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8/2/2019 Transformaes do grfico
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Caro aluno,
Com muita alegria, a Universidade de So Paulo, por meio de seus estudantese de seus professores, participa dessa parceria com a Secretaria de Estado da
Educao, oferecendo a voc o que temos de melhor: conhecimento.Conhecimento a chave para o desenvolvimento das pessoas e das naes
e freqentar o ensino superior a maneira mais efetiva de ampliar conhecimentosde forma sistemtica e de se preparar para uma profisso.
Ingressar numa universidade de reconhecida qualidade e gratuita o desejode tantos jovens como voc. Por isso, a USP, assim como outras universidadespblicas, possui um vestibular to concorrido. Para enfrentar tal concorrncia,muitos alunos do ensino mdio, inclusive os que estudam em escolas particularesde reconhecida qualidade, fazem cursinhos preparatrios, em geral de altocusto e inacessveis maioria dos alunos da escola pblica.
O presente programa oferece a voc a possibilidade de se preparar para enfrentarcom melhores condies um vestibular, retomando aspectos fundamentais daprogramao do ensino mdio. Espera-se, tambm, que essa reviso, orientadapor objetivos educacionais, o auxilie a perceber com clareza o desenvolvimento pessoal que adquiriu ao longo da educao bsica. Tomar posse da prpriaformao certamente lhe dar a segurana necessria para enfrentar qualquersituao de vida e de trabalho.
Enfrente com garra esse programa. Os prximos meses, at os exames emnovembro, exigiro de sua parte muita disciplina e estudo dirio. Os monitorese os professores da USP, em parceria com os professores de sua escola, estose dedicando muito para ajud-lo nessa travessia.
Em nome da comunidade USP, desejo-lhe, meu caro aluno, disposio e vigor para o presente desafio.
Sonia Teresinha de Sousa Penin.
Pr-Reitora de Graduao.
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Caro aluno,
Com a efetiva expanso e a crescente melhoria do ensino mdio estadual,os desafios vivenciados por todos os jovens matriculados nas escolas da rede
estadual de ensino, no momento de ingressar nas universidades pblicas, vm seinserindo, ao longo dos anos, num contexto aparentemente contraditrio.
Se de um lado nota-se um gradual aumento no percentual dos jovens aprovadosnos exames vestibulares da Fuvest o que, indubitavelmente, comprova aqualidade dos estudos pblicos oferecidos , de outro mostra quo desiguaistm sido as condies apresentadas pelos alunos ao conclurem a ltima etapada educao bsica.
Diante dessa realidade, e com o objetivo de assegurar a esses alunos o patamarde formao bsica necessrio ao restabelecimento da igualdade de direitosdemandados pela continuidade de estudos em nvel superior, a Secretaria deEstado da Educao assumiu, em 2004, o compromisso de abrir, no programa
denominado Pr-Universitrio, 5.000 vagas para alunos matriculados na terceirasrie do curso regular do ensino mdio. uma proposta de trabalho que buscaampliar e diversificar as oportunidades de aprendizagem de novos conhecimentose contedos de modo a instrumentalizar o aluno para uma efetiva insero nomundo acadmico. Tal proposta pedaggica buscar contemplar as diferentesdisciplinas do currculo do ensino mdio mediante material didtico especialmenteconstrudo para esse fim.
O Programa no s quer encorajar voc, aluno da escola pblica, a participardo exame seletivo de ingresso no ensino pblico superior, como espera seconstituir em um efetivo canal interativo entre a escola de ensino mdio ea universidade. Num processo de contribuies mtuas, rico e diversificado
em subsdios, essa parceria poder, no caso da estadual paulista, contribuirpara o aperfeioamento de seu currculo, organizao e formao de docentes.
