UNIVERSITE PAUL SABATIER THESE en vue de l’obtention du DOCTORAT DE L’UNIVERSITE DE TOULOUSE délivré par l’Université Paul Sabatier Discipline : Energétique et Transferts présentée et soutenue par Vincent SAMBOU le 05 février 2008 _____________ Transferts thermiques instationnaires : vers une optimisation de parois de bâtiments _____________ JURY M. Stéphane LASSUE Rapporteur M. Guy LAURIAT Rapporteur M. Mamadou ADJ Examinateur Mme Samira KHERROUF Examinateur M. Abdelkader MOJTABI Examinateur Mme Françoise STRUB Invitée Mme Bérangère LARTIGUE Directrice de thèse Mme Françoise MONCHOUX Directrice de thèse Laboratoire PHASE (Physique de l’Homme Appliquée à Son Environnement) 118, route de Narbonne 31062 Toulouse cedex 9
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UNIVERSITE PAUL SABATIER
THESE
en vue de l’obtention du
DOCTORAT DE L’UNIVERSITE DE TOULOUSE délivré par l’Université Paul Sabatier
Discipline : Energétique et Transferts
présentée et soutenue
par
Vincent SAMBOU
le 05 février 2008
_____________
Transferts thermiques instationnaires :
vers une optimisation de parois de bâtiments
_____________
JURY
M. Stéphane LASSUE Rapporteur M. Guy LAURIAT Rapporteur M. Mamadou ADJ Examinateur Mme Samira KHERROUF Examinateur M. Abdelkader MOJTABI Examinateur Mme Françoise STRUB Invitée Mme Bérangère LARTIGUE Directrice de thèse Mme Françoise MONCHOUX Directrice de thèse
Laboratoire PHASE (Physique de l’Homme Appliquée à Son Environnement) 118, route de Narbonne 31062 Toulouse cedex 9
I-2 La méthode des quadripôles.....................................................................................................3 I-2-1 Principe de la méthode : résolution de l’équation de la chaleur en régime variable .............. 4 I-2-2 Résolution de l’équation de la chaleur monodimensionnelle en régime périodique établi .... 7 I-2-3 Caractéristiques dynamiques d’une paroi soumise à des sollicitations sinusoïdales ............ 16
I-3 Optimisation par algorithme génétique ................................................................................24
II-3 Optimisation d’une paroi multicouche par rapport à l’isolation thermique et l’inertie thermique ......................................................................................................................................33
II-3-1 Recherche d’une paroi idéale ................................................................................................... 33 II-3-2 Optimisation d’une paroi réelle ............................................................................................... 37 II-3-3 Conclusions ............................................................................................................................... 45
II-4 Etude thermodynamique d’une paroi ..................................................................................46 II-4-1 Méthode de calcul de la production d’entropie ...................................................................... 46 II-4-2 Production d’entropie d’une paroi monocouche.................................................................... 48 II-4-3 Relation entre minimum de production d’entropie et inertie thermique............................. 50 II-4-4 Production d’entropie d’une paroi multicouche .................................................................... 52 II-4-5 Production d’entropie d’une paroi soumise à des conditions aux limites de type Neumann............................................................................................................................................................... 55 II-4-6 Conséquence énergétique de la production d’entropie.......................................................... 57 II-4-7 Conclusions ................................................................................................................................ 59
Chapitre III Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime permanent ...61
Table des matières _____________________________________________________________________________
iv
III-2 Etude expérimentale de la cavité partitionnée ...................................................................64 III-2-1 Description ............................................................................................................................... 64 III-2-2 Validation du caractère bidimensionnel ................................................................................ 68
III-3 Etude numérique de la cavité partitionnée.........................................................................70 III-3-1 Description de la cavité partitionnée...................................................................................... 70 III-3-2 Modélisation numérique de la cavité partitionnée................................................................ 71 III-3-3 Résultats numériques et analyse............................................................................................. 76
III-4 Modèle simplifié 1D des transferts thermiques à travers la cavité partitionnée ...............87 III-4-1 Description du modèle............................................................................................................. 87 III-4-2 Validation du modèle simplifié 1D ......................................................................................... 91 III-4-3 Sensibilité de la résistance thermique à certains paramètres .............................................. 95
IV-3 Etude expérimentale ..........................................................................................................107 IV-3-1 Description du protocole expérimental ................................................................................ 107 IV-3-2 Détermination expérimentale de la capacité thermique ........................................................ 113 IV-3-3 Résultats expérimentaux et analyse...................................................................................... 114
IV-4 Etude numérique de la cavité partitionnée en régime variable .......................................128 IV-4-1 Présentation du modèle ......................................................................................................... 128 IV-4-2 Comparaison des résultats expérimentaux et numériques .................................................... 131 IV-4-3 Analyse des phénomènes de transferts thermiques ............................................................ 136 IV-4-4 Conclusions............................................................................................................................. 141
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment....................................143
V-2 Modèle simplifié 1D des transferts thermiques à travers la cavité partitionnée en régime variable........................................................................................................................................143
V-2-1 Présentation du modèle simplifié 1D ..................................................................................... 143 V-2-2 Validation expérimentale du modèle simplifié 1D................................................................ 144 V-2-3 Validation numérique du modèle simplifié 1D ..................................................................... 146
V-3 Evaluation de la capacité thermique d’une cavité partitionnée ........................................155 V-3-1 Influence du nombre de cloisons ............................................................................................ 155 V-3-2 Influence de l’épaisseur des parois extérieures..................................................................... 156 V-3-3 Influence de l’épaisseur des cloisons...................................................................................... 157
V-4 Optimisation multicritère de la cavité partitionnée............................................................159
Table des matières _____________________________________________________________________________
v
V-4-1 Les objectifs et les contraintes de l’optimisation .................................................................. 159 V-4-2 Résultats de l’optimisation...................................................................................................... 160
Chapitre I Méthodes d’analyse _____________________________________________________________________________
22
0 500 1000 1500 2000 25000
50
100
150
200
250
300
350
400
Effusivité thermique (unité SI)
Cap
acité
ther
miq
ue d
e la
par
oi (k
J/(m
2.K)
)
0 500 1000 1500 2000 25000
50
100
150
200
250
300
350
400
Effusivité thermique (unité SI)
Cap
acité
ther
miq
ue d
e la
par
oi (k
J/(m
2.K)
)
Fig. I-10 : Variation de la capacité thermique en fonction de l’effusivité thermique
Les développements faits plus haut sur la capacité thermique Cth concernent une paroi
monocouche. Qu’en est-il pour les parois multicouches ? Pour bien illustrer nos propos,
considérons une paroi d’épaisseur fixe L constituée de 2 couches d’épaisseur variable (Fig. I-5).
Les deux couches ont les propriétés thermophysiques suivantes : 1 1 -3 -1 -1
1 1 11 1 -3 -1 -1
2 2 2
0.03W m K ; =32kg m et C =840J kg K
1.5W m K ; =2200kg m et C =1000J kg K
− −
− −
⎧λ = ⋅ ⋅ ρ ⋅ ⋅ ⋅⎪⎨
λ = ⋅ ⋅ ρ ⋅ ⋅ ⋅⎪⎩
Les effusivités des deux couches sont très différentes, il n’existe donc pas de paroi homogène
équivalente à cette paroi bicouche.
Chapitre I Méthodes d’analyse _____________________________________________________________________________
23
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40
50
100
150
200
250
300
350
Epaisseur de la couche isolante (m)
Cap
acité
ther
miq
ue C
th (k
J/(m
2.K
))Cth1Cth2
Fig. I-11 : Variation de la capacité thermique en fonction de l’épaisseur de la couche 1
La variation des capacités thermiques Cth1 et Cth2 en fonction de l’épaisseur L1 de la couche 1 est
montrée sur la figure Fig. I-10. Aux très faibles épaisseurs de la couche 1, les deux capacités
thermiques sont identiques. La couche 1 se comporte comme une simple résistance. L’énergie
thermique est stockée dans la couche 2. Lorsque L1 augmente, la capacité thermique Cth1 se
dégrade très rapidement et tend asymptotiquement vers une valeur très faible (celle d’un mur
monocouche constitué de cet isolant). Par contre, la capacité thermique Cth2 varie très légèrement
aux faibles valeurs L1 (donc aux grandes valeurs de l’épaisseur de la couche 2). C’est le
comportement de la capacité thermique d’une paroi monocouche lorsque son épaisseur est
supérieure à 2Λ . Cth2 atteint cette fois sa valeur maximale à 2L
4Λ
= au lieu de 2Λ pour la paroi
monocouche. L’épaisseur utile de la couche d’une paroi bicouche est la moitié de celle d’une
paroi monocouche. Cela s’explique par le fait qu’une couche d’une paroi bicouche contribue
uniquement dans la capacité thermique d’un côté. Ce résultat est important car il montre qu’il est
inutile du point de vue de la capacité thermique d’avoir une couche d’épaisseur supérieure à 4Λ .
