Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Elétrica Transitórios Eletromagnéticos Prof. Marcelo Lynce 1 Fundamentos Sobre Transitórios Eletromagnéticos 1 - Introdução: Um transitório elétrico acontece quando ocorre uma variação súbita nas condições de regime permanente de um sistema elétrico, como uma chave que abre ou fecha ou uma falta que ocorre em um ponto qualquer deste sistema. O período transitório é muito pequeno e, na maioria das vezes, insignificante quando comparado com o período de regime permanente. Mas, apesar disto, esses períodos transitórios são extremamente importantes, pois é durante esses períodos que os equipamentos do sistema são submetidos aos maiores estresses elétricos devido a tensões ou a correntes excessivas. Nos casos extremos, um transitório elétrico pode promover resultados danosos como inutilizar um equipamento, derrubar o sistema elétrico de uma fábrica ou mesmo provocar um “black-out” em uma cidade ou região. Por esta razão, uma análise clara do evento é essencial para o entendimento do comportamento do sistema elétrico durante o período transitório. Os transitórios elétricos podem ser entendidos, podem ser calculados e até mesmo simulados e algumas vezes prevenidos ou pelo menos controlados para serem inócuos ao sistema de potência nos quais eles aparecem.
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1
Fundamentos Sobre Transitórios Eletromagnéticos
1 - Introdução:
Um transitório elétrico acontece quando ocorre uma variação
súbita nas condições de regime permanente de um sistema elétrico,
como uma chave que abre ou fecha ou uma falta que ocorre em um
ponto qualquer deste sistema. O período transitório é muito pequeno
e, na maioria das vezes, insignificante quando comparado com o
período de regime permanente. Mas, apesar disto, esses períodos
transitórios são extremamente importantes, pois é durante esses
períodos que os equipamentos do sistema são submetidos aos
maiores estresses elétricos devido a tensões ou a correntes
excessivas. Nos casos extremos, um transitório elétrico pode
promover resultados danosos como inutilizar um equipamento,
derrubar o sistema elétrico de uma fábrica ou mesmo provocar um
“black-out” em uma cidade ou região. Por esta razão, uma análise
clara do evento é essencial para o entendimento do comportamento
do sistema elétrico durante o período transitório. Os transitórios
elétricos podem ser entendidos, podem ser calculados e até mesmo
simulados e algumas vezes prevenidos ou pelo menos controlados
para serem inócuos ao sistema de potência nos quais eles aparecem.
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2- Parâmetros do Sistema Elétrico:
Qualquer circuito elétrico possui basicamente três tipos de
parâmetros, a saber:
Resistência R [Ω]
Indutância L [H]
Capacitância C [F]
Todo sistema elétrico, quer seja uma rede de transmissão ou de
distribuição ou uma instalação industrial, ou outra instalação qualquer,
possui cada um desses parâmetros em maior ou menor intensidade.
Sob condição de regime permanente, por exemplo, frequentemente
predomina a indutância em um reator. Entretanto, em regime
transitório, as condições podem ser muito diferentes e, em alguns
casos, a capacitância distribuída nos enrolamentos do reator seria
momentaneamente o parâmetro mais importante. Na realidade, a
resistência, a indutância e a capacitância são grandezas distribuídas,
isto é, cada pequena parte do circuito possui uma porção desses
parâmetros. Mas comumente eles podem ser tratados com elementos
concentrados em determinados ramos sem prejuízos na precisão dos
cálculos. Casos particulares como, por exemplo, as linhas de
transmissão, o tratamento desses elementos da forma distribuída é
preferível.
Os parâmetros indutância (L) e capacitância (C) são
caracterizados pela capacidade de armazenar energia. A indutância
armazena energia no campo magnético e a capacitância no campo
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elétrico. Estas energias são função dos valores instantâneos de
corrente (indutor) e tensão (capacitor) como mostra as expressões a
seguir.
]joule[LIEL
2
2
1=
]joule[CVEC
2
2
1=
Em contraste a esses dois parâmetros, o parâmetro resistência é
dissipador de energia, a potência dissipada na resistência é dada por
P = RI2. Em um determinado período de tempo (τ) a energia dissipada
é expressa por:
]joule[dtRIER ∫τ
=0
2
Sob condição de regime permanente, a energia armazenada nos
indutores e capacitores de um circuito em corrente contínua é
constante, enquanto que em um circuito em corrente alternada, a
energia é transferida ciclicamente entre as indutâncias, capacitâncias
e fontes do circuito, conforme a corrente e tensão cresce e decresce
na frequência da rede. Este processo é acompanhado de perdas de
energia que dependem da resistência do circuito. Estas perdas são
supridas pela fonte de alimentação.
Quando qualquer variação súbita ocorre em um circuito elétrico,
esta variação será acompanhada de uma redistribuição das parcelas
de energia armazenada nos indutores e capacitores para estabelecer
a nova condição. É nesta etapa que ocorre os fenômenos transitórios
e a sua natureza depende do tipo de variação súbita ocorrida. É muito
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importante compreender que a redistribuição de energia não pode
acontecer instantaneamente por duas razões:
1 – A variação da energia magnética armazenada em um
indutor requer uma variação de corrente. Mas a variação de
corrente em um indutor é contraposta por f.e.m. determinada
pelo produto da indutância (L) pela taxa de variação de corrente.
Uma variação instantânea significa uma taxa de variação da
corrente infinita, ou seja, seria necessária uma tensão infinita
para a sua realização. Como isto é irrealizável na prática, a
corrente em um indutor não pode variar abruptamente e,
consequentemente, a energia magnética armazenada no indutor
também não.
2 – A variação da energia elétrica armazenada em um
capacitor requer uma variação de tensão. A tensão através de
um capacitor é dada por: V = Q/C, onde Q é a quantidade de
carga elétrica no capacitor. A variação de tensão deverá ser
acompanhada pela variação da carga, assim uma variação
instantânea da tensão requer uma variação instantânea da carga
o que significa que uma corrente infinita deve fluir pelo capacitor.
Isto também é irrealizável, consequentemente, a tensão em um
capacitor não pode variar abruptamente e nem a energia
associada ao campo elétrico.
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A redistribuição de energia após uma variação no circuito leva
um período de tempo finito e o processo durante este intervalo como
em qualquer outro é determinado pelo princípio da conservação de
energia, ou seja:
a energia suprida pela fonte é igual à energia armazenada mais a
energia dissipada.
Estes três simples aspectos – a corrente em um indutor não
pode variar subitamente; a tensão em um capacitor também não pode
variar subitamente e o princípio da conservação de energia que deve
ser preservado durante todo o tempo - são fundamentais para o
entendimento do fenômeno. Estimar completamente as implicações
destes fatores é tocar na essência do assunto.
3 - Interpretação Física e Formulação Matemática de Transitórios
Elétricos:
Neste item será dado maior ênfase à interpretação física dos
fenômenos de transitórios elétricos visto que isto facilita a formulação
matemática do assunto. Apresenta-se a seguir a relação entre a
corrente e tensão através dos parâmetros do circuito elétrico.
Resistência RIV =
Indutância dt
dILV =
Capacitância dt
dVCI =
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Como pode ser observado, a tensão através do indutor depende
da taxa de variação da corrente (dI/dt), já a corrente através do
capacitor depende da taxa de variação de tensão. Isto significa que se
não houver taxa de variação de corrente ou taxa de variação de
tensão, a tensão através do indutor ou a corrente no capacitor serão
nulas.
3.1 – Circuitos RL, RC e LC excitados por fonte CC:
Considere um circuito R L suprido por uma fonte de tensão
contínua como mostra a figura a seguir. A partir de um instante t = 0, a
chave k fecha iniciando o processo transitório de estabelecimento de
corrente no indutor.
Circuito R L suprido por uma fonte de corrente contínua
No instante em que a chave fecha a corrente no circuito é nula
assim toda tensão a fonte é aplicada sobre o indutor. Logo, a taxa de
variação da corrente é determinada por: dI/dt = V/L. A partir deste
instante, a corrente começa a crescer e simultaneamente cresce
também a queda de tensão sobre a resistência. A tensão através do
indutor vai decrescendo à medida que a corrente cresce, até se
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anular. Nesse momento a queda de tensão na resistência é igual à
tensão da fonte e a taxa de variação da corrente é nula. Isto é, a
corrente se manterá constante enquanto a chave estiver fechada. O
período transitório de interesse neste caso compreende desde o
instante em que a chave fecha até o momento em que a corrente para
de crescer. Em termos matemáticos pode-se escrever:
LR VVV +=
L
RIV
dt
dI
dt
dILRIV
−=⇒+=
Resolvendo a equação diferencial para determinar a corrente chega-
se a:
−=
− tL
R
eR
V)t(I 1
O expoente R/L na expressão da corrente determina a rapidez
com que a corrente cresce até atingir o valor constante (V/R). Quanto
maior for o parâmetro indutivo em relação ao resistivo, mais tempo o
circuito levará para estabilizar o valor da corrente, e a recíproca
também é verdadeira. Define-se como constante de tempo deste
circuito (T) a relação entre a indutância e a resistência do circuito, ou
seja: R
LT = , logo a expressão da corrente será
−=
−T
t
eR
V)t(I 1
Uma situação semelhante a esta ocorre com o circuito R C
mostrado na figura a seguir.
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Circuito R C suprido por uma fonte de corrente contínua
Nesse caso, a tensão no capacitor não pode variar
instantaneamente. Portanto, considerando o capacitor inicialmente
carregado com uma tensão VCo, tão logo a chave fecha a diferença
entre tensão da fonte e a tensão inicial do capacitor é aplicada sobre a
resistência. Assim, a corrente que antes do fechamento da chave era
nula, a partir desse instante assume o valor (V-VCo)/R. A formulação
matemática do circuito capacitivo é apresentada a seguir.
dt
dVCCIIdt
CVC =⇒= ∫
1
VCdt
dVCRCVVCVRV +=⇒+=
( )
−−=
− tRC
o eVCVVC
1
1
A corrente no circuito agora é determinada por:
tRCo e
R
VCVI
1−
−=
A constante de tempo no circuito capacitivo assume o valor:
RCT = . Nas expressões apresentadas anteriormente, destacam-se as
características dos circuitos indutivos e capacitivos nas respostas
exponenciais (t
RCt
L
R
e;e
1−−
) para um distúrbio. Como pode ser
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observado, o circuito leva um tempo finito para ajustar-se de uma
condição para outra depois de qualquer distúrbio. No instante da
abertura ou fechamento de uma chave as condições iniciais definirão a
intensidade das perturbações até a nova condição de regime
permanente seja atingida. No caso do circuito capacitivo, por exemplo,
se o capacitor estiver carregado com uma tensão inicial igual à tensão
da fonte, não haverá nenhum distúrbio, pois após o fechamento da
chave, a corrente permanecerá nula. A duração do período transitório
pode ser estabelecida em termos de constante de tempo do circuito.
Geralmente considera-se que um período de tempo equivalente a
quatro constantes de tempo para a duração do período transitório. Isto
não é totalmente verdade, visto que a exponencial que caracteriza o
período transitório ainda não se anulou (e-4=0,018).
Através da experiência no manuseio de problemas de
transitórios elétricos e familiaridades com as soluções, a necessidade
de cálculos matemáticos requeridos para a análise do problema é
diminuída. É possível construir soluções simplesmente fazendo a
análise física do sistema e utilizando as características típicas dos
circuitos. Com o objetivo de mostrar essa possibilidade, apresenta-se
a seguir a análise de um circuito L C suprido por uma fonte de corrente
contínua. No circuito apresentado a seguir, as condições iniciais de
tensão no capacitor e corrente no indutor são consideradas nulas
quando a chave k fecha. Observa-se que neste circuito nem a corrente
no indutor e nem a tensão no capacitor podem variar subitamente.
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Circuito LC suprido por uma fonte de corrente contínua.
Após o fechamento da chave k, como a tensão inicial do
capacitor é nula toda a tensão da fonte é aplicada sobre o indutor,
definido assim a taxa de variação da corrente por:
L
V
dt
dI=
A corrente começa então a crescer. À medida que a corrente vai
fluindo para o capacitor, este vai adquirindo carga e apresenta uma
tensão VC em seus terminais. O crescimento da tensão no capacitor
implica em uma redução na tensão sobre o indutor, ou seja, na
redução na taxa de crescimento da corrente. Quando a tensão no
capacitor atingir o valor da tensão da fonte, a taxa de crescimento da
corrente será nula, a corrente nesse instante para de crescer atingindo
o seu valor máximo. Como o fluxo de corrente eleva a carga do
capacitor, a tensão sobre este continua crescendo ultrapassando o
valor da tensão da fonte. Isto impõe uma taxa de variação da corrente
negativa, ou seja, a corrente começa a decrescer, até se anular.
Para quantificar o comportamento da tensão e corrente no
circuito, apresenta-se uma análise do balanceamento energético no
período em a corrente cresce até atingir o seu valor máximo.
Primeiramente, é importante observar que, as variações das quedas
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de tensão sobre o indutor e o capacitor são opostas em ralação à
tensão aplicada. Isto é, quando uma decresce do valor da tensão da
fonte até se anular, a outra cresce partindo do zero até atingir a tensão
da fonte, sempre se mantendo o seu total igual ao valor da tensão da
fonte. Dessa forma, como a corrente é a mesma para esses dois
elementos, pode-se afirmar que, no instante em que a corrente atingir
o valor máximo, a energia armazenada no indutor é igual à energia
armazenada no capacitor e é igual à metade da energia suprida pela
fonte. Então:
oZC
L
I
VCVLI ==⇒= 22
2
1
2
1
Onde Zo é definido como sendo a impedância característica do circuito
LC.
No período em que a corrente decresce até se anular, a energia
armazenada no indutor é transferida ao capacitor juntamente com a
energia vinda da fonte. No momento em que a corrente se anula, o
capacitor estará armazenando quatro vezes a energia máxima
armazenada no indutor. Isto significa que a tensão sobre o mesmo
deverá dobrar.
Com a tensão igual a duas vezes à da fonte a taxa de variação
da corrente será negativa, portanto a corrente inverte o seu sentido e o
capacitor devolverá a sua energia para a fonte. Nesse período é
evidente que a corrente crescerá até atingir o valor máximo no sentido
inverso, instante no qual o indutor e capacitor possuem as mesmas
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quantidades de energia, e depois decrescerá até se anular, instante no
qual toda energia é devolvida à fonte. Completa-se dessa forma o ciclo
no qual a energia flui da fonte para os elementos, sendo em um dado
momento armazenada em partes iguais nos dois elementos, depois se
concentrando totalmente no elemento capacitivo e a seguir é devolvida
a fonte. Este ciclo é repetitivo e como o circuito não possui elementos
resistivos não haverá dissipação de energia, mantendo-se essa
oscilação indefinidamente. A figura a seguir mostra o comportamento
da tensão e a corrente conforme de acordo com o relatado.
Comportamento da tensão e a corrente no circuito LC
Após esta a análise física do circuito, pode-se estabelecer as
expressões da corrente e tensão no capacitor como a seguir. A
corrente será periódica iniciando pelo valor nulo tendo o seu valor
máximo igual à tensão da fonte dividida pela impedância característica
do circuito, o que sugere:
tZ
VtI o
o
ωsen)( =
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Onde ωo é a frequência de oscilação do circuito. O valor de ωo pode
ser determinado a partir da tensão através do indutor. Esta, como já
mencionado, é igual à tensão da fonte no instante inicial (t = 0). Assim,
chega-se a:
tZ
VLtV oo
o
L ωω cos)( =
LCo
1=ω
A tensão no capacitor deverá também oscilar, porém não
assumirá valores negativos. Ela deve iniciar por zero e atingir um valor
máximo igual ao dobro da tensão da fonte. Pelo circuito elétrico pode-
se determinar a expressão da tensão no capacitor, que é obtida por:
LC VVtV −=)(
( )tVtVC 0cos1)( ω−=
Dessa forma, mostra-se que, através da análise física do
comportamento do circuito elétrico, pode-se fazer uma boa previsão
dos resultados esperados.