Prof. Sonia Maria Silva
Coordenadora da Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas
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Apresentao
darea[...] a Matemtica procura compreender os modelos que permeiam o mundo que
nos rodeia assim como a mente dentro de ns. [] Assim necessrio colocar anfase:
em procurar solues e no apenas em memorizar procedimentos; em explorar modelos e no apenas em memorizar frmulas; em formular conjecturas e no apenas em fazer exerccios.[...] com essas nfases, os estudantes tero a oportunidade de estudar a Matem-
tica como uma disciplina exploradora, dinmica, que se desenvolve, em lugar de seruma disciplina que tem um corpo rgido, absoluto, fechado, cheio de regras que
precisam ser memorizadas.
Schoenfeld (1992)1
Este curso de Matemtica com durao de 4 meses est sendo oferecido aalunos do ltimo ano do ensino mdio da rede pblica como um incentivo para continuarem seus estudos em direo ao ensino superior. Embora no
cubra todo o programa do ensino mdio, pretende-se estimular o interesse dosalunos pelos diversos temas de Matemtica por meio de abordagens variadas.
Sero estudados tpicos sobre Nmeros, Estatstica, Probabilidade e An-lise Combinatria, Geometria Plana e Espacial, Geometria Analtica, SistemasLineares e Funes, privilegiando o entendimento das possveis facetas deum mesmo assunto, a anlise de resultados obtidos e a interligao entre osdiversos contedos.
Escolhas foram feitas de modo a priorizar sua formao, a discusso deidias e a percepo de que a Matemtica uma disciplina viva que pode serconstruda, e no um amontoado de frmulas prontas para serem decoradas eusadas. Lembrando que realmente aprendemos quando trabalhamos o conhe-
cimento, analisando-o de vrias maneiras e usando-o com critrio, considera-remos, sempre que possvel, aplicaes em problemas reais e interdisciplinares.
Acreditando que o intercmbio entre vocs, alunos do ensino mdio, e osalunos da USP, que sero os seus professores, venha a aumentar a sua predis- posio para o ensino superior, desejamos a todos bons estudos!
Coordenao da rea de Matemtica
1SCHOENFELD A. H. Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sensemaking in mathematics. In: D. A. Grouws (Ed.).Handbook of research on mathematicas teaching andlearning. p. 334-370. Nova Iorque: MacMillan, 1992.
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Apresentao
domduloNeste mdulo estudaremos funes. O conceito de funes um dos mais
importantes em Matemtica, e seu conhecimento impulsionou o desenvolvi-mento tecnolgico em quase todas as reas.
As funes permeiam nossa vida cotidiana mesmo que no tenhamos cons-cincia disso. Por exemplo, o valor da conta de luz depende da quantidade deenergia gasta, a dose de remdio que dada a uma criana depende do seu
peso, o valor para fazer cpias de um material depende do nmero de pginascopiadas. Usando funes, tambm se estudam o crescimento de bactrias, omovimento dos astros, a variao da temperatura da Terra etc. A noo defuno nos permite, enfim, descrever e analisar relaes de dependncia en-tre quantidades.
Neste mdulo estudaremos o que chamamos defunes reais, isto , rela-es entre quantidades que podem ser descritas por nmeros reais. Daremosnfase ao tratamento grfico das funes. Aprenderemos a relacionar infor-
maes algbricas (como equaes e inequaes) com as informaes geo-mtricas fornecidas por grficos de funes. Tambm veremos a relao entreas simetrias e as transformaes no grfico e as correspondentes mudanasalgbricas.
A linguagem grfica permite entender melhor diversos fenmenos da na-tureza e est cada vez mais presente no nosso dia-a-dia, nas informaes vei-culadas pelos meios de comunicao (revistas, jornais, televiso etc.) ou nasformas de arte e diverso (como os jogos de computadores e os efeitos espe-ciais para a arte cinematogrfica). A prpria paisagem urbana est cada vezmais influenciada pela linguagem grfica, e a matemtica aparece aos olhosde quem observa as regularidades das construes arquitetnicas e a decora-o dos ambientes.
Como vimos no mdulo anterior, a Geometria permite ligar matemtica earte. Neste mdulo, desenvolveremos outra parte da Matemtica que tambm pode ser associada arte. Nossa opo foi tratar o tema funes chamando aateno para a importncia da linguagem grfica, levando em considerao a possibilidade de compreender a manipulao dos grficos fazendo uso desimetrias e transformaes.
