Transformation de Laplace I. Intégrale s généralis ées ( ou intégral es impropres ) II. Fonctions causales III. Transformée de Laplace IV. Propriét és V. Théorème de la valeur i nitiale admis VI. Théorème de la valeur finale admis VII . Transfor mée d'une fonc tion péri odique VII I. Original d’une fonc tion IX. Applicat ions A.BENHARI Page 1
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Soient a et b deux réels tels que 0 a b< < et k un
nombre réel .La fonction créneau est définie par
( )( ) ( ) ( ) g t k t a t b= − − −U U
g) Du graphique à la formule• Sur l’intervalle ] ;1]− ∞ , on reconnaît ( ) ( ) f t t t = U .
• Sur l’intervalle [1;2[ , avec ( ) ( ) f t t t = U ,
on obtient le segment 1[ ] AB et pour passer
de 1[ ] AB à[ ] AB , Il suffit d’ajouter ( 1) ( 1)t t − − −U .
Donc sur ] ; 2]− ∞ , ( ) ( ) ( 1) ( 1) f t t t t t = − − −U U .• Sur [2 ;3[ , avec l’expression ci-dessus
de ( ) f t , on obtient le segment 1[ ] BC et on a vu que
pour passer de 1[ ] BC à[ ] BC , il suffit d’ajouter ( 2) ( 2)t t − − −U .
Donc sur ] ; 3]− ∞ , ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) f t t t t t t t = − − − − − −U U U .• Sur [3 ; [+∞ , avec l’expression ci-dessus de ( ) f t , on obtient la demi-droite [ )Cu et on a vu que pour passer
de la demi-droite [ )Cu à [ )Ct , il suffit d’ajouter ( 3) ( 3)t t − −U .
En définitive , pour tout nombre réel t, ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3) f t t t t t t t t t = − − − − − − + − −U U U U .t −∞ 0 1 2 3 +∞
on obtient le segment 1[ ] AB et on a vu pour passer de
1[ ] AB à [ ] AB ,il suffit d’ajouter 0 0
0
( ) ( ) E
t t t t t
− − −U .
Donc sur 0] ; 2 ]t − ∞ , 0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) E E f t t t t t t t t t
= − − −U U .
• Sur 0 0[ 2 ;3 [t t , avec l’expression ci-dessus de f(t) , on obtient le segment 1[ ] BC et on a vu que pour passer
de 1[ ] BC à [ ] BC , il suffit d’ajouter 0 0
0
( 2 ) ( 2 ) E
t t t t t
− − −U .
Donc sur 0] ; 3 ]t − ∞ , 0 0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) E E E
f t t t t t t t t t t t t t t
= − − − − − −U U U .
• Sur 0[3 ; [t +∞ , avec l’expression ci-dessus de ( ) f t , on obtient la demi-droite [ )Cu et on a vu que pour
passer de la demi-droite [ )Cu à [ )Ct , il suffit d’ajouter 0 0
0
( 3 ) ( 3 ) E
t t t t t
− −U . En définitive , pour tout nombre
réel t, 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) E E E E f t t t t t t t t t t t t t t t t t t t
= − − − − − − + − −U U U U
2.A l’aide d’un tableau , donner l’expression de f(t) sur chacun des intervalles où elle est définie
Remarque : dans l’expression obtenue pour ( ) f t on va donc remplacer ( 1)t − par 0( )t t − , ( 1)t − par 0( 2 )t t − et( 3)t − par 0( 3 )t t − . D’autre part la droite (OA ) , où Aa pour coordonnées ( 1 ; 1 ) , de coefficient
directeur 1 est remplacée par la droite ( OA’) , où A’ a pour coordonnées ( 0t ; E ) de coefficient
directeur 0/ E t et de même , par symétrie , la droite ( B’C’ ) a pour coefficient directeur 0/ E t − .
cas général :t −∞ 0 0t 2 0t 3 0t +∞
0
( ) E t t t
U 00
E t t 0
E t t 0
E t t 0
E t t
0 0
0
( ) ( ) E
t t t t t
− − −U0 0
0
0
( ) E
t t t
− − 0
0
( ) E
t t t
− − 0
0
( ) E
t t t
− −
0 0
0
( 2 ) ( 2 ) E
t t t t t
− − −U0 0 0
0
0
( 2 ) E
t t t
− − 0
0
( 2 ) E
t t t
− −
0 0 0( / )( 3 ) ( 3 ) E t t t t t − −U 0 0 0 0 0 0( / )( 3 ) E t t t −( ) f t 0 0( / ) E t t E
0( / ) 3 E t t E − + 0
i) De la formule au graphique
Déterminer la représentation graphique de la fonction causale ( ) f t définie sur ¡ par :
( ) ( ) 2( 1) ( 1) 2( 2) ( 2) ( 3) ( 3)U U U U f t t t t t t t t t = − − − + − − − − − .
1. à l’aide d’un tableau donnant l’expression de ( ) f t dans chacun des intervalles à considérer.
