan memakai

segitiga siku-siku seperti gambar di samping. Berdasarkan gambar tersebut diperoleh :

c osα= ............

tanα= ............

a) sin 2α=¿2......... .¿

¿2 ∙( .. . . ... . . . )( . .. . .. .. . . )¿ .....

.....

b) cos2α=.....− .....

¿( .......... )

2

−( .......... )

¿ ..........

c) tan2α= 2. . . ..1−. . . ..

=

2( . .. . .. .. . . )1−( . . . ... . . .. )

2

= ...… .....… ..

2.4 Rumus untuk sin12θ

Perhatikan kembali rumus cos2α ,

cos2α=¿1− ....... .¿

2 sin❑2 α=1−...... ...

sin❑2 α=1−...... ...

...... ...

sinα=±√ 1− ..................

Dengan mengganti α=12θ ke persamaan diatas maka diperoleh:


Sekarang mari kita bahas rumus sudut rangkap untuk

sudut12θ

sin12θ=±√ 1−.........

...... ...

1) Dengan menggunakan rumus sin12θ. Hitunglah nilai eksak dari sin

π12

!

Jawab :

sinπ12

=√ 1−. . . .. ... . . ..

=√ 1−. .. . . .. . .. . .

=12

√..... .−√ ..... .

2) Jika cos150=p. Maka nilai dari sin 75!

Jawab : sin 75 = sin( 12

.150) = √ 1−. .. . . .. . .. . .

=√ 1−. . . .. ... . . ..

2.5 Rumus untuk cos12θ

Perhatikan kembali rumus cos2α , dengan cara yang sama untuk memperoleh rumus sin12θ,

maka rumus cos12θ adalah:

cos12θ=±√ 1+.........

...... ...

1) Tentukan nilai dari cos15 !

Jawab :

cos15 = sin( 12

.30)=√ 1+. . .. . ... . . ..

=√ 1+. . .. . ... . . ..

=−12

√ ......+√ ..... .

2) Diketahui nilai cos 45 = 12√2. Maka nilai cos

π8

adalah......

Jawab :

cosπ8

= √ 1+cos452

= √ 1+. . . .. .. .. . . .

=√ 1+ .. . . ... . .. . .

=−12

√ ..... .+√..... .


Tugas Siswa

Tugas Siswa

2.6 Rumus untuk tan12θ

Dengan mensubstitusi rumus sin12θdan cos

12θ yang diperoleh sebelumnya pada

tan12θ=

sin12θ

cos12θ

, diperoleh rumus tan12θ yaitu:

tan12θ=±√ 1−...... ...

1+...... ...

1) Dengan menggunakan rumus tan12θ. Tentukan nilai dari tan

π8

!

Jawab : tanπ8

= √ 1−.........1+...... ...

= √ 1−.........1+...... ...

= √ 2−.........2+ .........

2) Diketahui cos250 = 1a

√a. Hitunglah nilai dari tan225 !

Jawab : tan225 = tan( 12

.250) = −√ 1−.........

1+ ......... = −√ 1−.........

1+ ......... = −√ a−...... ...

a+...... ...

Kerjakan Soal-soal dibawah ini!

1) Jika α adalah sudut lancip dan tanα=34, hitunglah :

a) sin 2α

b) cos2 β

Jawab:


Latihan Siswa

Tugas Siswa

2) Diketahui tanα=12dan tan β=1

3 (0<α< π2dan0<β< π

2 ). hitunglah nilai dari :

a) tan (α+2 β )

b) tan (2α−β )

Jawab:

3) Buktikan pernyataan di bawah ini

a) sin 3α=−4sin❑3 α+3sinα

b) cos3 α=4 sin❑3 α+3cosα

Jawab:

4) Buktikan bahwa 1−cos 4 x

2 = sin2 2x

Jawab: :

5) Jika 1−cosθ

sinθ = √3

3. Tentukanlah nilai dari θ!

Jawab :



“semua impian kita bisa menjadi kenyataan, jika kita memiliki keberanian untuk

mewujudkannya” (Walt Disney)


STANDAR KOMPETENSI:

2. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya

KOMPETENSI DASAR :

2.3 Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan

cosinus.

