TRATAMENTO ESTATISTICO DE OBSERVAÇÕES Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 02 Tratamento estatístico de observações Prof. Dr. Carlos Aurélio Nadal
TRATAMENTO ESTATISTICO DE OBSERVAÇÕES
Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 02
Tratamento estatístico de
observações
Prof. Dr. Carlos Aurélio Nadal
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OBSERVAÇÃO: é o valor obtido durante um
processo de medição.
DADO: é o resultado do tratamento de uma
observação (por aplicação de uma técnica ou de um
modelo matemático) para retirada de erros.
INFORMAÇÃO: é o resultado do tratamento de
dados (via modelo matemático/estatístico).
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é o ato de medir.
OBSERVAÇÃO = MEDIÇÃO Medida = 10,0 cm
10,0 cm
é o valor de uma grandeza .
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é o menor valor de uma medida que um instrumento
fornece ou a menor unidade detectável
em um aparelho.
Graduação da régua: centímetros e milímetros
Sensibilidade da régua: 1mm
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Dados quantitativos ou numéricos discretos, i.e. contagens ou número inteiros:
número de ovos postos pela tartaruga marinha
número de ataques de asma no ano passado
contínuos, i.e. medidas numa escala contínua:
volume, área, peso, massa
velocidade de corrente
Dados qualitativos ou categóricos:
Nominais: sexo: masculino, feminino
classificação de fósseis
ordinais, i.e. categorias ordenadas
salinidade: baixa, média, alta
abundância: dominante, abundante, freqüente,
ocasional, raro
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amostra: Conjunto de dados representativos de uma
população.
amostragem: Procedimento utilizado para constituir uma
amostra.
tratamento de dados: Aplicação de operações que
expressem, em termos relativos, as diferenças de atributos
entre os dados.
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Tabulando dados
Analisou-se as medidas observadas, ordenando-se por
intervalos, sendo a unidade metros, obteve-se:
Distâncias
percorridas
Freqüência
(f)
Freqüência
relativa (fr)
Percentagem
%
Até 500 17 0,207 20,7
550-600 29 0,354 35,4
600-700 14 0,171 17,1
700-750 22 0,268 26,8
N=82 1 100
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
Mínimo, Máximo, Moda, Média, Mediana, Percentis
MEDIDAS DE DISPERSÃO
Amplitude, Intervalo-Interquartil, Variância, Desvio
Padrão, Coeficiente de Variação.
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.
indica quanto cada uma de um conjunto
de observações para um mesmo evento,
se aproxima da média do conjunto
de observações
Quanto uma medida se aproxima do
valor real
Valor mais provável de uma medida
verdadeiro valor de uma grandeza
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Precisão
Alta Resolução Acurácia
Baixa Resolução
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Sem precisão e sem acurácia Preciso mas sem acurácia
Com acurácia, sem precisão Com precisão e acurácia
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Erros sistemáticos são produzidos por causas
conhecidas, podem ser evitados por técnicas
especiais de observações ou podem ser modelados
matematicamente e eliminados das observações.
Erros acidentais ocorrem de maneira aleatória e
devem ser tratados estatisticamente.
Tipos de erros
Erros grosseiros (blunders) são aqueles oriundos
de falhas, falta de atenção do observador e do mau
funcionamento de um instrumento, deve ser evitado,
pois é de difícil detecção após as medidas
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humanos ou pessoais
naturais
instrumentais
superabundância de observações: permite obter o
valor mais provável de uma grandeza: média
Substitui-se um conjunto de observações por um
único número a média aritmética.