2. En donnant l’expression de ( ) f t sur chacun des intervalles ] ;0]− ∞ ; [0;1[ ; [1;2[ ; [2;3[ et [3; [+∞ .t −∞ 0 1 2 3 +∞
• Sur l’intervalle [1;2[ , avec ( ) ( ) f t t t = U , on obtient le
segment 1[ ] AB et pour passer de 1[ ] AB à 2[ ] AB ,puis
de 2[ ] AB à [ ] AB .Il suffit d’ajouter 2( 1) ( 1)t t − − −U .
Donc sur ] ; 2]− ∞ , ( ) ( ) 2( 1) ( 1) f t t t t t = − − −U U .• Sur [ 2 ; 3 [ , avec l’expression ci-dessus
de ( ) f t , on obtient le segment 1[ ] BC et on a vu
que pour passer de 1[ ] BC à [ ] BC , il suffit d’ajouter
2( 2) ( 2)t t − −U . Donc sur ] ; 3]− ∞ , ( ) ( ) 2( 1) ( 1) 2( 2) ( 2) f t t t t t t t = − − − + − −U U U .• Sur [3 ; [+∞ , avec l’expression ci-dessus de ( ) f t , on obtient la demi-droite [ )Cu et on a vu que pour passer
de la demi-droite [ )Cu à [ )Cv , il suffit d’ajouter ( 3) ( 3)t t − − −U .
En définitive , pour tout nombre réel t, ( ) ( ) 2( 1) ( 1) 2( 2) ( 2) ( 3) ( 3) f t t t t t t t t t = − − − + − − − − −U U U U .
Exercices
1.Représenter graphiquement la fonction définie par : a. ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) f t t t t t t = − − − − −U U U .
b. ( ) ( ) 2( 1) ( 1) ( 2) ( 2) f t t t t t t t = − − − + − −U U U . c. ( ) ( ) 2( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) g t t t t t t t = − − − + − −U U Uπ π π π
2. Représenter graphiquement la fonction définie par :
a. ( ) cos ( ) f t t t = U ; b. ( ) sin ( ) f t t t = U ; c. 2( ) ( ) f t t t = U d. ( ) ( )t f t e t −= U e. ( )( ) ( )
t f t e t
− −= −Uτ
τ .
III.TRANSFORMEE DE LAPLACE
1) Définition :
On appelle transformée de Laplace d'une fonction causale f la fonction f L définie par
0 0( ) ( ) ( ) lim ( )
x pt pt
x F p f t f t e dt f t e dt
+∞ − −
→+∞ = = = ∫ ∫ L , où p est un nombre complexe.
Dans ce chapitre , on choisira pour p un réel strictement positif .
2) Transformations des fonctions usuelles
a) Fonction échelon unité
La transformée de Laplace de la fonction échelon en utilisant la définition est :
00
1 1( )
x px x pt pt e
t e dt e p p p
−− − − = = = −
∫ L U Comme 0 p > , lim 0 px
xe−
→+∞= , on en déduit
1( )t
p = L U
.
b) Transformée de Laplace de ( )at t e t −a U , a réel ou complexe
Il faut calculer ( )
0 0( ) ( )at at pt a p t e t e t e dt e dt
+∞ +∞− − − − + = = ∫ ∫ L U U posons( )
0( )
x p a t I x e dt − += ∫
Si 0 p a+ = , 0( )
x
I x dt x= =∫ , donclim ( )
x
I x→+∞
= +∞et l’intégrale
( )
0( )
x p a t
I x e dt
− +
= ∫ diverge.
Si 0 p a+ ≠ ,( )
( ) ( )
0
0
1 1( )
x p a t
x p a t p a xe I x e dt e
p a p a p a
− +− + − + −
= = = − + + +
∫ , on suppose que ( ) 0e R p a+ >
donc( )lim 0 p a x
xe− +
→+∞= et
1lim ( )
x I x
p a→+∞=
+ .
On a donc1
( )at
e t p a
− = +L U si ( ) ( )e e R p R a> − .
c) Fonctions puissances nt t a ( *n N ∈ )
n = 1 Considérons la fonction 1( ) ( ) f t t U t = , on obtient : 10 0
+∞ − = ∫ . Comme la variable p n’apparaît que dans l’exponentielle nous avons :
0 0'( ) ( ) ( )
pt pt d F p f t e dt tf t e dt
dp
+∞ +∞− − = = − ∫ ∫ , soit encore
0( ) ( ) ( ) '( )
pt t f t t t f t e dt F p+∞ − = = − ∫ L U .
0( ) ( ) ( ) '( )
pt t f t t t f t e dt F p+∞ − − = − = ∫ L U .
Exemple : on sait que :1
( )at e t
p a
− =
+
UL , soit g la fonction causale sur ¡ définie par ( ) ( ) ( ) g t t f t t = − U
Donc ( ) ( ) g t t f t = pour tout réel t .donc g a pour transformée de Laplace 'G F = − .