3.2 – Circuito R L excitado por fonte CA:
Um circuito RL pode representar cargas indutivas ou
simplesmente reatores e, durante a sua energização ocorre um
transitório que muito importante para as análises subsequentes.
Considere o circuito RL suprido por uma fonte de corrente alternada
mostrada na figura a seguir. No instante t = 0 a chave S fecha.
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Circuito R L suprido por uma fonte de corrente alternada
O comportamento da corrente dependerá do valor instantâneo
da tensão no instante do fechamento da chave. Isto pode ser
concluído quando se faz o seguinte raciocínio. Considere que no
instante do fechamento da chave S, a tensão esteja passando pelo
valor nulo no sentido crescente. Desprezando o valor da resistência
para facilitar o raciocínio, a taxa de crescimento da corrente é nula
neste momento e cresce com o crescimento da tensão. Assim, quando
a tensão atingir o seu valor máximo, a taxa de crescimento da corrente
será máxima. A partir deste ponto, a tensão deverá decrescer e
consequentemente a taxa de crescimento da corrente, porém a
corrente continuará a crescer e só deixará de crescer quando a sua
taxa de crescimento for nula. O decrescimento da corrente implica em
taxa de crescimento negativa, ou seja, tensão da fonte negativa. Esse
raciocínio mostra claramente que a corrente será uma senoide
deslocada de seu eixo no sentido positivo de sua amplitude.
De outra forma, considerando que no instante do fechamento da
chave a fonte de tensão está passando pelo seu valor máximo
positivo, a corrente deverá iniciar o crescimento com a máxima taxa de
crescimento e crescerá até que a tensão atinja o seu valor nulo. Isto é,
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a corrente será máxima quando a tensão for nula. A partir deste ponto
a corrente deverá decrescer e será nula quando a tensão for máxima
negativa. Deste ponto em diante, o valor negativo da tensão começa
reduzir até se anular enquanto que a corrente cresce no sentido
negativo atingindo o seu valor máximo no momento em que a tensão
se anula. A tensão crescendo o sentido positivo impõe uma taxa de
crescimento positiva para a corrente e esta passa decrescer do valor
máximo negativo até atingir o seu valor nulo que ocorre no instante em
que a tensão atingir o seu valor máximo positivo. A figura a seguir
mostra estes dois casos, sendo a figura (a) o primeiro caso, no qual a
fonte está passando pelo valor nulo quando se fecha a chave, e a
figura (b), o caso no qual a fonte está passando pelo valor máximo.
Energização de um reator puramente indutivo.
(a) - A chave é fechada quando a tensão passa pelo valor de nulo.
(b) - A chave é fechada quando a tensão passa pelo valor de pico.
Dos raciocínios anteriores, pode-se concluir que, em situações
intermediárias de chaveamentos, o comportamento da corrente deverá
ficar entre esses limites, que serão válidos tanto para deslocamentos
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positivos da corrente como negativos. A corrente deslocada pode ser
representada por uma componente de corrente alternada mais uma
componente de corrente contínua. Conforme foi visto anteriormente, a
resistência tem uma característica dissipadora de energia e como a
fonte é de corrente alternada, a componente de corrente continua
tende a desaparecer.
A seguir apresenta-se a formulação matemática do circuito
considerando uma condição qualquer de tensão no instante do
fechamento da chave.
dt
dILRI)t(V +=
onde:
V(t) é a tensão da fonte - V(t) = sen(ωt +θ)
θ é o ângulo da tensão associado ao instante do fechamento da
chave. Ou seja, o valor da tensão no instante do fechamento da
chave é Vmsen(θ ).
R e L são respectivamente a resistência e a indutância do
circuito.
A solução da equação acima pode ser obtida empregando
técnicas adequadas para equações diferenciais e é apresentada a
seguir.
( )( ) ( )
φ−θ−φ−θ+ω
ω+=
−
senetsenLR
V)t(I
tL
R
m
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Onde φ é o ângulo que define o fator de potência do circuito.
ω=φ −
R
Ltg
1
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A figura a seguir mostra a representação da corrente I(t) e as
componentes de corrente alternada e corrente contínua que compõem
a mesma.
A curva (a) representa a corrente I(t) obtida pela equação acima;
A curva (b) representa a componente CA da corrente que
corresponde ao primeiro termo da equação. Esta curva
representa também a corrente do circuito em regime
permanente;
A curva (c) está associada ao termo exponencial e representa a
componente CC da corrente. A sua existência deve-se à
necessidade de uma componente cujo valor inicial evita a
variação repentina da corrente no circuito, visto que o indutor
não permite tal variação.
Observa-se ainda na expressão da corrente, que se ângulo φ for
igual ao ângulo θ não haverá período transitório no
estabelecimento da corrente.
Corrente de energização de um circuito RL. A chave fecha em um instante
genérico Curva (a) corrente no circuito I(t) Curva (b) componente CA Curva (c) componente CC
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3.3 - Amortecimento de Transitórios Eletromagnéticos
Como já foi comentado anteriormente, o transitório
eletromagnético é proveniente de variações súbitas da condição
energética de um sistema elétrico. Essas variações transportam
energia de um ponto a outro do sistema elétrico causando variações
de tensão e corrente indesejáveis. A intensidade do transitório está
ligada aos parâmetros do sistema e à intensidade de energia
envolvida. Quanto maior o nível de energia envolvido maior será a
intensidade do transitório. Consequentemente, o amortecimento de
transitórios eletromagnéticos pode ser conseguido através da
dissipação da energia envolvida em elementos resistivos, ou através
da redução dessa energia estabelecendo condições iniciais
adequadas.
Na análise de fenômenos transitórios, usualmente todas as
perdas são desprezadas em um primeiro instante, o que simplifica
bastante as equações matemáticas e a interpretação das mesmas.
Além disto, tal aproximação conduz a resultados mais severos para os
quais o sistema elétrico deve ser protegido. Neste item será discutida
a utilização de resistores com a finalidade de fazer o amortecimento
de fenômenos transitórios. Será considerado exclusivamente o estudo
de dois tipos de circuitos, RLC paralelo e RLC série. Estes dois tipos
de circuitos são considerados porque, na prática toda a rede elétrica
pode ser reduzida a um destes dois circuitos.
O comportamento dos circuitos RLC paralelo ou série é muito
simples tendo-se em vista que as equações diferenciais que
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descrevem comportamento dos mesmos são essencialmente
similares.
3.4 - Circuito RLC série.
Considere o circuito RLC série, no qual se deseja determinar a
expressão da corrente i(t), que é a variável comum a todos os
parâmetros do mesmo.
Circuito RLC série
A equação diferencial que descreve o comportamento do circuito é
Da análise dos resultados obtidos para desses dois circuitos (série e
paralelo) algumas conclusões podem ser extraídas:
As relações R/Zo < 2 no circuito serie e R/Zo > 2 no circuito
paralelo são típicas das redes elétricas elétricos. Ou seja, o
fenômeno transitório nos sistemas elétricos quase sempre será
oscilatório.
No circuito série a corrente é amortecida pela exponencial (e-t/Ts),
ou seja, a constante de tempo a ser considerada é: Ts =L/R;
No circuito paralelo a tensão é amortecida pela exponencial (e-
t/Tp) e a constante de tempo a ser considerada é: TP = RC.
Estas conclusões são importantes para o estudo de linhas de
transmissão.
Exemplo:
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Fazer a simulação de um circuito RLC série e paralelo para
verificar as condições de amortecimento. Dados: U = 100 V; L = 100
mH; C = 10 µF sendo a resistência variável de acordo com o
amortecimento desejado.
Ω=⋅
⋅==
−
−
1001010
101006
3
C
LZo
3
43
13
63
1040max
10101
10101010100
11
−
−−
−
−−
×=
≤⇒==
=⋅⋅⋅
==
T
DeltaTsT
sLC
o
o
ω
ω
Os circuito simulados no ATPDraw são mostrados a seguir:
LR
CU LR CI
Circuito série Circuito paralelo
Os resultados são apresentados a seguir:
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a) Circuito série Tensão no Capacitor
b) Circuito série Corrente no Capacitor
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c) Circuito paralelo Corrente no Capacitor
d) Circuito paralelo Tensão no Capacitor
-
4 – Tensão de restabelecimento transitória (TRT) ocasionada pela
interrupção da corrente de curto-circuito:
Sabe-se que os parâmetros R L C estão presentes na maioria
dos equipamentos elétricos e a eles estão associados os fenômenos
transitórios, principalmente aqueles devido aos chaveamentos. Nesta
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seção apresenta-se o fenômeno da sobretensão transitória devido à
remoção de um curto-circuito por um disjuntor. O circuito mais simples
para ilustrar esse fenômeno que ocorre entre os terminais de um
disjuntor, no momento da extinção da corrente de curto-circuito, é
apresentado na figura a seguir. Nesta figura representa-se o sistema
supridor por uma fonte de tensão em série com uma indutância (L) que
é determinada pelo nível de curto circuito do sistema. A capacitância
(C) representa a capacitância de fuga de buchas, isoladores, TC’s e
cabos. Neste circuito desprezam-se todas resistências elétricas que o
sistema poderia apresentar. Considera-se que a corrente de curto-
circuito, no momento de sua interrupção, já tenha atingido o seu valor
de regime permanente, isto é, a componente CC já tenha
desaparecido.
Interrupção de um curto-circuito
A corrente de falta não se extinguirá pela simples abertura dos
contatos do disjuntor, pois devido à presença do indutor, esta não
deverá variar subitamente. Após a abertura dos contatos do disjuntor a
corrente poderá continuar fluindo através de um arco que se forma
entre os contatos do disjuntor. Para se ter êxito na interrupção da
corrente é necessário controlar o arco para extingui-lo, e diferentes
tipos de disjuntores que usam métodos distintos para isto. A
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interrupção deve acontecer quando a corrente atinge o valor nulo, pois
o arco se apaga neste instante. Em sistemas de corrente alternada
isto ocorre duas vezes por ciclo. A tensão sobre a capacitância de
fuga do sistema, que é a mesma através dos contatos do disjuntor, é a
tensão do arco. Em sistema de alta tensão a tensão do arco é
relativamente pequena quando comparada com a tensão do sistema e
pode ser desprezada sem prejuízo na precisão dos resultados. Já em
sistemas de baixa tensão, esta pode ser mais significativa e deve ser
considerada. Em uma primeira análise a tensão do arco será
desprezada. Feita essas considerações, quando a corrente passar por
zero a corrente de curto-circuito será interrompida. Nesse momento, a
tensão da fonte será máxima, visto que o circuito é puramente
indutivo. O fenômeno da tensão de restabelecimento começa nesse
instante ao qual é atribuído t = 0. Então, a equação diferencial
representativa do circuito elétrico é dada por:
CVdt
dIL)t(V +=
Na equação acima, o objetivo é determinar a tensão sobre a
capacitância. Observando que após a interrupção do curto-circuito, a
corrente somente poderá fluir através da capacitância e a mesma está
relacionada com a tensão por:
dt
dVCI c=
Substituindo o valor da corrente I na equação anterior e considerando:
tcosV)t(V m ω=
Chega-se a:
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tcosVLC
VLCdt
VdmC
c ω=+11
2
2
Como já visto anteriormente:
LC
10 =ω
Antes de apresentar a solução da equação diferencial é
conveniente fazer uma análise física do problema. Em regime
permanente, a tensão sobre a capacitância, ou seja, sobre os contatos
do disjuntor, deverá ser a tensão da fonte, porém, no instante da
interrupção da corrente (t = 0), a tensão é a tensão do arco
considerada nula. Como a capacitância não permite variação súbita de
tensão, deverá haver um período transitório para carregar C através
da indutância L. O circuito LC já mostrado anteriormente apresenta
oscilações na frequência natural (ωo). As condições iniciais para a
solução da equação diferencial são:
00 =)(V C – despreza-se a tensão no arco;
00
0 ==′
C
)(I)(V C - pois I(0) = 0 no instante da abertura.
Então, a solução da equação diferencial será:
[ ]tcostcosV)t(V mC 022
0
2
0 ω−ωω−ω
ω=
Essa expressão representa a tensão que ocorrerá entre os
contatos do disjuntor após a interrupção da corrente no instante em
que a mesma possa por zero. Em geral, ωo >> ω por isto, durante o
período de interesse que corresponde ao intervalo durante o qual a
frequência natural de oscilação (ωo) persiste, o termo relacionado com
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30
a frequência do sistema (ω) varia muito pouco e para esta região é
justificável a aproximação:
[ ]tcosV)t(V mC 01 ω−=
A figura a seguir ilustra a tensão sob análise. É conveniente
observar que a figura ilustra a situação anterior ao instante da
interrupção e aquela após a eliminação da corrente. É também
interessante salientar que o efeito amortecedor das resistências não
foi incluído nas deduções. Na figura constata-se a inexistência de
amortecimento na oscilação de frequência natural ωo. A tensão VC ,
que é a própria tensão de restabelecimento, tem um valor máximo que
se aproxima de 2Vm.
Comportamento da tensão de restabelecimento sem amortecimento
Geralmente, L, C ou ambos são muito pequenos, portanto, a
frequência natural de oscilação é muito alta e tensão de
restabelecimento crescerá muito rapidamente. Se esta taxa de
crescimento da tensão de recuperação exceder a taxa de
recomposição da rigidez dielétrica do meio entre os contatos, ocorrerá
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a reignição do arco e a corrente de curto-circuito não será
interrompida. Isso fará com que o disjuntor conduza a corrente de falta
por, no mínimo, mais 1/2 ciclo.
É evidente que a taxa de crescimento da tensão de recuperação
(TCTR) é um fator muito importante para a seleção adequada de um
disjuntor. A TCTR proporciona uma medida da severidade da
operação do disjuntor. Naturalmente, os maiores valores de TCTR são
encontrados em sistemas com altas frequências naturais. A definição
e a forma básica de cálculo desta grandeza é apresentada a seguir.
4.1 – Taxa de Crescimento da Tensão de Restabelecimento –
TCTR
A variação de tensão na capacitância mostra que a TCTR é
variável desde o valor nulo da tensão até o seu valor máximo.
Iniciando por um valor nulo crescendo até um valor máximo e depois
decrescendo até se anular quando a tensão atinge o seu valor
máximo. Para o cálculo da TCTR considera-se uma taxa constante
que promove a variação de tensão no mesmo intervalo de tempo.
Assim definida a TCTR pode-se escrever:
0
0
42
2
2fV
LC
V
T
V
t
VTCTR m
mm ===∆
∆=
π
Pode acontecer que a corrente de falta não seja simétrica
dependendo do valor instantâneo da tensão no momento em que
ocorrer o curto-circuito. O disjuntor novamente irá interromper a
corrente nula e a tensão oscilará em torno do valor instantâneo da
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32
tensão de alimentação que será menor que o valor máximo Nesse
caso, a TCTR será menor. A tensão do arco e a sua resistência
também podem alterar o valor da TCTR
Exemplo
Considerando um reator de núcleo de ar limitador de corrente de
curto-circuito, possuindo uma indutância de 1 mH e uma capacitância
de fuga de 400 pF, interligando um barramento infinito de 13,8 kV a
um disjuntor, o qual é solicitado a interromper uma falta na sua saída.
