18/09/2013 Page 1 sur 22 TC TRAVAUX DIRIGES DE RESISTANCE DES MATERIAUX TRONC COMMUN 1 ère année ENONCES DES EXERCICES Remarques : • Pour que ces TD soient profitables, il est nécessaire d'être actif pendant les séances! • La plupart des exercices comprennent des applications numériques : il est donc nécessaire de venir à chaque séance avec une calculatrice. ENSIL RDM : travaux dirigés tronc commun 1 ère année fichier : TD_MK01_13_14.odt
22
Embed
TRAVAUX DIRIGES DE RESISTANCE DES MATERIAUX TRONC … · 18/09/2013 Page 1 sur 22 TC TRAVAUX DIRIGES DE RESISTANCE DES MATERIAUX TRONC COMMUN 1ère année ENONCES DES EXERCICES Remarques
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
18/09/2013 Page 1 sur 22 TC
TRAVAUX DIRIGES DE RESISTANCE DES MATERIAUX
TRONC COMMUN 1ère année
ENONCES DES EXERCICES
Remarques : • Pour que ces TD soient profitables, il est nécessaire d'être actif pendant les séances!
• La plupart des exercices comprennent des applications numériques : il est donc nécessaire de venir à chaque séance avec une calculatrice.
On considère un meuble I suspendu à un mur par des crochets sur sa partie haute et reposant sur le mur sur sa partie basse.On ramène le problème à un système plan :
Torseur de l'action du crochet K sur le meuble I au point A :
{K I
}=A[R
K I =A
K I = A
x. x A
y.y
MAK I
= 0 ]Torseur de l'action du mur M sur le meuble I au point B (considéré comme un appui ponctuel) :
{M I
}=B[R
M I =B
M I = B
x.x
MBM I
= 0 ]Torseur de l'action de la pesanteur sur le meuble I au point G, centre de gravité du meuble :
{ poids I
}=G [R
poids I =P= P .y
MG poids I
= 0 ]1) Ecrire la réduction des torseurs des actions du poids et du crochet au point A
2) Etude statique : a) Exprimer Ax, Ay et Bx en fonction de P et lb) A.N.: P = -500 N, l= 0,7 m.
En écrivant les conditions de résistance, déterminer d, a, et D.
Faire les applications numériques.
Remarque : le poids des barres est négligé
Exercice 2 : dimensionnement d'une bielle
Dans un moteur diesel, la bielle est soumise à un effort maximal de compression à chaque tour de :|Fmax| = 60.103 N.
La bielle de section circulaire est fabriqué avec un acier à haute résistance mécanique : 14 Ni Cr 11 .
Pour cet acier la limite élastique est σe = 835 Mpa et la limite à la rupture est σr = 1080 Mpa.
a) Ecrire la condition de résistance en compression et déterminer le diamètre d minimum de la bielle.
b) Compte tenu de la nature périodique de la charge ( 0 ≤ F ≤ 60000 N), la bielle est soumise à de la
fatigue. La contrainte maximale à ne pas dépasser peut alors être estimée par σd = 0,4σe + 0,25σr .
• calculer σd
• déterminer le diamètre d minimum de la bielle avec cette nouvelle condition de résistance.
c) La longueur de la bielle est de 320 mm = l, le module de Young E = 2.105 Mpa .• quelle est la valeur du raccourcissement maximal de la bielle.• Discuter du résultat en fonction de l'utilisation de cette pièce.
d) D'après la géométrie de la bielle, existe t-il un autre risque d'endommagement que nous n'avons encore pas étudié? Si oui, lequel?
e) Conclure
Exercice 3 : dimensionnement d'un pilier cylindrique en béton
Caractéristiques matériau : E = 30000 Mpa / ν = 0,2 / σe = 30 Mpagéométrie du pilier : hauteur h0 = 24 m / rayon r coefficient de sécurité : s = 6Effort de compression : || F || = 220.106 N
A- Le poids du pilier est négligé
a- déterminer le rayon minimal admissible rmin = r0 .
b- calculer le raccourcissement Δl du pilier de rayon r0 .
c- calculer l'augmentation Δr du rayon.
