Trazados Generales y Particulares[1] Dibujo Tecnico

Trazados generales y particularesLos trazados generales de los polgonos regulares nos sirven para dibujar cualquier polgono, teniendo como dato el lado o el radio. Estas construcciones no son exactas.

Los trazados particulares nos sirven para dibujar slo un tipo de polgonos regulares, a partir del lado o del radio. Estas construcciones son exactas en su mayora.

TABLA DE CONTENIDOS 1 Trazados generales 1.1 Cuando el dato es el radio 1.2 Cuando el dato es el lado 2 Trazados particulares 2.1 Cuando el dato es el radio 2.2 El heptgono regular de radio r 2.3 Cuando el dato es el lado 2.4 El pentgono regular 3 Otros trazados 4 Polgonos estrellados 5 Redes y teselaciones 5.1 Redes 5.2 Teselaciones 5.3 La teselacin de Penrose 5.4 Algunos problemas con polgonos regulares

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Trazados generalesVamos a ver dos: la construccin general a partir del radio y la construccin general a partir del lado.

CUANDO

EL DATO ES EL RADIO

Se dibuja en primer lugar la circunferencia correspondiente. El problema se basa en dividir dicha circunferencia en tantas partes iguales como lados tenga el polgono que queremos trazar. Y este es un problema grfico que no tiene solucin general exacta. Dividimos un dimetro de la circunferencia en tantas partes iguales como lados tenga el polgono, aplicando el teorema de Tales. Numeramos de 0 a n. En nuestro ejemplo n=9, porque vamos a trazar un enegono. Trazamos dos arcos con centro en 0 y en 9 y radio el dimetro. Estos arcos se cortan en los puntos P y Q. El segmento P2 corta a la circunferencia en el punto B. El arco 0B es la novena parte de la circunferencia, aproximadamente. Obtenemos la misma medida si dibujamos el arco EF, trazando los segmentos P8 y Q8. Trasladamos la magnitud del arco y dibujamos el polgono inscrito en la circunferencia de partida. Para dibujar el polgono circunscrito a dicha circunferencia se trazan tangentes en cada uno de los puntos A, B, C... obtenidos. Se realiza esta operacin sea cual sea el valor de n.

CUANDO

EL DATO ES EL LADO

Dibujamos el segmento AB, lado del polgono. Dibujamos los arcos de radio AB con centros en A y en B. Trazamos la mediatriz y sealamos el punto 6. Con centro en 6 trazamos el arco AB de igual radio, que corta a la mediatriz en el punto 0. Dividimos 06 en seis partes iguales. Si el polgono tiene 9 lados llevamos sobre la mediatriz, a partir del punto 6 tres unidades de las obtenidas al dividir AB y sealamos el punto 9. Con centro en 9 y radio 9A trazamos la circunferencia circunscrita al enegono de lado AB. Dibujamos el polgono. Si queremos dibujar un polgono de n lados seguimos los mismos pasos y colocamos sobre la mediatriz unidades hasta alcanzar n, nmero de lados deseado. As obtenemos el centro de la circunferencia circunscrita correspondiente, de radio nA.


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Trazados particularesCUANDOEL DATO ES EL RADIO

Existen varias construcciones exactas coincidentes con las posibilidades grficas de dividir un ngulo completo en partes iguales. Podemos dibujar as: el tringulo equiltero (360/3), el cuadrado (360/4), el hexgono (360/6), el dodecgono (360/12) o el octgono (360/8). Si trazamos bisectrices de los ngulos obtenidos en cada caso hallaremos polgonos con el doble de lados. para trazos para el exagono debes hacer un circulo luego dividir en dos con una recta vertivcal y haciendo dos medias circuferencias


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trazando a los puntos opuestos

EL

HEPTGONO REGULAR DE RADIO R

Existe una construccin aproximada del heptgono regular basada en que el lado del heptgono inscrito es aproximadamente igual a la altura del tringulo equiltero cuyo lado es el radio r.


