Cours d’Automatique Au 41 Au41_TD2_0506_Doc Dernière mise à jour : 29/11/2005 16:03:00 Cours de M. Cougnon J.L. -1- Au41_TD2_0506_doc TRAVAUX DIRIGES D’AUTOMATIQUE TRAVAUX DIRIGES Question n°1 • For each of the following transfer functions : – find the values of ζ and ω n ; – write, by inspection, the general form of the step response. 625 625 ) ( 225 30 225 ) ( 900 90 900 ) ( 400 12 400 ) ( 2 2 2 2 + = + + = + + = + + = p p G p p p G p p p G p p p G ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] - = - = = = = + = + - = + - = = = = + + = - - = - - - - = = = = + + = - - = - - - - = = = = + + = - - - - - - ) ( 25 cos 1 ) ( ) ( cos 1 ) ( 0 rad/s 25 1 625 625 ) ( ) ( 15 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( 1 rad/s 15 1 225 30 225 ) ( ) ( 195 , 1 54 , 33 ch 89 , 0 1 ) ( ) ( 1 ch 1 1 ) ( 5 , 1 rad/s 30 1 900 90 900 ) ( ) ( 3 , 0 1 , 19 cos 048 , 1 1 ) ( ) ( 1 cos 1 1 ) ( 3 , 0 rad/s 20 1 400 12 400 ) ( 2 4 15 2 3 45 2 2 2 2 6 2 2 2 1 t u t t q t u t t q K p p G t u t e t q t u t e t q K p p p G t u t e t q t u t e t q K p p p G t u t e t q t u t e t q K p p p G n n t n t n t n t n t n t n n n n ω ζ ω ω ζ ω ψ ζ ω ζ ζ ω ψ ζ ω ζ ζ ω ω ζω ζω
14
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Cours d’Automatique Au 41
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Au41_TD2_0506_doc
TRAVAUX DIRIGES D’AUTOMATIQUE
TRAVAUX DIRIGES
Question n°1
• For each of thefollowing transferfunctions : – find the values of ζ
and ωn ; – write, by inspection,
the general form ofthe step response.
625
625)(
22530
225)(
90090
900)(
40012
400)(
2
2
2
2
+=
++=
++=
++=
ppG
pppG
pppG
pppG
( )[ ]
( )[ ]( )[ ]( )[ ]
[ ][ ]
−=−=
==
=
+=
+−=
+−=
==
=
++=
−−=
−−
−−=
==
=
++=
−−=
−−
−−=
==
=
++=
−
−
−
−
−
−
)(25cos1)(
)(cos1)(
0
rad/s 251
625
625)(
)(151 1)(
)(11)(
1
rad/s 151
22530
225)(
)(195,154,33ch 89,01)(
)(1ch1
1)(
5,1
rad/s 301
90090
900)(
)(3,01,19cos 048,11)(
)(1cos1
1)(
3,0
rad/s 201
40012
400)(
24
1523
45
22
22
6
22
21
tuttq
tuttqK
ppG
tutetq
tutetqK
pppG
tutetq
tute
tqK
pppG
tutetq
tute
tqK
pppG
nn
tn
t
n
t
n
t
n
t
n
t
n
n
n
n
ω
ζω
ω
ζω
ψζωζ
ζω
ψζωζ
ζω
ω
ζω
ζω
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Question n°2
%2et %5 , %,1 find 10015
100)(For : 1-2Question 2
trtrtDpp
pG
p
++=
T(t). torqueofinput step afor seconds 2 of (tr2%) timesettling a andovershoot 20% yield to
D and J find figurein shown system Given the : 2-2Question
=
=
==≈
==
==
−
−=
−
−=
==
=
++==
===
=≈=≈
−==
−
−=
==
2
22
222
222
22
kg.m 0,26J
N.m.s/rad 04,1
284
tr2%
208,020
208,0)2,0ln(1
2,01
expD1
4/2/
/1)()(
Nm/rad 5 s 2 tr2%20%D1%: 2-2Question
s 53,04
tr2% s 3,03
tr5%
s 475,01
tp%84,21
100.expD1%
0,75 rad/s 10 : 1-2Question
D
DJ
JD
KJDKJD
JK
KDpJpp
TpG
K
n
n
nn
n
ζ
ζ
ζζ
πζζ
πζ
ζζ
ωθ
ζ
ζπ
ζπζ
ζ
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Question n°3a : A traiter par les ING2 TIE
For the circuit shown in figure below, find the value ofR2 and C to yield 15% overshoot with a sttling time(tr2%) of 1 ms for a voltage across the capacitor withvi(t) as a step input.
