Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari - Corso Serale Progetto “Sirio” 1 ITIS “G. MARCONI” – BARI CORSO SERALE PROGETTO SIRIO A. S. 2009-2010 DISPENSA DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE N° 7 TRASMISSIONE E REGOLAZIONE DEL MOTO ROTATORIO Meccanismo di biella e manovella Volani Regolatori
Teoria ed esercizi sul meccanismo di biella e manovella, volani e regolatori.
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Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari - Corso Serale Progetto “Sirio” 1
ITIS “G. MARCONI” – BARI
CORSO SERALE PROGETTO SIRIO
A. S. 2009-2010
DISPENSA DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE
N° 7
TRASMISSIONE E REGOLAZIONE DEL MOTO ROTATORIO Meccanismo di biella e manovella
Volani
Regolatori
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MECCANISMO DI BIELLA E MANOVELLA
È un sistema articolato utilizzato nelle macchine motrici (p. es. motori endotermici) e
operatrici (p. es. compressori alternativi) per la trasmissione della potenza con trasformazione del
moto da rettilineo alternato a rotatorio e viceversa (nei motori endotermici, il moto rettilineo
alternato del pistone viene trasformato nel moto circolare dell’albero a gomiti). Il manovellismo
può essere di tipo centrato oppure disassato, a seconda che l’asse del cilindro intersechi o meno
l’asse di rotazione della manovella (albero motore) (v. fig. 1).
Gli elementi meccanici componenti il manovellismo sono rappresentati nella fig. 1:
La biella è costituita dal corpo, testa e piede di biella. Il corpo può avere sezione a doppio
T (motori endotermici), rettangolare, circolare o tubolare.
La manovella è costituita dal braccio e dal perno (bottone di manovella).
La fig. 2, invece, mostra uno schema del meccanismo adatto per farne lo studio sia
cinematico sia dinamico:
Pistone
Corpo di biella
Braccio di manovella
Albero motore
Testa di biella
Spinotto
piede di biella
Contrappeso
Bottone di manovella
Fig. 1 – Meccanismo di biella e manovella centrato.
Fig. 2 – Schema del meccanismo di biella e manovella.
corsa del pistone
manovella
biella
O PMS PMI
bottone di manovella
Piede di biella
Cappello di biella
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Il moto rettilineo alternato del pistone si compie tra il punto morto superiore (PMS) e il
punto morto inferiore (PMI). Tale distanza è chiamata corsa del pistone ed è uguale al diametro
della circonferenza descritta dal bottone di manovella durante il suo moto circolare, cioè uguale al
doppio del raggio di manovella. Il moto della manovella è rotatorio mentre quello della biella è
rototraslatorio.
STUDIO CINEMATICO
Per fare questo studio riferiamoci allo schema cinematico in fig. n. 3 dove sono state
riportate le varie grandezze fisiche coinvolte:
Legenda:
OB = manovella
BP = biella
C1C2= corsa del pistone
C1P = spostamento del pistone al tempo t
r = raggio di manovella
l = lunghezza di biella
c = distanza percorsa dal piede di biella in mezzo giro (cioè dal PMS al PMI)
xP = distanza percorsa dal piede di biella al tempo t
angolo di manovella
angolo di biella
velocità angolare della manovella
Il moto del bottone di manovella si considera circolare uniforme e, pertanto, risultano
costanti velocità angolare e velocità periferica del bottone di manovella:
n = cost
vB = r = cost
Il moto del piede di biella è rettilineo alternato vario, vale a dire:
vP cost
Fig. 3 – Grandezze caratteristiche del meccanismo di biella e manovella.
c = 2r
C1 C2
P
r
l B
B' O
ω
xP
PMS PMI
PMS
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Ricaviamo le leggi del moto del piede di biella. Dapprima ricaviamo la formula della
distanza xP dalla quale, derivando rispetto al tempo, ricaveremo la velocità e l’accelerazione.