Determinar a TCTR no momento da abertura do disjuntor.
s/rd,o
6
123105811
1040010
1×=
××=ω
−−
kHz,fo 62512
0 =π
ω=
s/kV,,,
TCTR µ=××××
= 34111062513
81324 3
4.2 – Amortecimento da Taxa de Crescimento da Tensão de
Restabelecimento
Em alguns tipos de disjuntores, os contatos principais possuem
resistores em paralelo que têm duas funções:
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i) em disjuntores com várias câmaras de extinção de arco, os
resistores ajudam a distribuir a tensão de restabelecimento
mais uniformemente entre as várias unidades de
interrupção;
ii) os resistores reduzem a taxa de crescimento da tensão de
recuperação no instante da interrupção, introduzindo
amortecimento no fenômeno transitório.
O primeiro item poderia ser satisfeito utilizando uma resistência
relativamente alta; com a restrição de que a mesma fosse baixa
quando comparada com a reatância capacitiva em paralelo com
os interruptores à frequência do transitório de recuperação. Para
satisfazer o segundo item, é necessário um resistor de valor bem
mais baixo.
A figura a seguir mostra um circuito representando um
disjuntor com um resistor em paralelo com os contatos principais.
A indutância L representa a indutância do sistema e a
capacitância representa a capacitância de fuga nos terminais do
disjuntor. Quando a corrente de falta for interrompida, uma
corrente residual poderá fluir pelo resistor R. Esta corrente será
interrompida subsequentemente à corrente de falta através dos
contatos auxiliares representados pela chave S.
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34
Considerando que a função principal do resistor R é reduzir
a TCTR a níveis aceitáveis pelo disjuntor, e para isto, deve-se
reduzir o valor do primeiro pico da tensão de restabelecimento,
apresenta-se a seguir uma formulação com base nessa redução.
Seja Vp o valor desejável do primeiro pico da tensão de
restabelecimento e Vm o valor de pico da tensão da fonte.
Através dos equacionamentos obtidos para circuitos
amortecidos, chega-se à expressão que determina o valor do
resistor a ser colocado em paralelo com os contatos principais do
disjuntor. Essa expressão é apresentada a seguir.
1
12
2
0 +
−
π×=
m
p
V
Vln
ZR
Onde Z0 é a impedância dada por:
C
LZ =0
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35
Exemplo
Um disjuntor deve ser instalado em um barramento de 345 kV e
nível de curto-circuito 25.000 MVA, conforme mostra a figura. A
capacitância de fuga do barramento incluindo a do disjuntor é
25.000 pF. Deseja-se utilizar um resistor em paralelo com os contatos
principais do disjuntor para limitar a TCTR em 7,0 kV/µs. Determinar o
valor da resistência R a ser utilizada e comprovar através de
simulação a eficiência do valor calculado.
Pelo nível de curto-circuito especificado tem-se
( )Ω=== 7614
00025
34522
,.MVA
kVX Lcc
mH,,
Lcc 6312602
107614 3
=×π×
×=
Então, pode-se determinar a impedância Z0 e a frequência de
oscilação do circuito ω0 após a interrupção da corrente de curto-
circuito como a seguir:
Ω=×
×=
−
−
747101025
1063129
3
0 ,,
Z
s/rd,,
3
120 10285610256312
1×=
××=ω
−
A TCTR sem amortecimento é determinada por:
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36
s/kV,,
TCTR µ=×π
××
××= 0910
102
102856
3
345246
3
A redução da TCTR de 10,09 kV/µs para 7,0 kV/µs significa reduzir o
primeiro pico da tensão de recuperação na mesma proporção, quando
se considera que os picos de tensão, nas situações de amortecimento
e sem amortecimento, acontecem no mesmo instante. Isto não é
exatamente o que ocorre, mas é uma boa aproximação, assim:
3910910
072,
,
,
V
V
m
p=
×=
Logo, calculando o valor da resistência, tem-se:
( )Ω=+
−
π×= 1123011
13912
747102
,.,ln
,R
A simulação do circuito anterior conduziu aos seguintes resultados
apresentados a na figura a seguir. A figura (a) mostra o oscilograma
da tensão de recuperação em duas situações distintas. A curva
oscilatória com maior valor de pico mostra a tensão de recuperação
sem a utilização do resistor de amortecimento e a curva amortecida
mostra a tensão no caso da utilização resistor calculado anteriormente
(1.230,11 Ω). A figura (b) mostra um zoom do oscilograma da figura (a)
focado no primeiro pico da tensão. Os valores de pico das duas curvas
e seus respectivos instantes de ocorrência são assinalados. Da figura
(b) têm-se os valores do primeiro pico da tensão amortecida (390,81
kV) e o tempo em que ele ocorre (58,19 µs). Logo, a TCTR é
determinada por:
s/kV,,
,TCTR µ726
1958
81390==
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37
Estes resultados comprovam a eficiência da técnica.
5 – Chaveamento de cargas:
As funções mais frequentes de alguns dispositivos de
chaveamentos são fechar e abrir circuitos de cargas, as quais, na
maioria dos casos, podem ser representadas por um circuito RL
paralelo. As cargas de baixo fator de potência são predominantemente
indutivas e as de alto fator de potência predominantemente resistivas.
Quando uma chave interrompe a alimentação deste tipo de carga, a
capacitância efetiva da carga torna-se importante para a determinação
do fenômeno transitório gerado. O circuito resultante de tal operação
de chaveamento é apresentado a seguir juntamente com o
comportamento da tensão entre os terminais da chave
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38
A carga da figura anterior possui um fator de potência
relativamente alto, visto que a defasagem entre a tensão e a corrente
é pequena. Quando a corrente se extingue, o valor instantâneo da
tensão é V(0). Este valor é, portanto, a tensão da carga no início do
processo transitório, ou seja, o valor inicial da tensão na capacitância
C. Após a interrupção da corrente, a capacitância se descarregará
sobre a indutância e a resistência do circuito estabelecendo uma
tensão oscilatória amortecida na carga. A constante de tempo de
amortecimento da tensão, nesse caso, é dada por: Tp = RC. A
expressão que descreve o comportamento da tensão na carga é
apresentada a seguir.
−η
−η
−
−η=
−
14
214
2140
2
2
22 p
p
T
t
C
T
tsen
T
tcose)(V)t(V p
Onde η representa a relação entre a resistência e a impedância
característica do circuito Z0 .
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39
L
CR
Z
R==η
0
É importante analisar o efeito do fator de potência no
comportamento transitório do circuito. Quando o fator de potência
cresce a corrente vai se tornando mais em fase com a tensão, assim,
o valor inicial da tensão transitória V(0) diminui. Na condição de fator
de potência unitário V(0) = 0, consequentemente não haverá
transitório. Portanto, o fator de potência é o elemento principal para o
controle da magnitude do transitório do chaveamento analisado.
Se neste caso for desejável analisar a corrente no indutor,
considerando as mesmas condições que conduziram à expressão de
tensão, tem se:
−η××
−η×=
−
p
T
t
p
LT
tsene
T
L
)(V)t(I p
214
14
20 22
2
Exemplo
No circuito abaixo, o capacitor está carregado com uma tensão
de 20 kV quando a chave S fecha (instante t = 0). Conhecendo os
parâmetros do circuito, determinar o valor do primeiro pico da corrente
no indutor e o instante, após o fechamento da chave, em que ele
ocorre.
Dados: R = 430 Ω; C = 0,10 µF; L = 8,0 mH
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40
Pelos parâmetros do circuito pode-se determinar:
Ω=×
×=
−
−
8428210100
10086
3
0 ,,
,Z
52184382
430,
,==η
s,Tp µ=××= − 4310100430 6
Para determinar o instante exato em que ocorrerá o primeiro pico da
corrente, pode-se utilizar uma expressão, derivada da equação da
corrente aplicando-se os conceitos de máximos e mínimos, mostrada
a seguir:
142
14 22 −η=
−η
pT
ttg
( ) 8721038331521410432
1521432
4
2,t,tg,
t,tg =××⇒−×=
××−×
−
( )s,
,
,tgt µ=
×=
−
0237103833
28703
1
O valor de pico da corrente será:
A,
,sene,
.)t(I
,
L 46432
0237872
872
10432
108
00020432
02376
3=
×××
×××
×= ×
−−
−
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41
5.1 – Transitórios Anormais Devido a Chaveamentos:
Foi verificado que a abertura de um disjuntor pode ser
acompanhada de picos de tensão de restabelecimento, que
teoricamente atingem um valor duas vezes maior que a tensão de pico
do sistema. Do mesmo modo, pode ser visto que, quando uma chave
fecha um circuito indutivo, a corrente de pico pode atingir duas vezes o
valor da corrente de pico de regime permanente. Estes transitórios são
chamados de transitórios de tensão ou corrente normais. Na verdade,
correntes e tensões com essas amplitudes não acontecem por causa
do amortecimento sempre presente. Existem, entretanto,
circunstâncias sob as quais as tensões e correntes podem exceder em
muito estes valores (2,0 pu). Estes transitórios são ditos transitório
anormal de tensão ou corrente. Tais transitórios têm causa comum.
Envolvem o armazenamento de energia em algum lugar do circuito e
sua consequente liberação.
Do precedente, conclui-se que, se um circuito não tem energia
armazenada quando se inicia um transitório, este será normal. Já foi
visto que as condições iniciais de tensão nos capacitores e corrente
nos indutores influenciam nos transitórios. Essas condições
descrevem a condição de energia do sistema antes do transitório.
Quando uma destas condições iniciais for diferente de zero, existe
possibilidade de se desenvolver um transitório anormal.
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42
5.2 – Corte de corrente indutiva
Quando uma corrente relativamente pequena for interrompida
por um disjuntor, a ação dos dispositivos de supressão de arco pode
fazer com que a corrente seja levada a zero abrupta e
prematuramente antes do zero normal. Isto é chamado de corte de
corrente (“current chopping”) e é uma forma de supressão de corrente
que pode dar origem a um transitório anormal, em virtude da energia
magnética associada à corrente que fica armazenada no circuito. Este
fenômeno é frequentemente observado quando a corrente de um
transformador a vazio (corrente de magnetização) é interrompida. A
figura a seguir ilustra este fato.
Corte de corrente indutiva a) Sistema com disjuntor e um transformador em
vazio
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43
b) Circuito equivalente c) Instante do corte de corrente
Seja I0 o valor da corrente no instante do corte. Como está
fluindo no enrolamento o transformador, a esta corrente está
associada uma energia magnética dada por:
2
02
1ILE mL =
Embora I0 seja pequena (de 1 a 5 % da corrente plena carga do
transformador) a indutância de magnetização é bem alta, de modo que
essa energia pode ser considerável. A corrente não pode variar
abruptamente em um circuito indutivo, embora após a interrupção da
corrente o circuito não se fecha pela chave. A corrente deve, portanto,
desviar-se pela capacitância C, que consiste principalmente da
capacitância de fuga do enrolamento do transformador. Tem-se então,
a formação de um circuito oscilador constituído por Lm e C. Se o
amortecimento for ignorado, tem-se que, quando a energia magnética
for transformada em energia armazenada no campo elétrico do
capacitor, a tensão nos terminais deste pode ser calculada por:
2
0
2
2
1
2
1ILCV m=
ou
000 IZC
LIV m ==
Assim a tensão de pico no capacitor e também no enrolamento é
o produto da corrente instantânea cortada pela impedância de surto do
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44
transformador. Um fato notável é que a tensão V independe da tensão
do sistema.
É importante observar que na figura anterior admitiu-se a
hipótese de que o corte de corrente foi efetuado quando a mesma
passava pelo seu valor máximo. Isto implica que, para tal situação,
devido às características do circuito, a tensão estaria passando por um
valor nulo. Com base nesses fatos, conclui-se que a tensão inicial do
capacitor seria nula e consequentemente todo o fenômeno transitório
estaria somente associado ao corte de corrente. Imaginando-se que o
corte é realizado em outro ponto qualquer, então a tensão inicial do
capacitor será diferente de zero. Nestas condições dois fenômenos
existirão simultaneamente.
Exemplo:
Um banco de transformadores trifásicos ligação estrela aterrada /
estrela aterrada de 3 MVA, 13,8 kV 60 Hz, é composto por três
unidades monofásicas de 1 MVA cada. O valor eficaz da corrente de
magnetização é 0,87 A, sendo o valor de pico 1,44 A. A capacitância
de fuga do sistema do lado do primário do transformador é 5.000 pF.
Determinar o valor de pico da sobretensão transitória se a corrente for
interrompida quando estiver passando pelo seu valor de pico.
Do enunciado sabe-se que VC(0) = 0 e I(0) = 1,44 A, logo o valor de
pico da tensão transitória pode ser determinada por: 000 IZC
LIV m == .
Então,
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45
H,,
Lm 29243778703
13800=
××=
Ω=×
=−
k,,
Z 7069105000
2924120
kV,,,V 371007069441 =×=
Considerando o valor de pico da tensão nominal do enrolamento
(11,27 kV), então, o valor da sobretensão calculada é muito acima dos
valores considerados normais para os transitórios (8,91 pu.).
Na prática, a tensão não atingiria o valor encontrado acima, isto
é devido, em parte, ao amortecimento provocado pelas perdas e,
principalmente, porque uma fração da energia armazenada é perdida
no ciclo de histerese. A figura a seguir ilustra tal situação.
Energia liberada pelo núcleo ferromagnético do transformador quando a corrente
de magnetização é cortada
Enquanto o transformador está sendo energizado, percorre-se
um ciclo de histerese na frequência de alimentação. De Q até X a
energia está sendo cedida ao núcleo; de X a Z ela está sendo
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46
devolvida à fonte. De Z a P ela é novamente cedida ao núcleo e de P
a Q retorna à fonte. Uma quantidade de energia proporcional à área
do ciclo de histerese é perdida por ciclo. Quando a corrente é máxima
a energia é proporcional à área do triângulo OXY e está armazenada
no ferro. Quando a corrente cai a zero (ponto Z), a energia
proporcional à área XYZ é recuperada, o restante é perdido no núcleo.
Se a corrente for interrompida no pico, esta será a energia transferida
à capacitância de fuga do transformador. Para os núcleos magnéticos
fabricados atualmente, a área XYZ é 40% ou menos de OXY, de modo
que, no pior caso, a sobretensão devido a esse efeito será:
2
0
2
2
140
2
1IL,CV m×=
de onde:
000 632040 IZ,C
L,IV m ×=×=
O alto valor da sobretensão anormal tende a cair quando a
classe de tensão do transformador aumenta.
Reatores com núcleo de ar ou com “gaps” significativos não se
comportam do mesmo modo. Neste caso, toda a sua energia é
recuperável. Tais reatores são usados como “shunt” para terra a fim
de compensar a capacitância das linhas de transmissão. Estes
reatores geralmente são protegidos por pára-raios para limitar
sobretensões quando são desligados da rede.
Agora será considerada uma análise mais rigorosa do problema
do corte de corrente envolvendo amortecimento e tensão inicial na
capacitância. Após a interrupção da corrente realizada pela abertura
da chave, obtém-se:
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0=++ CLR III
01
=++ ∫ dt
dVCVdt
LR
V
de onde chega-se a equação diferencia que descreve o fenômeno:
01
2
2
=++LC
V
dt
dV
RCdt
Vd
As condições iniciais agora são:
V(0) – valor da tensão quando a chave corta a corrente
V’(0) = I(0)/C este valor é obtido com base no fato de que no
instante após o corte a corrente se desvia para o capacitor.