Ω==
=++=≈
=++=
==
−
−=
−
−=
+=
+=
++=
=
=
++++=
++++=
+++
+==
− k 7,93R2nF 7,16
10)(
)(84tr2%
267,0)(4
)(
267,0)15,0ln(1
15,01
expD1
)(2
)(1
12
1)(
1
2 avec
1)()(
1)(
)1()1(21
11
211
11
1)()(
)(
3
22
222
2
2
2
2
2
C
LC
LC
LC
pp
pG
RL
CR
ppLCpG
LpRLpRCpRLpCR
R
CpR
LpRLpR
LpRR
CppVpV
pG
CL
CL
n
CL
CL
CLn
CLn
nn
L
C
CLCL
i
o
ττττ
ζ
ττττζ
ζζ
πζ
ζ
πζ
ττωζ
ττω
ωζ
ω
τ
τ
ττττ
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Question n°3b : A traiter par les ING2 ME
Given the system shown in figure below, find thedamping D, to yield a 30% overshoot in ouput angulardisplacement for a step input in torque.
K’=100K D’=25D
n1 = 5
n2 = 2
θ2
θ3
51
101
.1
.
11
2
121
2
2
3
1
3
==
===
n
nn
θθ
θθ
θθ
θθ
N.m.s/rad 143,0N.m.s/rad 58,3'128,0100
'
128,0)3,0ln(1
3,01
expD1
'4/''2/'
/'
''
1)()(
Nm/rad 52100' kg.m 1 %03D1%
22
222
2221
2
====
==
−
−=
−
−=
==
=
++==
====
DDD
JKDJKD
JK
KpDJpp
TpG
KKJ
n
ζ
ζζ
πζ
ζ
πζ
ζζ
ωθ
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Question n°4 : Lieux de transfert
• Donner l’allure des lieux de Nyquist et de Black-Nichols et tracer les diagrammes de Bode asymptotiques des fonctions de transfert suivantes :
pe
pH
ppH
ppH
p5,0
3
2
1
)(
5)(
1)(
−=
=
=
25
24
16)(
1)(
ppH
ppH
=
=
)51(
)1(9)(
)51(9
)(
)1(1
)(
28
7
6
pp
ppH
pppH
pppH
++=
+=
+=
• Script MALAB % Script Au41_TD2_0506.m % Cours Au 41 de J.-L. Cougnon % Version du 11 novembre 2005 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all;clc; H1=tf(1,[1 0]) H2=5*H1 H3=zpk([],[0],1,'iodelaymatrix',0.5) H4=H1*H1 H5=16*H4 H6=tf(1,[1 1 0]) H7=tf(9,[5 1 0]) H8=9*tf([1 1],[5 1 0 0]) w=logspace(-1,1); figure(1);nyquist(H1,H2,w) title('Diagramme de Nyquist de H1(jw) et H2(jw)') figure(2);bode(H1,H2,w);grid title('Diagramme de Bode de H1(jw) et H2(jw)') figure(3);nichols(H1,H2,w);grid title('Diagramme de Black-Nichols de H1(jw) et H2(jw)') figure(4);nyquist(H1,H3,w) title('Diagramme de Nyquist de H1(jw) et H3(jw)') figure(5);bode(H1,H3,w);grid title('Diagramme de Bode de H1(jw) et H3(jw)') figure(6);nichols(H1,H3,w);grid title('Diagramme de Black-Nichols de H1(jw) et H3(jw)') figure(7);bode(H4,H5,w);grid title('Diagramme de Bode de H4(jw) et H5(jw)') figure(8);bode(H6,H7,H8,w);grid title('Diagramme de Bode de H6(jw), H7(jw) et H8(jw)') figure(9);nichols(H6,H7,H8,w);grid title('Diagramme de Black-Nichols de H6(jw), H7(jw) et H8(jw)')
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• Traitons H1 et H2
Diagramme de Nyquist de H1(jw ) et H2(jw )
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
Pulsation tendant vers l'infini
Pulsation tendant vers "0"
Lieu de Nyquist pour les pulsations < 0
Nombre imaginairepur d'argument -90°
H1(jω) et H2(jω) sont des nombres complexes purs ; c’est ce que l’on observe sur le lieu de Nyquist. Attention ce tracé est donné pour une pulsation variant de -∞ à +∞. Lorsque la pulsation varie de 0 à l’infini le module varie de l’infini à 0 ; l’argument reste constant égal à -90°.