Chapitre I Méthodes d’analyse _____________________________________________________________________________
24
I-3 Optimisation par algorithme génétique
Un des objectifs de notre travail consiste à optimiser l’isolation thermique et l’inertie thermique
d’une paroi. Nous allons utiliser un algorithme génétique pour faire cette optimisation multi-
objectif.
Les algorithmes génétiques sont des méthodes stochastiques de recherche qui imitent l’évolution
biologique de la nature [GOL. 1994]. Ces algorithmes opèrent sur une population de solutions
potentielles d’un problème en appliquant le principe de survie des plus adaptées qui produisent
par croisement de meilleures solutions au problème.
Une description du fonctionnement d’un algorithme génétique est faite en annexe 1.
Nous présentons dans ce qui suit en détails un algorithme évolutionnaire développé par G.
Leyland [LEY. 2002] et A. Molyneaux [MOL. 2002] au Laboratoire d’Energétique Industrielle
(LENI) de l’Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL). Cet outil a été conçu pour
l’optimisation des systèmes énergétiques qui sont le plus souvent non-linéaires, discontinus,
disjoints et multimodaux. Les objectifs fixés dans le cahier de charges pour le développement de
l’outil MOO sont entre autres :
- l’algorithme doit être multi-objectif pour permettre une optimisation multicritère sans
recourir au regroupement des critères ;
- l’algorithme doit rechercher les optima locaux et globaux, car dans un problème
multimodal certains optima locaux peuvent être intéressants à prospecter ;
- l’algorithme doit, après un nombre limité d’évaluations de la fonction objectif, converger
rapidement vers les optima locaux et globaux.
Ces objectifs ont été atteints par l’outil MOO. En effet, MOO est un algorithme évolutionnaire
multi-objectif et multimodal qui utilise une technique statistique de groupement des individus sur
la base des variables indépendantes (création de familles évoluant de manière indépendantes).
Cette méthode présente l’avantage de maintenir la diversité de la population et de faire converger
l’algorithme vers les optima même difficiles à trouver. Pour éviter que la population soit trop
importante et ralentir la convergence de l’algorithme, un choix judicieux d’individus à supprimer
est opéré. Dans un problème d’optimisation multicritère, il existe un équilibre tel que l’on ne
peut pas améliorer un critère sans détériorer au moins un des autres critères. Cet équilibre est
appelé optimum de Pareto. Un point est Pareto-optimal s’il n’est dominé par aucun autre. La
Chapitre I Méthodes d’analyse _____________________________________________________________________________
25
dominance au sens de Pareto dans un problème de minimisation par exemple peut être
mathématiquement définie comme suit :
i i
i i
i, f (x) f (x ')x domine x'
i tel que f (x) f (x ')∀ ≤⎧
⇔ ⎨∃ <⎩ (I-45)
les fi sont les critères du problème.
L’algorithme MOO préserve les individus situés dans les régions limites de l’espace de
recherche et permet ainsi d’explorer l’ensemble des zones optimales du problème.
L’outil MOO est utilisé dans l’optimisation des systèmes énergétiques au laboratoire LENI
[PAL. 2007] et ailleurs [BUT. 2007]. Nous utiliserons cet outil dans nos études d’optimisation de
parois multicouches et des cavités partitionnées.
I-4 Conclusion
Nous avons montré que la capacité thermique déduite de la représentation en quadripôle d’une
paroi peut caractériser l’inertie thermique de cette paroi. Dans le chapitre suivant, nous allons
appliquer l’algorithme génétique MOO pour optimiser des parois multicouches par rapport à
l’isolation thermique caractérisée par la résistance thermique et par rapport à l’inertie thermique
caractérisée par la capacité thermique issue de la représentation quadripôlaire.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
27
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une
paroi de bâtiment
II-1 Introduction
L’enveloppe joue un rôle de filtre thermique qui permet de créer un microclimat à l’intérieur du
bâtiment, indépendant des fluctuations météorologiques extérieures. La composition de
l’enveloppe est un élément déterminant des caractéristiques de ce filtre. Les ambiances
intérieures du bâtiment ne pouvant pas répondre toujours aux exigences de confort des
occupants, la réponse du bâtiment est corrigée par des appareils de chauffage ou de climatisation
agissant comme des sources contrôlées de chaleur ou de froid. Dans tous les cas, les appareils de
chauffage et de climatisation consomment de l’énergie. Les engagements de Kyoto visant à la
réduction des consommations énergétiques et des émissions de gaz à effet de serre concernent
aussi bien le logement que le secteur tertiaire. Les recommandations et réglementations
thermiques préconisent une isolation thermique renforcée des parois opaques des bâtiments.
Malheureusement, une forte isolation, si elle limite la consommation d'hiver liée au chauffage,
induit de fortes surchauffes en été. Afin de lutter contre ce phénomène, diverses méthodes sont
possibles, comme la surventilation nocturne [PFA. 2003], les méthodes architecturales [GIV.
1978], ou l'inertie thermique [ANT. 2001]. C’est cette dernière qui nous intéresse dans ce
chapitre.
L’inertie thermique a un effet positif sur les conditions intérieures d’un bâtiment pendant l’été et
pendant l’hiver. En effet, les apports gratuits de chaleur par le soleil pendant le jour sont stockés
pour être ensuite relâchés dans l’ambiance intérieure plus tard.
Pendant l’hiver, cette chaleur solaire stockée est transférée à l’ambiance intérieure tard le soir
satisfaisant ainsi une partie de la charge de chauffage tout en permettant d’éviter les surchauffes
et l’inconfort des usagers pendant les périodes de fort ensoleillement.
Pendant l’été, le stockage de la chaleur dans les parois permet d’éviter les pics de la charge de
climatisation. La chaleur stockée est progressivement relâchée dans l’ambiance intérieure du
bâtiment avec pour conséquence une variation de la température intérieure qui reste dans la
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
28
gamme de confort. Cela peut donc réduire de manière sensible l’énergie consommée pour la
climatisation.
Le premier objectif de notre étude est de trouver la composition optimale des parois
multicouches réalisant un compromis entre l’isolation thermique et l’inertie thermique. Pour
cela, nous utilisons un code d’optimisation multi-objectif basé sur les algorithmes génétiques.
Le deuxième objectif de cette étude est d’évaluer la production d’entropie irréversible d’une
paroi multicouche. L’idée est de déterminer une possible relation entre l’inertie thermique et la
production d’entropie.
II-2 Revue bibliographique
Des études visant à optimiser l’isolation thermique des parois de bâtiments existent dans la
littérature. Mahlia et al. [MAH. 2007] ont établi une corrélation entre la conductivité thermique
de l’isolant et son épaisseur optimale sous la forme d’un polynôme de second ordre. Comakli
and Yuksel [COM. 2003] ont déterminé l’épaisseur optimale de l’isolation d’un mur extérieur en
se basant sur le cycle de vie des bâtiments dans les villes les plus froides de la Turquie. Al-
Khawaja [AL-K. 2004] a déterminé pour chaque type d’isolant l’épaisseur optimale avec comme
critère d’optimisation le coût total de l’énergie consommée et de l’isolant dans les pays chauds.
Al-Sanea et al. [AL-S. 2005] ont déterminé par un modèle dynamique des transferts thermiques
l’effet du tarif de l’électricité sur l’épaisseur optimale de l’isolation de l’enveloppe d’un bâtiment
en Arabie Saoudite. Lollina et al. [LOL. 2006] ont entrepris une étude afin de déterminer le
meilleur niveau d’isolation des bâtiments neufs d’un point de vue énergétique, économique et
environnemental. Toutes les études citées plus haut se sont focalisées uniquement sur l’aspect
isolation et ignorent l’aspect inertie thermique.
Le rôle de l’inertie thermique dans le bâtiment est un sujet largement étudié dans la littérature.
Balaras [BAL. 1996] par exemple a mis en exergue le rôle de l’inertie thermique sur la charge de
climatisation d’un bâtiment. Il a aussi fait dans cette étude une large revue et un classement des
outils de simulations permettant le calcul de la charge thermique de climatisation et la
température intérieure d’un bâtiment, et qui prennent en compte l’effet de l’inertie thermique.
Asan et Sancaktar [ASA. 1998a] ont montré que les propriétés thermophysiques de la paroi ont
des effets importants sur le déphasage et l’amortissement de l’onde thermique. K. Ulgen [ULG.
2002] a quant à lui entrepris une étude théorique et expérimentale sur l’effet des propriétés
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
29
thermophysiques des parois sur le déphasage et l’amortissement de la réponse du bâtiment. Il a
suggéré d’utiliser des parois multicouches avec isolation pour les bâtiments occupés toute la
journée et des parois monocouches pour les bâtiments occupés pendant des intervalles de temps
spécifiques.
