Transformasi Fourier Waktu Diskrit (Discrete Time Fourier ...

Edisi Semester 1 17/18 EYH 1

Transformasi Fourier Diskrit6

6.1 Pencuplikan Domain Frekuensi :Transformasi Fourier Diskrit

6.1.1 Pencuplikan Domain Frekuensi dan Rekonstruksi Sinyal Waktu Diskrit

Transformasi Fourier Waktu Diskrit (Discrete Time Fourier Transform (DTFT))

dari sinyal aperiodik waktu diskrit

( )j j n

n

X e x n e


Uniform sampling of DTFT spectrum and the evaluate at 2 /k N

2

2 2 21 1 2 1

0

21

2, 0,1,..., 1

... ...

=

Change the index to -

kj n

N

n

k k kN Nj n j n j nN N N

n N n n N

klN N j nN

l n lN

kX x n e k N

N

x n e x n e x n e

x n e

n n lN

21

0

21

0

2 , 0,1,..., 1

2 , 0,1,..., 1

kN j nN

n l

p

l

kN j nN

p

n

kX x n lN e k N

N

x n x n lN

kX x n e k N

N


21

0

21

0

21

0

dinyatakan dalam deret Fourier

0 1 1

1 0 1 1

1 2 0 1 1

1 2 0 1 1

dapa

p

kN j nN

p k

k

kN j nN

k p

n

k

kN j nN

p

k

x n

x n c e ,n , ,...,N

c x n e ,k , ,...,NN

kc X , k , ,...,N

N N

kx n X e ,n , ,...,N

N N

x n

t diperoleh kembali dari bila tidak ada aliasing

dalam domain waktu. Artinya terbatas panjangnya, dan lebih kecil

atau sama dengan perioda dari

p

p

x n

x n

N x n .


DTFTx(n)

cuplikX(ej)

IDFTX(k)

0 ≤ n < N-A ≤ n < B

xp(n)


k

Spektrum sinyal waktu diskrit aperiodik dengan panjang dapat diperoleh

kembali dari sampel-sampel pada frekuensi 2 bila .

2 dapat diperoleh dari dengan interpolasi.

1 2

j

p

L

k / N , N L

kX e X

N

x n XN

21

0

21 1

0 0

1 12

0 0

1

0

0 1 1

1 2 =

2 1 =

21 1 1 Bila

1

kN j nN

k

kN- N j nj j nN

n k

N Nj k / N n

k n

j NNj j n

jn

ke ,n , ,...,N

N

kX e X e e

N N

kX e

N N

sin N /eP e e

N N e N sin

1 2

12

0

maka2

2 =

j N /

Nj k / Nj

k

e/

kX e X P e , N L

N


DFT and DTFT

DTFT

DFT

• frekuensi kontinu

• x(n), -<n<

• frekuensi diskrit k=N/2• x(n), 0≤n<N

j j n

n

X( e ) x n e

21

0

knN jN

n

X k x n e


DFT and DTFT

• Sample DFT adalah DTFT pada frekuensi diskrit :

X(ej)X(k)

k=1...

2j

k

N

X k X( e )


Finite impulse

1 0

0 1 1

nx n

n ..N

2

1

01

knjN

N

nX k x k e k


Sinusoid periodik :

2 2

2 2 21

0

2

1

2

1

2

2

0

rn rnj

N N

rn rn knj jN

N N N

n

rnx n cos , r I

N

e e

X k e e e

N / k r,k N r

lainnya


6.1.2 Transformasi Fourier Diskrit (TFD)

21

0

21

0

TFD 0 1 2 1

1Invers TFD 0 1 2 1

kN j nN

n

kN j nN

k

X k x n e , k , , ,...,N -

x n X k e , n , , ,...,N -N


6.1.3 TFD sebagai Transformasi Linier

1

0

2

1

0

, 0,1,..., -1

1, 0,1,..., -1

Nkn

N

n

jN

N

Nnk

N

k

X k x n W k N

W e

x n X k W n NN


2

1 2 1

2 4 2 1

1 2 1 1

1 1 1 10 0

11 1

12 2

1 11

0 0

1 1

= 2 2

1 1

( N )

N N N

( N )

N N N

( N ) ( N ) ( N )

N N N

N N

X x

W W WX x

W W WX x

X N x NW W W

X x

X x

X x

X N x N

X x

2

1 2 1

2 4 2 1

1 2 1 1

1 1 1 1

1

1 matriks transformasi linier

1

=

( N )

N N N

( N )

N N NN

( N ) ( N ) ( N )

