TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER - DFT Señales de tiempo discreto : como en el caso de señales de tiempo contínuo, interesa LTI (caracterizados por su h[n]) a exponenciales complejas x[n] = z n ; donde z es Al truncar la Serie de Fourier (no puede trabajarse con infinitas armónicas), aparece el efecto de Gibbs en forma de sobrepicos en las transiciones. Lo notable es que al aumentar N la amplitud de los mismos no disminuye (es del 9%), sólo se comprimen. Señales de tiempo contínuo : periódica Serie de Fourier dt e t x T a e a t x T k k t jk k t jk 0 0 0 ) ( 1 ; ) ( 0 no periódica Transf. de Fourier dt e t x X d e X t x t j t jk ) ( ) ( ; ) ( 2 1 ) ( - Aparecen problemas cuando la señal tiene una discontinuidad si x(t) cumple las con sumatoria converge al valor ‘promedio’ de la discontinuidad 1) debe ser absolutam tener un número finito de máximos y mínimos en un período y 3) en un intervalo finit de discontinuidades y cada una de ellas debe ser finita. dt t x ) ( n k n k n z z H n y z k h z z k h k n x k h n x n h n y ) ( ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ al valer el principio de superposición, si n k k k k n k k k z z H a n y z a n x ) ( ] [ ] [ Por ahora sólo vamos a considerar las exponenciales con z= 1 n Ω j n e z
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TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER - DFT Señales de tiempo discreto: como en el caso de señales de tiempo contínuo, interesa conocer la respuesta de los.
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TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER - DFT
Señales de tiempo discreto: como en el caso de señales de tiempo contínuo, interesa conocer la respuesta de los sistemas
LTI (caracterizados por su h[n]) a exponenciales complejas x[n] = zn ; donde z es un número complejo.
Al truncar la Serie de Fourier (no puede trabajarse con infinitas armónicas),
aparece el efecto de Gibbs en forma de sobrepicos en las transiciones.
Lo notable es que al aumentar N la amplitud de los mismos no disminuye
(es del 9%), sólo se comprimen.
Señales de tiempo contínuo:
periódica Serie de Fourier dtetxT
aeatxTk
k
tjkk
tjk
0
00 )(
1 ; )(
0
no periódica Transf. de Fourier
dtetxXdeXtx
tjtjk
)()( ; )(
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)(-
Aparecen problemas cuando la señal tiene una discontinuidad si x(t) cumple las condiciones de Dirichlet, entonces la
sumatoria converge al valor ‘promedio’ de la discontinuidad 1) debe ser absolutamente integrable 2) debe
tener un número finito de máximos y mínimos en un período y 3) en un intervalo finito de tiempo hay un número finito
de discontinuidades y cada una de ellas debe ser finita.
dttx )(
nknkn zzHnyzkhzzkhknxkhnxnhny
)(][ ][][][][][][][
al valer el principio de superposición, si nkk
kk
nk
kk zzHanyzanx )(][ ][
Por ahora sólo vamos a considerar las exponenciales con z = 1 nΩjn ez
Secuencias periódicas x[n] = x[n + N]
Considerando que ambos miembros de la ecuación son periódicos, se plantea un sistema de N ecuaciones lineales para
los ak. Las ecuaciones son linealmente independientes se pueden obtener los x[n]. Operando sobre la ec. anterior:
Se quiere representar la secuencia periódica x[n] en término de combinaciones lineales de las secuencias k[n]
El conjunto de todas las exponenciales complejas periódicas de período N esta dado por: (sólo N !!) /N2 ][ nkj
k en
Serie de Fourier de tiempo discreto; ak = coeficientes de SF.
Nk
Nnkjk
kkk eananx / 2 ][][
n
n
nx ][ k
Nnkjk ea / 2 Nnrje / 2 Nnrje / 2
puede intercambiarse el orden de las sumatorias, resultando:
Nn
Nrknj
Nkk
Nn
Nrnj eaenx / 2)-( / 2 ][ Propiedad útil:
valorotro para 0
.... 2 , 0, 1
0
/2NNkN
eN
n
Njnk
0 sólo para k = r
coeficientes de la Serie de Fourier de tiempo discretokNn
Nnrjr aenx
Na
/ 2 ][1
existen sólo N valores de ak distintos a0 = aN y en general ak = ak+N los N valores a considerars
pueden tomarse a partir de un origen arbitrario.
Ejemplos: la secuencia x[n] = sen(0n) será periódica sólo en el caso en que 2/0 sea entero ó una relación de enteros.
NnjNnj ej
ej
nx /2/2
2
1
2
1][ 1) Si x[n] es periódica en N a1 = 1/(2j); a-1 = -1/(2j) y los otros ak = 0