INDIKATORMenyatakan

perkalian sinus dan cosinus dalam

jumlah atau selisih sinus atau cosinus.

Perhatikan gambar diatas!!!

Perlu kita ketahui bahwa sebenarnya konsep trigonometri tanpa kita sadari telah diterapkan dalam kehidupan kita sehari-sehari. Misalnya banyak hal-hal yang sederhana seperti memancing, penggunaan katrol saat mengambil air didalam sumur dan masih banyak lagi. Oleh karena itu jangan memandang sulit sesuatu sebelum Anda mengerjakannya.

3.1 Rumus untuk 2 sinα cos β d an2cosα sin β

Perhatikan kembali rumus untuk sin (α ± β ) Jika sin (α+β )dan

rumus sin (α−β )dijumlahkan atau dikurangkan maka diperoleh:

sin (α+β )=...............+.............. .

sin (α−β )=...............−..............

+

sin (α+β )+sin (α−β )=2 ..........................

jadi:


Apa ya, yang dipelajari dalam rumus perkalian sinus dan cosinus

Oh may good??? Aku takut banget sama materi perkalian sin dan cos. Kex mana ne sob?

Alahay… tenang-tenang kemarinkan sudah dijelasin trigonometrisudutganda. Jadi keduanya saling berhubungan.Oke! Mari kita perhatikan bersama.

2 sinα cos β= ...................+...................

sin (α+β )=...............+.............. .

sin (α−β )=...............−..............

-

sin (α+β )−sin (α−β )=2 ..........................

2 cosα sinβ=¿...................-...................

Tugas1Nyatakan bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih sinusa) 4 sin 3α cos αb) 2 cos96 ° sin 21°

Jawab:

a) 4 sin 3α cos α=2 (2 ............... )

¿2 {........ (..........+......... )+......... ( .........−........ ) }¿2 ...............+2.............. .

b) 2 cos96 ° sin 21°=sin ( ........+........ )−sin ( ........−........ )¿ ................−............... .

3.2 Rumus untuk 2 cosα cos β dan2sinα sin β

Perhatikan kembali rumus untuk cos (α ± β ) Jika cos (α+β )danrumuscos (α−β )dijumlahkan atau dikurangkan maka diperoleh:

cos (α+β )=...............−...............

cos (α−β )=...............+..............

+

cos (α+β )+cos (α−β )=2 ..........................

jadi:

2 cosα cos β= ...................+...................

cos (α+β )=...............−...............

cos (α−β )=...............+..............


-

cos (α+β )−cos (α−β )=−2 ..........................

jadi:

−2 cosα cos β= ...................-...................

Jadi:

2 sinα cos β= .............................

2 cosα sinβ= .............................

2 cosα cos β= .............................

−2 sinα sin β= .............................

Tugas 2

Nyatakan bentuk berikut sebagai jumlah atau selisih cosinus

a) 4 cos3 xcos 2xb) 8 sin 50 °sin 25 °

Jawab:

a) 4 cos3 xcos 2x=2 (2 ............... )

¿2 {........ (..........+......... )+......... ( .........−........ ) }

¿2 ...............

b) 8 sin 50 °sin 25 °=4 (2 ............... )

¿−4 {........ ( ..........+......... )−cos ( .........−........ ) }

¿−4 .............. .

Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan tepat

1) Nyatakan tiap bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih cosinus

a) 4 cos32acos

12a

b) 4 cos 48° cos16 °


Latihan SiswaMakin banyakilmumakinbanyak tau.yuk, kitacoba,,,

Jawab:

2) Hitunglah nilai eksak dari:

a) 4 cos5212° cos7

12°

b) 4 sin 5212° sin 7

12°

Jawab:

3) Tunjukkan bahwa:

a) cos 45 °cos 15°=14

(√3+1 )

b) sin 45 ° sin 15 °=14

(√3−1 )

Jawab:


SemogaSukses

“Manfaatkanlahwaktu,,,sebelumkamumenyesal !”