Or 1
( ) F p p a
=+ , donc 2
1'( )
( ) F p
p a= −
+.Donc 2
1( )
( )G p
p a=
+.
h) Théorème admis : Si ( ) ( ) ( ) F p f t t = L U , et si0
( ) ( ) ( )t
t f u t duϕ = ∫ U alors
1( ) ( ), 0t F p avec p
p ϕ = ≠ L
Inversement, considérons la transformation de Laplace de la primitive d'une fonction f (t ) :
0 0( ) ( )
pt
t f u du e dt
+∞ +∞ −
ϕ = ∫ ∫ L
. Intégrons par partie : 0 00
1 1
( ) ( ) ( )
pt pt
t e f u du f t e dt p p
+∞+∞ +∞
− −
ϕ = − + ∫ ∫ L
.
Avec la même réserve sur le comportement de la primitive de la fonction ( ) f t lorsque t tend vers l’infini ,
nous obtenons :0
1( ) ( ) ( ) f u t du F p
p
+∞ = ∫ L U .
Exemple :soit la fonction causale f définie sur ¡ par ( ) ( )t f t e t −= U , une de ses primitives est la fonction
( ) ( )t g t e t c−= − +U qui prend la valeur 1− pour 0t = .donc la primitive de f qui s’annule pour 0t = est
( ) (1 ( )t g t e t −= − )U .Par linéarité de la transformation de Laplace , nous avons directement la
transformée de Laplace de cette fonction :1 1 1
( )1 ( 1)
G p p p p p
= − =+ + et
( ) 1/( 1) 1
( 1)
F p p
p p p p
+= =
+
V. Théorème de la valeur initiale admis
On suppose que f ’ admet une transformée de Laplace . On admet que
0 0lim '( ) lim '( ) pt pt
p p f t e dt f t e dt
+∞ +∞− −
→+∞ →+∞
=
∫ ∫ . On sait que : '( ) ( ) ( ) (0 ) f t t pF p f
+ = − L U .
Alors , comme lim '( ) 0 pt
p f t e−
→+∞= , on a : lim ( ) (0 )
p pF p f +
→+∞= si la limite est finie
VI. Théorème de la valeur finale admis
On suppose que f ’ admet une transformée de Laplace . On admet que
0 00 0lim '( ) lim '( ) pt pt
p p f t e dt f t e dt
+∞ +∞
− −→ →
= ∫ ∫ . Or , 0lim '( ) '( )
pt
p f t e f t −
→ = et donc
00 0lim '( ) ( ) lim ( ) (0 ) pt
p t f t e dt f t f t f
+∞ +∞− +
→ →+∞
= = −
∫ .De '( ) ( ) ( ) (0 ) f t t pF p f + = − L U ,
on déduit alors : 0lim ( ) lim ( ) p t
pF p f t → →+∞
= si les limites sont finies.
VII Transformée d'une fonction périodique
Considérons une fonction périodique de période T pour 0t > et identiquement nulle pour 0t < :La fonction ( ) f t peut être vue comme une somme de fonctions définies chacune sur une période :
On pouvait bien évidemment mettre en œuvre la troisième solution en écrivant directement
2 2
2( )
( 1)( 1)( 9) ( 9)
p a b cp d F p
p p p p p p
+ += = + +
++ + +et en exploitant la méthode vue ci-dessus; on obtient
directement le 2 2 2
2 2 1 (11/ 90) 1/ 30( )
9 10( 1)( 1)( 9) ( 9) ( 9)
p p F p
p p p p p p p
+= = − − −++ + + +
.résultat pour F(p) soit
2 2
2 1 (11/90) 1/30( )
9 10( 1) ( 9) ( 9)
p F p
p p p p= − − −
+ + +et son original identique au résultat ci-dessus.
On notera que si les trois méthodes conduisent au même résultat final, c'est évidemment la troisième qui se
révèle ici la plus rapide. Mais ce n'est pas toujours le cas.
Exercice 2
Trouver les solutions causales de l’équation différentielle
"( ) ( ) ( )
(0 ) '(0 ) 0
s t s t f t
s s+ +
+ =
= =.
Si ( ) s t vérifie l’équation différentielle , alors la transformée
de Laplace de ( ) ( ) s t t U (avec ( )t U fonction causale unité)
( "( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) s t t s t t f t t + =L U L U L U
Calcul de ( )S p : Si ( )S p désigne la transformée de Laplace de ( ) s t , on a :2 2( "( ) ( )) ( ) (0) '(0) ( ) s t t p S p ps s p S p= − − =L U et ( ( ) ( )) ( ) s t t S p=UL .
/ 2/ 2 / 2 / 2
0 0 / 2 0 0
1 1( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1
pt pt pt pt pt p f t t f t e dt f t e dt f t e dt f t e dt e e
p p
π π π π
π
+∞ +∞− − − − − − = = + = + = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ L U
L’équation différentielle se ramène à :2 / 21
(1 ) ( ) 1 p p S p e p
− + = − π
, d’où/ 2
2
1( ) 1
(1 )
pS p e p p
− = − +π
/ 2 / 2
2 2 2 2
1 1( )
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
p pe p eS p
p p p p p p p p
− −
= − = − −+ + + +
π π
Calcul de ( ) s t , on passe aux transformées inverses :