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Afinal, o que so funes? Uma funo descreve as mudanas sofridaspor uma grandeza provocadas pela variao de outra. Quando conhecemos
uma funo, temos algum tipo de descrio da maneira como uma grandezavaria dependendo da variao de outra. Matematicamente, dizemos que umafuno uma relao entre os elementos de dois conjuntos, em que para cadaelemento de um conjunto associado apenas um elemento do outro conjunto.
Normalmente escrevemosf : D B para informar que f leva os elementosdo conjunto D em elementos do conjunto B. Chamamos o conjunto origem Dde domnio de f, ou seja, o conjunto dos valores que a varivel independentede f pode assumir. Quando o conjunto D no explicitado, convenciona-setomar o maior subconjunto possvel para o qual f est definida. O conjunto B o chamado contradomnio de f, e l que a funo f identifica os possveisvalores para a varivel dependente. J o conjunto f (D), constitudo de todosos possveis valores de f (x) para x D, chamado de imagem de f. Essadenominao bastante grfica, pois se D e B forem subconjuntos do conjun-to dos nmeros reais a imagem def a projeo do grfico de fsobre o eixodas ordenadas (veja uma possvel ilustrao na Figura 2).
H vrias formas de descrever como essa correspondncia feita. Essadescrio pode ser verbal, feita por meio de um texto que explica como asvariveis se relacionam, ou por meio de uma tabela, mostrando alguns valo-res significativos que a varivel dependente assume conforme o valor da va-rivel independente. Alm disso, uma funo pode ser representada por meiode uma frmula matemtica, ou ento por meio de um desenho ou grfico.
A idia de desenhar o comportamento das funes em um plano est asso-
ciada necessidade de representar figuras tendo alguma referncia espacial.Com o uso dessa representao, passou-se a utilizar um plano com duas retasgraduadas ortogonais destacadas, uma para representar os valores de x e outraos valores de y. Ou seja, para cada ponto P, precisamos ter um par de nmerosindicando sua posio: o nmero x, que inicialmente era chamado de cortedo ponto P, e depois ficou conhecido como abscissa (do latim cortar); e umsegundo nmero y (conhecido como ordenada). Os termos abscissa, ordena-da e coordenadas foram usados pela primeira vez por Leibniz em 1692.
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O plano para representar posies recebeu posteriormente o nome de plano cartesiano, em homenagem a Descartes, que em 1637 teve a idia detratar as curvas geomtricas por meio de expresses algbricas, originandoassim a Geometria Analtica, que voc ver com mais detalhes no Mdulo 6. No plano cartesiano, as duas retas de referncia recebem o nome de eixoscoordenados, como na Figura 1.
Vejamos agora um exemplo de uma funo representada de diversas formas:
aa)) RReeggiissttrroo vveerrbbaall::Uma formiga se move sobre uma rgua em linha reta na direo crescen-
te dos centmetros, com velocidade constante de 2 cm por segundo. Supon-do que, quando comeamos a observar a formiga, ela se encontra a 4 cm daorigem, onde ela estar aps 5 segundos?
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S= 2t+ 4
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No caso, podemos obter o valor desejado: aps5 s de passeio a formiga est na posio 12 cm.
Observe que a linguagem grfica s vezes podetrazer informao adicional. No caso da formiga,no foi informado o que ocorria antes de come-armos a observar, ou seja, no tempo negativoque veio antes do incio da observao (ou o queviria depois da observao). Alm disso, se a in-
formao fosse s a fornecida pela tabela, no te-ramos condies de saber exatamente qual afuno. Existem situaes em que no possvelobter determinada representao para uma dadafuno. Em outras situaes, pode ocorrer que umacerta representao seja muito mais til que asdemais. Por isso importante conhecer todas.