Con semplici considerazioni geometriche dallo schema in fig. 3 ricaviamo l’espressione di
xP:
PCxP 1
)cos1(cos1
)cos1()cos1(coscos)''(11
r
lr
rlrlrlOBPBrlOPOCPC
Il rapporto l/r si indica con =310 (lunghezza ridotta della biella) pertanto, sostituendo
tale parametro nella formula si ha:
)cos1(cos1 rxP (1)
La formula (1) esprime xP in funzione sia di sia di mentre sarebbe più utile che xP sia
espressa in funzione soltanto di . Per fare ciò consideriamo i triangoli rettangoli BB'P e BB'O. Essi
hanno in comune il lato BB' che può, pertanto, essere espresso in funzione sia di sia di :
lsenrsenBB '
da cui:
sensenl
rsen
1 (2)
adesso, ricordando la nota relazione trigonometrica: 1cos22 sen possiamo sostituire in
questa al posto di sen la relazione (2) ottenendosi:
1cos)1
( 22
sen
1cos1 22
2
sen
da cui ricaviamo:
2
22
2
22 1cos
sensen
e infine, estraendo la radice quadrata del 1° e 2° membro e portando fuori dal segno di radice il
denominatore della frazione si ricava:
221cos sen (3)
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Sostituendo la formula (3) nella (1) si ha:
2222 cos1)1
1(cos1)cos1(cos1 senrsenrrxP
In definitiva l’espressione dello spazio percorso dal piede di biella nel tempo t è:
)()(cos1)( 22 tsentrtxP (4)
Nella formula (4), se trascuriamo sen2 rispetto a (perché >1 e sen<1) si ha la
seguente formula approssimata:
)(cos1)( trtxP
Tale formula è la legge del moto armonico, conseguentemente il moto di P non è mai
armonico. In teoria il moto sarebbe armonico se tendesse a zero, in pratica ciò vale a dire che la
lunghezza della biella dovrebbe essere molto grande rispetto alla manovella (in teoria, P si
muoverebbe di moto armonico solo se la lunghezza della biella fosse infinita e, in tal caso, sarebbe
parallela all’asse del moto di P).
Nella formula (4) il tempo non compare esplicitamente ma possiamo farlo comparire
ricordando la seguente relazione che lega l’angolo di manovella alla velocità angolare ω:
tt )(
Sostituendo si ottiene:
tsentrtxP 22cos1)( (5)
La velocità istantanea di P si ottiene derivando rispetto al tempo xP(t):
tsen
ttsentsenr
ttsentsentsenrtsentrdt
d
dt
tdxtv P
P
22
12
12222
cos2
2
1
cos22
1cos1
)()(
tsen
ttsentsenrtvP
22
cos2
2
1)( (6)
Nella (6) se raccogliamo ω a fattor comune, trascuriamo sen2ωt rispetto a 2
e teniamo
conto della identità trigonometrica 2·senωt·cosωt=sen2ωt, si può ricavare la relazione semplificata
di vP(t):
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2
2)(
tsentsenrtvP (7)
L'accelerazione istantanea di P si ottiene derivando rispetto al tempo vP(t) :
2
22coscos
)()( 2 tsen
tsendt
dr
ttr
dt
tdvta P
p
che, essendo il moto della manovella circolare uniforme, si semplifica nella seguente relazione:
ttr
dt
tdvta P
P
2coscos
)()( 2
(8)
Diagrammiamo le equazioni (5), (6) e (8):
Il grafico in fig. 4 mostra che il piede di biella, nella corsa di andata (dal PMS al PMI),
raggiunge il massimo valore della sua velocità un po' prima di aver percorso la semicorsa di andata
mentre, nella corsa di ritorno (dal PMI al PMS), raggiunge il suo valore massimo di velocità un po'
dopo aver percorso la semicorsa di ritorno. La velocità è nulla nei punti morti.
Il verso dell’accelerazione è importante perché da esso dipende il verso delle forze d’inerzia
durante il periodo.
Fig. 4 – Andamento dello spazio, velocità e accelerazione del piede di biella.
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Il moto del piede di biella è accelerato nelle prime semicorse di andata e ritorno e ritardato
nelle seconde semicorse di andata e ritorno.
L'accelerazione del piede di biella raggiunge i suoi valori massimi nei punti in cui la velocità
si annulla (cioè nei punti PMS e PMI) e si annulla nei punti in cui la velocità raggiunge i suoi valori
massimi.
Osserviamo inoltre che l'accelerazione è massima nei punti morti perché in tali punti il moto
del piede di biella si inverte (la variazione di velocità è massima).
STUDIO DINAMICO
Il manovellismo è soggetto nello stesso tempo a forze esterne, forze d’inerzia e forze
centrifughe.
Le forze esterne sono dovute alla combustione della sostanza combustibile nel cilindro (nei
motori a c. i.) oppure all’azione del vapore (a p=cost) nelle motrici a vapore. Nei motori a
combustione interna la pressione generata dai gas combusti nei cilindri non è costante pertanto
indicata con p la generica pressione interna, la forza istantanea che agisce sul cielo del pistone si
può calcolare con la seguente relazione generale:
ApF (N) (9)
in cui A è l’area del cielo del pistone.
