-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Transformari
1 Notiunea de transformare liniaraProprietati. OperatiiNucleul
si imagineRangul si defectul unei transformari
2 Transformari liniare ntre spatii finit dimensionaleMatricea
unei transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei
unei transformari liniare
3 Valori si vectori propriiDiagonalizarea matricei unei
transformariPolinom caracteristic
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei
transformari
Notiunea de transformare liniara
Fie V si W spatii liniare peste , unde = R sau complexe = C.
Definitie
Se numeste transformare (operator) liniara functia f : V Wdaca
satisface
1 f (u + v) = f (u) + f (v), u, v V2 f ( u) = f (u), u V , .
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei
transformari
Proprietati
Propozitie
Daca f este o transformare liniara, atunci au loc1. f (0V ) =
0W2. f (u) = f (u), u V.
Demonstratie. 1. f (0V ) = f (0 0V ) = 0 f (0V ) = 0W .2. Din u
+ (u) = 0V deducem f (u) + f (u) = 0W , adicaf (u) = f (u).
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei
transformari
Spatiul transformarilor liniare
Fie V si W spatii liniare peste , unde = R sau complexe = C.
Notam
L(V ,W ) = {f : V W , f transformare liniara}.
TeoremaL(V ,W ) este spatiu liniar peste .
Demonstratie.Definim operatiile
f ,g L(V ,W ) (f + g)(u) = f (u) + g(u), u V .
f L(V ,W ), , ( f )(u) = f (u).
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei
transformari
Alte operatii cu transformari
TeoremaFie U,V ,W spatii liniare peste si f L(U,V ), g L(V ,W
).Atunci g f L(U,W )
TeoremaFie f L(U,V ) o transformare liniara bijectiva. Atunci
existaf1 si f1 L(V ,U).
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei
transformari
Nucleul si imagine
Definitie
Numim nucleu al transformarii liniare f : V W multimea
Ker f = {u V | f (u) = 0W .}
Definitie
Numim imagine a transformarii liniare f : V W multimea
Im f = {v W | u V , f (u) = v}.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei
transformari
Proprietati
Propozitie
Fie f : V W o transformare liniara atunci1. Ker f este subspatiu
liniar n V .2. Im f este subspatiu liniar n W.
Propozitie
Fie f : V W o transformare liniara atunci1. f este injectiva
daca si numai daca Ker f = {0V}2. f este surjectiva daca si numai
daca Im f = W.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei
transformari
Teorema1. Daca f L(V ,W ) atunci f transforma un sistem de
vectoriliniar dependenti ntr-un sistem de vectori liniar
dependenti.
2. Daca f L(V ,W ) este injectiva atunci f transforma unsistem
de vectori liniar independenti ntr-un sistem de vectoriliniar
independenti.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei
transformari
Demonstratie. 1. Presupunem ca u1,u2, ,un sunt liniardependenti;
exista i nu toti nuli astfel ca
ni=1
iui = 0V .
Aplicam f si avem
f (n
i=1
iui) =n
i=1
i f (ui) = 0W .
2. Presupunem ca u1,u2, ,un sunt liniar independenti. Fien
i=1
i f (ui) = 0W ,
care implica
f (n
i=1
iui) = 0W ,
decin
i=1
iui Ker f . Deoarece f este injectiva ker f = 0V , deunde i =
0,i = 1, ,n.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei
transformari
Morfisme
Definitie
Fie f : V W o transformare liniara atunci f se numesteizomorfism
daca f este bijectiva.
Daca V = W, atunci f se numeste endomorfism. Notam L(V )multimea
tuturor endomorfismelor.
Endomorfismul liniar f : V V se numeste automorfism, dacaf este
bijectiva.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Proprietati. OperatiiNucleul si imagineRangul si defectul unei
transformari
Rangul si defectul unei transformari
Definitie
Numim rangul transformarii f : V W liniare
dimensiuneasubspatiului Im f .
Definitie
Numim defectul transformarii f : V W liniare
dimensiuneasubspatiului Ker f .
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Transformari liniare ntre spatii finit dimensionale
Fie V ,W doua spatii liniare finit dimensionale, astfel ca
dim V = n, dim W = m, m,n N.Fie B1 = {e1,e2, ,en} o baza n V si
B2 = {g1,g2, ,gm} obaza n W . Au loc
f (e1) = a11f1 + a21f2 + + am1fmf (e2) = a12f1 + a22f2 + +
am2fm
f (en) = a1nf1 + a2nf2 + + amnfm
.
