Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica Transiciones Electromagnéticas Rodolfo M. Id Betan 1,2 1 Instituto de Física Rosario - Conicet. Argentina 2 Facultad de Ciencias Exactas - Universidad Nacional de Rosario. Argentina Curso: Física Nuclear 20/05/2014
46
Embed
Transiciones Electromagnéticas - ifir-conicet.gov.ar · Decaimiento gamma Los decaimientos gamma(γ) ... alfa y beta. Crédito: wikipedia. Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Transiciones Electromagnéticas
Rodolfo M. Id Betan1,2
1Instituto de Física Rosario - Conicet. Argentina2Facultad de Ciencias Exactas - Universidad Nacional de Rosario. Argentina
Curso: Física Nuclear20/05/2014
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Outline
1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Outline
1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Decaimiento gamma
Los decaimientos gamma(γ) son transiciones electromagnéticas
entre diferentes estados del núcleo.
En el decaimiento gamma no se emite ninguna partícula con masa.
AZ X∗ →A
Z X + γ AZ X∗ →A
Z (X∗)′ + γ
La radiación gamma es una partícula sin masa con spin intrínsico
S = 1.
Un estado excitado del núcleo decae a otro estado de menor enegía
emitiendo un fotón γ.
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Decaimiento gamma
La energía de la partícula γ es igual a la diferencia de energía entre
los estado inicial y final.
La emisión de la partícula γ suele aparecer en las desintegracionesalfa y beta.
Crédito: wikipedia
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Decaimiento gamma
El decaimiento gamma puede utilizarce para confirmar la asignación
de configuraciones.
Definición de Q
Momento cuadrupolar (L = 2) eléctrico Q de una partícula.
Definición de µ
Momento dipolar (L = 1) magnético µ de una partícula.
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Outline
1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Hamiltoniano
Hamiltoniano de un nucleón con carga e y momento magnético µµN
en presencia de un campo electromagnético:
H =1
2m
(
p − e
cA)2
−µe~
2mcσ ·(∇×A)+V (r)+f (r)σ ·
[
r ×(
p − e
cA)]
con eproton = e, eneutron = 0, µproton = 2.79, µneutron = −1.91,
µN = e~/2mc.
Intensidad del campo eléctrico y magnético
E = −1
c
∂A
∂tB = ∇× A
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Hamiltoniano
H =1
2m
(
p − e
cA)2
−µe~
2mcσ ·(∇×A)+V (r)+f (r)σ ·
[
r ×(
p − e
cA)]
Interacción del momento dipolar del nucleón con el campomagnético:
−µe~
2mcσ · B
Interacción electromagnética debido a la presencia de la interacción
spin-orbit:
−e
cf (r)σ · (r × A)
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Hamiltoniano
Hamiltoniano total de interacción para la emisión de radiación:
H = Hnucl + Hfield + Hint
Nuclear
Hnucl |Ψi〉 = Ei |Ψi〉
Campo
Hfield =1
8π
∫
[
E2 +B
2]
d3r
(usando unidades de Gauss)
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Outline
1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Hamiltoniano del campo
Campo
Hfield =1
8π
∫[
1
c2A
2+ (∇× A)2
]
d3r
Ecuación de onda
∇2A − 1
c2
∂2
∂t2A = 0
Transformada de Fourier: ecuación de Helmholtz
(∇2 + k2)A = 0
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Hamiltoniano del campo
Separación de la radiación eléctrica y magnética en el potencial del
campo (P. Ring and P. Schuck. The nuclear Many-Body Problem.2004):
Momento angular del fotón
El fotón tiene espin S = 1 con autofunción eSMS
También tiene momento angular L con autofunción YLM
El momento angular total del fotón es I = L + S con autofunción
[eSYL]IMI= L√
L(L−1)YIMI
⇒ L = I − 1, I, I + 1.
Condición de transversabilidad
Se buscan soluciones con Φ = 0 y ∇A = 0 (gauge de Coulomb).
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Hamiltoniano del campo
Soluciones parciales
Exiten dos soluciones de la ecuación de Helmholtz (∇2 + k2)A = 0
que verifican Φ = 0 y el gauge de Coulomb caracterizados como:
Radiación eléctrica AEkLM con ΠAE
kLM = (−)LAEkLM .