La fig. 5 illustra le forze agenti sul meccanismo durante la semicorsa di andata:
La forza F si può scomporre nelle componenti F’ avente direzione dell’asse della biella e F"
avente direzione perpendicolare al moto del pistone:
FtgFF
F "'
cos (10)
PMI PMS
c
F”
F’
p
F
FR
l
PMI PMS
ω
Fig. 5 – Forze istantanee agenti sul piede di biella.
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La forza F' sollecita la biella a carico di punta, F" spinge il pistone contro la parete del
cilindro generando una forza d’attrito usurante le fasce elastiche.
La forza d’inerzia Fi applicata al piede di biella che nasce in seguito al moto accelerato del
pistone punto P, si può calcolare con la seguente relazione:
Pi amF (11)
in cui m è la somma delle masse che si muovono con il pistone cioè:
bsfp mmmmm3
2 (12)
in cui:
mp = massa del pistone
mf = massa delle fasce elastiche
ms = massa dello spinotto
mb = massa della biella
La Fi è considerata positiva se favorisce il moto del pistone e viceversa.
L’andamento di F e Fi in due giri dell’albero motore (cioè in un ciclo per un motore a 4T) è
rappresentato nella seguente fig. 6:
Sommando i valori istantanei di F e Fi si ottiene la forza totale istantanea che agisce sul
pistone:
Fig. 6 – Andamento della forza di pressione dei gas e della
forza d’inerzia agenti sul piede di biella.
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iT FFF
(somma vettoriale) (13)
il diagramma della forza totale è rappresentato nella fig. 7:
CALCOLO DEL MOMENTO MOTORE
La biella trasmette al bottone di manovella la forza totale istantanea seguente:
cos
' TT
FF (14)
Scomposta F'T nelle sue componenti radiale Fr e tangenziale Ft è quest’ultima componente
che genera il momento motore Mm:
rFM tm (15)
Fig. 7 – Andamento della forza totale agente sul piede di biella.
PMI PMS
c=2r
FT”
FT’
p
FT’
FT
Fr
l
PMI PMS
ω
Ft
Fig. 8 – Forze istantanee agenti sul piede di biella e bottone di manovella.
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Sostituendo a Ft la sua relazione in funzione di F'T e della somma degli angoli e (vedi
fig. 9) si ottiene la seguente relazione:
rsenF
rsenFrFM T
Ttm
cos
' (16)
La relazione (16) si può semplificare in modo da porla in funzione del solo angolo ; allo
scopo tenendo conto della formula di addizione di due angoli:
sensensen coscos
tenendo conto della relazione (2), dividiamo ambo i membri per cos:
22
2
22
11cos
coscos sen
sensen
sen
sen
sensen
sensen
sensen
sen
Pertanto si ottiene:
22
cos
sen
sensenrFM Tm
che si può ancora trasformare sapendo che cos22 sensen (formula di duplicazione di un
angolo):
Fig. 9 – Angolo somma di e .
FT’
Fr
Ft
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222
2
sen
sensenrFM Tm (17)
Il diagramma dell'equazione (17) è riportato nella fig. 10:
Il grafico dimostra che l’andamento del momento motore è variabile, pertanto per
uniformare il moto rotatorio è necessario aumentare il numero di cilindri del motore e usare il
volano.
Fig. 10 – Andamento del momento motore (motore a 4T).
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IL VOLANO
Lo studio del meccanismo di biella-manovella ha dimostrato che il momento motore Mm è
variabile periodicamente durante il compimento del ciclo operativo (il momento resistente Mr, al
contrario, si considera costante). La conseguenza di tutto ciò è la non trascurabile variabilità
durante il ciclo della velocità angolare della manovella, conseguenza della sua bassa inerzia. In
molte applicazioni, tuttavia, è richiesto che tale variazione sia contenuta entro limiti precisi affinché
il motore non sia soggetto a forti cambiamenti di velocità. La soluzione che viene adottata è di
calettare sull'asse di rotazione della manovella un organo meccanico di massa opportuna (volano)
che conferisca più regolarità al moto di rotazione. Vediamo come si esprime tutto ciò esattamente.
La fig. 11 mostra l’andamento di Mm (Mm Mr istante per istante) che si sviluppa in parte
nel piano positivo e in parte nel piano negativo, di conseguenza, essendo le aree delimitate dal
diagramma proporzionali al lavoro, si ha che se il lavoro istantaneo è positivo la velocità angolare
aumenta e se è negativo la velocità diminuisce.
In termini matematici ciò può essere chiarito dalla seguente relazione tra Mm e Mr:
Mm - Mr =J·ε (18)
in cui:
- J è il momento d’inerzia di massa delle masse rotanti rispetto all'asse di rotazione della
manovella (kg·m2);
- ε =Δω/Δt è l’accelerazione angolare delle masse rotanti (rad/s2)
Fig. 11 – Lavoro positivo e negativo (motore a 4T).