N N N

N N N

N

W W W

W W WW

W W W

W

X x

x-1 N NW X


6.2 Sifat-sifat TFD

6.2.1 Sifat Periodik, Linier dan SimetrisPeriodik

Linier

Sifat Simetri sirkular deretan

Bila dan adalah pasangan TFD N sampel, maka

x n X k

x n N x n n

X k N X k k

TFD TFD

N N

TFD

N

Bila dan

maka

x n X ( K ) x n X ( K )

a .x n a .x n a X ( k ) a X ( k )

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

sampel TFD dari panjang ekivalen dengan sampel TFD

dari deretan periodik dengan perioda ,

Bila deretan periodik digeser k sampel ke k

p

p

l

p

N x n L N N

x n , N

x n x n lN

x n

anan maka

0 1

0 lainnya

Pergeseran sirkular deretan dapat direpresentasikan dengan indeks modulo N.

px ' n , n N -x' n

,


Pergeseran sirkular deretan dapat direpresentasikan dengan indeks modulo .

modulo

Misal, 2 dan 4,

N

N

x' n x n k , N

x n k

k N

4

4

4

4

2

0 2 2

1 1 3

2 0 0

x' n x n

x' x x

x' x x

x' x x

4

3 1 1x' x x

Deretan sampel disebut deretan genap sirkular jika simetris terhadap titik nol.

Implikasi

1 1

Deretan sampel disebut deretan ganjil sirkular

N

x N - n x n n N -

N

jika antisimetris terhadap titik nol.

Implikasi

1 1

Pembalikan terhadap waktu untuk deretan sampel adalah

=N

x N - n x n n N -

N

x -n

0 1x N - n n N -


Sifat Simetris TFD

Deretan bernilai riil

Bila riil

Konsekuensi dan

Deretan riil genap

Bila riil dan genap, yaitu maka 0

TFD -nya menjadi

I

n

x n

X N - k X k X -k

X N - k X k X N - k X k

x n x n x N - n X k

X k x n

1

0

1

0

2 0 1

fungsi genap bernilai ril.

1 2Invers TFD -nya menjadi 0 1

Deretan riil ganjil

Bila riil dan ganjil yaitu maka 0

N-

N-

k

R

kncos k N

N

X k

knx n X k cos n N

N N

x n x n - x N - n X k

1

0

1

0

2TFD -nya menjadi 0 1

fungsi ganjil bernilai imajiner.

1 2Invers TFD -nya menjadi 0 1

N-

n

N-

k

knX k j x n sin k N

N

X k

knx n j X k sin n N

N N


6.2.2 Sifat Konvolusi Sirkular

Bila ( ) dan ( )

maka ( ) ( )

, ,..., -

1 1 2 2

1 2 1 2

1

1 2 1 2

0

0 1 1

TFD TFD

N N

TFD

N

N

k N

x n X k x n X k

x n x n X k X k

x n x n x k x n k n N

Contoh

Tentukan konvolusi sirkular 4 sampel dari dua deretan berikut

, , , , , , , ,

=

x n x n

x n x n

1 2

3 1

2 1 2 1 1 2 3 4

=

=

=

=

, , ,

k

k

k

k

x n

n x x k x k

n x x k x k

n x x k x k

n x x k x k

x n

2

3

3 1 2

0

3

3 1 2

0

3

3 1 2

0

3

3 1 2

0

3

0 0 14

1 1 1 16

2 2 2 14

3 3 3 16

14 16 14 16


Konvolusi sirkular :

• Contoh: g[n]={1 2 0 1}

n1 2 3

h[n]={2 2 1 0}

n1 2 3

1

2

0

1

nh[<n - 0>4]

1 2 3

nh[<n - 1>4]

1 2 3

nh[<n - 2>4]

1 2 3

nh[<n - 3>4]

1 2 3

n

g[n] h[n]={4 7 5 4}

1 2 3

4

check: g[n] h[n]

={2 6 5 4 2 1 0}*

g m h n mN

m0

N1

g m h n mN

m0

N1

G[k]H[k]

]n[h]n[g N


6.2.3 Sifat TFD Lainnya

/

Pembalikan waktu

Bila ( )

maka )

