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Transformaciones geomtricas. Polgonos ytangencias: Equivalencia
entre formasgeomtricas
El ser humano en su afn de conocer y comprender el mundo que le
rodea, ha creado distintossistemas que le permiten medir y acotar
los elementos de su entorno. Los principios en los que sebasan
estos sistemas tienen su origen en la observacin de fenmenos
naturales (fases lunares, elpaso de las estaciones, etc.); otros,
sin embargo, estn elaborados de manera arbitraria, mediantela
creacin de un canon o mdulo. As pues, cuando efectuamos una medicin
estamoscomparando algo con un patrn adoptado, es decir,
relacionamos magnitudes y establecemosequivalencias.
Quizs los agrimensores egipcios, ante la necesidad de restituir
los lmites de las tierrascultivables anegadas por las crecidas
anuales del Nilo, fueron los primeros que estudiaron ydesarrollaron
la equivalencia entre las superficies geomtricas (de igual o
distinta forma).
En la imagen superior tienes varias figuras geomtricas de
distinta forma pero que ocupan lamisma superficie.
En la fotografa inferior (archivo de Wikimedia Commons, un
depsito de contenido librehospedado por la Fundacin Wikimedia)
puedes ver distintos objetos expuestos en el Museo delLouvre de
Pars, usados en el antiguo Egipto para efectuar mediciones y
pesos.
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1. Generalidades
En este tema vamos a estudiar la equivalencia entre figuras
semejantes (tringulocon tringulo, etc..) y figuras de distinta
forma (tringulo y cuadrado, etc..
Definicin.
Dos figuras son equivalentes cuando tienen distinta forma pero
ocupan igual superficie,ocurriendo que una de ellas puede tener un
nmero de lados distinto a la otra , pero ambasocuparn la misma
superficie.
Para comprender mejor las equivalencias vamos a repasar el
clculo de superficies de distintasfiguras geomtricas.
En la siguiente animacin puedes ver la frmula para calcular la
superficie de los principalespolgonos. Sita el cursor sobre las
figuras y aparecer la frmula correspondiente.
Actividad
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A la hora de determinar la equivalencia entre polgonos podemos
aplicar el teoremade Pitgoras.En la siguiente animacin (archivo de
Wikimedia Commons, un depsito decontenido libre hospedado por la
Fundacin Wikimedia) puedes ver la equivalenciaexistente entre los
tringulos rectngulos y un cuadrado, y entre este y la suma deotros
dos.
Equivalencia y triangulacin
Generalmente la equivalencia entre polgonos se determina
mediante triangulacin, esto es,descomponiendo el polgono origen en
el menor nmero de tringulos posibles y calculando otrotringulo
equivalente de manera que un vrtice se suprima, as la figura
resultante tendr un ladomenos, pero ocupar la misma superficie.En
la animacin inferior puedes ver cmo se aplica la triangulacin para
construir un tringuloequivalente a un cuadriltero dado, de manera
que ambos tengan la misma altura.
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Polgono equivalente a otro dado con un lado menos.
Este es el mtodo general para poder dibujar polgonos
equivalentes, est basado en elprocedimiento desarrollado
anteriormente. Se trata de suprimir un vrtice en cada paso,
demanera que el siguiente polgono que se determine tendr un lado
menos.Existen mtodos particulares para poder trazar polgonos
equivalentes de manera que podamosomitir trazados intermedios, por
ejemplo, un tringulo equivalente a un hexgono sin necesidadde
convertirlo previamente en un pentgono.En la siguiente animacin te
mostramos cmo dibujar un tringulo equivalente a un polgono decinco
lados; primero convertimos dicho polgono en un cuadriltero
equivalente, y luegotransformamos este el tringulo deseado.
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2. Tringulos
Comenzamos el estudio de la equivalencia entre polgonos
analizando las relaciones entretringulos equivalentes por ser esta
la figura geomtrica esencial que nos permitir determinar elresto de
equivalencias.
El trazado de tringulos equivalentes a cuadrilteros y polgonos
regulares, o irregulares, de cincoseis, siete, etc... lados nos
facilitar determinar la equivalencia entre estas formas
geomtricasms complejas.
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2.1. Entre tringulos
La construccin de tringulos equivalentes est basada en la
relacin que existeentre su base y altura, de manera que si la
primera aumenta la segunda debe dedisminuir.
Tringulo equivalente a otro dado de igual base.