A solução para a tensão no circuito é:
−η
−η+
+
−η
−η+
−η=
−
−−
p
T
t
p
T
t
p
T
t
T
tsen
e)(I
T
tsen
e
T
tcose)(V)t(V
p
p
p
214
140
214
142140
2
2
2
2
2
2
22
O primeiro termo da expressão acima representa o transitório
normal que ocorreria se o transformador fosse desconectado da fonte
sem corte de corrente, ou seja, a abertura da chave se daria quando a
corrente passasse pelo valor zero. Este termo representa o transitório
da capacitância do transformador descarregando através da
indutância de magnetização Lm. O segundo termo é uma
consequência direta do corte de corrente e é potencialmente capaz de
criar sobretensões anormais. Quando V(0) = 0 e R→ ∞, tem-se:
=
CL
tsen)(IZ)t(V
m
00
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48
A expressão acima mostra que o valor de pico da tensão é o
mesmo estabelecido anteriormente e a tensão oscila na frequência
natural do circuito.
Embora o corte de corrente seja um perigo em potencial, na
prática os circuitos de potência frequentemente não o apresentam. Por
exemplo, a existência um comprimento considerável de cabo entre o
disjuntor e o transformador que deve ser desconectado pode reduzir
muito a impedância de surto Z0 do circuito e assim reduzir as
sobretensões para um dado corte de corrente.
Os motores podem também estar sujeitos a sobretensões devido
ao corte de corrente, mas, em geral, as suas impedâncias de surtos
são menores que as dos transformadores de porte correspondente.
Isto porque a indutância é mais baixa e sua capacitância é mais alta
do que a de transformadores.
É interessante observar que para os casos acima citados o corte
de corrente foi considerado processado de forma súbita. Caso a
mesma variação seja realizada mais lentamente, o valor da
sobretensão será bastante reduzido.
5.3 – Chaveamento de Capacitores:
Quando um capacitor é conectado à uma fonte e tensão CA,
uma corrente transitória de carga é estabelecida, a qual apresenta
como principais característica uma elevada magnitude e cura duração.
A parcela mais importante desta corrente transitória de alta frequência
inicia e termina em uma pequena fração de um ciclo da frequência da
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49
rede. A magnitude atingida por este transitório é maior se a tensão
passa pelo valor de pico quando o chaveamento ocorre. As correntes
transitórias de um banco de capacitores trifásicos, quando este banco
e a fonte encontram-se conectados em estrela aterrada, são iguais
àquelas que ocorrem quando se considera apenas o banco
equivalente a uma fase conectado entre fase e neutro. Em sistemas
com bancos trifásicos ligados em estrela com neutro isolado ou
ligados em triângulo, as correntes transitórias serão também
semelhantes. Nesta seção, os estudos de transitórios de chaveamento
de bancos de capacitores serão realizados considerando apenas uma
fase. Como a frequência de oscilação do transitório é muito maior que
a frequência da rede, as formulações serão baseadas na aplicação de
tensão contínua com valor igual ao valor de pico da tensão alternada.
A figura a seguir mostra um circuito onde uma fonte de tensão
contínua é aplicada ao capacitor C.
Circuito equivalente para estudo de chaveamento de capacitores
Conforme já apresentado no início deste estudo, se a
resistência R for nula, a corrente transitória teria uma forma de onda
senoidal oscilando em alta frequência. A expressão da corrente,
também já estabelecida inicialmente é:
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tsenItLC
sen
C
L
V)t(I tm
m
0
1ω==
onde:
Itm – é o valor de pico da corrente transitória;
ω0 – é a frequência angular de oscilação da corrente.
A presença da resistência R causa um amortecimento do
transitório de corrente fazendo com que o mesmo tenha pequena
duração. A tensão do capacitor aproxima-se de forma oscilatória, à
tensão da fonte. Para a determinação do primeiro valor de pico da
corrente, a resistência R é usualmente desprezada. O valor máximo
assim obtido para Itm é calculado com um pequeno erro, porém de
forma mais simples.
Considerando que para os instantes iniciais a resistência pouco
afeta nos resultados, então:
C/L
VI m
tm =
A expressão acima pode ser alterada para uma forma mais
prática, conforme é realizado a seguir.
A corrente será expressa como um múltiplo do valor de pico da
corrente nominal do banco de capacitor, ou seja, a corrente de regime
permanente. As reatâncias em 60 Hz (XL e XC) são empregadas em
substituição a L e C. Estas reatâncias serão expressas em valores por
unidade ou porcentuais na base de potência e tensão do banco de
capacitores. Sob tais condições tem-se:
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CL
m
tmXX
VI
×=
baseCL
basem
base
tm
Z/XX
)V/(V
I
I
×
×=
×
2
2
)pu(X)pu(X
)pu(V)pu(I
CL
m
tm×
=
Empregando como valores base, a tensão e a corrente do
capacitor, então:
Cbase XkVAr
kVZ =
×=
10002
onde:
kV - tensão de linha nos terminais do banco de
capacitores;
kVAr – potência do banco de capacitores;
XC – reatância capacitiva por fase em ohms.
O valor da reatância indutiva XL do sistema em por unidade da
reatância capacitiva será:
)ohms(X
)ohms(X
)ohms(Z
)ohms(X)pu(X
C
L
base
L
L ==
Como Vm(pu) =1,0 e XC(pu) = 1,0, finalmente chega-se a:
)pu(X)pu(I
L
tm
1=
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52
Exemplo:
Seja um banco de capacitores de 2520 kVAr conectado a uma
linha de 13,8 kV. A reatância total da fonte é de 7,55 Ω por linha. Qual
o valor de pico da corrente transitória de energização do banco?
Ω=×
== 57752520
1000813 2
,,
XZ Cbase
pu,,
,)pu(X L 100
5775
557==
pu,,
)pu(I tm 163100
1==
A,,
I n 431058133
2520=
×=
A,,,I tm 16471163431052 =××=
5.4 – Chaveamento de Capacitores em paralelo.
Quando um capacitor já se encontra energizado e um segundo
capacitor é chaveado, dois distintos transitórios ocorrem. O primeiro
transitório envolve a fonte e o capacitor chaveado, o segundo envolve
o(s) capacitor(es) que se encontrava(m) energizado(s) e o que está
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sendo chaveado. Como o segundo efeito é muito mais relevante que o
primeiro, é usual tratar o transitório considerando apenas o fenômeno
entre os dois capacitores, para tanto, seja a figura a seguir, indicando
o sistema sob análise.
Na figura:
Vm = tensão de pico a fonte
XL2 = reatância indutiva em 60 Hz da fonte
XC2 =reatância do capacitor em 60 Hz já energizado.
XL =reatância indutiva em 60 Hz entre os bancos de capacitores.
XC1 = reatância do capacitor em 60 Hz a ser chaveado.
Usualmente, a reatância XL é bastante pequena quando
comparada ao valor de XL2 , então uma corrente equalizadora de alta
frequência e magnitude se estabelece entre XC1 e XC2. Posteriormente
o fenômeno é seguido por uma corrente transitória menor e de
frequência mais baixa, que é o resultado da interação entre a fonte e o
banco completo (XC1 +XC2). Este último fenômeno conforme discutido
anteriormente é de importância secundária e pode normalmente pode
ser ignorado. Após tais considerações resulta o circuito da figura a
seguir. Na figura admite-se que a tensão do capacitor já energizado é
igual à da fonte, ou seja, despreza-se a queda de tensão entre a fonte
e o capacitor C2 quando a chave se encontrava aberta.
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54
Os dois valores de capacitores podem ser combinados conforme
indica a figura a seguir, onde são indicados todos os parâmetros já em
valores por unidades. Para realizar a soma das capacitâncias é
necessário exprimir a reatância do capacitor que se encontrava
energizado (XC2(pu)) em valor por unidade na base do capacitor que
está sendo chaveado (XC(pu) = XC1(pu) + XC2(pu)). Por exemplo, se o
capacitor a ser conectado tem a mesma potência que aquele que se
encontra em operação, então XC(pu) = 2 pu. Se a potencia do
capacitor já em funcionamento for 4 vezes à daquele que está sendo
chaveado, então XC(pu) = 1,25 pu.
O circuito da figura acima é semelhante àquele da figura do
início desta sessão, de forma que o valor aproximado do pico da
corrente transitória pode ser calculado através da equação.
)pu(X)pu(X
)pu(V)pu(I
CL
m
tm×
=
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55
5.5 – Desligamento de banco de capacitores.
A operação de desligamento de capacitores, tal como ocorre
quando uma longa linha operando em circuito aberto é chaveada ou
quando um banco de capacitores é desconectado, pode apresentar
condições drásticas de operação e tem sido tradicionalmente um
desfio para os engenheiros envolvidos com as técnicas de
chaveamentos. A figura a seguir ilustra os eventos que ocorrem antes
e após a operação de desligamento do capacitor, a qual, conforme
ilustrado, foi realizada com sucesso devido à diferença do ângulo de
fase entre a corrente e a tensão (90o) o capacitor encontra-se
carregado com a tensão de pico da fonte no momento da interrupção
da corrente. O capacitor, agora isolado da fonte, mantém sua carga
conforme mostra a figura (b). Com este armazenamento de tensão,
conforme mostra a figura c, depois de transcorrido meio ciclo, a tensão
através dos contatos da chave atinge um valor igual a duas vezes o
valor de pico da fonte, valor este, potencialmente perigoso.
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56
Desligamento de banco de capacitores.
(a) Corrente e tensão do sistema (b) Tensão no capacitor (c) Tensão entre os terminais do disjuntor
Na realidade, o tratamento anterior foi bastante simplificado, já
que ser considerou a tensão no capacitor de mesmo módulo que a
tensão de alimentação. Isto não acontece porque a corrente que flui
no capacitor faz com que o circuito apresente regulação negativa
(efeito Ferranti).
Quando o capacitor for desconectado, a tensão do disjuntor do
lado da fonte retornará ao valor mais baixo, mas isto acontecerá
através de uma oscilação envolvendo a indutância da fonte e a
capacitância de fuga adjacente ao disjuntor do lado da fonte. O efeito
da desconexão é mostrado de modo mais preciso na figura a seguir. O
valor ∆V é a variação de tensão que responsável pela regulação
negativa.
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O efeito da regulação negativa não será levado em conta na
análise seguinte, muito embora se saiba que ele existe e que pode ser
importante em alguns casos.
Muitos disjuntores quando solicitados a interromper uma carga
ou corrente de falta, não conseguem extinguir o arco na primeira vez
em que a corrente se anula; ao invés disso, esperam até que se tenha
estabelecido um “gap” suficientemente grande para melhorar a
possibilidade de êxito na operação. No caso de chaveamento de
capacitância a corrente é, em geral, pequena, de forma que é comum
que o disjuntor interrompa a corrente no seu primeiro valor zero. Se
isto ocorre logo depois da separação dos contatos, aparecerá uma
tensão de 2Vm entre eles enquanto a sua separação é pequena. Deste
modo há possibilidade de reignição do arco. Suponha que aconteça
uma reignição precisamente quando a tensão atinge o seu valor de
pico. Isto equivale a tornar a fechar a chave naquele instante. Como o
problema está relacionado a um circuito LC, espera-se que ele
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58
responda a esta perturbação súbita de uma oscilação na sua
frequência natural.
LCf
π=
π
ω=
2
1
2
00
onde
L – indutância do sistema supridor;
C – capacitância do banco de capacitores ou associação destes.
Com base no circuito anterior, pode-se determinar a expressão
de I(t) após a ocorrência da reignição. A equação diferencial é:
tcosV)t(Vdt
dIL mC ω=+
As condições iniciais são:
L
)(VV
L
)(V)(I
)(I
CmL 000
00
−==′
=
A corrente é determinada por:
tsenZ
)(VVtsen
L
)(VV)t(I CmCm
0
0
0
0
00ω
−=ω
ω
−=
onde Vm – VC(0) é a tensão entre os terminais do disjuntor quando
este retornar a conduzir.
Exemplo
Determinar o pico de corrente após a primeira reignição que
poderá ocorrer quando do desligamento de um banco de capacitores
trifásico de 5000 kVAr, 15 kV, 60 Hz. Sabe-se que a indutância do
sistema de alimentação é 1 mH.
A,I n 45192153
5000=
×=
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59
F,C µ=×
×=
−
945815377
1050002
3
Para a primeira reignição o pico de corrente será:
A,
,
Z
)(VVI Cm
max 765946
109458
1013
15220
6
30
=
×
××
××=
−=
−
−
Este resultado é cerca de 31 vezes a corrente nominal do banco
de capacitores. A frequência da corrente de recondução é:
Hz,,LC
f 56655109458102
1
2
1
630 =
××π=
π=
−−
Exemplo
Considere-se o seguinte sistema a ser simulado: Uma
subestação de 69/13,8 kV e um nível de curto-circuito de 1000 MVA
suprindo uma carga industrial através de um transformador de
225 kVA e 13,8/0,38 kV. Para correção do fator de potência, a
subestação possui um banco de capacitores de 6 MVAr e a carga
industrial um de 40 kVAr. Este trabalho consiste em fazer uma
simulação do sistema elétrico objetivando analisar os transitórios de
tensão na subestação e na carga sob diferentes possibilidades de
chaveamentos dos bancos de capacitores. Para isto, considera-se o
sistema representado por apenas uma fase e sem perdas, sendo
desprezada a impedância do sistema de distribuição que liga a
subestação à carga. A figura a seguir mostra o diagrama unifilar do
sistema.
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Deseja-se analisar os transitórios de tensão sob as seguintes
situações de chaveamentos:
1) A chave k1 é fechada quando a chave k2 está aberta;
2) A chave k2 é fechada quando a chave k1 está aberta;
3) A chave k1 é fechada quando a chave k2 está fechada;
4) A chave k2 é fechada quando a chave k1 está fechada;
Para solução deste exercício, consideram-se os parâmetros do circuito
equivalente referidos à tensão de 13,8kV. Dessa forma, as
sobretensões transitórias na S.E. e na carga podem ser diretamente
comparadas.
mH.,
,L,
,X SESE 500
3770
190190
1000
813 2
==⇒Ω==
F,,,
C,,
X C µ578337707431
107431
6
813 3
1
2
1 =×
=⇒Ω==
mHLX TT 57,13377,0
11,593,1
225,0
8,13045.0 2
==⇒Ω=×
=
FCX C µ56,0377,04761
1000,761.4
04,0
8,13 3
2
2
2 =×
=⇒Ω==
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61
A figura a seguir mostra o circuito equivalente simplificado
utilizado na simulado. Na simulação, as chaves fecham no tempo zero,
quando a fonte está passando pelo seu valor máximo. Isto garante
uma maior sobretensão.
Os resultados são apresentados nas figuras a seguir.
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63
6 - Ondas Viajantes em Linhas de Transmissão
Para o estudo de linhas de transmissão, existem várias maneiras
de se representar uma linha. Cada uma delas tem uma aplicação bem
definida quer seja no estudo em regime permanente, em que se a
analisa a linha no domínio da frequência, ou no regime transitório, no
qual a análise deve ser feita no domínio do tempo. Para os objetivos
propostos, os estudos aqui realizados deverão ser analisados no
domínio do tempo. Para estes estudos, as duas formas para
representar uma linha de transmissão são a representação por
parâmetros concentrados, neste caso a linha é subdividida em várias
células iguais de circuitos π’s ou o equivalente, ou a representação da
linha por parâmetros distribuídos, aplicando a teoria de ondas
viajantes em uma linha de transmissão. Neste item será abordada
somente a teoria das ondas viajantes.
6.1 - Circuitos com Parâmetros Distribuídos:
Na maioria das vezes, os parâmetros R, L e C considerados nas
representações dos sistemas elétricos são concentrados, ou poderiam
ser assim aproximados. Entretanto, percebe-se que na realidade estes
parâmetros são distribuídos em qualquer parte do equipamento ou
circuito elétrico. Contudo, existem partes importantes do sistema
elétrico de potência nas quais esta representação é inadequada,
devido às aproximações que são muito grandes. O exemplo mais
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óbvio deste fato são as linhas de transmissão. Nas linhas de
transmissão, cada metro de seu comprimento é muito semelhante a
outro qualquer. Estas possuem indutância, capacitância e resistência
que são grandezas verdadeiramente distribuídas ao longo de seu
comprimento. O comportamento de um circuito com parâmetros
distribuídos, sua performance em propagar ondas de tensão e
corrente, e como isto ocorre, será apresentado neste capítulo, primeiro
de uma forma qualitativa, para se estabelecer uma visão física do
fenômeno e, em seguida, de forma quantitativa.