Bukti

TFD - -

Indeks diganti menjadi -

12

0

TFD

N

TFD

NN N

Nj kn N

n

x n X k

x n x N n X k X N k

x N n x N n e

n m N

/

/

/

TFD -

=

=

, -

12

0

12

0

12

0

0

Nj k N m N

m

Nj km N

m

Nj m N k N

m

N

n

x N n x m e

x m e

x m e X N k

X N k X k k N

1


/

/

Pergeseran waktu sirkular deretan

Bila ( )

maka

Bukti

TFD

2

12

0

TFD

N

TFD j kl N

NN

Nj kn N

N Nn

x n X k

x n l X k e

x n l x n l e

/ /

/ /

=

-

= -

1 12 2

0

1 12 2

0 0

l Nj kn N j kn N

Nn n l

N

l lj kn N j kn N

Nn n

x n l e x n l e

x n l x N l n

x n l e x N l n e

/

//

/

/

=

TFD

12

1 122

0

12

0

2

Nj k m l N

m N l

N N lj k m l Nj kn N

n l m

Nj k m l N

Nm

j kl N

x m e

x n l e x m e

x n l x m e

X k e


ln/

Pergeseran frekuensi sirkular

Bila ( )

maka

Sifat konjugat kompleks

Bila ( )

maka

2

TFD

N

TFDj N

N N

TFD

N

x n X k

x n e X k l

x n X k

x

Perkalian dua deretan

Bila ( ) dan ( )

maka ( ) ( )

Teorema Parseval

Bila

1 1 2 2

1 2 1 2

1

TFD

N N

TFD TFD

N N

TFD

N

TFD

N

n X k X N k

x n X k x n X k

x n x n X k X kN

x n

- -

- -

( ) dan ( )

maka ( ) ( )

Bila

( )

1 1

0 0

1 12 2

0 0

1

1

TFD

N

N N

n k

N N

n k

X k y n Y k

x n y n X k Y kN

y n x n

x n X kN


6.3 Metoda Pemfilteran Linier dengan TFD

6.3.1 Pemfilteran Linier dengan TFD

Misal filter FIR dengan respon impuls panjang , diberi input dengan panjang ,

, dan

, dan

K

0 0

0 0

h n M x n L

x n n n L

h n n n M

eluaran filter FIR tersebut adalah,

Panjang adalah - .

Dalam domain frekuensi

( ) ( ). ( )

Bila direprese

1

k

j j j

y n x k h n k x n h n

y n M L

Y e X e H e

y n

ntasikan secara unik dalam domain frekuensi oleh sampel-sampel

spektrum ( ) yang terdiri dari satu set frekuensi diskrit maka jumlah sampel

frekuensi diskrit minimum - .

Oleh karena itu ukura

1

jY e

M L

n DFT - agar dapat merepresentasikan

dalam domain frekuensi.

( ) , ,..., -

= ( ). ( ) , ,..., -

2

2

1

0 1 1

0 1 1

j

k

n

jj

k

n

N M L

y n

Y k Y e k N

X e H e k N

Y k X k H

, ,..., -

Sinyal dan disisipkan sampel bernilai nol (zero padding) hingga panjangnya ampel.

0 1 1k k N

x n h n N s


Contoh

Tentukan respons untuk filter FIR dengan respon impuls yang diberi input .

, , , , , , ,

1 2 3 1 2 2 1

y n h n x n

h n x n

Solusi

Panjang adalah 4, panjang adalah 3. Panjang sinyal hasil konvolusi linier adalah 6.

Jumlah sampel DFT minimum 6. Untuk menyederhanakan proses perhitungan digunakan 8.

x n h n

N

= 1 + 2 +2

2 37

8 4 2 4

0

2 2 4 3 2 2 2 4 3 20 6 1 2 1 3

2 2 2 2

2 2 4 3 24 0 5 6 1

2 2

k k k kj n j j j

n

X k x n e e e e

X X j X j X j

X X j X j

= 1 + 2 +3

27

8 4 2

0

2 2 4 3 27

2 2

0 6 1 1 2 3 2 2 2 2 3 1 2 3 2

4 2 5 1 2 3 2 6 2 2

k k kj n j j

n

X j

H k x n e e e

H H j H j H j

H H j H j

, , , ,

, , , ,

7 1 2 3 2

0 36 1 14 07 17 48 2 4 3 0 07 0 515

4 0 5 0 07 0 515 6 4 7 14 07 17 48

H j

Y k X k H k

Y Y Y j Y j

Y Y j Y j Y

, , ,...,

, , , , , , ,

Hasil konvolusi sirkular 6 sampel untuk dan adalah , , , , ,

Hasil konvolusi linier untuk dan

27

8

0

10 1 7

8

1 4 9 11 8 3 0 0

1 4 9 11 8 3

kj n

k

y n Y k e n

y n

x n h n

x n h

adalah , , , , , 1 4 9 11 8 3n


6.3.2 Pemfilteran Deretan yang Panjang

6.3.2.1 Metoda Overlap-save

Asumsi filter FIR, dengan h(n) panjang M.

