Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)mariane/Cap3_slides_2015.pdf · Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT) Por ser uma função complexa da variável real 𝜔,

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Transformada de Fourier de um sinal discreto no tempo 𝑥(𝑛):

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛∞

𝑛=−∞

A DTFT é uma função complexa da variável real e contínua 𝜔.

A DTFT é uma função periódica com período 2𝜋:

𝑋 𝑒𝑗(𝜔+2𝜋𝑘) = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗(𝜔+2𝜋𝑘)𝑛∞

𝑛=−∞

= 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛∞

𝑛=−∞

= 𝑋 𝑒𝑗𝜔

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Por ser uma função complexa da variável real 𝜔, pode ser expressa

como:

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑋𝑅 𝑒𝑗𝜔 + 𝑗𝑋𝐼 𝑒

𝑗𝜔 ou, na forma polar:

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = Π 𝜔 𝑒𝑗Θ(𝜔)

onde

Π 𝜔 = 𝑋(𝑒𝑗𝜔) = 𝑋𝑅 𝑒𝑗𝜔 2+ 𝑋𝐼 𝑒

𝑗𝜔 2

e

Θ 𝜔 = ∠𝑋 𝑒𝑗𝜔 = atan (𝑋𝐼 𝑒𝑗𝜔 /𝑋𝑅 𝑒

𝑗𝜔 )

são os espectros de módulo e de fase, respectivamente, de 𝑥 𝑛 .

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Exemplo: A DTFT de

𝑥 𝑛 = (0,6)𝑛𝑢(𝑛) é

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = (0,6)𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛

∞

𝑛=0

=1

1 − 0,6𝑒−𝑗𝜔

ou seja,

Π 𝜔 = 𝑋(𝑒𝑗𝜔) =1

1 − 0,6cos (𝜔) 2 + (0,6 sen 𝜔 )2

e

Θ 𝜔 = ∠𝑋 𝑒𝑗𝜔 = −atan (0,6 sen 𝜔 /(1 − 0,6 cos 𝜔 ))

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Relações de simetria da DTFT:

Para uma sequência 𝑥(𝑛) real:

𝑋 𝑒𝑗𝜔∗= 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛

∞

𝑛=−∞

∗

= 𝑥(𝑛)𝑒𝑗𝜔𝑛∞

𝑛=−∞

= 𝑋 𝑒−𝑗𝜔

Portanto:

𝑋𝑅 𝑒

𝑗𝜔 = 𝑋𝑅 𝑒−𝑗𝜔 → função par

𝑋𝐼 𝑒𝑗𝜔 = −𝑋𝐼 𝑒

−𝑗𝜔 → função ímpar

Transformada de Fourier Discreta no Tempo (DTFT)

Também tem-se, para uma sequência 𝑥(𝑛) real:

𝑋(𝑒𝑗𝜔) = 𝑋(𝑒−𝑗𝜔) → função par

∠𝑋 𝑒𝑗𝜔 = −∠𝑋 𝑒−𝑗𝜔 → função ímpar

Para uma sequência 𝑥(𝑛) par:

𝑋𝐼 𝑒𝑗𝜔 = 0

Para uma sequência 𝑥(𝑛) ímpar:

𝑋𝑅 𝑒𝑗𝜔 = 0

DTFT Inversa

A sequência 𝑥(𝑛) pode ser obtida a partir de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 através da

IDTFT:

𝑥 𝑛 =1

2𝜋 𝑋 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔𝜋

−𝜋

Existe uma relação de unicidade entre uma sequência e sua DTFT:

A expressão da IDTFT exprime 𝑥(𝑛) como uma soma contínua de

sequências exponenciais complexas cujas amplitudes e fases são

determinadas por 𝑋 𝑒𝑗𝜔 .

𝑥(𝑛) ⟷ 𝑋 𝑒𝑗𝜔

Convergência da DTFT

A DTFT existirá se a série

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛∞

𝑛=−∞

convergir.

Se 𝑥(𝑛) for absolutamente somável, ou seja:

𝑥(𝑛) < ∞

∞

𝑛=−∞

então a série acima convergirá uniformemente para uma função

contínua de 𝜔, tal que

𝑋 𝑒𝑗𝜔 < ∞,∀𝜔

A série é então denominada absolutamente convergente.

Convergência da DTFT

Exemplo: a sequência 𝑥 𝑛 = (0,6)𝑛𝑢(𝑛) é absolutamente somável

pois

𝑥(𝑛) =

∞

𝑛=−∞

(0,6)𝑛=1

1 − 0,6= 2,5

∞

𝑛=0

indicando que a série (0,6)𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛∞𝑛=0 converge uniformemente

para 1

1−0,6𝑒−𝑗𝜔.

Sequência absolutamente somável tem energia finita:

𝑥(𝑛) 2∞

𝑛=−∞

≤ 𝑥(𝑛)

∞

𝑛=−∞

No entanto, uma sequência com energia finita não necessariamente

será absolutamente somável.

Convergência da DTFT

Exemplo: a sequência

𝑥 𝑛 =1

𝑛𝑢(𝑛 − 1)

tem energia mas não é absolutamente somável. A série que define a

sua DTFT converge no sentido médio quadrático para uma função de

𝜔.

Convergência da DTFT

Definido a soma parcial:

𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛

𝑙

𝑛=−𝑙

a sequência de funções 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 , 𝑙 = 1,2,3,⋯ convergirá

uniformemente para a série que define a DTFT X 𝑒𝑗𝜔 se

existir um inteiro 𝐿 tal que:

X 𝑒𝑗𝜔 − 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 < 휀, ∀𝜔, ∀𝑙 > 𝐿

para um 휀 tão pequeno quanto se queira. Ou seja:

lim 𝑋𝑙𝑙→∞𝑒𝑗𝜔 = 𝑋(𝑒𝑗𝜔)

A DTFT de uma função absolutamente somável é contínua, pois é o limite de

funções contínuas 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 .