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La relazione (18) mostra che quando è:
- Mm > Mr la velocità angolare aumenta fino a raggiungere ω2 (velocità angolare massima);
- Mm < Mr la velocità angolare diminuisce fino a raggiungere ω1 (velocità angolare minima);
- Mm = Mr la velocità angolare rimane costante ω0 (velocità angolare media).
Il volano, quindi, deve essere capace di assorbire energia quando Mm > Mr (ω > ω0 ) e
restituirla quando Mm < Mr (ω < ω0 ).
Allo scopo di determinare la massa del volano, indichiamo con Mm0 il momento motore
medio uguale al lavoro utile Lu (che è a sua volta uguale al lavoro positivo sviluppato delle forze
motrici durante la fase attiva di accensione-espansione meno quello negativo Lr dovuto alle forze
resistenti manifestantesi durante le fasi passive di aspirazione, compressione e scarico: Lu = Lm - Lr)
diviso la lunghezza della base del diagramma (Mm, ):
Mm0 = Lu /4 (19)
Con riferimento alla fig. 12, il diagramma del lavoro assume la forma di un rettangolo di
base 4 e altezza Mm0. La stessa area rappresenta il lavoro resistente Mr considerato costante.
Sempre nella stessa fig. 12 sono stati indicati i punti del ciclo corrispondenti alla situazione
in cui il motore raggiunge la minima e la massima velocità angolare.
Tutto ciò premesso, il parametro che caratterizza il funzionamento irregolare del
meccanismo di biella-manovella è chiamato grado di irregolarità nel periodo ed è così definito:
Fig. 12 – Momento motore medio (motore a 4T).
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= (ω2 - ω1)/ ω0 (20)
dove ω0 è la velocità angolare media:
ω0 = (ω1 + ω2)/2 (21)
Il campo di variazione di dipende dalla tipologia di macchina e sono i seguenti:
Tipologia di macchina Pompe e ventilatori Motori Alternatori
richiesto 1/20 ÷1/30 1/100 ÷ 1/300 1/300
Il volano, quindi, deve avere una massa tale da garantire un prestabilito grado di irregolarità
nel periodo.
La determinazione della massa del volano in pratica è preceduta dal calcolo del momento
d’inerzia di massa dello stesso nel modo che è di seguito illustrato.
L’energia che determina l’eccessiva variazione della velocità degli organi rotanti e che il
volano deve assorbire è uguale all'eccesso di lavoro motore rispetto al lavoro resistente; questo
lavoro si chiama "lavoro eccedente" e corrisponde in fig. 12 all'area tratteggiata Le .
Calcoliamo Le nel modo seguente:
)(2
1 2
1
2
2 JLe (22)
tale equazione può essere riscritta in funzione della (20) e (21):
2
0001212
2
1
2
2 22
1))((
2
1)(
2
1 JJJJLe (23)
L’equazione (23), infine, permette di ricavare il momento d’inerzia di massa del volano:
2
0
eLJ (24)
Al fine di ricavare la massa del volano occorre stabilire la sua forma. Tale forma dipende dal
tipo di macchina alla quale è destinato (motore endotermico monocilindrico o pluricilindrico,
pompe, ecc.) ma in via di massima si possono ridurre a due forme principali:
a) a disco pieno (v. fig. 13)
b) a corona circolare (v. fig. 14)
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Nel caso del volano a disco il momento d’inerzia si calcola con la seguente formula:
2
2
1mrJ (25)
quindi:
2
0
2
2
1
eLmr
Fig. 13 – Volano a disco completo di campana.
Fig. 14 – Volano a razze.
r
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da cui si ha:
22
0
2
r
Lm e
(26)
Nel caso del volano a razze il momento d’inerzia si calcola considerando la massa del
mozzo e delle razze trascurabili rispetto a quella della corona:
22
2
2
1 )(2
1mmrrrmJ (27)
in cui 2
21 rrrm
è il raggio medio, quindi si ha:
2
0
2
e
m
Lrm
da cui si ricava:
22
0 m
e
r
Lm
(28)
Nelle formule (26) e (28) è incognito il lavoro eccedente Le che si può calcolare in funzione
della potenza e del numero di giri del motore n0 mediante la seguente procedura.
Anzitutto si introduce un nuovo coefficiente 1 detto "coefficiente di fluttuazione" così
definito:
1
1L
Le (29)
in cui L1 è il lavoro compiuto nel periodo dal motore (vale a dire in un giro dell’albero motore).