Relatiile sunt echivalente cu:
f (ei) =m
j=1
ajigj , i = 1, ,n. (1)
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
DefinitieMatricea
A = AB1,B2f = (aji), j = 1, m, i = 1, ,n
se numeste matricea transformarii n perechea de baze
B1,B2.Observatie. Matricea are pe coloane coordonatele vectorilorf
(ei) n baza din W .
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Teorema
ntre multimea transformarilor liniare L(V ,W ) si
multimeamatricelorMm,n() exista o corespondenta bijectiva.
Demonstratie. Fie f L(V ,W ), undedim(V ) = n, dim(W ) = m. Daca
folosim notatiile predente,avem pentru orice u V ,w W
u =n
i=1
xiei w =m
j=1
yj fj . (2)
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Demonstratie.
Au loc
w = f (u) = f (n
i=1
xiei) =n
i=1
xi f (ei) =
=n
i=1
xim
j=1
aji fj =m
j=1
(n
i=1
ajixi)fj
Deducem
yj =n
i=1
ajixi , j = 1, ,m (3)
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Daca notam Y =
y1y2 ym
X =
x1x2 xn
, relatia (3) devineY = A X . (4)
Oricare ar fi matriceleA Mm,n(), X Mn,1(), Y Mm,1(), relatia
(4)defineste o transformare liniara.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Consecinte
1. Tranformarea identic nula, f : V W , f (u) = 0W , arematricea
Om,n2. Transformarea identica f : V V , f (u) = u are matriceaA =
In.3. Daca f ,g L(V ,W ) au matricele A,B Mm,n() atuncif + g are
matricea A + B Mm,n().4. Daca , f L(V ,W ), iar f are matricea A
Mm,n(),atunci transformarea f are matricea A Mm,n().
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Compunerea transformarilor
5. Fie U,V ,W spatii liniare peste cudim(U) = n, dim(V ) = m,
dim(W ) = p, m,n,p N.Fie f L(U,V ), g L(V ,W ). Are sens
compunereag f L(U,W ).
f g
U V W
A Mm,n() B Mp,m()
.
Atunci transformarii g f i corespunde matriceaB A Mp,n().
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Inversarea unei transfromari
6. Daca V = W si f L(V ) cu matricea A Mn() este otransformare
inversabila, atunci transformarii f1 i corespundematricea A1.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Relatia dintre rang si defect
Fie V ,W spatii liniare peste cu dim(U) = n si dim(W ) = m.
TeoremaFie f L(U,W ) atunci are loc
dim(Im(f )) + dim(ker f ) = n.
Demonstratie. Fie A Mm,n() matricea lui f ntr-o perechede baze.
Atunci f (u) = w nseamna
A X = Y .Daca w Im(f ) atunci sistemul de mai jos este
compatibil
a11x1 + + a1n = y1a21x1 + + a2n = y2
am1x1 + + amn = ym
.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Sistemul este echivalent cu
C1x1 + + Cnxn = Y , (5)
unde C1, ,Cn sunt coloanele matricei A.Relatia (5) exprima
faptul ca Y Sp{C1, ,Cn}.Stim ca rang(A) = dim(Sp{C1, ,Cn}),
decirang(A) = dim(Im(f )).
Pe de alta parte ker f reprezinta multimea solutiilor unui
sistemliniar omogen, cu dimensiunea n rang(A), de unde
concluzia.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
TeoremaFie f L(V ) cu dim(V ) = n si B = {ei , ,en} o baza n V ,
ncare f are matricea A Mn().Fie B = {ei , ,en} o alta baza n V , n
care f are matriceaA Mn().Fie C matricea de schimbare de la baza B
la B.Are loc
A = C1 A C. (6)
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Matricea unei transformariRelatia dintre rang si
defectSchimbarea matricei unei transformari liniare
Demonstratie.
Calculam n doua moduri f (ej ).
f (ej ) = f (n
i=1
cijei) =n
i=1
cij f (ei) =
=n
i=1
cijn
k=1
akiek =n
k=1
(n
i=1
akicij)ek .
f (ej ) =n
i=1
aijei =
ni=1
aijn
k=1
ckiek =n
k=1
(n
i=1
ckiaij)ek .
RezultaA C = C A.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
Valori si vectori proprii
Definitie
Fie V un spatiu liniar peste , unde = R sau C si f L(V ). se
numeste valoare proprie daca exista u V , u 6= 0Vastfel ca
f (u) = u. (7)
Vectorul u se numeste vector propriu.