SSIIMMEETTRRIIAASS:: TTRRAANNSSLLAAOO,, RROOTTAAOO,, RREEFFLLEEXXOOEncontramos vrios exemplos de figuras simtricas na natureza. Muitos
seres vivos tm uma configurao simtrica. Uma idia de figuras simtricas a encontrada nas gravuras abaixo. Se dobrarmos a folha de papel ao longodas retas tracejadas, a figura se sobrepe. Estas retas so chamadas de eixosde simetria. Muitas vezes nem percebemos, mas h vrias figuras simtricasna natureza. Veja os eixos de simetria indicados abaixo.
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Esse tipo de simetria chamado de especular, por lembrar a reflexo doespelho. H outras formas de simetria que so bastante interessantes. Para issovamos pensar um pouco nos movimentos que podemos fazer com uma figuraem um plano.
Podemos definir uma transformao geomtrica em um plano como umacorrespondncia um a um entre pontos do plano. Assim, por meio de umatransformao, os pontos de uma dada figura no plano correspondem a umaoutra figura (sua imagem) no mesmo plano. As transformaes que no alte-ram as distncias entre os pontos relacionam figuras congruentes, e so ditastransformaes isomtricas. Por no distorcer as imagens, essas transforma-es so chamadas de movimentos rgidos no plano. As transformaesisomtricas de um plano so translao, reflexo e rotao, e todas as combi-naes entre esses movimentos.
Translao a transformao em que todos os pontos de uma figura sedeslocam numa mesma direo, sentido e de uma mesma distncia. Essa dire-o pode ser horizontal, vertical ou uma combinao delas.
Reflexo em relao a alguma reta m, que pode ser chamada de eixo dereflexo ou de simetria, a transformao que a cada ponto P associa o seusimtrico P em relao a m, isto , m a mediatriz do segmento PP. Sedobrarmos a folha de papel ao longo de m, os pontos P e P se sobrepe.
Rotao o giro da figura em torno de algum ponto e de um determinadongulo.
Veja exemplos de transformaes sobre o desenho da figura abaixo:
Esses movimentos, bem como suas combinaes, geram padres que somuito utilizados na arte, na arquitetura e na decorao. Considerar esses mo-vimentos no plano pode ser til para compreendermos as funes matemti-cas. Por outro lado, as funes podem nos ajudar a compreender e representarmelhor essas e outras transformaes.
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rraattiivvoo ss nnoo ss qquuaaiiss ssoo vvii--ss vvee ii ss mm oo vviimm ee nn tt oo ss rr gg ii --ddoo ss((wwwwww..ssggaarrllaattaa..iitt))
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N
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ESS
Os quatro quadrantes em que um plano cartesiano fica dividido por seusdois eixos oferecem vrias oportunidades de aplicar a idia de transformaesa desenhos de funes. Para entender como funciona, vamos pensar em um ponto P representado por um par (x,y). Se os nmeros x e y forem positivosno nulos, ento o ponto est representado no primeiro quadrante. O queocorre se tomarmos o ponto Q representado pelo par (-x,y)? O ponto ter amesma ordenada y que o ponto P, mas vai ocupar o lugar simtrico ao ponto Pem relao ao eixo y. Se tomarmos o ponto T (x,-y), esse ponto simtrico a Pem relao ao eixo x. J um ponto S (-x,-y) est no terceiro quadrante. Ele pode ser obtido a partir de P por meio de uma rotao em torno da origem(0,0) e de ngulo 180. Note que S pode tambm ser obtido a partir de P porduas sucessivas reflexes em relao aos eixos coordenados. Veja a ilustraoabaixo:
Estas mesmas relaes podem ser empregadas quando fazemos algumasoperaes com a funo ou com a varivel independente. Se uma funof: possui uma representao grfica como segue, vejamos o que ocorrequando tomamos y = f(x), y = f(x), y = f(x), e y = f(x).
Observe a figura abaixo. Nela esto desenhados os grficos de y = f (x),y =f(x), y = f(x), e y = f(x). Em cada grfico identifique o domnio e aimagem, observando as alteraes em comparao ao domnio e imagem dey =f (x).
y
xx
y
x
P(x, y)Q (x, y)
S(x, y) T(x, y)
FFiigguurraa 77.. PPoo ssiieess rreellaattiivvaass eennttrree ppoonnttooss nnoo ppllaannoo ccaarrtteessiiaannoo..