A precisão de uma observações é fornecida
pelo desvio padrão.
causas dos erros
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Média Aritmética (valor mais provável de uma
observação)
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1a observação = 10,4 cm
2a observação = 10,45 cm
3a observação = 10,3 cm
Qual o valor da medida? Qual a confiabilidade desta medição?
a b
a b
a b
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numero observação
(cm)
desvio desvio ao quadrado
1 10,4 0,0167 0,0002789
2 10,45 0,0667 0,0044489
3 10,3 -0,0833 0,0069389
soma 31,15 0,0001 0,01167
Valor mais provável da observação:
x = 31,15/3 x = 10,38cm
Precisão: Variância:
S v. v 0,01167 2 cm2
n – 1 2 Precisão: desvio padrão:
cm
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resolução
precisão Medida angular
Manual técnico do instrumento
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Medida de distância precisão
resolução
Manual técnico do instrumento
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QUAL A PRECISÃO DO GPS
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COVARIÂNCIA
A covariância entre dois conjuntos de
medidas, x1 e x2, é dada por:
1
2211
12
n
xxxxS ii
Se S12 = 0 Não há dependência entre G1 e G2
Se S12 # 0 Há dependência entre G1 e G2
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1 r 1 - 2 1
12 + S S
S r
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
O coeficiente de covariância entre dois
conjuntos de medidas x1 e x2 é dado por:
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Método dos mínimos quadrados
Métodologia:
evitam-se os erros grosseiros
-Eliminam-se os erros sistemáticos por técnicas
observacionais ou por aplicação de modelos
matemáticos
-Ajustam-se os erros acidentais
Principio do Método
A soma dos quadrados dos resíduos é mínima.
Svv = min.
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
F
k
k
F
mm
F
mm
F
mm2
1
2
1
2
2
2
2
2 2 2 + + +
Seja a função que representa um conjunto de dados
F = f(m1, m2, ..., mk)
Utilizando-se dos conceitos de Gauss:
Os erros não se propagam linearmente!
LEI DA PROPAGAÇÃO DAS VARIÂNCIAS
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ACURÁCIA DE MEDIÇÃO - Grau de concordância
entre o resultado de uma medição e um valor verdadeiro
do mensurando.
CLASSIFICAÇÃO - consiste em distribuir em classes ou
grupos segundo um sistema de classificação. A norma
brasileira NBR13133 (Execução de levantamentos
topográficos), define as classes que devem ser
enquadrados os instrumentos baseando-se no desvio
padrão de um conjunto de observações obtidas
seguindo uma metodologia própria.
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CALIBRAÇÃO - conjunto de operações que estabelece, em
condições especificadas, a correlação entre valores de
quantidades indicados por um instrumento de medida, ou
sistema de medida, ou uma medida materializada e os
verdadeiros convencionais da grandeza medida.
Interferômetro HP 5528A do Laboratório de Aferição da
UFPr.
(1)
Carro com sensor Emissor/
receptor
(2)
Distância calibrada: 9,965cm
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valor real
medida erro
Valor mais provável desvio
acurácia
Erro = Diferença entre o valor observado
e o valor real
Desvio = Diferença entre o valor observado
e a média
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Exercício:
Um ângulo foi medido dez vezes, como é mostrado abaixo:
(Gemael,C. 1994 p93)
observação medida (l) v= (l-x) v2 =(l-x) 2
1 120°31´ 40,1” -1,56 2,4336
2 41,2” -0,46 0,2116
3 40,8” -0,86 0,7396
4 42,1” 0,44 0,1936
5 42,9” 1,24 1,5376
6 42,4” 0,74 0,5476
7 43,0” 1,34 1,7956
8 40,7” -0,96 0,9216
9 41,9” 0,24 0,0576
10 41,5 -0,16 0,0256
S 41,66 3,55E-14 8,464
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Estimativa Pontual
• Valor mais provável da observação:
x = 120°31´ 41,66”
b) Desvio padrão
8,464
= ———— = 0,9698”
9
No software FreeMat v3.5
a=[40.1 41.2 40.8 42.1 42.9 42.4 43.0 40.7 41.9 41.5]
[' média =']
m=mean(a)
[' desvio padrão =']
s=std(a)
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Estimativa por intervalo de confiança da média
P[ x - —— t 1-/2 u x + —— t 1-/2 ] = 1-
n n
Sendo 1- denominado de nível de significância, usualmente
igual a 95%.