Este es el caso ms sencillo de equivalencia ya que al tener los
dos tringulos la misma base, laaltura de ambos debe de ser la
misma.En la animacin inferior puedes interactuar moviendo el vrtice
C', observars que todos lotringulos que determines ocuparn la misma
superficie.
Tringulo equivalente a otro dado de distinta base.
En este segundo caso al modificar la base la altura debe de
cambiar tambin.En la siguiente animacin vamos a dibujar un tringulo
equivalente a otro dado de manera que labase sea mayor que la del
original.
Actividad
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En la figura de laizquierda puedesver cmo se hatrazado
untringulo A'B'C'equivalente a otrodado ABC, siendosu base
A'B'menor.Para resolverlodebes de aplicar elmtodo explicadoen la
animacinanterior.Materialnecesario:
Lpizblando y duro.
Comps.
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(escuadra ycartabn).
Hojas pararealizartrazados deprueba.
Para realizar este ejercicio debes descargar este documento
pdf.
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2.2. Con cuadrilteros
Debes de repasar las frmulas para calcular la superficie de los
principales polgonos(apartado 1. Generalidades) y relacionarlas
entre s.
Tringulo equivalente a un paralelogramo rectngulo.
Se trata de dibujar un tringulo equivalente a un paralelogramo
rectngulo cuya base sea igual allado mayor de dicho cuadriltero.
Relacionamos las frmulas de ambos polgonos
Tringulo = (base * altura) / 2 = Paralelogramo rectngulo = lado
mayor * lado menor.
Por tanto, la altura del tringulo debe de ser igual al doble del
lado menor del paralelogramorectngulo.En la animacin inferior
puedes ver cmo se ha dibujado un tringulo equivalente a
unparalelogramo rectngulo de igual base.
Tringulo equivalente a un cuadrado.
En este ejercicio se quiere trazar un tringulo equivalente a un
cuadrado dado, de altura mayor allado de dicho cuadriltero. Para
dibujarlo podemos aplicar el mtodo general estudiado en elapartado
anterior y despus transformar el tringulo obtenido en otro de
distinta base y altura.Si queremos simplificar el trazado podemos
recurrir a un mtodo particular que nos permitedibujar dicho
tringulo equivalente de forma directa. Este procedimiento est
basado en laproporcionalidad de segmentos:Como el lado BC del
cuadrado es media proporcional de los segmentos EB y BF, podemos
deducir:
Actividad
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Superficie del cuadrado = BC2 = EB * BF
Superficie del tringulo = (EB * BG) /2. Si sustituimos BG = 2BF
= (EB * 2BF) = EB * BF.
Por tanto, Superficie del cuadrado = Superficie del
tringulo.
Tringulo equivalente a un rombo.
Dibujar un tringuloequivalente a unrombo, de base igual auna de
sus diagonales,es muy sencillo.Solamente debemosrelacionar
susfrmulas:
Superficie deltringulo = (base *altura) /2.
Superficie del rombo= (diagonal mayor *diagonal menor) /2
Objetivos
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del triangulo debe detener una longitud igual a la de la otra
diagonal.En la imagen de la izquierda puedes ver cmo se dibujado un
tringulo isscelesequivalente a un rombo dado, de lado base AB igual
a la diagonal mayor AB dedicho paralelogramo. La altura del
tringulo lgicamente debe de tener una longitudigual a la diagonal
menor del rombo.
En la figura de laizquierda puedesver cmo se hatrazado
untringulo A'BCequivalente a untrapecio dadoABCD, siendo sualtura
la mismaque la de dichocuadriltero.Para resolverlodebes de aplicar
elmtodo generalexplicado en elapartado 1.Materialnecesario:
Lpizblando y duro.
Comps.
Plantilla dedibujo(escuadra ycartabn).
Hojas pararealizartrazados deprueba.
Para realizar este ejercicio debes descargar este documento
pdf.
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2.3. Con polgonos regulares
Para poder dibujar un tringulo equivalente a un polgono regular,
o no, mayor decuatro lados, generalmente aplicaremos el mtodo
particular explicado en elapartado 1 (Polgono equivalente a otro
dado con un lado menos).
Mtodo general.
Para poder dibujar un tringulo equivalente a un hexgono regular
vamos a aplicar el mtodogeneral.En este caso el tringulo
equivalente debe de tener la misma altura que el hexgono dado.En la
animacin inferior puedes ver cmo primero transformamos el hexgono
regular ABCDEFdado en un pentgono irregular A'BCDE, luego en un
trapecio issceles A'B'DE, obteniendofinalmente el tringulo
equivalente A'B' D de altura igual a la del hexgono ABCDEF
dado.