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CUANDO

EL DATO ES EL LADO

Recordamos las construcciones del tringulo equiltero, el cuadrado y el hexgono regular a partir del lado.

El octgono regular se dibuja trazando la mediatriz de su lado y construyendo 45 por un extremo A del mismo. Se obtiene as el centro Q de la circunscrita al cuadrado de igual lado. La circunferencia de radio QA corta a la mediatriz en el centro O del octgono.


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EL

PENTGONO REGULAR

Las construcciones exactas del pentgono regular se deben a Hipcrates y se basan en la proporcin urea pues la razn entre la diagonal y el lado del pentgono es igual a ?: d/l=?. Vamos a ver cmo se realizan las construcciones y en el prximo captulo, dedicado a la proporcionalidad directa, veremos las demostraciones correspondientes. Cuando el dato es el lado AB: dibujamos el cuadrado de lado AB y la mediatriz de dicho lado. Con centro en N y radio NM trazamos un arco que corta a la prolongacin de AB en el punto P. AP es la diagonal del pentgono, pues AP/AB=?. Para construir el pentgono basta con realizar una triangulacin colocando adecuadamente lados y diagonales.


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Cuando el dato es el radio: Dibujamos la circunferencia circunscrita, hallamos la mediatriz de un dimetro y la de uno de los radios que contiene. Con centro en P y radio PA trazamos un arco que corta al dimetro en Q. El segmento PQ es el lado del pentgono inscrito.

Cuando el dato es la diagonal: Utilizamos otra construccin de la segmentacin urea. Por un extremo de d trazamos un segmento perpendicular de magnitud d/2 y dibujamos el tringulo rectngulo AMP de catetos d y d/2. Con centro en P y radio PH trazamos un arco que corta a la hipotenusa en el punto Q. Con centro en A trazamos un arco de radio AQ que corta a d en el punto B. AB es el lado del pentgono regular de diagonal d, ya que d/AB=?.


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Otros trazadosCuando los datos son otros, como el apotema o una diagonal, suelen dibujarse los polgonos regulares aplicando una semejanza. En general, se dibuja un polgono semejante de tamao libre y se aplica el dato. En nuestro ejemplo dibujamos un enegono de apotema dado. Trazamos un enegono A?B?C?D?E?F?G?H?I?, dibujamos uno de sus apotemas y situamos sobre l el dato. Dibujamos los radios del polgono de partida y trazamos la paralela AB al lado A?B? y las restantes paralelas a los otros lados hasta completar el polgono pedido ABCDEFGHI.

Polgonos estrelladosSi dibujamos todas las diagonales de igual tamao de un polgono obtenemos un polgono estrellado. Si prolongamos sus lados tambin. Los polgonos regulares estrellados tienen mucha aplicacin en el mundo del diseo. En el ejemplo vemos un pentgono(CC) Wikillerato 2011 - http://www.educared.org/wikiEducared Pgina: 8

regular con el estrellado definido por sus diagonales y el obtenido prolongando sus lados.

Si el polgono tiene ms lados tendr tantos estrellados inscritos como tamaos de diagonales. En el ejemplo vemos un enegono con sus tres polgonos estrellados.

En cuanto a los obtenidos por la prolongacin de los lados, podemos comprobar que son estrellados semejantes a los obtenidos con las diagonales.


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Imgen a tamao real

Redes y teselacionesREDESUna red es un conjunto de polgonos iguales capaces de ensamblarse entre s cubriendo completamente el plano. Con polgonos regulares podemos formar redes de tringulos equilteros y de cuadrados.


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La red de hexgonos puede considerarse derivada de la red de tringulos equilteros.

Con polgonos no regulares se pueden formar redes con cualquier tringulo y con cualquier cuadriltero.


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Tambin hay muchas de redes formadas por polgonos cncavos.


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TESELACIONESUna teselacin es un conjunto de polgonos de dos o ms formas distintas capaces de ensamblarse entre s cubriendo completamente el plano. Si consideramos formas regulares, existen distintas combinaciones. Las que vemos en el ejemplo estn formadas por cuadrados, tringulos equilteros y hexgonos.