Pour caractériser la dynamique du bâtiment, Antonopoulos et Koronaki [ANT. 1998] ont défini
une capacitance apparente et une capacitance effective. La capacitance apparente est déterminée
en additionnant les capacités calorifiques des différents éléments du bâtiment. Ils proposent un
modèle simple pour déterminer la température intérieure du bâtiment par :
Γ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Γ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
Γ−−−= int
ef
intextintextint
Qt
Cexp
QT)0(TT)t(T (II-1)
extT est la température moyenne extérieure ;
Qint est la puissance interne par unité de surface.
Les deux paramètres du modèle sont le coefficient de déperditions totales Γ et le coefficient Cef.
Le coefficient Γ est à déterminer. Par contre, la valeur du coefficient Cef qui permet d’approcher
au mieux la variation de la température intérieure obtenue numériquement comme le montre la
figure II-1 est appelée capacitance effective. Les mêmes auteurs dans une autre étude [ANT.
2000] proposent des corrélations permettant d’obtenir cette capacité effective ainsi que la
constante de temps thermique et le déphasage.
Fig. II-1 : Comparaison des variations de la température intérieure obtenue numériquement et par
le modèle de la capacité effective [ANT. 2000]
Entre autres caractéristiques dynamiques des parois, nous avons aussi la constante de temps
thermique. Tsilingiris [TSI. 2004] a fait l’étude de cette constante de temps thermique des parois.
Il en a déduit que la constante de temps thermique est une grandeur spécifique à une face de
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
30
paroi. Ainsi, pour une paroi donnée, deux constantes de temps ont été définies : la constante de
temps relative à la surface intérieure de la paroi et celle liée à la surface extérieure. Il a mis en
évidence l’influence de la position de la couche isolante dans une paroi de résistance thermique
fixée sur les deux constantes de temps. Une des conclusions importantes de cette étude est qu’il
est préférable d’utiliser des parois ayant une faible constante de temps relative à la surface
intérieure pour des espaces chauffés ou climatisés par intermittence et peu occupés. Le même
auteur [TSI. 2006a] a fait une analyse des déperditions à travers une paroi isolée soumise d’un
côté à la variation des conditions météorologiques et de l’autre à un chauffage intermittent. Les
effets de paramètres tels que la capacité apparente de la paroi, de la constante de temps
thermique et de la position de la couche isolante sur les déperditions et sur les fluctuations de la
température intérieure ont été mis en exergue. L’auteur a ainsi montré que l’isolation intérieure
des parois est préférable d’un point de vue énergétique pour les espaces chauffés par
intermittence. De même, il a montré que les déperditions journalières étaient proportionnelles à
la capacité apparente des parois ayant la même constante de temps thermique relative au côté
intérieur fixées. Tsilingiris dans un autre papier [TSI. 2006b] la même année a fait une étude
paramétrique pour voir l’influence de la distribution de la masse thermique et de la résistance
thermique sur le comportement dynamique de l’enveloppe du bâtiment. Pour cela, il a étudié
trois groupes de parois ayant une même capacité thermique apparente représentées sur la figure
II-2. La différence entre ces groupes de parois réside dans la position de la couche isolante.
(a) (b) (c)
Fig. II-2 : Parois multicouches avec la couche isolante située respectivement (a) du côté
intérieur, (b) du côté extérieur et (c) au milieu de la paroi [TSI. 2006b].
L’auteur présente ses résultats en termes de variation de la capacité thermique effective et de la
constante de temps thermique en fonction de la résistance thermique comme le montre la figure
II-3. Les courbes de cette figure montrent que la capacité thermique effective dépend de la
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
31
position de la couche isolante. Lorsque cette dernière est placée du côté intérieure, la capacité
effective prend une valeur très faible qui est pratiquement indépendante de la résistance
thermique. Pour des valeurs faibles de la résistance thermique, la position extérieure de la couche
isolante donne des capacités thermiques effectives plus élevées que celles données par la position
centrale de l’isolant. Cette différence diminue lorsque la résistance thermique augmente pour
disparaitre quand cette dernière devient élevée. Ces graphes montrent aussi que la capacité
thermique diminue lorsque la résistance augmente pour le cas où la couche isolante est placée à
l’extérieur ou au milieu de la paroi. Les conclusions concernant la constante de temps thermique
sont les mêmes que celles relatives à la capacité thermique effective.
Fig. II-3 : La capacité thermique effective (trait continu) et la constante de temps thermique
(pointillés) en fonction de la résistance thermique [TSI. 2006b].
D’autres auteurs ont montré le rôle de la position de la couche isolante dans la paroi sur le
comportement dynamique des bâtiments. On peut citer les études d’Asan [ASA. 1998b] et [ASA.
2000] et celle de Bojic et Loveday [BOJ. 1997]. Ces derniers ont analysé l’influence de la
distribution isolant/maçonnerie d’un mur à trois couches sur la consommation d’énergie pour le
chauffage ou la climatisation. Ces auteurs ont tiré les conclusions suivantes d’un point de vue
énergétique :
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
32
lorsque le bâtiment est chauffé de manière intermittente, l’isolation par l’intérieur et
l’isolation par l’intérieur et l’extérieur sont préférables à celle en sandwich,
lorsque le bâtiment est climatisé de manière intermittente, c’est l’isolation par l’extérieur et
l’isolation en sandwich qui sont préférables,
et pour le cas d’une climatisation continue, la position de l’isolation est indifférente.
Kossecka et Kosny [KOS. 2002] ont analysé l’influence de la configuration d’un mur isolé sur la
charge totale de chauffage et de climatisation d’un bâtiment continuellement occupé. Les six
parois considérées dans cette étude ont la même résistance thermique et sont présentées sur la
figure II-4.
Fig. II-4 : Configuration des parois étudiées par [KOS. 2002]
L’utilisation d’un modèle simple d’un bâtiment comportant une seule chambre soumis à des
températures périodiques a permis de mettre en évidence l’influence de la configuration sur la
stabilité thermique du bâtiment. Un bâtiment est dit stable thermiquement lorsque l’amplitude de
variation de la température intérieure est faible. Pour faire l’analyse énergétique d’un bâtiment
entier dont l’enveloppe extérieure est constituée des parois étudiées, les auteurs ont utilisé le
code de calcul DOE-2.1E. L’analyse faite sur six climats différents des USA a montré que la
meilleure performance est obtenue lorsque les couches massives sont situées du coté intérieur du
bâtiment et exposées directement à l’espace intérieur.
Les études passées en revue montrent le rôle fondamental de l’isolation thermique et de l’inertie
thermique des parois sur le comportement dynamique et la consommation énergétique du
bâtiment. Le premier objectif de notre étude est d’optimiser l’isolation d’une paroi de bâtiment,
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
33
caractérisée par la résistance thermique, et l’inertie de cette même paroi, caractérisée par la
capacité thermique. Cette optimisation sera faite sans discriminer un paramètre.
II-3 Optimisation d’une paroi multicouche par rapport à l’isolation thermique et l’inertie thermique
II-3-1 Recherche d’une paroi idéale
II-3-1-1 Problème posé
Le problème posé ici consiste à chercher la composition d’une paroi multicouche pour avoir une
bonne isolation thermique et une grande inertie thermique. On a donc une optimisation à deux
objectifs :
- maximiser la résistance thermique de la paroi
- maximiser la capacité thermique intérieure de la même paroi.
L’étude est centrée sur les variations journalières de température, de période 24h.
II-3-1-2 Les contraintes du problème
Les contraintes du problème sont les suivantes :
- la résistance thermique doit être supérieure ou égale à une valeur minimale. Cette
résistance minimale est la valeur « garde fou » de la réglementation thermique RT2005
(2.2 m2.K/W) ;
- l’épaisseur totale de la paroi doit être égale à une valeur fixée.
II-3-1-3 Les variables du problème
La paroi est composée de N couches parallèles d’un matériau homogène et isotrope.
Les variables du problème sont définies de la façon suivante :
- l’épaisseur d’une couche quelconque i (Li) comprise entre de 0 et 300 mm (épaisseur
totale de la paroi),
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
34
- la conductivité thermique de la couche i (λi) qui est dans l’intervalle entre 0.048 (isolant)
et 1.731 W.m-1.K-1 (matériau conducteur),
- la masse volumique de la couche i (ρi) qui est comprise entre 32 et 2243 kg/m3
- et la chaleur massique de la couche i (Ci) qui varie de 840 à 2510 J.kg-1.K-1.
Les valeurs limites des paramètres thermophysiques ont été données sur la base des propriétés
des matériaux constituant les parois types ASHRAE (en excluant l’acier qui constitue un cas
particulier). Les matériaux que l’on va ainsi déterminer sont des matériaux fictifs, mais dont les
propriétés thermophysiques varient dans des limites plausibles et raisonnables.