Considere o circuito a monofilar mostrado na figura a, representando
uma linha de transmissão de comprimento l. Pelo fechamento da
chave S, a linha é conectada à fonte de tensão V, considerada infinita
(impedância interna nula). A ação de fechamento da chave S pode ser
comparada à abertura de uma comporta de uma represa no início de
um canal. Quando a comporta é aberta, o canal não enche de água
instantaneamente. Em algum instante existirá parte do canal cheio de
água e parte seca e uma frente de onda de água (enxurrada)
deslocando-se no sentido de preencher todo canal, ou nivelar a
superfície de água. A analogia do canal com a linha de transmissão,
em princípio, é bastante válida para se ter uma concepção física do
fenômeno que ocorre após o fechamento da chave S.
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(a) Linha de transmissão monofilar
(b) representação por parâmetros concentrados com várias seções.
Considerando a linha da figura a divida em um grande número
de seções iguais, sendo que a cada seção é associada uma
determinada indutância Li e capacitância Ci. Assim que a chave S
fecha, a corrente parte do zero e flui através da 1a indutância L1 para
carregar o capacitor C1. Mas, tão logo o 1o capacitor tenha adquirido
algum nível de tensão, a segunda seção começa a carregar e assim
sucessivamente. Analisando, em primeiro lugar, a corrente e a tensão
na 1a seção, observa-se o seguinte: o circuito a ser analisado é um
circuito LC simples suprido por uma fonte de tensão cc, como mostra a
figura a seguir, onde a corrente (I) e as tensões (VL e VC) podem ser
estabelecidas pelas relações a seguir.
)tsen(.Z
V)t(I o
o
ω= ; )tcos(V)t(V oL ω= ; )]tcos(1.[V)t(V oc ω−= ,
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sendo: 11
oCL
1=ω ; e
1
1o
C
LZ = .
Circuito LC representativo da 1a seção.
Considerando que a linha foi subdividida em “n” células iguais
tais que:
n.CC....CCC
n.LL....LLL
n321
n321
l
l
′====
′====
onde L ’e C’ são respectivamente, a indutância [H/m] e a capacitância
[F/m] da linha por unidade de comprimento, valores que dependem
exclusivamente da geometria da linha. Dessa forma, alguns aspectos
importantes com relação ao número de seções “n” que a linha foi
subdividida, devem ser considerados:
1 – quanto maior for “n”, menor serão L1 e C1 e, portanto, maior
será a frequência de oscilação ωo;
2 – a impedância característica Zo é independente do valor de n,
C
LZo ′
′= , consequentemente o valor de pico da corrente I(t) será
sempre o mesmo;
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67
3 – no instante que corrente atingir o valor de pico a tensão no
capacitor C1 será V.
A medida que o número de células cresce, tendendo para
infinito, L1 e C1 tenderão para zero e ωo tenderá para infinito. Nesta
condição, a expressão da corrente I(t) pode ser linearizada. Fazendo
sen(ωot) ≈ ωo.∆t, então: I(t) = (V/Zo). ωo.∆t; onde ∆t é o intervalo de
tempo que a corrente leva para atingir o valor de pico, ou seja: ∆t =
1/ωo. A tensão na indutância pode ser determinada por:
V
CL.C
L
VL
dt
)tZ
V(d
Ldt
)t(dILV
11
1
1
1
o
011L ====
ω
Logo, quando ωo tende ao infinito, ∆t tende a zero. Isto quer dizer que
a corrente na primeira célula assume “instantaneamente” o valor de
pico (V/Zo) enquanto que a tensão no capacitor C1 assume o valor V.
Na próxima figura, estas considerações podem ser mais facilmente
compreendidas.
Comportamento da tensão e corrente no circuito LC, para várias frequências
de oscilação.
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68
Com essas considerações pode-se descrever o fenômeno da
propagação das ondas de tensão e corrente na linha da seguinte
forma:
i no instante t = 0 a chave S é fechada, então as condições de corrente
e tensão no indutor e capacitor da 1a célula são as seguintes: VL = V;
I = 0; Vc = 0;
ii ao fim do primeiro intervalo de tempo ∆t, a corrente no indutor e a
tensão no capacitor da primeira célula assumem os valores (V/Zo) e
(V) respectivamente, enquanto que a tensão no indutor se anula.
Neste mesmo instante, a tensão no indutor da segunda célula assume
o valor V, sendo nula a corrente no indutor e a tensão no capacitor
desta célula;
iii ao final dos intervalos de tempo ∆t’s seguintes o comportamento das
ondas de tensão e corrente nas células subsequentes serão
semelhantes ao da primeira, permanecendo constantes a tensão no
capacitor e corrente no indutor da célula anterior.
Logo, pode-se dizer que as ondas de tensão e corrente trafegam
ao logo da linha levando um tempo ∆t para deslocarem-se de uma
célula para outra. Lembrando que o comprimento de cada célula é ∆x,
determinado por: ∆x = l/n, e CL.n
o′′
=l
ω , a velocidade de propagação
das ondas de tensão e corrente na primeira célula é determinada por:
v = ∆x/∆t, ou seja:
]s/m[CL
1
′′=ν
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69
A figura a seguir mostra como se comportam as ondas de tensão
e corrente nos diversos instantes ∆t’s até a onda atingir a extremidade
final da linha.
Comportamento das ondas de tensão e corrente a cada instante ∆t até
que estas atinjam o final da linha.
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70
Ao atingir o final da linha, a condição de carga definirá o
comportamento da onda de tensão e corrente. Para que se dê
prosseguimento ao raciocínio até aqui desenvolvido, considere a linha
sem carga. Nessas condições, a corrente no indutor deverá decrescer
até se anular no instante seguinte e a tensão no capacitor deverá
duplicar de valor. A sequência mostrada na figura a seguir ilustra tal
fato.
Comportamento das ondas de tensão e corrente nos instante ∆t’s após
atingir o final da linha, estando esta sem carga.
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71
6.2 Aspectos Físicos Sobre as Considerações Feitas:
Para que a tensão no capacitor de uma célula x possa assumir o valor
de tensão V, é necessário que uma quantidade de carga elétrica ∆Q
se acumule na mesma, ou seja:
CCx V.x.CV.CQ ∆∆ ′== . Mas a variação da carga elétrica com o tempo é
acorrente no capacitor. Então, tendo-se em conta o nosso intervalo de
tempo infinitesimal ∆t, tem-se:
ν∆
∆
∆
∆.V.CV.
t
x.CI
t
QCCC
′=′== .
O fluxo magnético concatenado no indutor da célula x submetido à
corrente I é dado por: LLx I.x.LI.L ∆φ∆ ′== . A variação do fluxo magnético
com o tempo é a tensão induzida no indutor, logo:
ν∆
∆
∆
φ∆.I.LI.
t
x.LV
tLLL
′=′== .
Como a tensão e corrente no capacitor e no indutor são iguais, então
chega-se aos resultados já estabelecidos, ou seja: C.L
1
′′=ν e
C
LZ0 ′
′= . Isto vem reforçar as considerações iniciais feitas sobre a
representação da linha de transmissão com parâmetros distribuídos por um modelo infinitesimal com parâmetros concentrados. A velocidade de propagação das ondas de tensão ou corrente ao longa da linha depende exclusivamente de seus parâmetros distribuídos (L' e C') e estes de sua geometria e das propriedades eletromagnéticas do meio envolvente. Para ilustrar, considera-se que a linha monofilar apresentada na figura anterior possui uma distância d entre o condutor e sua imagem no solo suficientemente grande comparada com o raio (r) do condutor de forma que o fluxo no interior do condutor possa ser desprezado. Então, uma boa aproximação para a indutância da distribuída da linha é:
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72
]m/H[)r
dln(.L
π
µ=′
onde µ é a permeabilidade magnética do meio. Se o meio for o ar tem-
se: µ = µo = 4π107[Wb/A.m]. Para a capacitância, tem-se:
]m/F[.
)r
dln(
Cπε
=′
onde, ε é a permissividade elétrica do meio. Se o meio for o ar, tem-se: ε = εo = 8,854.10-12 [C2/(N.m2)]. Então, a velocidade de propagação de onda em uma linha aérea é determinada por:
]s/m[6,637.795.2991
)r
dln(
).r
dln(.
1
C.L
1
0ooo
===′′
=εµπε
π
µν
6.3 Formulação matemática da equação de onda:
Considere um elemento infinitesimal da linha monofilar sem perdas de
comprimento ∆x, como mostra a figura a seguir.
Elemento infinitesimal de uma linha monofilar sem perdas.
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73
Pela figura anterior, pode-se escrever as relações elementares de
variação de tensão ao longo da linha como a
seguir:dt
dIxL
dt
dILV ∆∆∆ ′−=−= ou
dt
dIL
x
V′−=
∆
∆ ; no limite
x
V
x
VLim x
∂
∂=→
∆
∆∆ 0 ;então, escrevendo em termos de derivadas parciais:
t
IL
x
V
∂
∂′−=
∂
∂
Ainda, com relação à variação de corrente tem-se:
dt
dVxC
dt
dVCI ∆∆∆ ′−=−= . Da mesma forma:
x
I
x
ILim
dt
dVC
x
Ix
∂
∂=⇒′−= →
∆
∆
∆
∆∆ 0 ;
escrevendo em termos de derivadas parciais
t
VC
x
I
∂
∂′−=
∂
∂
Estas duas relações mostram que as variações de tensão ao longo da
linha estão relacionadas com as variações de corrente no tempo
através do parâmetro distribuído L', e as variações de corrente ao
longo da linha estão relacionadas com as variações de tensão no
tempo através do parâmetro C'. Derivando a primeira expressão em
relação ao comprimento da linha e a segunda em relação ao tempo, e
fazendo as devidas substituições algébricas, e ainda procedendo de
forma inversa nas duas expressões, chega-se às relações abaixo que
definem as equações das ondas viajantes da linha de transmissão.
2
2
2
2
t
VCL
x
V
∂
∂′′=
∂
∂
2
2
2
2
t
ICL
x
I
∂
∂′′=
∂
∂
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74
Considere uma função do tipo )t.ax(e.k)t,x(f += para representar uma
onda As derivadas parciais tomadas relação x são: )t.ax(e.k
x
)t,x(f +=∂
∂ e
)t.ax(e.k
x
)t,x(f +=∂
∂2
2
; e em relação ao tempo são: )t.ax(e.a.k
t
)t,x(f +=∂
∂ e
)t.ax(e.a.k
t
)t,x(f +=∂
∂ 2
2
2
. Se f(x,t) representa uma onda, então comparando
com as equações de ondas determinadas anteriormente, ou seja:
ν±=′′±
=⇒∂
∂′′=
∂
∂
CLa
t
)t,x(fCL
x
)t,x(f 12
2
2
2
. Logo pode-se concluir que a
solução das equações diferenciais de uma linha de transmissão será
uma função f(u) tal que u = x ± vt, ou u = t ± x/v. Seja a seguinte
solução para uma equação de onda de tensão: )tx(f)tx(fV νν −++= 21,
fazendo as derivadas parciais em relação a x, tem-se:
)tx(f)tx(fx
Vνν −
′++
′=
∂
∂21
)tx(f)tx(fx
Vνν −
″++
″=
∂
∂212
2
Fazendo as derivadas em relação ao tempo:
)tx(f)tx(ft
Vνννν −
′−+
′=
∂
∂21
)]tx(f)tx(f[)tx(f)tx(ft
Vννννννν −
″++
″=−
″++
″=
∂
∂21
2
2
2
1
2
2
2
, para
CL ′′=
1ν , verifica-se a relação
2
2
2
2
t
VCL
x
V
∂
∂′′=
∂
∂ . Considere o perfil de
tensão f(u), ao longo de uma linha, mostrado pela a figura abaixo.
Tomando-se o ponto x como referência no espaço e analisando a
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75
variação de tensão antes e depois de um intervalo de tempo τ,
verifica-se que para u = x - vτ ⇒ f(u) = C, e para u = x + vτ ⇒ f(u) = A
e para τ = 0, f(u) = f(x) = B.
Comparação entre as funções f(x+vt) e f(x-vt).
Logo, transcorrido o tempo τ a função f(x + vτ) assume o valor A no
ponto x, isto significa que a onda deslocou para a esquerda, contrário
ao sentido do eixo. Esta onda que trafega no sentido contrário ao eixo
é denominada de onda reversa. A função f(x - vτ) assume o valor C no
ponto x, ou seja, a onda trafegou para direita, no sentido do eixo.
Chama-se esta onda de onda direta. Portanto, uma onda de tensão
pode ser composta por duas ondas que caminham em sentidos
contrários. Chamando de VD a onda direta e VR a onda reversa, então:
VD = f2(x - vτ); VR = f1(x + vτ) e V = VD + VR. A onda de corrente pode
ser obtida aplicando a relação: x
V
Lt
I
∂
∂
′−=
∂
∂ 1 , efetuando a derivada tem-
se: [ ])tx(f)tx(fL
1
t
I21 νν −′++′
′−=
∂
∂ integrando em relação ao tempo,
chega-se a: [ ] ( )DR21 VV
CL
1L
1)tx(f)tx(f.
vL
1I −
′′′
−=−−+′
−= νν ou
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76
RD VZ
VZ
I00
11−=
RD VVV +=
Verifica-se que a onda de tensão refletida produz uma onda de
corrente negativa, que está relacionada com a tensão através da
impedância característica Zo. A figura a seguir mostra varias
combinações de ondas de tensão e corrente. Observa-se que V e I
têm o mesmo sinal quando estão viajando para direita no sentido do
eixo x e sinais contrários quando estão viajando para esquerda.
Várias combinações de ondas de tensão e corrente.
Quando duas ondas viajantes em sentidos opostos encontram-
se em um determinado ponto de uma linha, elas se adicionam
algebricamente quando uma passa através da outra como ilustra a
figura a seguir.
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77
Duas ondas viajantes opostas: (a) aproximando-se;
(b) superpondo-se;
(c) afastando-se.
6.3 - Reflexão e Refração das Ondas Viajantes:
Nos itens anteriores verificou-se que existe uma estrita
proporcionalidade entre as de tensão em uma linha de transmissão e
sua correspondente onda de corrente associada. O fator de
proporcionalidade é a impedância característica da linha (Zo). Quando
uma onda viaja em uma linha com descontinuidade, ou seja, quando a
impedância característica da linha sofre alterações, nos pontos onde a
impedância característica muda alguns ajustes devem ocorrer para
que esta proporcionalidade não seja violada. Estes ajustes têm a
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característica de gerar dois novos pares de ondas. Uma onda de
tensão refletida e sua respectiva onda de corrente, que viajam no
sentido contrário ao da onda incidente e uma onda de tensão refratada
ou transmitida, que penetra além da descontinuidade. As amplitudes
das ondas refletidas e refratadas são tais que a proporcionalidade
entre tensão e corrente são preservadas para cada uma, como
imposto pela impedância característica das linhas nas quais elas
viajam; as correntes e tensões no ponto de descontinuidade são por si
mesmas contínuas e a energia é conservada. Isto estabelecerá que o
princípio da conservação de energia é automaticamente satisfeito.