F
F
i
i
g
g
u
u
r
r
a
a
8
8
.
.
G
G
r
r
f
f
i
i
c
c
o
o
d
d
e
e
u
u
m
m
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a
f
f
u
u
n
n
o
o
y
y
=
=
f
f
(
(
x
x
)
)
.
.
y =f(x)
9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3 4
5
6
7
8
9
-
8/2/2019 Transformaes do grfico
13/14
-
Dado o grfico de uma funo, podemos fazer translaes, rotaes ereflexes. Voc ver exemplos disso ao estudar algumas funes especficasneste mdulo. O que ocorre com o grfico de uma funo se somamos ousubtramos a ela uma constante? Em y = f(x), se somamos ou subtramos uma
constante varivel dependente y, faremos seu grfico deslocar-se pelo planocartesiano. Observe o desenho abaixo e tire suas concluses.
Observe agora o que ocorre quando somamos ou subtramos uma cons-tante varivel independente em y = f (x). Tire suas concluses.
FFiigguurraa 99.. GGrrffiiccoo ddee yy == ff(( xx)) ee ssiimmeettrriiaass ppoo rr eessppeellhhaammeennttoo eemm ttoorrnnoo ddooss eeiixxooss..
y =f(x)y =f(x)
y =f(x) y =f(x)
F
F
i
i
g
g
u
u
r
r
a
a
1
1
0
0
.
.
G
G
r
r
f
f
i
i
c
c
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o
d
d
e
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y
y
=
=
f
f
(
(
x
x
)
)
e
e
t
t
r
r
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n
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s
l
l
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e
s
s
v
v
e
e
r
r
t
t
i
i
c
c
a
a
i
i
s
s
.
.
4 3 2 1 1 2 3
4
3
2
1
1
2
3
4
y =f(x) + 2
y =f(x) + 1
y =f(x)
y =f(x) 1
y =f(x) 2
y =f(x) 3
FFiigg uurraa 1111.. GGrrffiiccoo ddee yy == ff((xx)) ee ttrraannssllaaeess hhoo rriizzoonnttaaiiss..
3 2 1 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
y =f(x + 4) y=f(x
+3)
y=f(x
+2)
y=f(x)
y=f(x
+1)
y=f(x
1)
y=f(x
2)
-
8/2/2019 Transformaes do grfico
14/14
AA
g
goo
r
raa
f
faa
aa
v
voo
c
c
::
Dado o desenho de y = f(x) abaixo, diga o que deve ser feito com f(x) paraobter a funo g(x), cujo desenho dado. Explicite os domnios e imagens decada uma das funes envolvidas.
a)
b)
Na mesma linha de raciocnio, podemos analisar o efeito de multiplicar,em y = f(x), a varivel independente ou a varivel dependente por uma cons-tante no nula. Isso ser feito ao estudarmos o comportamento de funesespecficas, que veremos em seguida. Nas unidades seguintes, estudaremos
algumas funes importantes, conhecer seus grficos e aprender a relacionaralteraes nos coeficientes das expresso de cada funo com as alteraesem seu grfico.
F
F
i
i
g
g
u
u
r
r
a
a
1
1
2
2
.
.
O
O
b
b
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t
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r
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a
s
s
t
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x
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t
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e
r
r
g
g
(
(
x
x
)
)
.
.
F
F
i
i
g
g
u
u
r
r
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a
1
1
3
3
.
.
O
O
b
b
t
t
e
e
r
r
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a
s
s
t
t
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r
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n
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f
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s
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f
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(
(x
x
)
)
p
p
a
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r
r
a
a
o
o
b
b
t
t
e
e
r
r
g
g
(
(x
x
)
).
.
y = g(x)
y = f(x)
y
x
y = g(x)
y = f(x)
y
x
4 3 2 1 1 2 3 4
4
32
1
1
2
3
4
4 3 2 1 1 2 3 4
4
3
2
1
1
2
3
4