Les variables sont regroupées dans un vecteur (x)de dimension 4N, N étant le nombre fixé de
L’épaisseur d’une couche peut être égale à 0. Dans ce cas, cette couche n’est pas comptabilisée
dans le nombre de couches de la paroi. Ainsi, le nombre N apparaît comme le nombre maximal
de couches que peut contenir une paroi, le nombre effectif de couches pouvant être inférieur à N.
Pour éviter les divergences dans les calculs, une couche i dont la masse est négligeable
( 2i iL 2kg.m−ρ < selon les Règles Th-I de la RT 2000 [RT 2000]) a une matrice prise égale à
i1 R0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
, Ri étant la résistance thermique de cette couche.
II-3-1-4 Les résultats du problème et analyse
Nous présentons dans ce qui suit les résultats d’optimisation d’une paroi d’épaisseur totale de 30
cm constituée de quatre couches. La figure Fig. II-5 présente le front des parois Pareto-
optimales. Cette courbe présente trois parties intéressantes :
- une partie où la capacité thermique varie très peu (parois A à B) ; on peut en déduire la
capacité asymptotique,
- une autre partie où la variation de la capacité thermique en fonction de la résistance
thermique est pratiquement linéaire (parois D à G) ; une augmentation de la résistance au
dessus d’une certaine valeur entraine une dégradation très forte de la capacité thermique,
- et une zone de transition entre les deux premières parties (parois C à D).
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
35
2 3 4 5 6 7 80
100
200
300
400
500
600
Résistance thermique (m2.K/W)
Cap
acité
ther
miq
ue in
térie
ure
(kJ/
(m2.
K))
A B
C
D
E
F
G
Fig. II-5 : Capacité thermique en fonction de la résistance thermique des parois optimales
La composition de toutes les parois optimales sont données dans l’annexe 2. Nous présentons
néanmoins dans le tableau II-1 respectivement l’épaisseur, la conductivité thermique, la masse
volumique et la chaleur massique de chaque couche des parois sélectionnées sur le front de
Pareto. Les couches sont numérotées de l’intérieur vers l’extérieur du bâtiment.
La première couche de toutes les parois situées entre A et D du front de Pareto est constituée
d’un matériau ayant les propriétés thermophysiques maximales. Cette couche a une épaisseur
constante pour les parois se trouvant dans la première partie du front de Pareto (parois A à B).
Cette valeur constante est égale au quart de la longueur d’onde (4Λ ) du matériau lourd (λ=1.731
W.m-1.K-1 ; ρ=2243kg/m3 ; C=2510 J.kg-1.K-1), soit 145 mm. Ce résultat confirme ce que nous
avons déjà montré au chapitre I et qu’il est donc inutile d’avoir une couche massive d’épaisseur
supérieure à 4Λ .
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
36
Tab.II-1 : Détails des parois sélectionnées sur le front de Pareto
L (mm) ; λ (W.m-1.K-1) ; ρ (kg/m3) ; C (J.kg-1.K-1)
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
37
Les parois de la première partie du front mettent en évidence un fait intéressant : la deuxième
couche de ces parois est isolante. Ce résultat est intéressant car il montre que l’isolation en
« sandwich » n’altère en rien l’inertie d’une paroi à condition que l’épaisseur de la couche
massive soit supérieure ou égale à 4Λ .
Lorsque l’épaisseur de la première couche est inférieure à 4Λ (parois C à G), la deuxième couche
est mise à contribution pour le stockage de l’énergie thermique. Pour cela, la capacité calorifique
volumique ( Cρ ) de cette deuxième couche prend sa valeur maximale. La conductivité thermique
est quant à elle minimale pour assurer l’isolation thermique. Les dernières couches sont isolantes
pour toutes les parois du front sauf pour celles se trouvant dans la première partie (parois A à B).
Ces dernières couches ne contribuant pas au stockage de l’énergie, leur capacité calorifique
volumique prend des valeurs qui semblent n’obéir à aucune règle.
Les résultats présentés ici montrent la composition d’une paroi idéale d’un point de vue isolation
thermique et inertie thermique. Trois types de matériaux entrent dans la composition d’une telle
paroi avec les propriétés thermophysiques données dans le tableau suivant.
Le matériau 3 peut être un isolant classique. Par contre, les matériaux 1 et 2 n’existent pas. Le
matériau 1 serait du béton lourd avec la chaleur massique du bois tandis que le matériau 2 serait
un isolant avec le poids du béton lourd et la chaleur massique du bois.
II-3-2 Optimisation d’une paroi réelle
Les parois idéales trouvées précédemment peuvent ne pas être réalisables. Les matériaux
constituant de telles parois n’existent peut-être pas. L’intérêt de cette étude était de déterminer la
répartition des matériaux idéaux par rapport à l’isolation thermique et l’inertie thermique. Les
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
38
parois de bâtiments étant composées de matériaux réels, on se propose d’optimiser de telles
parois. Pour cela, on va mener deux études.
Etude 1 : déterminer les parois optimales constituées de couches matérielles réelles ayant une
épaisseur fixée.
Etude 2 : déterminer les parois optimales constituées de couches matérielles réelles dont
l’épaisseur n’est pas fixée.
II-3-2-1 Etude 1 : matériaux réels avec épaisseur des couches fixées
Nous sommes partis de la bibliothèque d’éléments de parois donnée dans ASHRAE Handbook
Fundamentals [ASH. 1997] (voir Annexe 3). On se propose de trouver les parois constituées de
ces éléments et qui seraient optimales d’un point de vue isolation thermique et inertie thermique.
II-3-2-1-1 Contraintes
Les contraintes du problème sont les suivantes :
- l’épaisseur d’une paroi ne doit pas excéder une valeur limite que nous fixons,
- la résistance thermique d’une paroi doit être supérieure ou égale à la valeur « garde-fou »
de la RT2005.
II-3-2-1-2 Variables
La variable du problème est un vecteur de dimension N, N étant le nombre maximal de couches
que peut comporter une paroi. Les composantes du vecteur sont des numéros désignant les divers
éléments de la bibliothèque. Elles peuvent prendre la valeur 0. Le numéro 0 correspond à une
absence de couche à la position correspondante dans le vecteur. Ainsi, le nombre de couches de
la paroi correspondant au vecteur est diminué d’une unité et ainsi de suite.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
39
II-3-2-1-3 Résultats et analyse
On fixe le nombre N de couches à 5. La valeur limite de l’épaisseur d’une paroi est fixée à
40 cm. Sur la figure Fig. II-6, nous présentons le front de Pareto. Il ressort de cette courbe
qu’une paroi réelle constituée des couches de la bibliothèque respectant le « garde fou » en
isolation a une capacité thermique surfacique toujours inférieure à 350 kJ.m-2.K-1. Les parois
situées entre A et B sur le front de Pareto ont une capacité pratiquement constante. Par contre,
toutes les parois situées après C sur le front voient leur capacité diminuer fortement lorsque la
résistance thermique augmente.
2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
300
350
Résistance thermique (m2.K/W)
Cap
acité
ther
miq
ue in
térie
ure
(kJ/
(m2.
K)) A
B
C
D
E F G
Fig. II-6 : Capacité thermique en fonction de la résistance thermique des parois optimales
Toutes les parois situées entre A et B comportent les couches C5 (10 cm de béton lourd) et C13
(15 cm de béton lourd). La somme des épaisseurs de ces couches constituées de béton lourd est
égale à 25 cm (soit 4Λ ). C’est ce qui explique que leur capacité thermique varie très peu.
Certaines de ces parois comportent entre les couches C5 et C13 la couche d’acier A3 qui semble
ne pas jouer un grand rôle avec son épaisseur très faible (2mm). Les parois ayant la plus grande
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
40
capacité comportent une couche de bois (B10) placée après la couche isolante. Parmi ces parois,
l’une d’elles comporte une faible couche isolante (B16) du coté intérieur. Une couche isolante de
faible épaisseur (ici 4 mm) n’a pratiquement pas d’influence sur la capacité thermique.
Les parois placées après B sur le front de Pareto ont une couche massive du côté intérieur avec
une épaisseur très inférieure à 4Λ , ce qui fait que la capacité est très sensible à l’augmentation de
la résistance thermique. Toutes les parois optimales sauf celles ayant la plus grande capacité
thermique ont la couche isolante placée à l’extérieur. Cela confirme un résultat de l’optimisation
d’une paroi idéale. Parmi les deux types d’isolants dont on dispose, celui ayant la masse
volumique la plus grande est privilégié.
La composition de toutes les parois optimales est donnée dans l’annexe 4. Nous présentons ici le
détail de la composition des parois A à G choisies sur le front de Pareto dans la figure II-7 et le
tableau II-3. Les couches sont données dans l’ordre d’apparition dans la paroi en allant de
l’intérieur vers l’extérieur du bâtiment.