B- On étudie maintenant le comportement du pilier soumis à son seul poids
densité du béton : ρ = 2,3 kg / dm3
a- Exprimer la tension N en chaque point de la ligne neutre
b- Calculer le raccourcissement de la poutre
c- Comparer la valeur du raccourcissement due au seul poids avec celle due à l'effort extérieur seul. Conclure.
Exercice 4 : dimensionnement d'un pilier en béton armé
Caractéristiques béton : Eb = 30000 Mpa / σeb = 30 Mpagéométrie du pilier : section carré de coté a = 0,3 m.Le béton comprend en volume 20% d'acier et 80% de bétonEffort de compression : F coefficient de sécurité : s = 4
a- Exprimer les contraintes σa (dans l'acier) et σb (dans le béton) en fonction de F, Ea , Eb ,et a. Faire l'application numérique
b- Déterminer l'effort maximal que peut supporter le pilier
Exercice 3 : Résistance au cisaillement d'un cordon de soudure
Pour réunir deux plaques, on utilise souvent des soudures d’angle. Un tel cordon de soudure subit du cisaillement ainsi que de la tension ou de la compression, souvent aussi de la flexion.
Pour les deux plaques ci-dessous, quel effort de tension admettre si la contrainte pratique de cisaillement est de 80 MPa ?
La charge est appliquée à mi-distance entre les soudures.
Exercice 4 : calcul d'un axe d'articulation
Exercice optionnel
L'objet de l'étude est une articulation à double chape :
A14 , A2 4 , A34 sont les efforts des barres 1, 2 et 3 sur l'axe 4 en A.
On a || A14 || = || A2 4 || = || A34 || = F∈ ℝ = 1600 N.
On suppose que la pression est constante au niveau de chaque liaison. Les contacts s'effectuent sur des portions de génératrice de longueur l = 10 mm. On définie par p1, p2 et p3 les coefficients de charge répartie :
p1=F2.l
, p2=F2.l
et p3=F2.l
avec p1 = p2 = 80 N/mm et p3 = 160 N/mm
La limite pratique de cisaillement du matériau de l'axe est τp = 16 Mpa.
Le torseur de cohésion des sections droites (S) entre les points 1 et 5 est de la forme :
{coh} = [0 0
Ty0 Mfx0
Tz0 Mfz0]
M ∈[0,5]
avec l'effort tranchant T=Ty0 . y0 Tz0 . z0 .
a) Etudier l'effort tranchant T le long de l'axe 4
Construire les diagrammes Ty0(x) et Tz0(x)
b) Calculer l'effort tranchant maximal dans la section dangereuse dont on déterminera l'abscisse.
Un arbre cannelé de boîte de vitesse doit transmettre un couple C = 400 N.m. Cet arbre est fabriqué avec un acier pour lequel, après trempe à l'eau et revenu, on obtient les caractéristiques mécaniques suivantes :
τe = 600 Mpa, G = 8.104 Mpa.
Les cannelures provoquent des concentrations de contraintes avec un coefficient k = 1,57.
On adopte pour cette construction un coefficient de sécurité s = 3.
On souhaite étudier 2 solutions : ► un arbre plein de diamètre d
► un arbre creux de diamètre intérieur d1 = 15 mm.
a) Déterminer le diamètre d de l'arbre plein.
b) Déterminer la déformation angulaire de l'arbre plein entre 2 sections droites distantes de l = 140 mm.
c) Déterminer le diamètre extérieur D de l'arbre creux.
d) Déterminer la déformation angulaire de l'arbre plein entre 2 sections droites distantes de l = 140 mm.
e) Déterminer le rapport λ=masse arbre creux masse arbre plein
Exercice 1 : poutre sur 2 appuis, soumise à une force
La figure représente la modélisation d'une poutre 1 sur 2 appuis 2 et 3. Ces 2 appuis sont sans adhérences et situés en A et B. Cette poutre est soumise à un effort en C, C 41 = C y . y , d'un élément extérieur 4 .
a) Calculer les réactions aux appuis en A et B.
b) Déterminer les équations de la déformée entre A et C , et entre C et B.
c) Calculer la flèche (déformation) en C, milieu de la poutre. Montrer que c'est la déformation maximale.
