Trasformada de Laplace Definicin de la TransformadaSea f una
funcin definida para , la transformada de Laplace de f (t) se
define como
Cuando tal integral converge
1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso
de integracin se considera constante2. La transformada de Laplace
convierte una funcin en t en una funcin en la variable s 3.
Condiciones para la existencia de la transformada de una funcin: 1.
De orden exponencial2. Continua a trozos
Definicin: (Transformada de Laplace) Sea f (t) una funcin con
dominio en [0, ). La Transformada de Laplace de f (t) es la funcin
F (s) que se obtiene como sigue
Ntese que F(s) es una funcin en la variable s cuyo dominio
consta de todos los valores de s para los cuales la integral existe
es decir es convergente. Adems es una integral impropia, por lo
que
Lo cual restringe las funciones f (t) que para las cuales puede
existir transformada de Laplace.La transformada de Laplace de una
funcin cualquiera se denota utilizando la letra mayscula
correspondiente a la funcin Transformada o utilizando notacin de
operadores como L {.}; por ejemplo la transformada de Laplace de
una funcin g (t) se denotara como G (s) o L {g} (t).Una primera
forma de obtener la transformada de Laplace de una funcin, si es
que esta tiene, nos la proporciona la definicin, es decir que si
tenemos una funcin f (t) cualesquiera, su transformada de Laplace
se obtiene evaluando la integral dada o en forma equivalente como
en los siguientes ejemplos:
Ejemplo: Determine la transformada de Laplace de las siguientes
funciones: f (t) = et
Solucin: Utilizando la definicin
Evaluando el lmite de la ltima expresin nos damos cuenta que
De donde
Siempre y cuando s > 1, de otra manera este lmite no
existira. Por lo tanto la transformada de Laplace de f (t) = et
es
Condiciones de Existencia de la Transformada de Laplace
Antes de enunciar el teorema de existencia de la transformada de
Laplace de una funcin es preciso definir un concepto para el
teorema de existencia de la TL (Transformada de Laplace) de una
funcin.
Definicin: (Orden Exponencial) Se dice que una funcin f (t) es
de orden exponencial si existen constantes positivas T y M tales
que
Para todo valor de t T.
En otras palabras, una funcin es de orden exponencial , si se
puede encontrar una funcin exponencial adecuada MeT que est por
encima de la funcin f (t) a partir de un valor determinado para
t.
Ejemplo: La funcin f (t) = t2 +4Es de orden exponencial = 1 ya
que la funcin exponencial
Ya que la funcin exponencial (en rojo) crece ms rpido que f (t)
(en azul) a partir de cierto valor T.
Teorema: (Existencia de la TL) Si f (t) es una funcin continua a
trozos en [0, ) y de orden exponencial , entonces L {f} (s) = F (s)
existe para s > .
La interpretacin de este resultado es sencilla: ya que la
transformada de Laplace es una integral impropia, esta integral
converge siempre y cuando la funcin dada no crezca ms rpido que la
funcin exponencial eset. Es preciso sealar que el teorema
proporciona una condicin suficiente ms no necesaria para la
existencia de la TL de una funcin, esto es que una funcin que no es
de orden exponencial puede tener TL.
Transformada Inversa de Laplace
La Transformada inversa de una funcin en s, digamos F(s) es una
funcin de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir
Si es que acaso
Esta definicin obliga a que se cumpla:
Definicin: (Transformada Inversa de Laplace) La Transformada
Inversa de Laplace de una funcin F (s) es una funcin nica L1 {F}
(t) = f (t), que es continua en [0, ), tal que satisface
En otras palabras, la transformada inversa de Laplace de una
funcin F (s) es una funcin f (t) cuya TL sea F (s).
A la transformada inversa de una funcin se le denota con la
letra minscula correspondiente a la de su transformada o utilizando
el operador transformada inversa L1 {.}
Para funciones simples, la forma ms prctica de encontrar la
transformada inversa de una funcin dada F (s), es observando la
tabla de transformadas. Esto se ilustra en los siguientes
ejemplos:
Encuentre la transformada inversa de las siguientes
funciones:
Solucin
Solucin:
No siempre las funciones de las cuales hay que encontrar su
transformada inversa son funciones simples, en ocasiones hay que
recurrir a ciertas propiedades o tcnicas algebraicas que nos
permitan tener funciones simples a partir de funciones complejas y
as poder encontrar su transformada inversa con la ayuda de una
tabla de transformadas.
Tabla de Transformadas
Conclusin:
En esta investigacin se analiz y se observ en que consiste la
trasformada de Laplace, as como algunas caractersticas, estas tipo
de mtodo nos sirve para resolver ecuaciones diferenciales de orden
superior ecuaciones no homageneas.La trasformada de laplase como su
nombre nos dice que si tenemos una funcion f(t) el objetivo es
trasformarla a una ecuacion f(s) pero para que esto se pueda llevar
acabo existen una serie de condiciones y aplicaciones que se
observaron en esta inestigacionLa Transformada de Laplace es una
tcnica Matemtica que forma parte de ciertas transformadas
integrales Estas transformadas estn definidas por medio de una
integral impropia y cambian una funcin en una variable de entrada
en otra funcin en otra variable. La transformada de Laplace puede
ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y
Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algn tipo de ED
con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con
coeficientes constantes
Bibliografia:Ecuaciones Diferenciales 6ta Edicion Dennis G.
ZillCapitulo 7 la trasformada de laplace Pgina 295