Paroi A
Paroi B
Paroi C
Paroi D
Paroi E Paroi F
Paroi G
Fig. II-7 : Schéma de la composition des parois A à G
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
41
Tab. II-3 : Composition des parois A à G
Couche 1 Couche 2 Couche 3 Couche 4 Couche 5 L (mm) Paroi A C5 A3 C13 B24 B10 373 Paroi B C12 A3 C13 B14 B24 397 Paroi C A3 C13 A4 B25 B15 400 Paroi D A2 B12 B15 B16 B24 400 Paroi E B16 C3 B24 B12 B15 400 Paroi F A1 C12 B27 B4 B14 391 Paroi G C12 A1 B14 B25 B27 400
II-3-2-2 Etude 2 : matériaux réels avec épaisseur des couches non fixées
Dans l’étude 1, nous avons cherché à optimiser des parois composées de couches d’épaisseur
donnée. L’épaisseur de ces couches est-elle optimale ? Pour répondre à cette question, on se
propose maintenant d’optimiser des parois composées des matériaux réels. On cherche la
composition des parois optimales ainsi que l’épaisseur des différentes couches composant ces
parois.
II-3-2-2-1 Contraintes
Les contraintes du problème posé sont maintenant les suivantes :
- l’épaisseur totale des parois est fixée,
- la résistance thermique d’une paroi doit être supérieure ou égale à la valeur « garde-fou »
de la RT2005.
II-3-2-2-2 Variables
La variable du problème est un vecteur de dimension 2N, N étant le nombre maximal de couches
que peut avoir une paroi. Les composantes du vecteur sont des paires de nombres entiers. Le
premier nombre de la paire est le numéro du matériau dans bibliothèque. Le deuxième nombre
de la paire est l’épaisseur de la couche correspondante. Ce nombre est compris entre 0 et
l’épaisseur en millimètres de la paroi. Une épaisseur nulle est équivalente à une réduction du
nombre de couches.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
42
II-3-2-2-3 Résultats et analyse
On a toujours N=5 et l’épaisseur totale de la paroi est fixée à 400 mm.
Nous présentons sur la figure Fig. II-8 le front de Pareto. Cette courbe montre une décroissance
linéaire de la capacité thermique lorsque la résistance thermique augmente. En observant la
composition des parois Pareto-optimales (Annexe 5), on remarque que celles-ci sont des parois
bicouches composées d’une couche en acier (λmax, (ρC)max) et d’une couche isolante (λmin).
L’augmentation de la résistance consiste à diminuer l’épaisseur de la couche d’acier (en
augmentant la couche isolante). La longueur d’onde thermique Λ de l’acier étant de 3.9 m,
l’épaisseur de la paroi est donc inférieure à 4Λ , d’où la diminution quasi linéaire de la capacité
thermique avec la diminution de l’épaisseur de la couche d’acier.
2 3 4 5 6 7 8 9 100
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Résistance thermique (m2.K/W)
Cap
acité
ther
miq
ue in
térie
ure
(kJ/
(m2.
K))
Fig. II-8 : Capacité thermique en fonction de la résistance thermique des parois optimales
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
43
Les parois trouvées dans cette optimisation ne sont pas réalistes car l’épaisseur de l’acier est très
grande. Pour éviter que l’algorithme génétique ne s’oriente vers ces parois non réalistes, nous
avons alors supprimé l’acier de la bibliothèque des matériaux. Les nouveaux résultats obtenus
sont donnés ci-après.
Sur la figure II-9, nous présentons le front de Pareto qui comporte :
- une partie (parois A à B) où la capacité thermique varie très faiblement lorsque la
résistance augmente ;
- une partie quasi linéaire (parois C à G) où la capacité se dégrade fortement avec
l’augmentation de la résistance ;
Les parois entre B et C constituent une transition entre ces deux parties. Cette courbe est très
semblable à celle de la figure Fig. II-5
2 3 4 5 6 7 8 9 100
50
100
150
200
250
300
350
Résistance thermique (m2.K/W)
Cap
acité
ther
miq
ue in
térie
ure
(kJ/
(m2.
K)) A
B C
D
E
F
G
Fig. II-9 : Capacité thermique en fonction de la résistance thermique des parois optimales
En annexe 6, nous donnons la composition de toutes les parois optimales. Dans le tableau II-4,
nous présentons le détail de la composition des parois A à G sélectionnées sur le front des parois
Pareto-optimales.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
L (mm) ; λ (W.m-1.K-1) ; ρ (kg/m3) ; C (J.kg-1.K-1) L’épaisseur de la première couche pour les parois de la première partie de la courbe (parois A à
B) est très proche de 4Λ , Λ pour le béton lourd étant de 1 m. C’est pour cette raison que la
capacité thermique varie très peu avec la variation de la résistance.
L’épaisseur de la première couche des parois B à G est inférieure à 4Λ , c’est pourquoi capacité
thermique est très sensible à la diminution de l’épaisseur de ladite couche.
La composition générale des parois sélectionnées est représentée sur les schémas de la figure
II-10 :
Paroi A
Paroi B
Paroi C
Paroi D
Paroi E
Paroi F
Paroi G
Fig. II-10 : Schéma de la composition des parois A à G
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
45
II-3-3 Conclusions
L’étude d’optimisation que nous venons de mener sur la composition des parois montre que, en
allant de l’intérieur du bâtiment vers l’extérieur :
- la première couche d’une paroi optimale doit être conductrice et massive,
- l’épaisseur optimale de cette première couche est égale à 4Λ ; une variation d’épaisseur
autour de cette valeur influe faiblement sur la capacité thermique,
- lorsque l’épaisseur de la couche massive est beaucoup plus faible que 4Λ , une
augmentation de la résistance entraîne une diminution drastique de la capacité thermique.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
46
II-4 Etude thermodynamique d’une paroi
Cette étude a été motivée par les travaux de Strub et al. [STR. 2005]. Ces auteurs ont analysé
d’un point de vue de la seconde loi de la thermodynamique le transfert thermique à travers une
paroi soumise sur l’une de ses faces à une température sinusoïdale et sur l’autre à une
température constante. Ils ont déterminé la production d’entropie irréversible de la paroi entière
sur une période. Une question posée par cette étude est de savoir la relation fondamentale qui
existerait entre les irréversibilités et la consommation d’énergie. Cette question trouve tout son
sens lorsque la paroi est considérée comme un système thermodynamique. Les irréversibilités
sont davantage caractéristiques de la transformation thermodynamique que du système matériel
qui en est le siège. Pour connaître la part du système matériel sur la production, nous allons
considérer une même transformation dans l’analyse.
II-4-1 Méthode de calcul de la production d’entropie
Pour expliciter la méthode, considérons une paroi qui est soumise à des conditions aux limites de
type Dirichlet. D’un côté, la température varie sinusoïdalement avec le temps avec une période
24 heures, tandis que sur l’autre face la température est maintenue constante.
On suppose que le transfert de chaleur à travers cette paroi est monodimensionnel. On cherche à
calculer la production d’entropie de la paroi sur une période. En effet, sur une période le système
subit une transformation cyclique et donc la variation d’entropie – en tant que fonction d’état –
est nulle. Dans ce cas, la production d’entropie due aux irréversibilités pendant une période est
égale à l’entropie due aux échanges avec le milieu extérieur. Ainsi, si Je est le flux d’entropie à
l’entrée de la paroi et Js celui à la sortie, on peut écrire : T T
irr s e0 0
S J dt J dt∆ = −∫ ∫ (II-3)
irrS∆ est la production d’entropie ou entropie due aux irréversibilités
Le flux d’entropie est donné par :
JTϕ
= (II-4)
où ϕ est la densité de flux et T est la température exprimée en Kelvins.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
47
Les densités de flux à l’entrée ϕe et à la sortie ϕs dans le cas du régime sinusoïdal établi peuvent
être calculées sans déterminer au préalable de manière explicite le champ de températures. En
effet, la densité de flux est la superposition de deux flux surfaciques :
- celui du régime permanent (ϕp) lorsque le système est soumis sur ses deux faces aux
valeurs moyennes sur une période des conditions aux limites,
- et celui du régime sinusoïdal pur (ϕe et ϕs) c’est-à-dire lorsque le système est soumis aux
conditions aux limites sinusoïdales qui varient autour d’une même température moyenne
nulle (0 °C).
La densité de flux en régime permanent est une constante calculée par :
e sp
T TR−
ϕ = (II-5)
e sT et T sont les températures moyennes respectivement à l’entrée et la sortie de la paroi
R est la résistance thermique par unité de surface de la paroi.
En ce qui concerne les flux surfaciques du régime sinusoïdal pur, il faut se rappeler qu’il existe
une relation linéaire entre les conditions à l’entrée et à la sortie de la paroi. En effet, on a la
relation matricielle suivante :
e s
e s
A BC D
θ θ⎡ ⎤= ⎢ ⎥φ φ⎣ ⎦
(II-6)
et θ φ sont respectivement la température complexe et la densité de flux complexe.