Tringulo equivalente a un hexgono.Mediante este mtodo particular
simplificamos el trazado, ya el tringulo equivalente se obtienede
manera directa, sin necesidad de convertir el hexgono en otros
polgonos.
Actividad
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En la imagenizquierda tienes eltrazado de untringulo
A'BCequivalente a unpentgono regulardado ABCDE,siendo su
alturadistinta a la dedicho polgono.
Para resolverlodebes de aplicar elmtodo generalexplicado en
elapartado 1.Materialnecesario:
Lpizblando y duro.
Comps.
Plantilla dedibujo(escuadra y
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realizartrazados deprueba.
Para realizar este ejercicio debes descargar este documento
pdf.
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3. Cuadrilteros
Generalmente para dibujar un cuadriltero equivalente a otro
cuadriltero (paralelogramos,trapecios y trapezoides), a un
tringulo, o a un polgono regular o irregular, debemos aplicar
losconceptos y procedimientos desarrollados en los apartados
anteriores.
Si la equivalencia se establece entre un paralelogramo rectngulo
y un cuadrado, o entre estltimo y un polgono regular, podemos
simplificar el trazado aplicando la proporcionalidad
entresegmentos, determinando la media proporcional.
En la imagen superior puedes ver cmo se han determinado
paralelogramos rectngulosequivalentes a un rombo y a un trapecio
mediante triangulacin. Mientras que la equivalenciaentre el
cuadrado y el paralelogramo rectngulo y entre el hexgono regular y
un cuadrado se haestablecido aplicando el teorema del cateto y de
la altura, respectivamente.
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3.1. Rectngulos
Rectngulo equivalente a un tringulo.
Para elaborar este ejercicio debemos de proceder de manera
inversa a lo realizado en el apartado2.2. "tringulo equivalente a
un paralelogramo rectngulo"
En la animacin inferior puedes ver su desarrollo.
Rectngulo equivalente a otro dado.
Para resolver este ejercicio tenemos que aplicar los conceptos y
procedimientos desarrollados enla resolucin del "tringulo
equivalente a otro dado de distinta base" del apartado 2.2, ya que
elparalelogramo rectngulo dado est compuesto por dos tringulos
rectngulos.En la siguiente animacin puedes ver cmo el lado mayor AB
del paralelogramo ABCD dado, secorresponde con el cateto mayor del
tringulo rectngulo ABD, su lado menor AD con la altura dedicho
tringulo, siendo la diagonal BD la hipotenusa. El lado A'B' del
otro paralelogramorectngulo equivalente A'B'C'D' ser el cateto
mayor del tringulo rectngulo A'B'D' equivalente alABD.
Actividad
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Para dibujar unparalelogramorectngulo equivalentea otro dado
podemosemplear un mtodobasado en laproporcionalidad desegmentosEn
la imagen de laizquierda se ha trazadoun paralelogramorectngulo
A'B'C'D'equivalente al dadoABCD, conocido su ladomayor A'B'.
Observacmo los segmentos ABy A'B' sonproporcionales, comotambin lo
son lossegmentos AD y B'C',cumplindose:
Objetivos
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Rectngulo equivalente a un cuadrado.
La equivalencia entre un paralelogramo rectngulo y un cuadrado,
y viceversa, est basada en lamedia proporcional entre los lados del
primero.Recordemos que el segmento media proporcional de dos
segmentos dados es la raz cuadrada delproducto de ambos.
As pues, todo cuadrado cuyo lado sea media proporcional de los
lados mayor y menor de unparalelogramo rectngulo, resultar
equivalente a este.Para poder dibujar un paralelogramo rectngulo
equivalente a un cuadrado dado es necesarioconocer un lado
(normalmente ser el menor).En la animacin inferior puedes ver cmo
se ha determinado el lado menor aplicando el teoremade la
altura.
Rectngulo equivalente a un rombo.
Para dibujar unparalelogramorectngulo equivalentea un rombo
tenemosque aplicar los
Pre-conocimiento
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apartado 2.2 "tringuloequivalente a unrombo".
En este caso concretola similitud de ambosparalelogramos
facilitasu trazado:
Superficie delparalelogramorectngulo = (ladomayor * lado
menor).