Considere uma junção entre uma linha aérea e um cabo com
impedâncias características ZA e ZB, respectivamente. Isto implica em
ZA > ZB. Suponha que um surto de tensão em forma de um degrau de
amplitude V1 viajando pela linha aérea (ZA) atinja a junção. A onda de
corrente tem a mesma forma da onda de tensão e uma
amplitudeA
11
Z
VI = . Considerando na junção que uma onda de tensão
será refletida (V2) e outra será refratada (V3), então as respectivas
correntes serão: A
22
Z
VI −= e
B
33
Z
VI = . Na junção sabe-se que:
321 VVV =+
e 321 III =+ . Então, substituindo os valores das correntes em função
das ondas de tensão e impedâncias características tem-se:
B
3
A
2
A
1
Z
V
Z
V
Z
V=− ; combinando com condição de tensão na junção chega-se
a: 1
BA
AB2 V
ZZ
ZZV
+
−= , que representa a tensão refletida em função da
tensão incidente e as impedâncias características no ponto de
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descontinuidade. Definindo coeficiente de reflexão (kR) como sendo a
relação entre a tensão refletida e a tensão incidente, então:
BA
ABR
ZZ
ZZk
+
−=
Similarmente pode-se determinar o coeficiente de transmissão ou
refração (kt), dado por:
BA
B
tZZ
Z.k
+=
2
A figura a seguir ilustra o efeito da reflexão de onda em um ponto de
descontinuidade. Nessa figura mostram-se as ondas de tensão e
corrente antes de atingir a junção (a), e a composição das ondas de
tensão e corrente incidente com as ondas refletidas e refratadas (b).
Ondas de tensão e Corrente incidentes, refletidas e refratadas
Analisando os fluxos de potências no ponto de junção, tem-se
que a potência incidente é dada por: P1 = V1.I1 e as potências
refletidas e refratadas por: P2 = V2 .I2 .e P3 = V3.I3 . Substituindo os
valores das correntes e somando a potência refletida com a refratada
verifica-se que o resultado é a própria potência incidente. Isto mostra
que o princípio da conservação de energia é preservado.
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80
AZ
VP
2
2
2 = ; BZ
VP
2
3
3 = ; 11
2
1
2
2
1
2
2
1
32
2
I.VZ
V
Z
ZZ
ZV
Z
ZZ
ZZV
PPAB
BA
B
A
BA
AB
==
++
+
−
=+
Se uma onda de tensão e corrente atinge uma junção de uma
linha com várias outras de impedâncias diferentes, as seguintes
condições devem ser obedecidas: as ondas incidentes mais as ondas
refletidas são iguais as ondas refratadas. Então, de acordo com a
figura10, tem-se:
NCBAA V....VVVV 33321 ====+ e NCBAA I....IIII 33321 +++=+
Sendo as correntes relacionadas com onda de tensão pelas
impedâncias das linhas:
N
B
N
C
B
C
B
B
BZ
VI...;.
Z
VI;
Z
VI 3
3
3
3
3
3 === então: P
B
NCB
BAAZ
V
Z....
ZZVII 3
321
111=
++=+
Isto mostra que a solução pode ser obtida fazendo das várias
impedâncias das linhas no ponto de bifurcação e aplicando os
coeficientes de reflexão e refração em relação à impedância
equivalente ZP . Isto é:
PA
AP
RZZ
ZZk
+
−= e
PA
P
tZZ
Z.k
+=
2
Ondas de tensão incidente, refletida e refratada.
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81
6.4 Comportamento das Ondas Viajantes nas Terminações das
Linhas:
Um outro tipo óbvio de descontinuidade é a terminação da linha. Nas
terminações, a impedância pode variar desde um valor mínimo
correspondendo a um curto-circuito até um valor máximo que
corresponde a um circuito aberto. Estes dois casos extremos são
considerados como casos especiais.
a. – curto-circuito: A principal característica de um curto-circuito é
que a tensão através dele é nula. Então, quando uma onda viajante de
tensão atinge um curto-circuito, a onda de tensão refletida deve
cancelar exatamente a onda de tensão incidente para que a onda de
tensão refratada seja zero. Se a onda de tensão incidente é V1, a onda
de tensão refletida será –V1 e a onda de corrente refletida I2 = -(-
V1/Zlinha)= I1. Isto está ilustrado na figura a seguir.
A onda de tensão refletida anula a onda de tensão incidente a
medida que ela retorna, enquanto que a onda de corrente refletida
aumenta a onda de tensão incidente, dobrando a corrente fluindo na
linha. Este exemplo desta situação, pode ser entendido em termos de
energia. Da energia transferida à linha por uma onda viajante, quando
ela passa, metade é armazenada no campo elétrico através da tensão
aplicada à capacitância distribuída e a outra metade é armazenada no
campo magnético pela corrente que circula no indutor. Quando a onda
de tensão refletida pelo curto circuito impõe tensão zero na linha, a
energia do campo elétrico é liberada. Como não existem perdas na
linha, a energia não pode ser dissipada. Ela é, portanto, transformada
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82
em energia magnética. Ou seja, o campo magnético deve armazenar a
energia das ondas incidentes e refletidas, ou seja, quadruplicar a
energia armazenada. Isto significa duplicar a corrente no indutor (E =
½(L.I2)).
Reflexão de ondas viajantes em um curto-circuito.
A título de exemplificação, analisa-se agora o que acontece
quando um curto-circuito ocorre no final de uma linha alimentada por
uma fonte de tensão V. Para simplificar, considera-se que a fonte
tensão possui tensão constante e impedância interna nula.
Considerando desprezível a resistência interna da linha, a corrente de
falta deveria crescer indefinidamente na razão de V/L, sendo L é a
indutância total do ponto de falta até à fonte, se a linha fosse
representada por uma impedância concentrada. Entretanto, verifica-se
que isto é parcialmente verdadeiro em função do comprimento l da
linha que envolve o fenômeno das ondas viajantes. Para esse
exemplo específico, as condições de contorno são que no ponto de
curto-circuito a tensão é sempre zero e que a tensão da fonte é V
durante todo o tempo. Para satisfazer a primeira condição, uma onda
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83
de tensão refletida de amplitude –V viaja em direção à fonte,
reduzindo a tensão da linha a zero. Uma onda de corrente de
amplitude +V/Zo acompanha a onda de tensão, como ilustrado na
figura a seguir. Quando esta onda alcança a fonte, inicia uma nova
onda de tensão V, que devido a sua direção (fonte – curto-circuito) é
associada a uma nova onda de corrente V/Zo. Estas ondas em seu
devido curso atingem o curto-circuito e, em consequência disso, o
ciclo se repete. A corrente vista no ponto da falta cresce em degraus
discretos de 2V/Zo em um intervalo de tempo igual a duas vezes o
tempo de viagem da onda na linha (2τ), como mostra a figura.
Suponha que a capacitância distribuída da linha seja C’. Então a
corrente crescerá em degraus de 2V/(L’/C’)1/2 a cada 2τ = 2.l(L’.C’)1/2
seg.
Construção da corrente quando um curto-circuito ocorre em uma linha.
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84
A taxa média de crescimento, conforme foi previsto inicialmente,
desconsiderando o efeito das ondas de corrente, é:
( ) L
V
L.l
V
CLl2
L
CV2
=′
=′′
′
′
b) – Circuito aberto: Analisa-se neste item o fenômeno das ondas
viajantes em uma linha com o seu final em circuito aberto. A
característica de um circuito aberto é a corrente nula no ponto durante
todo o tempo. Então, quando a onda de corrente +I chega ao ponto de
circuito aberto, uma onda de corrente –I é iniciada para satisfazer a
condição de contorno do ponto (corrente zero). Esta irá viajar para a
fonte juntamente com uma onda de tensão +V. Logo, a tensão na
linha, a medida que as ondas de tensão e corrente refletidas viajam,
irá dobrando o seu valor e a corrente se anulando. Quando estas
ondas atingirem a fonte, esta irá manter a tensão V no ponto e, para
isto deverá absorver parte da energia armazenada no campo elétrico.
A corrente deverá então inverter o sentido. Assim, inicia-se uma nova
onda de corrente –I , associada a uma onda de tensão –V no sentido
fonte – final. Quando estas ondas alcançarem o final da linha, darão
origens a ondas refletidas que anularão a tensão e corrente,
retornando a linha a condição inicial, ou seja, totalmente
desenergizada.
A figura a seguir mostra os resultados de uma simulação de uma
linha, modelada com parâmetros distribuídos, na qual tem-se a tensão
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85
no final da linha (VFIM), tensão na fonte(VFONTE) e corrente na fonte
(IFONTE). Nesta figura pode-se verificar tal fato.
A análise do comportamento do fluxo de energia entre a fonte e a linha
pode facilitar a compreensão do fenômeno. Retornando ao modelo
infinitesimal apresentado anteriormente, verifica-se que a cada
intervalo de tempo ∆t, a fonte entrega à linha uma energia dada por:
∆E = V.I. ∆t; metade desta energia é armazenada é armazenada no
campo magnético ½(LI2); a outra metade é armazenada no campo
elétrico ½(CV2), considerando L e C como sendo a indutância e a
capacitância do modelo elementar. Ao atingir o final da linha, a onda
de corrente deve se anular (linha em circuito aberto), por isto a energia
armazenada no campo magnético deverá ser transferida para o campo
elétrico. Assim, nesse instante tem-se, no elemento infinitesimal do
final da linha, a seguinte situação de energia: uma parcela vinda da
fonte correspondendo a duas vezes a energia armazenada no
capacitor elementar uma parcela correspondendo à energia
armazenada no indutor elementar e a parcela correspondendo à
energia armazenada no capacitor. Todas estas parcelas serão
armazenadas no capacitor, ou seja, a condição de energia
armazenada no capacitor será quadruplicada, isto implica em dobrar a
tensão no mesmo. Quando a onda de tensão e corrente refletida
alcançar a fonte, a tensão da linha deverá reduzir para metade, ou
seja a energia armazenada no capacitor elementar próxima à fonte
reduzirá para ¼ de seu valor. Os ¾ restantes serão assim distribuídos:
¼ será armazenado no indutor elementar pela corrente –I e a metade
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restante é devolvida à fonte. Dessa forma a fonte deverá gerar uma
de tensão e corrente negativas.
Resultado de uma simulação de uma linha modelada por parâmetros
distribuídos energizada por uma fonte cc 100V; L = 1 mH;
C = 0,1µF; e l = 5 km. O valor da corrente foi multiplicado por 50.
c) – Linha terminada em um capacitor
Frequentemente as linhas são terminadas em um ou mais
transformadores que, dependendo da natureza do problema em
estudo poderão ser representados por um indutor ou um capacitor.
Para verificar o que acontece quando uma onda viajante atinge uma
terminação de linha capacitiva ou indutiva, apresenta-se aqui uma
análise utilizando os coeficientes de reflexão e refração e fazendo uma
aplicação do conceito de impedância operacional, ou seja:
LinhaLinha1L
1
C ZsC
sLZ;sLZ;
sC
1Z ==== .
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87
Portanto, se a terminação de uma linha é uma impedância capacitiva
ZC os coeficientes de reflexão e refração em termos de impedâncias
operacionais ( a e b respectivamente) serão:
Linha
1
Linha
1
ZsC
1
ZsC
1
a
+
−
= Linha
1
1
ZsC
1
sC
2
b
+
=
Se a onda viajante é um degrau de amplitude V1, sua
transformada de Laplace será: v1(s) = V1/s. Então, a transformada da
onda refletida será: v2(s) = a.v1(s), com apropriada substituição e
transformações algébricas, tem-se:
+
−
=
+
−
=
sCZ
1
sCZ
1
s
V
ZsC
1
ZsC
1
s
V)s(v
1Linha
1Linha1
Linha
1
Linha
112
Observando que ZLinha tem a dimensão de uma resistência
então, C1ZLinha é uma constante de tempo. De fato, é a constante de
tempo de carregamento do capacitor C1 através da impedância
característica Zlinha. Seja 1LinhaCZ
1=α , então, a expressão de v2(s) pode
ser rescrita como:
+−
+=
)s(
1
)s(sV)s(v 12
αα
α . Fazendo a transformada
inversa, chega-se a:
[ ] [ ]t
1
tt
12 e21Vee1V)t(V ααα −−− −=−−=
Esta é a onda que irá viajar de volta na linha superpondo com a
onda incidente. Somando-se a onda incidente com a onda refletida
tem-se a onda refratada, logo:
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[ ] [ ]tt
113 e12e21VV)t(Vαα −− −=−+=
Este resultado pode ser confirmado através da utilização do
coeficiente de refração A figura a seguir mostra uma terminação
capacitiva submetida a uma onda viajante em degrau de amplitude V1.
A onda refletida V2 é mostrada pela linha pontilhada.
Onda viajante em uma linha com terminação capacitiva. Disposição da
onda em diferentes instantes e a tensão V3 no capacitor em função do
tempo.
A perfil da tensão no capacitor V3(t), é mostrado separadamente na figura anterior. Pode-se ver que a tensão cresce exponencialmente partindo do zero para atingir assitoticamente 2V1, com uma constante de tempo igual a ZAC1. Isto é realmente o que se esperava do ponto de vista físico, pois quando a onda incidente atinge o capacitor C1, este não pode mudar instantaneamente o seu potencial. Então, momentaneamente o capacitor comporta-se como um curto-circuito; a frente de onda refletida cancela a onda incidente. Depois de algum tempo, o capacitor comporta-se como um circuito aberto; onda refletida se adiciona à onda incidente dobrando o valor da tensão.
d) – Linha terminada em um indutor:
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A terminação indutiva é o dual da capacitiva, pois em um indutor
a corrente não pode variar instantaneamente. Quando uma onda de
tensão atinge uma terminação indutiva, inicialmente, esta se comporta
como um circuito aberto e a onda refletida se soma à onda incidente
dobrando a tensão. Com o passar do tempo, como o indutor não
apresenta nenhuma impedância à corrente contínua, este se comporta
como um curto-circuito, e onda de tensão refletida cancela a onda de
tensão incidente. Utilizando ZL = sL1 no coeficiente de reflexão e
refração, tem-se:
+
−
=
+
−=
1
Linha
1
Linha
1
Linha1
Linha112
L
Zs
L
Zs
s
V
ZsL
ZsL
s
V)s(v
+
=
+=
1
Linha1
Linha1
113
L
Zs
2V
ZsL
sL2
s
V)s(v
Aplicando a transformada inversa de Laplace chega-se a:
[ ]t
12 e21V)t(V β−−−=
t
13 eV2)t(Vβ−=
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Onda viajante em uma linha com terminação indutiva. Disposição da
onda em diferentes instantes e a tensão V3 no indutor em função do
tempo.
e) – Linha terminada em um resistor:
O teorema de Thévenin pode ser eficientemente aplicado para o
cálculo das ondas refletidas e refratadas nas terminações das linhas.
Segundo o teorema, corrente em um ramo de um circuito qualquer
pode ser determinada da seguinte forma. Primeiro retira-se o ramo do
circuito e determina-se a tensão VTh entre os pontos de conexão do
ramo ao circuito. A seguir determina-se a impedância vista por estes
pontos com todas as fontes de tensão do circuito desativadas
mantendo as suas impedâncias internas. Aplicando-se este teorema
em uma terminação de linha com uma impedância ZB, verifica-se o
seguinte: retirando o ramo ZB alinha fica em circuito aberto, logo a
tensão será o dobro da onda incidente V1; a impedância vista da
terminação da linha para a fonte é a impedância característica da linha
ZLinha. Logo, a corrente no ramo e a tensão na terminação da linha são
determinadas por:
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LinhaB
1
LinhaB
Th
ZZ
V2
ZZ
VI
+=
+=
LinhaB
B1
BBZZ
ZV2IZV
+==
Este resultado corresponde à aplicação do coeficiente de refração
determinado anteriormente.