A, B, C et D sont les composantes de la matrice de transfert de la paroi (cf. Chap. I).
On peut déduire de cette relation, les densités de flux complexes en fonction des températures
complexes par :
e se
e ss
D 1B B1 AB B
⎧φ = θ − θ⎪⎪⎨⎪φ = θ − θ⎪⎩
(II-7)
Pour trouver les densités de flux sinusoïdales, il suffit de prendre la partie imaginaire des
densités de flux complexes.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
48
II-4-2 Production d’entropie d’une paroi monocouche
Dans un premier temps, considérons une paroi homogène d’épaisseur L et de paramètres
thermophysiques λ, ρ et C donnés. Cette paroi (voir Fig. II-11) est soumise en x=0 à une
température constante Tsi et en x=L à une température sinusoïdale donnée par :
sese2T (t) T Tsin tPπ⎛ ⎞= + ∆ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
On se propose d’étudier la production d’entropie d’une telle paroi pendant une période, ainsi que
l’influence de l’épaisseur de la paroi.
Fig. II-11 : Système thermodynamique étudié avec ses conditions aux limites
Sur la figure II-12, nous présentons l’évolution de l’entropie produite en fonction de l’épaisseur
réduite * LL =Λ
d’une paroi homogène en béton de laitier plein (λ=1.4 W.m-2.K-1 ; ρ=2300
kg.m-3 et C=882 J.kg-1.K-1). Cette paroi est soumise aux conditions aux limites suivantes :
siT 20 C= ° et ( )se2T t 10 10sin t
86400π⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
La production d’entropie pendant une période de 24 heures diminue lorsque l’épaisseur de la
paroi augmente. Cette diminution s’explique en partie par le fait que la résistance au transfert
thermique augmente avec l’épaisseur de la paroi. En effet, le flux de chaleur échangé avec
l’extérieur diminue lorsque la résistance thermique augmente.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
49
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
Epaisseur réduite de la paroi L*
Pro
duct
ion
d'en
tropi
e (J
/(m2.
K)
Fig. II-12 : Production d’entropie journalière en fonction de l’épaisseur réduite ( siT 20 C= ° et
( )se2T t 10 10sin t
86400π⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠)
Cependant, la résistance thermique caractérise le comportement thermique de la paroi en régime
permanent. Afin de déterminer la contribution des fluctuations de la température de surface
extérieure sur la production d’entropie, nous considérons la même paroi soumise cette fois aux
conditions aux limites suivantes :
siT 0 C= ° et se2T (t) 10sin t
86400π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Dans ce cas, la production d’entropie est alors due uniquement aux oscillations sinusoïdales. Sur
la figure II-13, nous présentons la variation de la production journalière d’entropie en fonction de
l’épaisseur réduite de la paroi.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1500
550
600
650
700
750
800
850
Epaisseur réduite de la paroi L*
Pro
duct
ion
d'en
tropi
e (J
/(m2.
K)
Fig. II-13 : Production d’entropie journalière en fonction de l’épaisseur réduite ( siT 0 C= ° et
se2T (t) 10sin t
86400π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠)
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
50
La production journalière d’entropie due aux fluctuations de la température présente un
minimum à L*=0.25 soit une épaisseur de la paroi égale à 4Λ . Ce résultat a été déjà mis en
évidence par Strub et al. [STR. 2005].
Ce comportement est à lier à la représentation d’une paroi par un quadripôle en « Π ». Le
transfert du flux thermique d’une face à l’autre de la paroi en régime sinusoïdal fait intervenir
une impédance transversale Zt (équation I-28). Aux faibles épaisseurs, cette impédance est
confondue avec la résistance thermique. Ainsi, la production d’entropie diminue lorsqu’on
augmente l’épaisseur de la paroi due à la résistance au transfert thermique qui augmente. La
partie réelle de l’impédance augmente avec l’épaisseur de la paroi pour atteindre son maximum à
4Λ , valeur à laquelle la production journalière d’entropie atteint son minimum. Lorsque
l’épaisseur de la paroi dépasse4Λ , la production d’entropie augmente et tend vers une valeur
asymptotique correspondant à la production d’entropie d’un mur semi-infini.
L’existence d’une épaisseur de paroi minimisant la production d’entropie signifie un
comportement particulier de la paroi ayant cette épaisseur par rapport aux fluctuations
sinusoïdales de la température. La théorie du minimum d’entropie développée par A. Bejan
[BEJ. 1996] voudrait que la paroi de cette épaisseur ait une meilleure résistance par rapport au
transfert thermique dynamique.
La valeur du minimum de production d’entropie dépend du matériau constituant la paroi. On se
propose de rechercher la relation qui pourrait exister entre le minimum de production d’entropie
et un paramètre caractéristique du comportement dynamique de la paroi.
II-4-3 Relation entre minimum de production d’entropie et inertie thermique
On considère maintenant une paroi monocouche constituée des matériaux du tableau I-1 du
chapitre I. L’épaisseur réduite de la paroi est prise 0.25 (soit L=4Λ ) pour que la production
journalière d’entropie soit minimale. Les conditions aux limites appliquées sont les suivantes :
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
51
siT 0 C= ° et se2T (t) 10sin t
86400π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Par analogie avec le régime permanent où l’entropie d’échange est inversement proportionnelle à
la résistance thermique de la paroi (cf. équation II-4), on cherche une relation entre la production
d’entropie et l’impédance transversale Zt de la paroi. Pour cela, nous présentons sur la figure II-
14 le minimum de production d’entropie en fonction de l’inverse de la partie réelle de
l’impédance Zt qui est homogène à une résistance thermique.
0 2 4 6 8 10 120
100
200
300
400
500
600
700
800
Inverse de la partie réelle de Zt (m2.K/W)
prod
uctio
n d'
entro
pie
(J/(m
2.K
))
Fig. II-14 : Minimum de production d’entropie en fonction de l’inverse de la partie réelle de
l’impédance transversale ( siT 0 C= ° et se2T (t) 10sin t
86400π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠)
Cette courbe montre que le minimum de production d’entropie est effectivement inversement
proportionnel à la partie réelle de l’impédance complexe Zt. Le coefficient de proportionnalité
dépend de l’amplitude de la température fluctuante.
Sur la figure II-15, nous présentons la production d’entropie des mêmes parois en fonction de
l’effusivité du matériau qui les compose. Cette courbe montre une corrélation évidente entre le
minimum de production d’entropie et l’effusivité thermique. La production d’entropie augmente
linéairement avec l’effusivité thermique. Compte tenu de la relation existant entre la capacité
thermique et l’effusivité thermique mise en évidence dans le chapitre I (cf. Fig. I-9), on s’attend
à avoir une relation linéaire entre la capacité thermique et le minimum d’entropie. Sur la figure
II-16 une telle relation linéaire est mise en évidence.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
52
0 500 1000 1500 2000 25000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
effusivité thermique (unité SI)
prod
uctio
n d'
entro
pie
(J/(m
2.K
))
Fig. II-15 : Minimum de production d’entropie en fonction de l’effusivité thermique ( siT 0 C= °
et se2T (t) 10sin t
86400π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠)
0 50 100 150 200 250 3000
100
200
300
400
500
600
700
800
Capacité thermique intérieure (kJ/(m2.K))
prod
uctio
n d'
entro
pie
(J/(m
2.K
))
Fig. II-16 : Minimum de production d’entropie en fonction de la capacité thermique ( siT 0 C= °
et se2T (t) 10sin t
86400π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠)
Les développements faits ci-dessus concernent des parois monocouches. Or, les parois de
bâtiment sont généralement composées de plusieurs couches. C’est pourquoi, on se propose dans
ce qui suit d’étudier la production d’entropie de parois multicouches.
II-4-4 Production d’entropie d’une paroi multicouche
Considérons à présent une paroi constituée de deux couches : une couche isolante d’épaisseur L1
et une couche massive d’épaisseur L2. Cette paroi a une résistance thermique constante. On
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
53
compare l’influence de la position de la couche isolante sur la production d’entropie. Pour
s’assurer d’avoir le minimum de production d’entropie dans chacune des couches, on fixe leur
épaisseur égale au quart de la longueur d’onde du matériau composant la couche. Les
configurations testées sont présentées dans le schéma de la figure II-17. Le matériau 1 est du
polystyrène (ρ1=18 kg.m-3 ; C1=1380 J.kg-1.K-1 ; λ1=0.04 W.m-1.K-1) et le matériau 2 est du
béton de laitier plein (ρ2=2300 kg.m-3 ; C2=882 J.kg-1.K-1 ; λ2=1.4 W.m-1.K-1). On a donc L1=33
cm et L2=22 cm. Les parois sont soumises aux conditions aux limites suivantes :
intT 20 C= ° et ( )ext2T t 10 10sin t
86400π⎛ ⎞= + + π⎜ ⎟
⎝ ⎠
Configuration 1 Configuration 2
Ext. Int. Ext.Int. 2 1 21
Fig. II-17 : Configurations étudiées
La production journalière d’entropie est de 22 J.m-2.K-1 et de 609 J.m-2.K-1 respectivement pour
la configuration 1 et pour la configuration 2.