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Si combinamos formas regulares con otras formas podemos conseguir teselaciones como las del siguiente ejemplo, formadas por pentgonos regulares y rombos en el primer caso y por octgonos y hexgonos regulares, pentgonos irregulares y octgonos irregulares cncavos en el segundo. Para comprobar que el pentgono del ejemplo es irregular basta con sumar los ngulos que confluyen en un vrtice de la teselacin: 120 del hexgono regular sumado a los 135 del octgono regular son 255. Como 360-255= 105 el pentgono no es regular, ya que el pentgono regular tiene un ngulo de 108.


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LA

TESELACIN DE

PENROSE

Es una teselacin muy interesante que est formada por un cuadriltero cncavo y otro convexo que se ensamblan formando un rombo de lado ?, siendo la unidad la magnitud de los otros lados, como vemos en la imagen. Puede ensamblarse de muy distintas maneras.


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ALGUNOS

PROBLEMAS CON POLGONOS REGULARES

Problema I: Valor del ngulo ? en cada uno de los casos expuestos.


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Todos los casos estn referidos a un enegono regular inscrito. El ngulo central que abarca el arco cuya cuerda es el lado del enegono regular vale 360/9=40. En el primer caso, ? es un ngulo inscrito que abarca un arco que contiene tres lados del polgono y vale 40 ? 3= 120. Por lo tanto, ? = 60. En el segundo caso, ? es un ngulo exterior con los lados secantes a la circunferencia. Estos lados definen arcos de 120 y de 40, luego el valor de ? es la mitad de su diferencia: ? = (120- 40)/2 = 40. En el tercer caso, ? es un ngulo interior cuyos lados definen arcos de 80 y 40, luego el valor de ? es la mitad de su suma: ? = (80+40)/2 = 60. En el cuarto caso, ? es un ngulo exterior con un lado secante y otro tangente a la circunferencia. Estos lados definen arcos de 200 y de 80, luego el valor de ? es la mitad de su diferencia: ? = (200- 80)/2 = 60.


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Problema II: Busca relaciones entre los polgonos de lado comn AB que tengan como nmero de lados a los diez primeros mltiplos de tres. Dibujamos los diez polgonos y comprobamos que todos tienen pares de lados paralelos entre s apoyados en rectas paralelas, si su nmero de lados es mltiplos de tres, de seis, de nueve o de doce. Sealamos dichas rectas con el smbolo que indica mltiplo de, que es un punto sobre el nmero correspondiente.


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Problema III: Busca relaciones entre los polgonos concntricos de lado dado AB que tengan como nmero de lados a los diez primeros mltiplos de tres. En esta ocasin vemos que los vrtices estn alineados cuando los polgonos tienen nmero de lados mltiplo de tres, de seis y de doce.


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Problema IV: Heptgono regular de diagonal dada AE. Dibujamos un heptgono regular de datos libres al que llamamos A?B?C?D?E?F?G? y sealamos en l la diagonal A?E?. Desde el punto A? trazamos las restantes diagonales. Superponemos a la diagonal A?E? la diagonal AE dada, sealando el punto E. Por E trazamos paralelas a E?F? y a E?D?, obteniendo los lados ED y EF del heptgono solucin. Trazamos ordenadamente paralelas a los restantes lados y dibujamos el polgono.


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Problema V: Pentgono regular de diagonal d y lado l siendo d-l un segmento dado. Dibujamos un pentgono A?B?C?D?E?de datos libres, dibujamos su diagonal y le restamos su lado. Obtenemos el segmento d?-l?= D?M?. Le superponemos el segmento d-l =DM dado. Dibujamos la otra diagonal que pasa por D?, la recta A?M? y su paralela AM. Desde A trazamos paralelas a los otros lados y construimos la solucin ABCDE.


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Trazados Generales y Particulares[1] Dibujo Tecnico

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