Superficie del rombo= (diagonal mayor *diagonal menor) /2.
Por tanto, como lalongitud del lado mayor del paralelogramo
rectngulo debe de ser igual a la de ladiagonal mayor del rombo, el
lado menor del paralelogramo rectngulo equivalentedebe de ser igual
a la mitad de la diagonal menor del rombo dado.
En la imagen inferior izquierda puedes ver cmo los tringulos
rectngulos en quequeda divido un rombo, una vez trazadas sus
diagonales, son los mimos quecomponen el paralelogramo rectngulo
equivalente.
En la imagenizquierda tienes eldibujo de
unparalelogramorectnguloA'B'C'D'equivalente a untrapecio
escalenodado ABCD,siendo su altura lamisma que la dedicho
cuadriltero.Observa cmo lostringulos AA'M yMDD'
sonequivalentes,como tambin loson los tringulosB'BN y
NC'C.Materialnecesario:
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Comps.
Plantilla dedibujo(escuadra ycartabn).
Hojas pararealizartrazados deprueba.
Para realizar este ejercicio debes descargar este documento
pdf.
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3.2. Cuadrado
Para poder dibujar un cuadrado equivalente a cualquier polgono,
normalmenteprimero debemos transformarlo en un paralelogramo
rectngulo equivalente.Existen mtodos particulares que nos permiten
trazar cuadrado equivalente demanera directa.Sea cual sea el mtodo
elegido, debemos aplicar los conceptos y procedimientosempelados en
el dibujo de un segmento media proporcional.
Cuadrado equivalente a un rectngulo.
La resolucin de este ejercicio est basada en los conceptos y
procedimientos empleados en elapartado anterior "rectngulo
equivalente a un cuadrado".En este caso el trazado es ms sencillo,
ya que solamente debemos determinar la mediaproporcional de los
lados mayor y menor del paralelogramo rectngulo dado.En la animacin
inferior se ha determinado el cuadrado A'B'C'D' equivalente al
paralelogramorectngulo ABCD dado mediante el teorema del
cateto.
Actividad
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Cuadrado equivalente a otros dos dados.
Para calcular el lado de un cuadradoequivalente a la suma de
otros dosdados debemos aplicar el teorema dePitgoras: a2 + b2 =
c2
El lado solucin ser la hipotenusa deun tringulo rectngulo,
siendo loscatetos los lados de los cuadradosdados, el procedimeinto
sera elsiguiente:
1. Se disponen dos segmentosortogonalmente siendo susmagnitudes
igual al lado de cada unode los cuadrados dado (40 y 60).2. Se
completa el tringulorectngulo, cuyos catetos sern loslados
anteriores y la hipotenusa ellado del cuadrado buscado.3. Se
construye el cuadradodisponiendo dos de los ladosperpendicularmente
y otro paralelorespecto de la hipotenusa anterior.
En la imagen izquierda puedes vercmo se ha resuelto este
ejercicio.
Cuadrado equivalente a un rombo.
En este caso primero debemos transformar el rombo ABCD dado en
un paralelogramo rectnguloACPQ equivalente, para finalmente dibujar
un cuadrado A'B'CD' equivalente a dichoparalelogramo.En la
siguiente animacin pues ver cmo primero dibujamos un paralelogramo
rectnguloequivalente al rombo dado y despus, aplicando el teorema
de la altura, trazamos el cuadradoequivalente.
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Cuadrado equivalente a un polgono regular.Este mtodo particular
nos permite dibujar, de manera directa, un cuadrado equivalente
acualquier polgono regular, por lo que no es necesario convertir
previamente dicho polgono en unparalelogramo rectngulo.Como la
superficie de cualquier polgono regular se calcula multiplicando su
apotema por elsemipermetro, la media proporcional de ambos
segmentos ser el lado del cuadrado equivalente.En la animacin
inferior se ha dibujado un cuadrado equivalente a un hexgono
regular dadomediante el teorema de la altura.
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La cuadratura del crculo: cuadrado equivalente a un
crculo.Cuando alguien comenta, ensentido figurado, "quiero hacerla
cuadratura del crculo" serefiere a que intenta realizaruna tarea
prcticamenteimposible.