Data input dipecah menjadi blok data yang panjangnya L sampel, L >> M

Data input diubah menjadi blok data input yang panjangnya N = L +M – 1.

M – 1 sampel pada blok data input sekarang berasal dari blok data input sebelumnya.

DFT N sampel dilakukan pada setiap blok data input.

Dilakukan zero padding sejumlah L-1 pada h(n) sehingga panjangnya N

dan selanjutnya dilakukan DFT N sampel.

Blok data input

1

2

1

1 points

2

new data points1 points from

3

1 points from

0 0 0 0 1 1

1 1 2 1

2 1 2 1

M

LM x n

M x n

x n , ,.., ,x ,x ,...,x L

x n x L M ,...,x L ,x L ,...,x L

x n x L M ,...,x L ,

new data points

2 3 1

L

x L ,...,x L


Perkalian N sampel DFT untuk {H(k)} dan {Xm(k)} blok data ke –k adalah

, ,..., -

sampel IDFT ,

... ...

sampel terakhir dari sama dengan hasil konvolusi linier

, ,..., -

0 1 1

0 1 2 1 1

1 1

m m

m

m m m m m m m

m

m m

Y k H k X k k N

N y n

y n y y y y M y M y N

L y n

y n y n n M M N


6.3.2.2 Metoda Overlap-add

Asumsi filter FIR, dengan h(n) panjang M.

Data input dipecah menjadi blok data yang panjangnya L sampel, L >> M

Data input diubah menjadi blok data input yang panjangnya N = L +M – 1.

Pada setiap blok data input ditambahkan zero M – 1 sampel .

DFT N sampel dilakukan pada setiap blok data input.

Dilakukan zero padding sejumlah L-1 pada h(n) sehingga panjangnya N

dan selanjutnya dilakukan DFT N sampel.

Blok data input

1

1 zeros

2

1 zeros

3

1 zeros

0 1 1 0 0 0

1 2 1 0 0 0

2 2 1 3 1 0 0 0

M

M

M

x n x ,x ,...,x L , , ,..,

x n x L ,x L ...,x L , , ,..,

x n x L ,x L ...,x L , , ,..,


, ,..., -

sampel IDFT ,

, ,..., , , ,..., , ,...

m m

m

Y k H k X k k N

N y n

y n y y y L y L y y L y y N y M y M

1 1 1 1 2 1 2 1 2 2

0 1 1

0 1 1 0 1 1 1 1

Perkalian N sampel DFT untuk {H(k)} dan {Xm(k)} blok data ke –m adalah

nhnx

nnnx

n ymenghitung

untuk 6N nmenggunaka add- overlap dan method

save-overlap nmenggunaka npemfiltera sikanImplementa

h dan 9 n0 ,

berikut; sebagai deretan 2 Diketahui

: Soal

1,0,11


Konvolusi Overlap-Add

n

x(n)

n

x0(n)

n

x1(n)

n

x2(n)

N 2N 3N

n

h(n) x0(n)

n

n

h(n)

n

h(n) x1(n)

h(n) x2(n)

nN 2N 3N

h(n) x(n)

valid OLA


. untuk tentukan Jika c.

untuk diatas deretan kedua sirkular konvolusi Tentukan b.

diatas deretan kedua linier konvolusi a.Tentukan

dan

berikut; sebagai deretan 2 Diketahui

Soal

7654,

7654

1,1,1,11,2,2,1

34

4

3

21

dan ,, Nnenxnxne

. dan ,, N

nx

nx

nxnx


9

0

2

adalah dari sample 10Diskrit Fourier siTransforma

90,52.0cos48.0cos

n

N

nkj

enxkX

nx

nnnnx

6.4 Analisa Frekuensi Sinyal dengan TFD


49

0

2


490,52.0cos48.0cos

n

N

nkj

enxkX

nx

nnnnx


51

0

2


510,52.0cos48.0cos

n

N

nkj

enxkX

nx

nnnnx


99

0

2


9910 0,

90,52.0cos48.0cos

n

N

nkj

enxkX

nx

n

nnnnx


9

0

2


90,52.0cos48.0cos

n

N

nkj

enxkX

nx

nnnnx


DFT

• DFT:

Bentuk matriks:

X[k] x[n]WNkn

n0

N1

WN e j

2

N( )

X[0]

X[1]

X[2]

X[N1]

1 1 1 1

1 WN1 WN

2 WN(N1)

1 WN2 WN

4 WN2(N1)

1 WN(N1) WN

2(N1) WN(N1)2

x[0]

x[1]

x[2]

x[N1]

WNr dgn N

harga berbeda

WN@2/N

algoritma efisien ?