Radiación radiación magnética AMkLM con ΠAM
kLM = (−)L−1AMkLM .
El número de onda k se discretiza usando las condiciones de
contorno E‖ = 0 y B⊥ = 0 en la superficie de una esfera de radio
mucho mayor que el radio nuclear.
Solución general
A(r , t) =∑
ξkLM
{
a∗ξkLMA
ξkLM(r)e−ikct + c.c
}
con ξ = {E ,M}
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Hamiltoniano del campo
Hamiltoniano del campo
Hfield =∑
ξkLM
(~ck)1
2
(
a∗ξkLMaξkLM + c.c
)
Cuantificación del campo electromagnéctico
Hfield es el Hamiltoniano del oscilador armónico Hho = ~ωa∗a, al quese le puede aplicar las reglas de cuantización canónica: las variables
a∗ y a son reemplazadas por operadores de creación a† y de
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
2L momentos de una partícula
Momento dipolar (2L=1 = 2) magnético µ de una partícula en elestado j
µ =
√
4π
3
√
j
(j + 1)(2j + 1)〈j||T (M1)||j〉
µ = µN1 − (−)l+j+ 1
2 (2j + 1)
4(j + 1)
{
gs − gl
[
2 + (−1)l+j+ 12 (2j + 1)
]}
La integral radial es 1 porque las funciones están normalizadas (verdetalles en la sección Práctica:
∫
Rj(r) rL−1 Rj(r) r2dr ).
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
2L momentos de una partícula
Momento dipolar (2L=1 = 2) magnético µ de una partícula en elestado j
µ(j = l +1
2) = µN
{
gl j +1
2(gs − gl)
]
µ(j = l − 1
2) = µN
{
gl j − j
2j + 2(gs − gl)
]
(1)
Se define como Schmidt lines la gráfica de µ(j = l ± 12) versus j.
Los valores experimentales de los momentos dipolares de todos los
núcleos impares (no sólo los de una partícula) se encuentrancomprendidos entre las lineas de Schmidt. Los valores
experimentales pueden reproducirse usando µ(j = l ± 12) con valores
efectivos de los factores g.
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
2L momentos de una partícula
Momento cuadrupolar (2L=2 = 4) eléctrico Q de una partícula enel estado j
Q =
√
16π
5
√
j(2j − 1)
(j + 1)(2j + 1)(2j + 3)〈j||T (E2)||j〉
Q =3 − 4j(j + 1)
2(j + 1)(2j + 3)
∫
R2(r) r4dr
Q es sensible a la función de onda.
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Outline
1 Motivacion
2 Hamiltoniano
3 Hamiltoniano del campo
4 Operadores de Transición
5 Probabilidades de Transición
6 Momentos multipolares
7 Práctica
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Transiciones electromagnéticas en núcleos de una partícula
Estados de una partícula
|ΨJi〉 = |ji〉 = c†
i |0〉 |ΨJf〉 = |jf 〉 = c†
f|0〉
Probabilidad de Transición por unidad de tiempo
T(ξL)fi =
2
ǫ0~
L + 1
L[(2L + 1)!!]2
(
Eγ
~c
)2L+1
B(ξL; Ji → Jf )
Probabilidad de Transición reducida
B(ξL; Ji → Jf ) =1
2Ji + 1|〈ΨJf
||T (ξ)L ||ΨJi
〉|2
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Transiciones electromagnéticas en núcleos de una partícula
Elemento de matriz reducido
〈ΨJf||T (ξ)
L ||ΨJi〉 = L−1
∑
ab
〈a||T (ξ)L ||b〉〈jf ||[c†
acb]L||ji〉
con 〈jf ||[c†a cb]L||ji〉 = Lδaf δbi
〈Ψjf ||T(ξ)L ||Ψji 〉 = 〈jf ||T (ξ)
L ||ji 〉
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Transiciones electromagnéticas en núcleos de una partícula o un agujero
Probabilidad de transición reducida en núcleos de una partícula
B(ξL; Ji → Jf ) =1
2ji + 1|〈jf ||T (ξ)
L ||ji 〉|2
con |ΨJi〉 = c
†i |0〉; |ΨJf
〉 = c†f |0〉 y ξ = {E ,B}
Probabilidad de transición reducidad en núcleos con un agujero
B(ξL; Φji → Φjf ) =1
2ji + 1|〈jf ||T (ξ)
L ||ji〉|2
con |Φi〉 = h†i |0〉; |Φf 〉 = h
†f |0〉 y ξ = {E ,B}
Queda pendiente dar los valores de los elemento de matriz reducido
〈a||T (ξ)L ||b〉
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Elemento de matriz reducido eléctrico
Elemento de matriz reducido eléctrico de una partícula
〈a||T (E)L ||b〉 =
e
4π(−)jb+L− 1
21 + (−)la+lb+L
2Lja jb
(
ja jb L12
− 12
0
)
∫
Ra(r) rL Rb(r) r2dr
Para tener en cuenta correlaciones partícula-agujero se suele utilizarvalores efectivos para las cargas: eproton = (1 + χ)e, eneutron = χdonde χ se la define como la constante de polarización eléctrica.