Exercice 2 : poutre sur 2 appuis, soumise à une charge répartie.
La figure représente la modélisation d'une poutre 1 sur 2 appuis 2 et 3. Ces 2 appuis sont sans adhérences et situés en A et B. Cette poutre est soumise à une charge répartie linéaire p.
a) Calculer les réactions aux appuis en A et B.
b) Déterminer l'équation de la déformée.
c) Calculer la flèche (déformation) maximale fmax.
Exercice 3 : poutre encastrée soumise à un effort.
La figure représente la modélisation d'une poutre 1 encastrée à une de ses extrémités dans le mur 2. Elle est soumise a un effort en A, A31 = Ay . y , action d'un élément extérieur 3.
a) Déterminer le torseur de l'action du mur 2 sur la poutre 1 à l'encastrement (en B).
1) Calculer les surfaces des sections de chaque poutre
2) Calculer les moments quadratiques des sections par rapport aux axes G y et G z
3) Calculer les moments quadratiques par rapport à G des sections circulaires
4) Classer les poutres en fonction de leur résistance à la traction / compression (de la moins résistante à la plus résistante)
5) Classer les poutres en fonction de leur résistance à la flexion plane simple (de la moins résistante à la plus résistante) en indiquant la meilleure orientation de la poutre par rapports aux actions extérieures (vous pouvez faire des croquis)
6) Classer les poutres de sections circulaires en fonction de leur résistance à la torsion (de la moins résistante à la plus résistante)
barème : Question 1 : 3 points, Question 2 : 2 pointsSoit une poutre reposant sur 2 appuis (en A et B) et supportant 2 efforts ponctuels F1, F2 en C et D
ainsi qu’une charge répartie p.
A l’aide du formulaire joint donnant les expressions des déformations pour quelques cas de poutres en flexion,
1) Donner une expression littérale de la flèche (déformation) au centre I de la poutre,
Extrait de l'examen de RDMTronc commun / janvier 2010
EXERCICE : (5 points) / (25 mn maxi)
Modélisation d’un support de réservoir du hall « eau & environnement » de l’ENSIL
barème : Question 1 : 1 point, Question 2 : 1 point, Question 3 : 1 pointQuestion 4 : 1 point, Question 5 : 1 point,
Un support sur roues pour un réservoir de volume V=2000 litres, et de diamètre D = 1m, a été conçu et fabriqué pour la filière EE en 2008. Ce support est constitué de poutres en I.
On considère que le support est constitué de 3 poutres en I sur 2 appuis (2 autres barres), les lignes moyennes des 3 poutres sont séparées par une distance e = 400 mm :
réservoir sur son support Volume d’eau : V = 2000 l.
Diamètre du réservoir : D = 1 m.
Les actions mécaniques des appuis 2 et 3 sur chacune des 3 poutres 1a, 1b et 1c seront considérés comme des efforts ponctuels. On peut donc utiliser les modélisations suivantes :
1) Compléter le paramétrage du schéma ci-dessous, représentant les lignes moyennes des 3 poutres et le contour du réservoir, en utilisant les paramètres La = Lc, Lb, D, et e.
paramétrage (à compléter)
1) Déterminer l’expression de La (= Lb) en fonction des autres paramètres.
(Expliquer votre démarche)
2) Donner l’expression de Lt, longueur totale sur laquelle le poids du réservoir s’applique.
3) En déduire l’expression de la charge répartie « p »
Faire l’application numérique (exprimer le résultat en N.mm-1)
4) Déterminer l’expression des réactions des appuis en A et en B pour la poutre 1a.
Vous pouvez utiliser la méthode que vous voulez, en expliquant votre démarche.