Kompleksitas perhitungan

• (N perkalian kompleks + N-1 penjumlahan kompleks) N sample (k =

0..N-1)

– perkalian kompleks : (a+jb)(c+jd) = ac - bd + j(ad+bc)= 4 perkalian

real + 2 penjumlahan real

– penjumlahan kompleks = 2 penjumlahan real

• Total: 4N2 perkalian real, 4N2-2N penjumlahan real

X[k] x[n]WNkn

n0

N1


6.5 Fast Fourier Transform FFT

• Mengurangi kompleksitas DFT dari O(N2)

menjadi O(N·logN)

• Dekomposisi DFT menjadi beberapa tahap DFT yang lebih kecil DFT


Desimasi Waktu FFT

(Decimation in Time )

• Rumus DFT disusun sbb:

X k x n WNnk

n0

N1

x 2m WN2mk x 2m 1 WN

2m1 k m0

N21

x 2m WN2

mk

m0

N21

WNk x 2m 1 WN

2

mk

m0

N21

N/2 sample DFT dari x utk n genap N/2 sample DFT dari x utk n genap

X0[<k>N/2] X1[<k>N/2]


Desimasi Waktu FFT

(Decimation in Time )

• Deretan terbatas x[n], 0 ≤ n < N, N = 2M

– Panjangnya : pangkat 2

• Membagi TZ menjadi bgn genap dan ganjil

dari n :

X z x n znn0

N1

X0 z2 z1X1 z

2

X0 z x 2n znn0

N21

X1 z x 2n1 znn0

N21

TZ N/2 sample berasal dari

sample genap x[n]TZ N/2 sample berasal dari

sample ganjil x[n]


Decimation in Time (DIT) FFT

X0 k N2

WNkX1 k N2

X0 e j2k /N 2

e j2k /NX1 e j2k /N 2

DFTN x n ˆ X k X z ze j 2k /N WN1

X k DFTN2

x 2n WNkDFTN

2

x 2n1

e j2k /N 2 e

j2k / N /2 WN2

1

k = 0..N-1

N/2 sample DFT

k = 0..N/2-1


Decimation in Time (DIT) FFT

• Evaluasi N sample DFT diperlukan evaluasi N/2

sample DFT (plus beberapa mult/add)

• Bila DFTN{•} ~ O(N2)

maka DFTN/2{•} ~ O((N/2)2) = 1/4 O(N2)

Total komputasi~ 2 1/4 O(N2)

= 1/2 komputasi (+e) DFT secara langsung

DFTN x n DFTN2

x0 n WNkDFTN

2

x1 n


Flowgraph DIT 1 tahap

Struktur FFT klasik

Sample Genap

x[n]

Sample

Ganjil

x[n]

X k X0 k N2

WNkX1 k N2


• Bila dekomposisi satu DFTN menjadi dua

DFTN/2 yang lebih kecil dapat mereduksi

algoritma maka……..

Bagaimana jika selanjutnya dibagi menjadi

DFTN/4 ?

•

DIT beberapa tahap

X k X0 k N2

WNkX1 k N2

0 ≤ k < N

X0 k X00 k N4

WN2

kX01 k N4

0 ≤ k < N/2

N/4-sample DFT sample

genap dari subset genap x[n]

N/4-sample DFT sample

ganjil dari subset genap x[n]

X1 k X10 k N4

WN2

kX11 k N4


Flowgraph DIT 2 tahap


Multi-stage DIT FFT

• Desimasi dilakukan hingga 2 point DFT:

N = 2M-sample DFT berkurang menjadi M

tahap twiddle faktor & penjumlahan

perkalian real < M·4N , penjumlahan real <

2M·2N

complexity ~ O(N·M) = O(N·log2N)

DFT2

X[0] = x[0] + x[1]

X[1] = x[0] - x[1]-1 = W2

1

1 = W20

elemen“butterfly”


WNrN

2 e j

2 rN2

N

e j

2r

N e j

2N /2

N

WNr

Implementasi FFT

• Pada satu tahap :

• disederhanakan:

WNr

WNr+N/2

XX[r]

XX[r+N/2]

XX0[r]

XX1[r]

•••

•••

2 perkalian

kompleks

XX[r]

XX[r+N/2]

XX0[r]

XX1[r]WN

r -1

hanya 1

perkalian kompleks

SUB

Transformasi Fourier Waktu Diskrit (Discrete Time Fourier ...

Documents