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS


STANDAR KOMPETENSI:2.Menurunkan rumus trigonometri dan

penggunaannya

KOMPETENSI DASAR:


Ok, sebelum kita lanjutkan materi tentang “RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS” Kita ingat kembali rumus perkalian sinus dan cosinus :

Dengan kita mengingat kembali rumus-rumus dalam perkalian sinus dan cosinus, akan memudahkan kita dalam menurunkan dan melakukan perhitungan dengan rumus-rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus.

4. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS

Jika dan , maka :

a+b=αa−b=β.......=...

+

a+b=αa−b=β.......=...

−¿

Maka persamaan menjadi :


Hore, waktunya belajar rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus



Ayoo.. isi yuk.. :D

2 sinacosb=¿ ...........+........... .¿

2 cosa sinb=¿ ...........−........... .¿

2 cosacos b=¿...........+........... .¿

−2 sina sinb=¿ ...........−.......... .¿

Yuk kita proses...

sinα+sin β=2 .......( .......+.............. )cos ( .......−.......

....... )sinα−sin β=2 .......( .......+.......

....... )sin( .......−.............. )

cos A+cosB=2 .......( .......+.............. )cos( .......−.......

....... )cos A+cosB=−2 .......( .......+.......

....... )sin( .......−.............. )

1) Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian sinus dan kosinusa) sin 3 x+sin xb) cos 8α−cosα

jawab:

a) sin 3 x+sin x=2 sin( .. . . .. .+. . . .. . ... . .. . . )cos( . . . .. . .−. . . .. . .. . . .. . . )

¿2

b) cos 8α−cosα=−2sin( . . .. . . .+ .. . . .. .. .. . . .. )sin( . . . .. . .−. . . .. . .. . . .. . . )

2) Hitunglah nilai eksak dari :a) sin 75 °−sin 15 °b) cos75 °−cos15 °

Jawab:

a) sin 75 °−sin 15 °=2 .......( . .. . . ..+. . . .. . ... . . .. . )cos( . . . .. . .−. . . .. . .. . . .. . . )

¿2 .......cos .......¿2 ..............¿ ............. .

b) cos75 °−cos15 °=−2 .......( .. . . .. .+. . .. . . .. . . .. . . )sin( . .. . . ..−. .. . . ... .. . . .. )


Tugas siswa:

¿2 .......∙ .......¿2 ..............¿ ............. .

3) Buktikan bahwa cos2 x−cos 4 x

sin 2 x sin 3 x=sec x

Jawab:

cos2 x−cos 4 xsin 2 x sin 3 x

=2 . .. . . ..( . . . .. . .+. .. . . ... . .. . . . ). . . .. . .( . .. . . ..−. .. . . ..

. .. . . .. ).. . . .. . . .. . .. .

¿ 2. . . .. . . .. . . .. ... . . .. . .. . . .. .

¿ 2. . . .. . . .. . . .. ... . . .. . .. . . .. .

¿ 1.. . . .. .

¿ sec x

Kerjakan soal-soal dibawah ini dengan tepat

1) Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian sinus dan cosinusa) sin 5 x+sin xb) cos 95°+¿cos 35° ¿

Jawab:

2) Tunjukkan bahwa:cos75 °+cos15 °sin 75 °−sin 15 °

=√3


Latihan Siswa

Jawab:

3) Jika tan x=−23

maka 5 sin x+6 cos x2cos x−3 sin x

=¿

Jawab:


“Kesuksesan dimulai dari keberanian untuk bermimpi Be-brave to dream”

(Tung Desem Waringin)

IDENTITAS TRIGONOMETRI

STANDAR KOMPETENSI:2.Menurunkan rumus trigonometri

dan penggunaannya

Apa sich perbedaan antara persamaan trigonometri dan identitas trigonometri?


KOMPETENSI DASAR :

2.3Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus.