Um caso interessante que ainda não foi discutido, é a situação
particular na qual ZB é um resistor numericamente igual à impedância
característica da linha. Nesse caso, de acordo com a equação
anterior, a tensão sobre o resistor é igual à tensão incidente V1. Isto
significa que a tensão refletida (V2) é nula, ou melhor toda onda
incidente é completamente absorvida pelo resistor. Uma terminação
resistiva dissipa energia. Quando uma onda viajante alcança um
resistor, a energia que não pode ser absorvida é refletida de volta.
Então, no caso específico no qual a terminação da linha é um resistor
de valor numérico igual a impedância característica da linha, a onda
transporta uma energia tal que é totalmente dissipada no resistor, não
deixando nada para a reflexão.
6.5 - Atenuação e Distorção das Ondas Viajantes:
Até agora, todas considerações sobre as ondas viajantes foram
estabelecidas para uma linha monofilar isenta de perdas. Estas
limitações são muito restritivas e não estão de acordo com um sistema
prático, onde as linhas na maioria das vezes são multifilares e
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92
possuem perdas tanto na resistência dos condutores como nos
isoladores. O comportamento das ondas viajantes em uma linha de
transmissão multifilar com as perdas inerentes é extremamente
complexo, por isso foi necessário estudar um sistema mais simples
para que os princípios básicos pudessem ser entendidos.
Estabelecidos os princípios básicos sobre o comportamento das ondas
viajantes em um sistema simplificado, procede-se a aplicação desses
princípios em uma situação mais realística. Nesta seção apresenta-se
uma análise relativa às perdas do sistema, deixando para a próxima
seção o estudo de sistemas multifilares
Uma importante fonte de perda de potência é a resistência de uma linha que devido ao efeito pelicular pode assumir valores bem elevados. Este efeito será mais sentido particularmente na frente da onda viajante, onde a corrente no condutor varia mais rapidamente. A terra é raramente usada como condutor exceto em sistema de alta tensão em corrente contínua (HVDC). Contudo, correntes fluem pela terra em condições de faltas e correntes podem ser induzidas na terra. Dependendo das condições do solo, a terra pode introduzir uma resistência considerável no sistema de transmissão. Perdas também podem surgir da admitância de dispersão da linha, ou seja da resistência finita da isolação da linha. Uma outra perda muito significativa é devido ao efeito corona. A presença de resistência (R) e admitância de dispersão (G) em uma
linha significam que perdas irão ocorrer sempre que uma corrente fluir
na linha (RI2), ou uma tensão for estabelecida entre seus condutores
(GV2). Em uma onda viajante as perdas significam dissipação de parte
da energia da transportada e isto promove uma redução na sua
amplitude, ou atenuação, à medida que a onda trafega ao longo da
linha. A análise dos efeitos da resistência e da admitância de
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93
dispersão de forma mais rigorosa é mais complicada, pois as
equações que descrevem o comportamento das ondas viajantes,
descritas anteriormente somente em termos de L’ e C’, tornam-se mais
complexas como é mostrado a seguir:
t
I'LI'R
x
V
∂
∂+=
∂
∂−
t
V'CV'G
x
I
∂
∂+=
∂
∂−
Além disto, em uma linha aérea real a representação de R e G é uma
aproximação melhorada. A resistência é complicada pelo efeito da alta
frequência (efeito pelicular) e a admitância de dispersão, a qual é
devido principalmente às imperfeições das estruturas suporte dos
isoladores, aparece com valores incertos concentrados nas torres
suporte das linhas. Por isso a aproximação apresentada a seguir será
qualitativa. Serão estabelecidos alguns conceitos úteis e mostrados
com eles se aplicam.
Exceto em casos muito especiais, os quais não ocorrem na prática em
linha de transmissão de potência, a atenuação de ondas viajantes será
acompanhada de distorção. Isto fica evidente pelas seguintes
considerações. A medida que uma onda viajante de tensão passa ao
longo de um linha, ela vai armazenando em sua capacitância uma
energia ½C’V2 cada unidade de comprimento. A energia é, então,
suprida à linha numa taxa dada por ½C’V2v watts, enquanto que é
dissipada na taxa de G’V2v. Esta dissipação contínua de energia é
responsável pela atenuação da onda de tensão. Tanto a energia
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94
suprida à linha como a dissipação, são proporcionais ao quadrado da
tensão (V2), o que proporciona uma atenuação exponencial dada por:
t'C
'G
oeVV−
=
onde Vo é a amplitude inicial da onda de tensão.
Assim como a onda de tensão, uma onda de corrente ao passar pela
linha vai armazenando uma energia no campo magnético dada por
½L’I2. Neste caso também, a energia é suprida à linha uma taxa de
½L’I2v enquanto que é dissipada pela passagem da corrente na taxa
de R’I2v, ambas proporcionais ao quadrado da corrente. Logo, a onda
de corrente também será atenuada de forma exponencial dada por:
t'L
'R
oeII−
=
onde Io é a amplitude inicial da onda de corrente. Na análise que precedeu, as ondas de tensão e corrente foram
consideradas separadamente. De fato, sabe-se que elas viajam em
conjunto, e mais especificamente que as equações da linha demanda
uma estrita proporcionalidade das frentes de ondas dadas por:
'C
'LZ
I
Vo ==
Considerando que as ondas de tensão e corrente serão atenuadas
exponencialmente a medida que elas propagam pela linha, e que a
frente de onda das duas ondas deverão preservar a estrita
proporcionalidade, conclui-se que estas condições somente serão
satisfeitas se os expoentes das ondas se tensão e corrente forem
iguais numericamente. Ou seja:
'C
'G
'L
'R
o
=
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95
Mas é evidente que isto é uma situação muito especial. Então, surge
uma questão. O que acontece quando esta situação não se aplica?
Em primeiro lugar, para melhor entender esta questão, considere-se
válida a situação estabelecida anteriormente. Rearranjando a
expressão da seguinte forma:
2
2
oI
VZ
'C
'L
'G
'R===
ou ainda, neste caso especial: 22
V'GI'R =
A perda de potência devido à resistência é exatamente igual a perda
devido à admitância de dispersão da linha. Ficou estabelecido
anteriormente que quando uma fonte é conectada a uma linha de
transmissão, ela fornece energia em quantidades iguais para os
campos elétricos e magnéticos estabelecidos através das ondas
viajantes de corrente e tensão. Então, neste caso especial a energia
está sendo levada a cada ponto na linha em proporções iguais pelas
ondas de corrente e tensão, e frações iguais estão sendo dissipadas
na resistência e admitância de dispersão.
Em linhas onde as perdas série (R’I2) e paralelo (G’V2) não são iguais,
se a relação entre as ondas de tensão e corrente (V/I) é para ser
preservada, haverá um excesso de energia ou no campo elétrico ou
no magnético. Esta situação não é nova, de fato ela é semelhante à
condição de descontinuidade na linha já analisada anteriormente, na
qual a energia era conservada pela geração de novas ondas; mais
especificamente a energia era refletida de volta do ponto de
descontinuidade pelas ondas de tensão ou corrente ou ambas. Isto é
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exatamente o que acontece nesse caso. Um contínuo processo de
reflexão de energia toma lugar em cada ponto da linha assim que é
alcançado pela frente de onda. Isto permite as ondas incidentes
manter a sua estrita proporcionalidade nas frentes de ondas (somente
no lugar onde as equações de ondas demandam isto) e também
fornece as perdas requeridas. A consequência disto é que as ondas
mudam suas formas e sofrem atenuações à medida que viajam. Pelo
que foi dito, o centro e o final de um surto ganhariam energia às custas
da frente de onda e, a cada passo, a frente seria menos íngreme e a
calda mais longa. Isto é um fato que é observado.
No caso especial onde R’/L’ = G’/C’, as perdas podem ser supridas
quando requerida e a proporcionalidade entre V e I preservada na
frente de onda sem a contínua reflexão de energia. Na verdade, V/I =
Zo aplica-se a cada ponto da onda, então a onda, apesar de atenuada,
viaja sem distorção ao longo da linha. Linhas sem distorção são muito
desejáveis em sistemas de comunicação e medidas são tomadas para
obter esta condição. Já em sistemas de potência esta condição é de
menor importância e as perdas na resistência série são quase sempre
maiores que as perdas na admitância de dispersão. A condição sem
distorção não é por si só um incentivo para o crescimento artificial das
perdas por dispersão ou redução das perdas na resistência série.
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97
6.6 - Linhas Polifásicas:
A figura abaixo mostra o circuito representativo de um elemento
infinitesimal de uma linha de transmissão polifásica, com seus
parâmetros matriciais R’, L’ e C’ dados por unidade de comprimento.
Modelo incremental de uma linha de transmissão polifásica:
As equações diferenciais parciais exatas extraídas deste circuito são
apresentadas a seguir:
I]'R[t
I]'L[
x
V+
∂
∂=
∂
∂−
V]'G[t
V]'C[
x
I+
∂
∂=
∂
∂−
Onde V e I são vetores de tensão e corrente por fase.
O sistema de equações diferenciais parciais acima é e difícil solução,
pois nota-se que todas as grandezas de tensão ou corrente de uma
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dada fase estão intimamente relacionadas com as grandezas da outra
fase; ou seja, a corrente de uma fase qualquer contribui para a queda
de tensão em outra fase. Este fato se deve porque as matrizes [R’],
[L’], [C’] e [G’] são formadas por elementos acoplados e, portanto, são
matrizes cheias (completas).
Se uma linha de transmissão é transposta (simétrica) então os
elementos das suas matrizes [R’], [L’], [C’] e [G’] possuem apenas dois
valores distintos, todos os elementos da diagonal principal possuem o
mesmo valor (Ls) e todos os elementos fora da diagonal também
possuem o mesmo valor (M) como mostra a matriz de indutância.
[ ']L
L M M
M L
M L
s
s
s
====
L
M M M
L
onde Ls = indutância própria da fase
M = acoplamento entre fases
6.6 - Notação Modal
A transformação modal consiste em diagonalizar uma matriz simétrica
através dos cálculos dos autovalores e autovetores da matriz. Em
linhas aéreas de transmissão não transpostas as impedâncias próprias
e capacitâncias das fases bem como as impedâncias (capacitâncias)
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de acoplamento mútuo não são exatamente iguais entre si. Contudo,
as constantes matriciais [R’], [L’], [C’] e [G’] da linha são simétricas em
relação à diagonal principal e, portanto, são possíveis de ser
diagonalizadas através dos seus autovalores e autovetores.
Se as constantes matriciais do sistema de equações diferenciais
da linha de transmissão forem diagonalizadas, então o sistema torna-
se desacoplado e cada modo pode ser resolvido independentemente
um do outro como se fossem vários sistemas monofásicos. Portanto, é
possível resolver um sistema polifásico utilizando o conceito de ondas
viajantes para linhas monofásicas, fazendo a transformação modal.
Nesse caso, é necessário utilizar nos modelos de linhas com
parâmetros distribuídos as constantes matriciais diagonalizadas, ou
seja, no domínio modal. Esse assunto foge aos objetivos propostos e
não será tratado aqui.
7 - Descargas Atmosféricas em Linhas de Transmissão:
Quando uma descarga atmosférica atinge uma linha de
transmissão, uma elevada sobretensão é desenvolvida. Se essa
sobretensão exceder o limite de suportabilidade da isolação, ocorrerá
uma nova descarga da linha para terra Geralmente, essa descarga
ocorre através de um arco elétrico formado entre a linha e a estrutura
aterrada que a suporta (torres). Esse arco formado é mantido pela
tensão da linha causando um curto-circuito fase-terra, obrigando os
dispositivos de proteção atuarem. Essa descarga através do ar ou da
cadeia de isoladores da linha normalmente não produz nenhum dano
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100
no sistema, pois, com operação dos dispositivos de proteção o arco é
extinto e isolação da linha volta ao seu nível anterior. Por outro lado,
em geradores, transformadores e equipamentos onde são utilizados
materiais isolantes sólidos, uma descarga interna provoca um dano
permanente.
Nas linhas, as descargas atmosféricas podem atingir os cabos
pára-raios ou os condutores fase. Em ambos os casos, é necessário
entender como os surtos de corrente e tensão associadas a estas
descargas se propagam pelo sistema. Quando uma descarga atinge
uma linha de transmissão, ela provoca o aparecimento de ondas
viajantes pelo sistema, com reflexões nos pontos onde a impedância
característica ou impedância de surto muda de valor. Para determinar
surtos de tensão e correntes em várias partes do sistema é necessária
uma análise das ondas viajantes. Em sistemas monofásicos simples,
essa análise pode ser feita manualmente, enquanto que em sistemas
mais complexos (polifásicos), (característica mais comum nos dais
atuais) requerem a utilização de computadores. Objetiva-se, neste
item, apresentar alguns conceitos básicos sobre o comportamento das
ondas viajantes nas linhas de transmissão quando submetidas a
descargas atmosféricas.
Seja uma descarga atmosférica atingindo o condutor de uma
linha de transmissão monofilar. A descarga inicia a propagação de
ondas de tensão e de corrente, as quais viajam aproximadamente à
velocidade da luz em ambas as direções a partir do ponto de impacto.
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101
Sendo Z0 a impedância de surto da linha, então a tensão e
corrente têm a mesma forma de onda e estão relacionadas pela
expressão:
IZV 0=
Assumindo que o valor de crista da descarga é 10 kA e que a
linha possui uma impedância de surto de 300 Ω, o surto de tensão que
se propagará pela linha terá uma frente de onda determinada por:
20
aargdescIZV =
Essas ondas continuam a se propagar pela linha até que seja
encontrado um ponto de descontinuidade (variação da impedância de
surto). Neste ponto, ter-se-á ondas refletidas e ondas refratadas.
Pontos de descontinuidade podem ser disjuntores abertos,
transformadores, outras linhas ou uma falha no isolamento da linha.
Suponha uma linha terminada em um transformador. Para um
surto, o transformador comporta-se como uma capacitância em torno
de 2 nF a 6 nF, mas para o propósito desta análise será considerado
como um circuito aberto. Quando uma onda de tensão atinge um
circuito aberto, origina uma onda refletida de mesma intensidade e
polaridade do surto incidente. As ondas, incidente e refletida,
combinadas na terminação aberta ou transformador resultam em
dobrar a tensão neste ponto.
Uma outra análise útil e que pode ser facilmente calculada é a
determinação da sobretensão resultante em subestação de onde sai
várias linhas. O surto de tensão ao atingir essa subestação, se
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102
subdividirá nas várias linhas reduzindo de intensidade. Isto pode ser
entendido como se as impedâncias características de cada linha
estivessem em paralelo, resultando em uma impedância menor.
Assumindo que as impedâncias características de cada linha sejam
iguais, a magnitude do surto de tensão resultante na subestação pode
ser calculada usando a expressão:
n
VV 1
2
2=
Onde:
V1 – é o surto de tensão incidente;
V2 – é a sobretensão na subestação;
n – é o número de linhas conectadas à subestação.
Assumindo que um surto de tensão de 10 MV atinge uma
subestação, V2 será igual a 20, 10, 6,67 ou 5 MV, para uma, duas, três
ou quatro linhas conectadas. Este cálculo simples ilustra a vantagem
de se terem várias linhas conectadas à subestação para a redução do
surto de tensão incidente.
7.1 - Descargas nas Torres:
Quando um raio atinge uma das torres de uma linha de
transmissão é estabelecido um processo de propagação de ondas de
tensão e corrente nos cabos pára-raios, nas torres próximas e nos
sistemas de aterramentos, e reflexões conforme as impedâncias
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103
características envolvidas surgirão. A figura a seguir ilustra o fato de
uma descarga atingindo uma torre.