La disposition des couches d’une paroi a une influence certaine sur la production d’entropie due
aux oscillations de la température. La quasi-totalité de la production d’entropie a lieu dans la
couche qui subit les fluctuations de la température. Ainsi, dans la configuration 1, c’est la couche
isolante qui produit les irréversibilités alors que dans la configuration 2 c’est la couche massive.
Or la production d’entropie dans une couche isolante est toujours plus faible que celle d’une
couche massive. C’est ce qui explique que la configuration 1 ait la plus faible production
d’entropie. La couche massive dans cette configuration 1 intervient peu dans la production
d’entropie.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
54
Pour étayer cette assertion, nous considérons une paroi ayant la configuration 1 dans laquelle on
fait varier l’épaisseur de la couche massive sans modifier la résistance thermique totale de la
paroi. Dans ce cas, la variation d’entropie est liée uniquement aux fluctuations de la température
de la surface extérieure.
Dans la figure II-18, nous présentons la production d’entropie en fonction de l’épaisseur de la
couche massive.
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.412.4
12.5
12.6
12.7
12.8
12.9
13
Epaisseur de la couche massive (m)
prod
uctio
n d'
entro
pie
(J/(m
2.K
))
Fig. II-18 : production d’entropie en fonction de l’épaisseur de la couche massive d’une paroi
dans la configuration 1 ( siT 0 C= ° et se2T (t) 10sin t
86400π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠)
Cette courbe montre que la production d’entropie varie très peu avec l’épaisseur de la couche
massive. En effet, lorsque la couche massive passe 10 à 40 cm, la production d’entropie passe de
12.46 à 12.95 J.m-2.K-1, soit une augmentation de seulement 3 %.
Cependant, si on considère une paroi dans la configuration 2 et qu’on fasse toujours varier
l’épaisseur de la couche massive sans augmenter la résistance thermique totale de la paroi, nous
obtenons la courbe de variation représentée sur la figure II-19.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
55
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4250
300
350
400
450
500
550
600
650
Epaisseur de la couche massive (m)
prod
uctio
n d'
entro
pie
(J/(m
2.K
))
Fig. II-19 : production d’entropie en fonction de l’épaisseur de la couche massive d’une paroi
dans la configuration 2 ( siT 0 C= ° et se2T (t) 10sin t
86400π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠)
On remarque que la production augmente rapidement avec l’épaisseur de la couche massive pour
atteindre une valeur maximale lorsque l’épaisseur de cette couche massive prend la valeur 4Λ et
décroître vers une asymptote.
On voit ainsi que la variation de la production d’entropie avec l’épaisseur de la couche massive
(donc avec l’épaisseur totale de la paroi) d’une paroi bicouche de résistance thermique constante
est à l’opposé de celle d’une paroi monocouche (Fig. II-13).
II-4-5 Production d’entropie d’une paroi soumise à des conditions aux limites de type Neumann
La condition aux limites de Dirichlet se rencontre rarement dans les parois d’un bâtiment en
fonctionnement naturel. La condition aux limites de Neumann est la plus réaliste. On se propose
de déterminer la production d’entropie d’une paroi monocouche soumise d’un côté à une
température extérieure sinusoïdale avec un coefficient convectif he et sur l’autre une température
constante avec un coefficient convectif hi.
La matrice de transfert prend en compte les coefficients convectifs et devient :
e i1 1
g g h h
g g
A B 1 1A BC D C D 0 10 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ (II-8)
A BC D
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
est la matrice de transfert de la paroi monocouche.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
56
On considère une paroi en béton de laitier plein qui sépare deux ambiances : une ambiance
extérieure à la température ( )ext2T t 10 10sin t
86400π⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠ et une ambiance intérieure à une
température constante intT 20 C= ° . Les coefficients d’échange convectif sont respectivement
2 1eh 25W.m .K− −= à l’extérieur et 2 1
ih 8W.m .K− −= à l’intérieur.
Sur la figure II-20, nous présentons l’évolution de l’entropie produite en fonction de l’épaisseur
réduite de la paroi. La production d’entropie d’une paroi soumise à des conditions aux limites de
Neumann est faible comparée à celle de la même paroi soumise aux conditions de Dirichlet.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9260
280
300
320
340
360
380
400
420
Epaisseur réduite de la paroi L*
Pro
duct
ion
d'en
tropi
e (J
/(m2.
K)
Fig. II-20 : Production d’entropie journalière en fonction de l’épaisseur réduite d’une paroi
( intT 20 C= ° et ext2T (t) 10 10sin t
86400π⎛ ⎞= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠)
L’évolution de la production d’entropie pour une paroi soumise à des conditions aux limites de
Neumann est très différente de celle d’une paroi soumise à des conditions aux limites de
Dirichlet (voir Fig. II-8). La production d’entropie présente un maximum de production
d’entropie. En effet, aux faibles épaisseurs, la paroi se comporte comme une simple résistance. Il
y a égalité des flux instantanés échangés au niveau des faces de la paroi. De plus, les
températures des surfaces de la paroi tendent vers la même valeur. Ainsi, la production
d’entropie tend vers zéro. Le minimum de production d’entropie correspond à une paroi très fine.
Au fur et à mesure que l’épaisseur de la paroi augmente, l’entropie augmente due à l’écart de
températures des surfaces. Mais au même moment, les flux thermiques échangés diminuent à
cause de la résistance de la paroi au transfert thermique qui augmente. Ces effets antagonistes
ont pour conséquence la création d’un maximum de production d’entropie. Lorsque l’on
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
57
continue à augmenter l’épaisseur de la paroi, la production d’entropie diminue et tend vers la
production d’entropie d’une paroi semi-infinie.
Pour voir la contribution des oscillations de la température sur la production d’entropie, on
soumet à la même paroi des conditions aux limites suivantes :
intT 0 C= ° et ( )ext2T t 10sin t
86400π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Sur la figure II-21, nous présentons la variation d’entropie journalière d’une paroi soumise à ces
conditions aux limites en fonction de son épaisseur réduite.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1120
140
160
180
200
220
240
260
280
Epaisseur réduite de la paroi L*
Pro
duct
ion
d'en
tropi
e (J
/(m2.
K)
Fig. II-21 : Production d’entropie journalière en fonction de l’épaisseur pour une paroi
( intT 0 C= ° et ext2T (t) 10sin t
86400π⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠)
La production d’entropie due aux fluctuations de la température est nulle pour une paroi très
fine. Lorsque l’épaisseur de la paroi augmente, la production d’entropie augmente très
rapidement vers une valeur asymptotique qui est la production d’entropie d’une paroi semi-
infinie.
II-4-6 Conséquence énergétique de la production d’entropie
Nous avons fait l’analyse de la production d’entropie irréversible d’une paroi de bâtiment plus
haut. Une question naturelle est de savoir si cette production d’entropie a une conséquence
énergétique. Pour répondre à une telle question, on se propose de calculer la température
d’ambiance intérieure d’un bâtiment à une chambre qui échange avec le milieu extérieur à
travers une seule de ses parois, les autres étant adiabatiques. Si les sollicitations extérieures se
limitent à la température extérieure qui varie de manière sinusoïdale, la température moyenne
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
58
intérieure est égale à celle extérieure. La partie sinusoïdale est calculée de manière analytique en
appliquant la méthode harmonique par :
( )
a ACH paint ex t
a pa ACH
1 d CB
Ad C jB
+ ρ τθ = θ
ρ ω + τ + (II-9)
d est la profondeur de la chambre ;
τACH est le taux de renouvellement d’air ;
A et B sont les coefficients de la matrice de transfert d’ambiance à ambiance de la paroi.
Considérons les configurations de parois présentées à la figure II-14 avec des épaisseurs réalistes
des couches. Nous prenons pour l’illustration l’épaisseur de la couche 1 (isolant) à 10 cm et celle
de la couche 2 (matériau massif) à 30 cm. La paroi dans les deux configurations a donc une
résistance thermique constante égale à 2.88 m2.K/W.
La température extérieure est prise égale à : ( )ext2T t 10 10sin t
86400π⎛ ⎞= + + π⎜ ⎟
⎝ ⎠
Les coefficients d’échange convectif sont respectivement 2 1eh 25W.m .K− −= à l’extérieur et
2 1ih 8W.m .K− −= à l’intérieur.
Nous présentons sur la figure II-22, la variation de la température intérieure calculée dans les
deux configurations.