Assim: 1- = 0,95 1-/2 = 0,975
Na tabela de Student para n-1 =9 (graus de liberdade)
t 0,975 = 2,262
x - —— t 1-/2 = 120°31´ 40,96”
n
x + —— t 1-/2 = 120°31´ 42,36”
n
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Extrato da tabela de Student
Pode-se concluir que há 95% de chance de uma observação
estar contida no intervalo de confiança:
P = [120°31´ 40,96” u 120°31´ 42,36”] = 95%
Adotando-se um nível de confiança mais alto (99%) obtém-se
um intervalo de confiança maior
t 0,995 = 3,250
P = [120°31´ 40,65” u 120°31´ 42,67”] = 99%
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No software Excel
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Um dos principais produtos do ajustamento das observações é a
matriz variância covariância, que é um arranjo matricial na
forma:
12 12 13 ... 1n
S = 21 22 23 ... ...2n
... ... ... ...
n1 n2 ...n3 ... n2
Na diagonal principal tem-se as variâncias. Suas raízes
quadradas representam os desvios padrões das observações
correspondentes.
Fora da diagonal principal aparecem as covariâncias.
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Elipse de erros: é a figura que representa os desvios padrões
máximos e mínimos de uma medida.
Deseja-se a localização do ponto B do segmento AB.
Precisão angular 10” precisão linear 3mm
A
Precisão angular
Precisão linear
Área de localização
provável do ponto B
x
y
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Exercícios:
Um ângulo foi medido cinco vezes, obtendo-se os resultados
constantes da coluna “medida”, da tabela a seguir. Calcular o valor
mais provável de sua medida, sua variância e seu erro médio
quadrático da média. Verificar se todas as observações se encontram
dentro de um intervalo de confiança com probabilidade de 95% de
certeza
obs Medida V (“) V2 (“2)
1 20°32´15" -4,6 21,16
2 20°32´20" 0,4 0,16
3 20°32´23" 3,4 11,56
4 20°32´18" -1,6 2,56
5 20°32´22" 2,4 5,76
SOMA 102°41´38" 0,0 41,20
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a) Cálculo da média aritmética (valor mais provável da medida) Sob 102°41´38" X = ——— = —————— n 5
x = 20°32´19,6"
b) Cálculo da variância Sv2 2 = ——— n-1 412 2 = ———— 5 – 1 2 =10,3 "2
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c) Cálculo do desvio padrão
32 "
d) Cálculo do intervalo de confiança das medidas com
probabilidade de certeza de 95%. Da análise estatística tem-se que
para probabilidade de 95% deve-se pré-multiplicar o desvio padrão
por 1,96, para 99% por 2,58, assim obtém-se:
P[ x – 1,96< < x + 1,96] 9%
P[20°32´13,33" < < 20°32´25,87"] 9%
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Uma distância de 200m foi medida com uma trena de 20m de
comprimento. O desvio padrão de cada medida efetuada é
conhecido e igual a 5mm. Qual o desvio padrão da distância
total medida?
a) Modelo matemático para a distância total medida
D = d1+ d2+ d3+ d4+ d5+ d6+ d7+ d8+ d9+ d10
D=20,00+20,00+20,00+20,00+20,00+20,00+20,00+20,00+20,00
+20,00
D = 200,00m
b) Cálculo da propagação do desvio padrão
D D D
2 D= 2
d1+ 2 d2+ .... + 2
d10
d1 d2 d10
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2 d1= 52 mm2 = 25mm2
2d1= 2
d2= 2d3= 2
d4= 2d5= 2
d6= 2d7= 2
d8= 2d9= 2
d10= 25mm2
D D D
1
d1 d2 d10
2D= 2
d1+ 2d2+2
d3+2d4+2
d5+2d6+2
d7+2d8+2
d9+2d10
2D= 250mm2
D= 15,8mm