INDIKATOR

Merancangdan membuktikan identitas trigonometri.

Investigasi

Eky,kamu tahu nggak sich bagaimana perbedaan antara persamaan trigonometri dan identitas trigonometri? Aku binggung banget ni ika karena kedua-duanya juga menggunakan tanda sama dengan (“=”)


Eky,kamu tahu nggak sich bagaimana perbedaan antara persamaan trigonometri dan identitas trigonometri? Aku binggung banget ni ika karena kedua-duanya juga menggunakan tanda sama dengan (“=”)

Begini musa,misalnya aku punya dua buah persamaan yaitu :

1.sin2 x+cos2 x=1…(1)

2.sin x=12… (2)

Nah,cara untuk mengetahui mana yang merupakan identitas.trigonometri dan persamaan trigonometrinya yaitu kamu cukup mengganti nilai x dengan besar sudut sembarang.apabila hasilnya tetap maka pernyataan tersebut benar berarti itulah yang dinamakan dengan identitas trigonometri . contohnya: misalnya kamu mengganti nilai x dengan 900.

Note : dalam persamaan trigonometri hanya berlaku untuk satu atau beberapa sudut bagi x yang

belum diketahui. Misalnya sin x=12

adalah sebuah persamaan trigonometri , sebab :

∴ Jadi dalam persamaan trionometri persoalan yang sering timbul adalah mencari penyelesaian persamaan trigonometri itu.


Oke,mari kita cek

x=900 subsitusikan ke (1) x=900 subsitusikan ke (2)

sin2 900+cos2 900=112

= sin x

1 = sin2 900+cos2 900 12

= 1

1 = (1)2 + 012≠ 1

1 = 1 (benar)

∴ Jadi sin x=12

bukanlh identitas trigonometri karena tidak berlaku untuk

sembarang sudut. Sedangkan , sin2 x+cos2 x=1 berlaku untuk sembarang x

Untuk x=300 , sin 300=12

dan

Untuk x=1500 , sin 1500=12

Mmm,,,coba aja kamu baca materi disamping

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Identitas trigonometri adalah suatu relasi atau kalimat terbuka yang memuat fungsi-fungsi trigonometri dan yang bernilai benar untuk setiap penggantian variabel dengan konstan anggota domain fungsinya.

Membuktikan kebenaran suatu identitas trigonometri dengan menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih

dua sudut, rumus trigonometri untuk sudut 12θ

Perhatikan segitiga dibawah ini!

sinα=¿ . .. . .. .. . .

cosec α=¿ . .. . .. .. . .

¿¿

cos α=¿ . . .. .. . .. .

sec α=¿ .. . . ... . . .

¿¿

tanα=¿ . . .. .. . .. .

cotanα=¿ . .. . .. .. . .

¿¿

Dari segitiga diatas diketahui

x2+ y2=r2

Jika kedua ruas di bagi dengan r2 maka

.. . . .

.. . . .+ . . .. .. . .. .

=1

sin2α+cos2α=1

1+ tan2α=1+ . . .. .. . .. .

= .. . . .+ . .. . .. .. . .

¿ 1.. . . .

1+ tan2α=sec2α

1+cot2α=1+ . .. . .. .. . .

= . . . ..+ .. . ... . . ..

¿ 1.. . . .


Kamu tau gak apa itu identitas trigonometri?

1+cot2α=cosec 2α

Untuk setiap sudut α, bukatikan bahwa (sinα−cos α )2=1−sin 2α

Jawab:Jabarkan ruas kiri(sinα−cos α )2=sin2α−2. . . .. . . .. .+. . .. .

¿ ( . . .. .+. . .. . )−2. . . ..¿1−sin 2α

Untuk setiap sudut α, bukatikan bahwa 2 tanα

1+ tan2α=sin 2α

Jawab:

Jabarkan ruas kiri

2 tanα

1+ tan2α=

2. . .. .. . .. .

1+. .. . .. .. . .

¿2. . .. .. . .. .

. . . ..+. . . ... . . ..