Nos élèves veilleront à réaliser un tracé asymptotique des diagrammes de Bode. Il conviendra d’exploiter avec intelligence les courbes de phase. Ainsi à la pulsation de 0,32rad/s la phase de H8(jω) est égale -220°.
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Question n°5 :
2012
40)(
105,0100
10)(
: suivantes
ances transmittlespour , , , ,Calculer
210
29
++=
++=
pppH
pp
pH
QK Rn ωωζ
=−
=
=−=
<==
=
++=
)dB74,5soit ( 93,112
1
rad/s 35,921
résonance 0,7 0,25
rad/s 1010
105,0
100
10)(
2
2R
29
ζζ
ζωω
ζζω
Q
K
pp
pH
n
n
>=
==
=
++=
résonance de pas 22
53
rad/s 52rad/s 20
2
2012
40)( 210
ζ
ωn
K
pppH
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Question n°6 :
• Donner l’allure du lieu de Nyquist et tracer le lieu de Bode asymptotique des transmittances ci contre.
)15,0(
)1(25)(
)15,0(
)1()(
)15,0(
)1()(
10510
10)(
2214
213
212
211
+++=
+++=
+++=
++=
ppp
ppH
ppp
ppH
pp
ppH
pppH
Nous avons traité ci dessous le tracé asymptotique de H14(p).
1 100,1 5
AdB
ω
ω
φ
-2
+1
-3
+90°
-90°
-180°
-40dB
-20dB
40dB
20dB
dBjH )(14 ω
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Question n°8 : A robot arm can be used to feed people with disabilities. The control systemguides the spoon to the food and then to a position near the person’s mouth. The arm uses a special pneumatically controlled actuator. Assume thesimplified block diagram shown in figure below for regulating the spoon at a distance from the mouth.
Write a program in MATLAB that will do the following :– Allow a value of gain K to be entered from the keyboard;– Display the Bode plots of open-loop and closed-loop;– Plot the closed-loop step response;– Determine the range of K for stability.
% % Script Au41_TD2_0506_Q8.m % Cours Au 41 de J.-L. Cougnon % Version du 28 novembre 2005 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all;clc; disp('Fonction de transfert du correcteur =') Cdp=zpk([-0.01 -6],[0 -20 -100],1000) disp('Fonction de transfert du robot =') Rdp=tf([10],[1 10 29]) K=input('Gain K = ') ftbo=K*Cdp*Rdp ftbf=feedback(ftbo,1) figure(1);step(ftbf,30) % Par itération on trouve Kosc=30. % On vérifie que la FTBF a 2 pôles % à partie réelle nulle. % La pulsation des auto oscillations % est de 50 rad/s. [z,p,k]=zpkdata(ftbf,'v') figure(2);bode(ftbo,ftbf);grid title('Diagrammes de Bode de la FTBO et de la FTBF pour K=1') figure(3);step(ftbf,10) title('Réponse indicielle de la FTBF pour K=1')
Fonction de transfert du correcteur = Zero/pole/gain: 1000 (s+0.01) (s+6) ------------------------ s (s+20) (s+100) Fonction de transfert du robot = Transfer function: 10 ------------------- s^2 + 10 s + 29 Gain K = 30 K = 30 Valeur de Kos Zero/pole/gain: 300000 (s+0.01) (s+6) ------------------------------------------- s (s+20) (s+100) (s^2 + 10s + 29) Zero/pole/gain: 300000 (s+6) (s+0.01) --------------------------------------------------------------------- (s+124) (s+6.022) (s+0.009689) (s^2 - 0.05141s + 2488) z = -6.0000 -0.0100 p = 1.0e+002 * -1.2402 0.0003 + 0.4988i pôle à partie réelle nulle 0.0003 - 0.4988i -0.0001 -0.0602 k = 300000
Pour K = 1 on obtient :
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