TRASLACIONES, “ESTIRAMIENTOS”, REFLEXIONES SIMÉTRICAS Por: Silvia E. Mora Álvarez.
TRASLACIONES, “ESTIRAMIENTOS”, REFLEXIONES SIMÉTRICAS
Por: Silvia E. Mora Álvarez.
TRASLACIÓN VERTICAL g(x)=f(x)+c
a
f(a)
a
f(a)
f(a)+c
b
f(b)
f(b)+c
f(b)
b
Si c >0Si c <0
la gráfica se traslada verticalmente hacia arriba.la gráfica se traslada verticalmente hacia abajo.
y=f(x)
y=f(x)+c
Ejemplo TV1: f : ; f x x
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
g : ; g x f(x) 2
g x x 2
Ejemplo TV2: f : 0, ; f x x
1 2 3 4 5 6
1
2
3
1 2 3 4 5 6
-2
-1
1
2
3
g : 0, ; g x f(x) 2
g x x 2
Ejemplo TV3: 2f : ; f x x
g : ; g x f(x) 1
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
5
2g x x 1
TRASLACIÓN HORIZONTAL g(x)=f(x+c) [1]
Analicemos primero un caso particular:Considere la función y sea c = 1 3f : ; f x x
x
x
-2
-1
0
1
2
¿Qué sucede con la imagen de “a” en el dominio?
g(x)=f(x+1)
(x+1)3
-1
0
1
8
27
f(x)
x3
-8
-1
0
1
8
TRASLACIÓN HORIZONTAL g(x)=f(x+c) [2]
a
f(a)
a
f(a+c)
b
f(b)
f(b+c)
f(b)
b b+cb-c
Si c >0Si c <0
la gráfica se traslada horizontalmente hacia LA IZQUIERDA.la gráfica se traslada horizontalmente hacia LA DERECHA.
y=f(x)y=f(x+c)
Ejemplo TH1: f : ; f x x
g : ; g x f(x 2)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
g x x 2
Ejemplo TH2: f : 0, ; f x x
g : 2, ; g x f(x 2)
1 2 3 4 5 6
0.5
1
1.5
2
2.5
1 2 3 4 5 6
0.5
1
1.5
2
2.5
g x x 2
Ejemplo TH3:
* * 1f : ; f x
x
g : 2 ; g x f(x 2)
-4 -3 -2 -1 1 2
-40
-20
20
40
-4 -3 -2 -1 1 2
-20
-10
10
20
1g x
x 2
AMBAS TRASLACIONES 3
g : ; g x x 1 2 ¿Qué gráfica básica
origina esta función?
¿Cuáles son las
transforma_ciones?
g : ; g x f x 1 2
-1-2-3-4 1 2 3 4-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
-1-2-3-4 1 2 3 4-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
3f : ; f x x
AMBAS TRASLACIONES (2) 2g : ; g x x 2x 3
¿Qué gráfica básica
origina esta función?
g : ; g x f x 1 4
2f : ; f x x
Completando cuadrados 2
g x x 1 4
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
6
8
10
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
6
8
10
¿Cuáles son las
transforma_ciones?
TRANSFORMACIONES DE LA FORMA g(x)=kf(x); k>0
Si k >1, resulta un ESTIRAMIENTO VERTICAL.
Veamos el caso: 2f : ; f x x ; k 2
-2 -1 1 2
2
4
6
8
-2 -1 1 2
1
2
3
4
2g : ; g x 2f x 2x
TRANSFORMACIONES DE LA FORMA g(x)=kf(x); k>0
Si 0< k <1, resulta un ESTIRAMIENTO HORIZONTAL.
Veamos el caso: 2f : ; f x x
-2 -1 1 2
1
2
3
4
1k
2
-2 -1 1 2
0.5
1
1.5
2
21 x
g : ; g x f x2 2
Con respecto al “eje x” g(x)= –f(x)
a
f(a)
b
f(b)
ab
–f(a)
–f(b)
y=f(x) y= g(x)= – f(x)
Ejemplo:
2f : ; f x x 2
g : ;
g x f x x
-4 -2 2 4
-15
-10
-5
5
10
15
-4 -2 2 4
-15
-10
-5
5
10
15
Con respecto al “eje y” g(x)= f(– x)
a
f(a)
b
f(b)
– a – b
f(b)
y=f(x) y=g(x)= f(– x)
f(a)
Ejemplo: f : 0, ; f x x
g : ,0 ; g x f x x
-6 -4 -2 2 4 6
0.51
1.52
2.5
-6 -4 -2 2 4 6
0.51
1.52
2.5
¿Cómo definiríamos g(x)=|f(x)|?
f x , si f(x) 0
f x , si f(x) 0
g x f x
¿Cómo afectaría esto la gráfica de f?
Veamos: 3f : ; f x x
-1-2-3-4 1 2 3 4-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
¿Cuál es el conjunto solución de f(x)<0?
R/ x
3
3
3
g : ;
x ; si xg x x
x ; si x
-1-2-3-4 1 2 3 4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
Otro ejemplo: 2f : ; f x x 4
¿Cuál es el conjunto solución de f(x)<0?
R/ x 2,2
-4 -2 2 4
5
10
15
20
-4 -2 2 4
2
4
6
8
3
3
3
g : ;
x ; si x 2,2g x x
x ; si x 2,2
Resumeng(x) = Transformación
f(x)+c Traslación vertical de c unidades hacia arriba.
f(x) – c Traslación vertical de c unidades hacia abajo.
f(x+c) Traslación horizontal de c unidades a la izquierda.
f(x – c) Traslación horizontal de c unidades a la derecha.
kf(x), k>1 “Estiramiento” vertical
kf(x), 0< k < 1 “Estiramiento” horizontal
– f(x) Reflexión simétrica con respecto al eje x
f(–x) Reflexión simétrica con respecto al eje x