La cuadratura del crculo es unproblema matemtico, ygeomtrico,
irresoluble en elque se pretende, mediante eluso del comps y la
regla,dibujar un cuadrado de reaequivalente a un crculo
dado.Relacionamos las frmulas delcuadrado y del crculo:
Cuadrado = l2
Crculo: Igualando reas:
Si queremos trazar uncuadrado equivalente a uncrculo, de
maneraaproximada, primero tenemos
que dibujar un paralelogramo rectngulo equivalente, siendo la
longitud de sulado mayor igual a la mitad de la rectificacin de la
circunferencia del crculo, ysu lado menor al radio. Finalmente
mediante el teorema de la alturadeterminamos el lado del
cuadrado.1. Obtenemos la rectificacin de la semicircunferencia
determinando elsegmento MN.2. Al anterior segmento (MN) le sumamos
la longitud del radio de lacircunferencia obteniendo el punto P.3.
Calculamos la media proporcional de los segmentos PM y MN,
obteniendo elsegmento MRP.4. El segmento anterior (MR) es el lado
del cuadrado buscado.
Pre-conocimiento
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dibujo de uncuadrado A'B'C'D'equivalente a unpentgono
regulardado ABCDEPara resolver esteejercicio hemosaplicado
elteorema de laaltura,determinando asel lado delcuadrado que
sermediaproporcional de laapotema delpolgono y susemipermetro.
Materialnecesario:
Lpizblando y duro.
Comps.
Plantilla dedibujo(escuadra ycartabn).
Hojas pararealizartrazados deprueba.
Para realizar este ejercicio debes descargar este documento
pdf.
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4. QCAD. Practica lo aprendido
En este apartado no pretendemos que aprendas nuevas formas de
resolver los ejerciciosestudiados anteriormente, sino que apliques
las posibilidades que te ofrecen las frmulas de losprogramas de
diseo asistido por ordenador.
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4.1. Tringulos
EQUIVALENCIAS ENTRE TRINGULOS
Ejercicio resuelto
Vers a continuacin cmo realizar un tringulo equivalente a otro
dado usando la potencialidadde las operaciones matemticas en
QCad.
Para ello, slo debemos tener presente que el rea de un tringulo
es
y que, por tanto, dos tringulos semejantes presentarn una
relacin:
Actividad
En un formato A4, que completars con la informacin adecuada,
realiza la actividad siguiente:
Dibujar un tringulo rectngulo A'B'C' de 95 mm de altura,
equivalente al tringulo ABCde la figura.
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EQUIVALENCIA ENTRE CUADRADO Y TRINGULO
Ejercicio resuelto
En el siguiente ejercicio resuelto volveremos a usar la
capacidad de medir una distancia, copiarlaal portapapeles y usar
esa medida para trazar una lnea. Adems veremos tambin cmo usar
laventana de propiedad del editor para modificar caractersticas de
entidades trazadas, evitandooperaciones ms largas.
Actividad
En un formato A4, que completars con la informacin adecuada,
realiza la actividad siguiente:
Dibujar un tringulo A'B'C' cuyo ngulo B' ser de 110, equivalente
al cuadrado ABCD dela figura.
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4.2. Cuadrilteros
RECTNGULO EQUIVALENTE A UN TRINGULO
Ejercicio resuelto
Veamos en el siguiente ejercicio resuelto cmo trazar un
rectngulo equivalente a un tringuloobtusngulo (dispuesto en
diferente posicin a la que tradicionalmente se ve en los
ejercicios).
Actividad
En un formato A4, que completars con la informacin adecuada,
realiza la actividad siguiente:
Dibujar un rectngulo A'B'C'D' equivalente al tringulo ABC de la
figura.Acota el rectngulo hallado y comprueba con la herramienta de
medida que las superficies
son equivalentes.
EQUIVALENCIA ENTRE RECTNGULO Y CUADRADO
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Ejercicio resuelto
Has visto este ejercicio resuelto en el punto 3.2 de este tema.
Vas a ver cmo se puede resolverde forma muy rpida usando la
introduccin de frmulas en QCad. Para ello debemos recordar quela
media proporcional de dos segmentos a y b se calculaba
matemticamente como ves acontinuacin:
Actividad
En un formato A4, que completars con la informacin adecuada,
realiza la actividad siguiente:
Dibujar dos cuadrados dados por sus reas: 3500 mm2 y 4250
mm2.Dibuja un cuadrado equivalente a los cuadrados anteriores.Usa
para ello las posibilidades de introduccin de frmulas en
QCad.RECUERDA: el lado de un cuadrado es igual a la raz cuadrada de
su superficie.