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Elemento de matriz reducido magnético
Elemento de matriz reducido magnético de una partícula
〈a||T (B)L ||b〉 =
µN
c√
4π(−)jb+L− 1
21 + (−)la+lb+L
2Lja jb
(
ja jb L12
− 12
0
)
(L − κ)
[
gl
(
1 +κ
L + 1
)
− 1
2gs
]
∫
Ra(r) rL−1 Rb(r) r2dr
con κ = (−1)la+ja+12 (ja +
12) + (−1)lb+jb+
12 (jb + 1
2)
Utilizando valores efectivos para los coeficientes giromagnéticos se
pueden reproducir los valores experimentales del momento dipolar
magnético.
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Estados agujero de una partícula
Estados del protón en el Nitrógeno
|15N; 1/2−gs〉 = h
†π 0p1/2
|0〉
|15N; 3/2−〉 = h†π 0p3/2
|0〉
Estados del neutrón en el Oxígeno
|15O; 1/2−gs〉 = h
†ν 0p1/2
|0〉
|15O; 3/2−〉 = h†ν 0p3/2
|0〉
Dibujar niveles del shell model.
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Niveles de energía de los núcleos 15N y 15O
Crédito: J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus. 2007.
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Probabilidad de transición reducida
J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus. 2007:
Transición E2
B(E2; (0p3/2)−1 → (0p1/2)
−1) =1
4(〈0p1/2||T (E)
2 ||0p1/2〉)2
B(E2;15 N) = 4.270e2fm4
B(E2;15 O) = 0
utilizando oscilador armónico como función de onda con longitud del
oscilador b = 1.1712 fm.
B(E2;15 O) sería no nulo usando carga efectiva.
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Probabilidad de transición reducida
J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus. 2007:
Transición M1
B(M1; (0p3/2)−1 → (0p1/2)
−1) =1
4(〈0p1/2||T (M)
1 ||0p1/2〉)2
=1
4(−0.564gl + 0.564gs)
2(µN
c
)2
no depende de la función de onda.
B(M1;15 N) = 1.673(
µN
c
)2
B(M1;15 O) = 1.164(
µN
c
)2
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Probabilidad de transición
Utilizando la relación entre la probabilidad de transición y la
probabilidad de transición reducida:
T(ξL)fi =
2
ǫ0~
L + 1
L[(2L + 1)!!]2
(
Eγ
~c
)2L+1
B(ξL; Ji → Jf )
y utilizando la enegía experimental Eγ = ε0p3/2 − ε0p1/2, calculamosla probabilidad de transición por untidad de tiempo para cada
decaimiento T(M1)fi y T
(E2)fi (J. Suhonen, From Nucleons to Nucleus.
2007):
T(E2)fi (15O) = 0 s−1
T(M1)fi
(15O) = 4.878 × 1015 s−1
T(E2)fi (15N) = 5.282 × 1013 s−1
T(M1)fi (15N) = 7.527 × 1015 s−1
Motivacion Hamiltoniano Hamiltoniano del campo Operadores de Transición Probabilidades de Transición Momentos multipolares Práctica
Tiempo de vida medio
Finalmente, utilizando la relación entre el tiempo de vida medio y laprobabilidad de transición: τ = ln2