¿ 2 . .. . . .. ... . . .+ . .. . .

¿ sin 2α

Buktikan bahwa tan A+ cos A1+sin A

=sec A

Jawab:

Jabarkan ruas kiri

tan A+ cos A1+sin A

= . . .. .. . .. .

+ cos A1+sin A


Tugas I :

Tugas II:

Tugas III :

¿.. . . . (1+sin A )+cos A ( . .. . . )

. . . .. (1+sin A )

¿ .. . . .+ . .. . .+. .. . .. .. . . (1+sin A )

¿ . .. . .+1(1+sin A )

¿ .. . . ... . . .

¿ sec A

Buktikan bahwacos2 x−cos 4 x

sin 2 x sin 3 x=sec x

Jawab :

cos2 x−cos 4 xsin 2 x sin 3 x

=2sin12

( 4 x+2x ) sin12

(4 x−2 x )

=2sin 3 x sin xsin 2x sin 3x

= 2sin x

2sin x cos x =

1cos x

= sec x

Buktikan bahwacos A+sin A . tan A=sec A

Jawab :

sec A=cos A+sin A . tan A

sec A=cos A+sin A .. .. . .. .. . .

sec A=cos A+ .. . . .cos A

sec A= .. . . .+ . .. . .cos A

sec A= . .. . .cos A

sec A=. . .. .

41Lembar Kerja Siswa Matematika Kelas Xi SMA/MA“Kegagalan bukanlah akhir dari

segalanya,,,,,tapi kegagalan merupakan awal dari suatu kesuksesan

yang tertunda”.

Tugas IV :

Tugas V :

Kerjakan soal-soal dibawah ini!

1) Buktikan bahwa (cos α−sinα ) (cos α+sinα )=cos 2α

Jawab:

2) Buktikan bahwa (sinα−cos α )2+2 sinα cos α=1

Jawab:

3) Jika tan2α+1=a2 maka sin2α=¿

Jawab:

4) Buktikanlah identitas berikut ini !

(sin 4 x−sin x )2+ (cos x+cos x )2=2 (¿1+cos5 x )42

Lembar Kerja Siswa Matematika Kelas Xi SMA/MA

Latihan Siswa

5) Buktikanlah identitas berikut ini !

sin βcos β

−cos βsin β

= 2 sin2β−1

sin β cos β


“Hampir semua orang menginginkan hasil yang luar biasa, tetapi mereka tidak

pernah bersedia melakukan hal yang luar biasa Jadi, kamu bisa kalau kamu berpikir

LATIHAN ULANGAN AKHIR

Kerjakanlah soal-sol dibawah ini dengan benar !

1) Jika α dan β sudut lancip, cos (α−β )=12

√3 dan

cos α cos β=12

maka cos (α+β )cos (α−β )

=. . .. .

Jawab:

2) Diketahui sin B=¿ 2√2√5

,0<P<90 ° ¿ Berapakah nilai dari tan2 B=. . . ..

Jawab:

3) Jika p−q=cos A dan √2 pq=sin A, maka nilai p2+q2=. .. . .Jawab :


4) Jika cos a=13

untuk 3π2

<a<2π dan sin b=√23

untuk π2<b<π maka

sin (a+b )tan a+ tan b

=. . . ..

Jawab:

5) Diketahui 0<a< π2

dan 0<b< π2

, jika sina−sinb=35

dan cos a+cosb=45

Maka nilai

sin (a+b )= .. . . .

Jawab:

6) Diketahui sinα cosα= 825

Tentukan nilai 1

sinα∙

1cosα

=. . .. .

Jawab:

7) Jika tan6 °=T . tentukanlah nilai dari tan141 °=. . . ..

Jawab:

8) Jika sin θ+cos θ=12, maka sin3θ+cos3θ=. . .. .

Jawab:



“Kemenangan paling berharga dalam hidup bukanlah tidak pernah gagal, melainkan bagaimana kita bisa bangkit setiap kali menemui kegagalan”

TRIGONOMETR1

Documents