A tensão resultante de uma descarga atmosférica é calculada
pelo produto da corrente do raio pelo valor da impedância de surto
vista por este ponto. Para a descarga na torre, a impedância de surto
equivalente é o paralelo entre a impedância de surto da torre (ZT) e as
impedâncias de surto dos cabos pára-raios (Zg). Estudos realizados
em modelos em escala reduzida mostram que as torres podem ser
representadas por modelos iguais aos das linhas de transmissão com
impedâncias de surto que variam entre 150Ω e 200Ω e velocidade de
propagação igual à da luz no vácuo
+
=
g
T
T
Z
Z
ZZ
21
Esta onda de tensão resultante é modificada por reflexões na
base da torre e ainda por reflexões nas torres adjacentes.
A propagação de um surto de tensão nos cabos pára-raios induz,
nos condutores de fase, o aparecimento de ondas de tensão
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104
acopladas, através da relação de capacitâncias próprias e mútuas
desses cabos, de mesma polaridade e k vezes a tensão do cabo.
Assim, a cadeia de isoladores, que é o ponto onde o isolamento entre
os cabos pára-raios e os condutores é mais fraco, ficará sujeita à
diferença entre a tensão no topo da torre e a tensão induzida no
condutor.
( ) ( )
g
T
TTS
Z
Z
IZkVkV
ZIV
21
11
+
−=−=
=
Como k é da ordem de 0,15 a 0,30 a solicitação ao isolamento
(VS) fica substancialmente aliviada pelo efeito do acoplamento.
O valor da resistência de pé de torre é bastante significativo para
o desenvolvimento da tensão de topo de torre porque, sendo
normalmente inferior à impedância de surto da torre, e é esse o
objetivo de um bom projeto, o coeficiente de reflexão para as ondas
que são refletidas na base da torre é negativo, fazendo com que o
crescimento da tensão no topo da torre sofra uma acentuada redução
no intervalo de tempo relativamente pequeno por causa da altura da
torre.
O coeficiente de reflexão para as ondas refletidas nas torres
adjacentes também é negativo, fazendo com que as tensões refletidas
sejam de polaridade inversa, mas, como o tempo de propagação
relativo ao vão é da ordem de 10 vezes superior ao tempo de
propagação na torre, estas ondas refletidas podem chegar à torre
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105
atingida em um instante em que a tensão no topo da torre já tenha
passado pelo seu valor máximo.
7.2 - Descargas nos Cabos Pára-Raios:
A incidência de raios nos cabos pára-raios apresenta como
característica básica uma tensão no ponto de incidência muito maior
que para a incidência nas torres.
Para uma descarga atingindo o cabo pára-raios em algum ponto
ao longo do vão a tensão resultante será:
2
IZV gM =
A figura a seguir ilustra este fato.
A tensão atingirá valores tanto maiores quanto maior for o
afastamento em relação às torres, sendo, portanto, o meio do vão o
ponto de incidência que provoca o maior crescimento da tensão. Este
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106
fato pode ser facilmente entendido quando se considera que a
impedância de surto vista do ponto de incidência é muito maior neste
caso do que no caso de descargas nas torres, além do que os efeitos
das torres adjacentes e sistemas de aterramento (as ondas refletidas
têm sinal negativo) só começam a ser sentido após duas vezes o
tempo de propagação até as torres adjacentes próximas.
A tensão (1-k)VM , à qual o isolamento em ar entre os cabos
pára-raios e condutores ficará submetida é consideravelmente maior
do que a tensão à qual a cadeia de isoladores ficará submetida se
uma descarga de mesma intensidade atingisse a torre. Normalmente a
flecha dos cabos pára-raios é bem menor do que a dos condutores e
logo eles estarão suficientemente afastados para impedir a ocorrência
de desligamento devido à ruptura do isolamento entre os condutores e
pára-raios ao longo do vão.
Assumindo que não ocorreu falha no meio do vão a tensão VM
irá trafegar pelo cabo pára-raios em direção às torres adjacentes onde
será atenuada por reflexões. A torre se apresenta como uma
descontinuidade para as ondas que chegam pelos cabos pára-raios.
Assim, ondas refletidas retornam ao ponto de impacto da descarga
atmosférica enquanto duas ondas refratadas são geradas. Uma
seguirá para o próximo vão pelo cabo pára-raios e a outra desce pela
torre até o solo. A tensão no topo da torre será:
MT bVV =
Onde:
b – é o coeficiente de refração dado por:
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gZZ
Zb
+=
2
Sendo Z a impedância equivalente ao cabo pára-raios e a torre:
gT
Tg
ZZ
ZZZ
+=
Ou seja:
2
g
T
TMT Z
Z
ZVV
+
=
A tensão que irá aparecer através da cadeia de isoladores será
dada por:
( )
2
1g
T
TMS Z
Z
ZVkV
+
−=
Para descargas atingindo os cabos pára-raios, as máximas
solicitações que serão impostas ao isolamento das torres são da
mesma ordem de grandeza daquelas onde a torre é atingida
diretamente. Assim, descargas no meio vão podem resultar na
ocorrência de falhas na torre embora nada tenha ocorrido ao longo do
vão.
Uma descarga atmosférica terminando próximo de uma linha de
transmissão pode induzir uma tensão na linha a qual raramente
excede 500 kV. Linhas blindadas com cabos pára-raios e tensão
nominal maior que 69 kV, geralmente têm isolamento para impedir a
ocorrência de descargas para tensões dessa ordem.
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Linhas de tensões menores, entretanto, com níveis de
isolamento substancialmente menores que 500 kV, podem falhar por
surtos de tensão induzidos. Na maioria dos casos, esses circuitos não
têm cabos pára-raios e, logo, estão sujeitos a falharem cada vez que
forem atingidos por uma descarga direta. Em geral, falhas por surtos
induzidos não são um problema maior, já que o número de falhas por
descargas diretas excede em muito aquele decorrente de surtos
induzidos.
7.4 - Pára-Raios de Surtos
A utilização de pára-raios em linhas de transmissão permite
reduzir o nível de isolamento do sistema uma vez que estes
equipamentos controlam as sobretensões transitórias evitando danos
nos diversos equipamentos. Para melhor entendimento do princípio de
funcionamento dos pára-raios de surtos, primeiramente é interessante
compreender a operação dos centelhadores uma vez que estes
podem estar presentes nos pára-raios. A figura a seguir mostra uma
cadeia de isoladores provida de hastes centelhadoras.
Isoladores com hastes centelhadoras
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109
Quando a tensão sobre o isolador atingir o valor de ruptura do
dielétrico entre as hastes (no caso o ar), valor este chamado de tensão
de “flashover”, haverá a ionização do ar e um arco elétrico se formará
as mesmas. Como a resistência elétrica aparente do arco é muito
pequena, a queda de tensão no arco é insignificante e, na maioria das
vezes, desprezada. Desta forma, pode-se afirmar que após a
operação do centelhador é estabelecido um curto-circuito entre os
terminais do isolador. Uma vez criado o arco elétrico, o mesmo
persistirá enquanto houver corrente fluindo através ele. Assim,
observa-se que a principal desvantagem da utilização de hastes
centelhadoras na proteção de linhas consiste no fato de as mesmas
estabelecerem um curto-circuito nestas após a ocorrência de uma
sobretensão, isto impõe a operação dos disjuntores desligando a linha
que é altamente indesejável.
Um dispositivo que possa limitar a sobretensão sem estabelecer
um curto-circuito no sistema é tudo que se deseja para a proteção. Um
resistor não linear apresenta esta característica. Este resistor tem a
propriedade de reduzir acentuadamente a sua resistência elétrica com
o crescimento da tensão sobre ele. Esta característica geralmente
pode ser expressa da seguinte forma:
q
refU
UpI
=
Onde:
I é a corrente no resistor;
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110
U é a tensão sobre o resistor;
Uref é o valor de tensão tomado como referência a partir do qual
a corrente no pára-raios cresce exponencialmente. Geralmente Uref é
duas vezes a classe de tensão do pára-raios.
p é uma constante multiplicadora que depende das dimensões
geométricas do resistor;
q é um expoente característico da composição do material do
qual o resistor é feito, (em geral q ≈ 6 para caburetos de silício
SiC e q ≈ 26 para óxidos metálicos ZnO).
A composição de centelhadores com resistores não lineares
pode resultar em uma combinação interessante para compor os pára-
raios de surto. Dessa forma, enquanto a tensão não atingir o valor de
ruptura do dielétrico formado pelo espaço de ar entre os
centelhadores, a corrente no pára-raios é nula. Após a ruptura do
dielétrico e o estabelecimento do arco elétrico, a corrente no pára raios
é determinada pela expressão do resistor não linear, e para a
existência da mesma necessita-se de um determinado valor de
tensão. Isto é, não ocorre o curto-circuito. A figura a seguir mostra em
corte um pára-raios classe 96 kV. Pode-se verificar a composição do
resistor não linear por vários elementos resistivos combinados com
centelhadores.
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111
Pára-raios de surto classe 96 kV
Um parâmetro muito importante para o dimensionamento de
pára-raios é a energia dissipada nos mesmos durante a sua operação.
Na incidência de um surto de tensão, a resistência não linear do pára-
raios cai tão rapidamente quanto à tensão cresce em seus terminais
desviando a corrente e a energia para si. Em geral, um pára-raios de
surtos não é projetado para operações repetitivas, caso isto possa
ocorrer deve-se optar por modelos adequados especialmente
projetados para este fim. A capacidade de dissipação de energia de
um pára-raios depende das dimensões do elemento resistor. Como a
energia é geralmente dissipada nesses elementos muito rapidamente,
existe muito pouca possibilidade do calor ser transferido para outras
partes do equipamento até que o surto tenha passado. Portanto, este
tipo de equipamento de proteção deve ser cuidadosamente
selecionado para uma proteção eficiente. Mostram-se, na figura a
seguir, as curvas típicas de pára-raios de óxido de zinco e carbureto
de silício classe 15 kV.
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112
Com o propósito de ilustrar a eficiência da utilização de um pára-
raios de óxido de zinco (ZnO) na limitação do surto de tensão em uma
linha de transmissão apresenta-se o seguinte exemplo numérico
Exemplo
Considere uma linha monofilar classe 15 kV cuja impedância de
surto é 300 ohms. Em sua extremidade encontra-se um transformador
de 112,5 kVA protegido por um pára-raios que possui os seguintes
parâmetros: p = 0,80; Uref = 30 kV; q = 26. Uma descarga atmosférica
de 10 kA atinge o meio da linha e propaga rumo ao transformador.
Com o objetivo de determinar o surto de tensão no transformador e a
corrente no pára-raios será desprezado todo amortecimento existente
na linha e descargas parciais que porventura podem acontecer
quando da passagem do surto pelos isoladores. Assim a onda de
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113
tensão incidente no ponto da descarga será a mesma que atingirá o
pára-raios. Ao atingir a linha, a descarga atmosférica se subdividirá em
dois surtos de tensão que se propagarão em sentido opostos com
mostra a figura a seguir:
O surto de tensão pode ser determinado por:
MV,UU 5012
3001000011 =⇒
×=
Considerando a corrente da descarga fluindo pelo pára-raios,
pode-se determinar a tensão através do pára-raios por:
kV,U,U
Upr
ref
pr9941
80
5000 26
1
=⇒
=
Sendo assim, haverá uma onda de tensão refletida negativa
dada por:
MV,,,U 4615010419902 −=−=
A corrente no pára-raios será dada por:
A)(
I pr 9867300
1460000
300
1500000=
−+=
Utilizando este novo valor de corrente para determinar a tensão
através do pára-raios, obtém-se:
kV,U,U
Upr
ref
pr1043
80
9867 26
1
=⇒
=
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114
Repetindo-se os procedimentos de cálculos até a convergência
dos resultados, chega-se a: Ipr=9856,34A e Upr = 43,10 kV
7.5 - EFEITO FERRANTI:
O aumento da tensão no receptor em relação à tensão no
transmissor recebe o nome de efeito Ferranti em homenagem ao físico
que o descobriu. Isto ocorre devido ao fluxo de corrente capacitiva
através da indutância série da linha. O efeito Ferranti, desde cedo,
mereceu atenção dos técnicos que atuam na área de
telecomunicações, que lidam com linha de frequências mais elevadas
e, portanto, de pequenos comprimentos de ondas. Ultimamente, esse
efeito passou a preocupar mais seriamente os técnicos da área de
projeto e operação de linhas de transmissão em frequências
industriais, em virtude da necessidade de construção de linhas com
comprimentos cada vez maiores, sendo de se esperar que linhas
longas com comprimento em torno de λ/4 (1/4 do comprimento de
onda) ou mais longas venham a ser construídas.
As implicações principais do efeito Ferranti, que diminui de
intensidade à medida que a potência do receptor aumenta a partir de
zero, podem ser artificialmente controladas, a saber:
1 – necessidade de aumento do nível de isolamento das linhas e
equipamento terminal em virtude da sobretensão que provoca;
2 – apesar das perdas por dispersão, representadas
principalmente pelo efeito Corona, atuarem favoravelmente na
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115
redução das sobretensões, essas perdas crescem em função do
quadrado da tensão. A radiointerferência e os ruídos audíveis que
acompanham o efeito Corona também aumentam igualmente com a
tensão. Afim de mantê-los dentro de limites razoáveis, será necessário
um aumento na bitola os condutores, o que afeta consideravelmente o
custo das linhas;
3 – a corrente de carregamento I1, sendo muito elevada, limita,
por efeito térmico, a capacidade de transporte da corrente de energia
da linha, exigindo, para uma mesma potência a ser transmitida,
condutores de secções consideravelmente maiores, o que encarece a
sua construção. Esse fato é particularmente sério para as linhas em
cabos subterrâneos ou submarinos, para os quais o comprimento de
onda é muito menor que nas linhas aéreas, pois depende
essencialmente da velocidade de propagação v[km/s], que é menor
nessas linhas.;
4 – a corrente de carregamento I1 que a linha que a linha
absorve das máquinas que a alimentam, quando opera em vazio ou
com pouca carga, é capacitiva. Observando que umas das
características das máquinas síncronas é que, nessas condições,
pode ocorrer o fenômeno conhecido por auto-excitação, originando
tensões incontroláveis nessas máquinas, se essas não tiverem
capacidade de absorver essa carga capacitiva.
Para melhor visualização deste fenômeno considere-se a linha
de transmissão como um circuito de dois terminais, de acordo com o
esquema mostrado na figura a seguir.
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116
A equação geral para a linha é dada por:
( ) ( )ll γ+γ= senhIZcoshVV 2021
onde:
V1 – tensão no lado da geração (emissor)
V2 – tensão no lado do receptor
l – comprimento da linha
ZC – impedância característica da linha
γ – constante de propagação = α + jβ
Sendo:
α – constante de atenuação
β – constante de fase
Admitindo a linha aberta na extremidade receptora, como no
caso de energizações ou rejeições de carga, tem-se que I2 = 0. Assim,
( )lγ= coshVV 21
Desta forma, para uma linha não compensada na condição de se
desprezarem as perdas, o efeito Ferranti é calculado
aproximadamente pela fórmula a seguir:
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( )lβ=
cosV
V 1
1
2
Sendo:
hzemkmcadapara,
hzemkmcadapara
LCv
6010027
501006
0
0
=β
=β
ω=ω
=β
Para o mesmo sistema apresentado na figura anterior, a figura a
seguir apresenta a magnitude aproximada da tensão devido ao efeito
Ferranti. A forma de onda da sobretensão resultante deste fenômeno
é, em geral, senoidal à frequência industrial.
Efeito Ferranti em linhas aéreas com diferentes tipos de compensação
Na figura acima as curvas representam os seguintes tipos de
compensação nas linhas
Curva 1 linha sem compensação
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Curva 2 linha com 50% de compensação
Curva 3 linha com 50% de compensação capacitiva série e