Multimea tuturor vectorilor proprii se numeste
spectruloperatorului si se noteaza cu (f ).
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
TeoremaFie o valoare proprie.1. Multimea V = {u V |f (u) = u}
este subspatiu liniar n V .2. Oricare ar fi u V are loc f (u)
V.
Demonstratie. 1. Daca u,u V rezulta ca u + u V. Daca V, u V
atunci u V.2. Fie u V astfel ca f (u) = u. Rezulta f (f (u)) = f
(u).
V se numeste subspatiu propriu.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
TeoremaDaca , sunt valori proprii distincte, iar u,u sunt
vectoriiproprii corespunzatori, atunci u si u sunt liniar
independenti.
Demonstratie. Daca u,u ar fi liniar dependenti, ar exista , 6= 0
astfel ca u = u, Aplicnd f deducem :
u = u = f (u) = f (u) = f (u) = u
De unde( )u = 0V
ceea ce antreneaza , prin absurd, = .
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
TeoremaDaca V este spatiu liniar n-dimensional peste , atunci
oricef L(V ) are cel putin o valoare proprie n .
Demonstratie. Fie A Mn() matricea transformarii ntr-obaza fixata
B = {e1, ,en}. Daca u = x1e1 + + xnen dinconditia f (u) = u
gasim
A
x1x2 xn
=
x1x2 xn
.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
Ecuatia caracteristica
Se obtinea11 a12 a1n
a21 a22 a2n an1 an2 ann
x1x2 xn
=
00 0
.Sistemul are solutie nebanala daca
a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann
= 0 (8)Ecuatia (8) se numeste ecuatie caracteristica.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
Forma diagonala
Definitie
Spunem ca o transformare liniara admite forma diagonala,daca
exista o baza n care matricea este diagonala.
TeoremaDaca spatiul liniar V admite o baza de vectori proprii,
atunci naceasta baza transformarea liniara admite forma
diagonala.
Demonstratie. Fie i valori proprii si {u1, ,un} o bazade vectori
proprii. Atunci f (ui) = iui , adica matricea are pediagonala
valorile proprii i , iar n rest 0.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
Lema lui Gersgorin
LemaFie A Mn(C). Pentru orice i = 1, ,n fie
ri =n
j=1,j 6=i|aij | Di = {z C | |z aii | ri}.
Are loc
(A) n
i=1
Di ,
unde (A) este spectrul transformarii liniare de matrice A.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
Demonstratie. Fie o valoare proprie, astfel ca existaxi , i = 1,
,n nu toti nuli astfel ca
A
x1 xn
= x1
xn
.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
Fie i astfel ca |xi | = max(|x1|, , |xn|) de unde xi 6= 0.
Ecuatiai este
ai1x1 + + (aii )xi + + ain = 0.Deducem
(aii )xi = n
j=1,j 6=iaijxj ,
de unde
|aii ||xi | n
j=1,j 6=i|aij ||xj |.
Urmeaza
|aii | n
j=1,j 6=i|aij ||xj ||xi | ri .
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
Polinom caracteristic
Definitie
Fie A Mn(). Polinomul
P() = det(A In) (9)
se numeste polinom caracteristic.
TeoremaFie A Mn() si P() polinomul caracteristic. Atunci au
loc:1. A si At au acelasi polinom carateristic.2.P() = (1)nn +
(1)n1n1(a11 + a22 + + ann) + + anunde an = det(A).3. Date A,B Mn()
si C Mn() nesingulara astfel caB = C1AC atunci A si B au acelasi
polinom caracteristic.
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
Demonstratie
P() = (a11)(a22) (ann)+polinom de grad n2 =(1)nn + (1)n1(a11 +
a22 + + ann)n1 + + an.Daca = 0 deducem an = det(A).Consecinte.1 1 +
2 + + n = Tr(A)2. 1 2 n = det(A).
Transformari liniare
-
Notiunea de transformare liniaraTransformari liniare ntre spatii
finit dimensionale
Valori si vectori proprii
Diagonalizarea matricei unei transformariPolinom
caracteristic
Teorema Cayley-Hamilton
TeoremaFie A Mn() si P polinomul caracteristic. Atunci
P(A) = 0.
Transformari liniare
Notiunea de transformare liniaraProprietati. OperatiiNucleul si
imagineRangul si defectul unei transformari
Transformari liniare ntre spatii finit dimensionaleMatricea unei
transformariRelatia dintre rang si defectSchimbarea matricei unei
transformari liniare
Valori si vectori propriiDiagonalizarea matricei unei
transformariPolinom caracteristic