Convergência da DTFT

Convergência no sentido médio quadrático:

𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑒−𝑗𝜔𝑛

𝑙

𝑛=−𝑙

a sequência de funções 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 , 𝑙 = 1,2,3,⋯ convergirá

no sentido para médio quadrático se existir um inteiro 𝐿 tal que:

X 𝑒𝑗𝜔 − 𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 2𝑑𝜔

∞

−∞

< 휀, ∀𝑙 > 𝐿

para um 휀 tão pequeno quanto se queira. Ou seja:

lim𝑙→∞ X 𝑒𝑗𝜔 − 𝑋𝑙 𝑒

𝑗𝜔 2𝑑𝜔

∞

−∞

= 0

Convergência da DTFT

Exemplo: Seja

𝑥 𝑛 =𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)

𝜋𝑛

Esta sequência não é absolutamente somável, mas tem energia finita

(𝜔𝑐/𝜋). A soma finita:

𝑋𝑙 𝑒𝑗𝜔 =

𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)

𝜋𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛

𝑙

𝑛=−𝑙

apresenta oscilações que não diminuem de amplitude quando se

aumenta 𝑙. Este comportamento é conhecido como fenômeno

de Gibbs.

Convergência da DTFT

Convergência da DTFT

Representação em Transformada de Fourier de sequências

que não são absolutamente somáveis nem tem energia finita:

Exemplo: a série da DTFT da sequência senoidal complexa

𝑥 𝑛 = 𝑒𝑗𝜔0𝑛

não converge uniformemente nem quadraticamente.

É possível entretanto definir a DTFT desta sequência pelo trem de

impulsos de Dirac:

𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 2𝜋𝛿𝐷(𝜔 − 𝜔0 + 2𝜋𝑘)

∞

𝑘=−∞

Convergência da DTFT

Uma outra sequência importante que não é absolutamente somável

nem tem energia finita é o degrau unitário u 𝑛 . Esta sequência pode

ser representada no domínio da frequência por

.

𝑈 𝑒𝑗𝜔 =1

1 − 𝑒−𝑗𝜔+ 𝜋𝛿𝐷(𝜔 + 2𝜋𝑘)

∞

𝑘=−∞

Propriedades da DTFT

Sejam 𝑔(𝑛) ↔ 𝐺(𝑒𝑗𝜔)e ℎ(𝑛) ↔ H(𝑒𝑗𝜔). Então as seguintes

propriedades são validas:

(i) Linearidade:

𝛼𝑔 𝑛 + 𝛽ℎ 𝑛 ↔ 𝛼𝐺 𝑒𝑗𝜔 + 𝛽𝐻 𝑒𝑗𝜔

(ii) Deslocamento no tempo:

𝑔(𝑛 − 𝑛0) ↔ 𝑒−𝑗𝜔𝑛0𝐺(𝑒𝑗𝜔)

(iii) Deslocamento na frequência:

𝑒𝑗𝜔0𝑛𝑔(𝑛) ↔ 𝐺(𝑒𝑗(𝜔−𝜔0))

Propriedades da DTFT

(iv) Reversão no tempo:

𝑔(−𝑛) ↔ 𝐺(𝑒−𝑗𝜔)

(v) Diferenciação na frequência:

𝑛𝑔(𝑛) ↔ 𝑗𝑑𝐺(𝑒𝑗𝜔)

𝑑𝜔

(vi) Convolução:

𝑔 𝑛 ∗ ℎ 𝑛 ↔ 𝐺 𝑒𝑗𝜔 𝐻 𝑒𝑗𝜔

Propriedades da DTFT

(v) Modulação:

𝑔 𝑛 ℎ 𝑛 ↔1

2𝜋 𝐺 𝑒𝑗𝜃 𝐻 𝑒𝑗(𝜔−𝜃)𝜋

−𝜋

𝑑𝜃

Relação de Parseval:

ℎ 𝑛 2∞

𝑛=−∞

=1

2𝜋 𝐻 𝑒𝑗𝜔

2

𝜋

−𝜋

𝑑𝜔

Propriedades da DTFT

DTFTs mais usadas: 𝛿 𝑛 ⟷ 1

1 −∞ < 𝑛 < ∞ ⟷ 2𝜋𝛿 𝜔 + 2𝜋𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑢 𝑛 ⟷1

1 − 𝑒−𝑗𝜔+ 𝜋𝛿 𝜔 + 2𝜋𝑘

∞

𝑘=−∞

𝑒𝑗𝜔0𝑛⟷ 2𝜋𝛿 𝜔 − 𝜔0 + 2𝜋𝑘

∞

𝑘=−∞

𝛼𝑛𝑢 𝑛 , ( 𝛼 < 1) ⟷1

1 − 𝛼𝑒−𝑗𝜔

(𝑛 + 1)𝛼𝑛𝑢 𝑛 , ( 𝛼 < 1) ⟷1

1 − 𝛼𝑒−𝑗𝜔 2

−𝛼𝑛𝑢 −𝑛 − 1 , ( 𝛼 > 1) ⟷1

1 − 𝛼𝑒−𝑗𝜔

ℎ𝐿𝑃 𝑛 =𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑐𝑛)

𝜋𝑛 , −∞ < 𝑛 < ∞ ⟷ 𝐻𝐿𝑃 𝑒

𝑗𝜔 = 1, 0 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐 0, 𝜔𝑐 < 𝜔 ≤ 𝜋