0 5 10 15 20 258.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
tem
péra
ture
inté
rieur
e (°
C)
temps (h)
configuration 1configuration 2
Fig. II-22 : Evolution temporelle de la température intérieure
Le bâtiment dans la configuration 1 est plus stable thermiquement que dans la configuration 2.
En effet, l’amplitude de variation de la température intérieure est plus faible dans la
configuration 1 que dans la configuration 2.
Chapitre II Optimisation thermique et étude thermodynamique d’une paroi de bâtiment _____________________________________________________________________________
59
La production journalière d’entropie de la paroi calculée en considérant cette dernière comme
soumise à des conditions de Neumann est de 20.7 et 260.2 J.m-2.K-1 dans les configurations
respectives 1 et 2. La configuration 1 dans le bâtiment la plus stable thermiquement est plus
intéressante d’un point de vue production d’entropie. Une machine dont le rôle est de maintenir
la température intérieure constante va donc travailler moins dans la configuration 1 que dans la
configuration 2. La conséquence énergétique de la production d’entropie semble liée au travail
d’une telle machine.
II-4-7 Conclusions
Nous avons montré que l’on peut faire le calcul de la production d’entropie d’une paroi en
appliquant la méthode des quadripôles. Cette méthode présente l’avantage de faire ce calcul sans
déterminer au préalable le champ thermique dans la paroi. L’analyse de la production journalière
d’entropie d’une paroi monocouche soumise à des conditions aux limites de Dirichlet a montré
l’existence d’une épaisseur optimale de paroi qui minimise cette production. Cette épaisseur
optimale est égale à 4Λ .
La production d’entropie d’une paroi bicouche est étroitement liée à la disposition des couches.
D’un point de vue thermodynamique, il est préférable de disposer la couche isolante à l’extérieur
qu’à l’intérieur.
Nous avons également analysé la production journalière d’entropie d’une paroi monocouche
soumise à des conditions aux limites de Neumann. La variation de la production d’entropie en
fonction de l’épaisseur de la paroi est très différente de celle de la même paroi soumise à des
conditions aux limites de Dirichlet.
Enfin, nous avons montré par un modèle simple d’un bâtiment à une zone que la production
d’entropie est liée à la stabilité thermique du bâtiment. Plus la production d’entropie irréversible
par les parois est faible, plus l’ambiance dans le bâtiment est stable.
Les études faites dans ce chapitre concernent des parois pleines. Nous nous intéressons dans les
chapitres qui suivent aux éléments de parois alvéolaires.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
61
Chapitre III Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en
régime permanent
Les monomurs, briques à alvéoles verticales, sont conçus pour avoir la double propriété d’être un
bon isolant et d’avoir une bonne inertie thermique. Le développement de ces produits passe par
une meilleure connaissance des transferts thermiques dont ils sont le siège notamment
l’identification de paramètres influençant ces transferts. Pour cela, nous avons fabriqué une
maquette expérimentale sensée modéliser les briques à alvéoles verticales et des tests ont été
entrepris sur cette maquette. Pour mieux cerner tous les aspects des transferts thermiques, une
simulation d’une cavité partitionnée en 2D représentant la maquette a été faite au moyen d’un
code CFD (Fluent). Pour analyser l’influence de certains paramètres sur la résistance thermique
de la cavité partitionnée, nous avons développé un modèle simplifié 1D avec une validation
expérimentale et numérique.
III-1 Revue bibliographique
La convection naturelle dans une cavité différentiellement chauffée est un sujet largement traité
dans la littérature. Des bibliographies détaillées peuvent être trouvées dans [LAR. 1999] et [XIN.
2006]. D’autres études ont été entreprises sur la même cavité avec des parois verticales
conductrices [MIS. 1997], [COS. 2002] ou encore avec toutes les parois d’épaisseur finie [ZHA.
2007]. L’objectif de telles études est de mettre en évidence l’influence de la conduction dans les
parois sur la convection naturelle. Toutes ces études ne prennent pas en compte le rayonnement
pouvant intervenir dans la cavité.
Des études traitant du couplage rayonnement et convection dans une cavité différentiellement
chauffée existent dans la littérature. Akiyama et Q. P. Chong [AKI. 1997] ont fait une analyse
numérique de la convection naturelle avec rayonnement des surfaces d’une cavité carrée. Balaji
et Venkateshan [BAL. 1993] ont étudié numériquement l’interaction du rayonnement des
surfaces sur la convection. Ils ont conclu que le rayonnement était non négligeable même aux
faibles émissivités et que cela pourrait expliquer les différences souvent notées entre les résultats
expérimentaux et les corrélations théoriques. Ces mêmes auteurs [BAL. 1994] ont proposé de
nouvelles corrélations pour la convection naturelle et le rayonnement dans une cavité carrée en
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
62
se basant sur une base de 55 points numériques. A. Yucel et al. [YUC.1989] ont étudié la même
cavité en considérant un fluide absorbant, émettant et diffusant de manière isotrope. L’équation
du transfert radiatif a été résolue en utilisant la méthode des ordonnées discrètes. S. Jaballah et
al. [JAB. 2007] ont étudié l’interaction entre le rayonnement et la convection dans une cavité
carrée avec des parois horizontales émettant de manière diffuse. Kim et Viskanta [KIM 1984]
ont analysé numériquement les effets de la conduction à travers les parois et du rayonnement des
surfaces sur la convection naturelle dans une cavité carré. Ils ont conclu que le nombre de
Nusselt n’est plus un paramètre significatif pour le transfert couplé. Leurs résultats montrent que
le transfert convectif dans la cavité est diminué par la conduction dans les parois ainsi que le
rayonnement entre les surfaces. Lauriat and Desrayaud [LAU. 2006] ont quant eux étudié les
effets du rayonnement sur la convection naturelle dans des cavités partiellement ouvertes.
Toutes les études citées plus haut sont en 2D. Colomer et al. [COL. 2004] ont quant à eux étudié
en 3D le phénomène de convection naturelle et de rayonnement dans une cavité
différentiellement chauffée remplie d’une part par un fluide transparent et d’autre part par un
fluide participant au rayonnement.
Le partitionnement des cavités peut réduire sensiblement les transferts thermiques. De
nombreuses applications utilisent cette technique. Il s’agit des matériaux alvéolaires (briques à
alvéoles verticales [LAC. 2003a]), des collecteurs solaires, du stockage cryogénique, etc.
Les premières études sur les cavités partitionnées se sont intéressées à l’influence sur la
convection naturelle. Anderson et Bejan [AND. 1981] ont étudié théoriquement et
expérimentalement la réduction du transfert thermique à travers une cavité avec une ou deux
cloisons placées au milieu de celle-ci. Ils ont déduit de cette étude que le nombre de Nusselt
global est proportionnel à ( ) 0.611 N −+ , N étant le nombre de cloisons. Tong et Gerner [TON.
1986] ont étudié l’effet d’une cloison verticale fine sur la convection naturelle dans une cavité
remplie d’air. Ils ont étudié l’influence de la position de la cloison sur le nombre de Nusselt et
ont montré que la position au milieu de la cavité produisait la plus grande réduction sur le
transfert thermique. Ils ont également montré que le partitionnement pouvait produire une
réduction sur le transfert thermique comparable à celle d’un isolant poreux comme la fibre de
verre remplissant la cavité. Ho et Yih [HO 1987] ont étudié la convection naturelle à travers une
cavité rectangulaire avec une cloison épaisse. Leurs résultats montrent que le transfert thermique
est considérablement atténué par la présence de la cloison. Ils ont aussi mis en évidence
l’influence de la conductivité thermique de la cloison sur le nombre de Nusselt. Nishimura et al.
[NIS. 1988] ont quant eux étudié expérimentalement et numériquement la convection naturelle
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
63
dans des cavités rectangulaires ayant plusieurs cloisons. Ils ont montré que le nombre de Nusselt
est inversement proportionnel à (1+N), N étant le nombre de cloisons. Ce résultat a été confirmé
par leurs expériences. Plus récemment d’autres études ont été faites sur le même thème. Il s’agit
entre autres de Kangni et al. [KAN. 1991] qui étudient la convection et la conduction dans des
cavités avec plusieurs cloisons conductrices d’épaisseurs finies. Leurs résultats sont présentés en
termes de variation du nombre de Nusselt en fonction du nombre de Rayleigh. L’influence de
paramètres comme la conductivité thermique des cloisons, l’épaisseur des cloisons et le nombre
de cloisons a été mise en évidence. Turkoglu et Yucel [TUR. 1996] ont entrepris une étude
similaire, la différence étant la prise en compte de l’épaisseur des parois verticales. Les
paramètres étudiés sont ici le nombre de cloisons et le rapport d’allongement.
D’autres études ont traité le partitionnement partiel des cavités en convection naturelle [KAN.
1991], [BIL. 2002], [YUC. 2003], [SAN. 2006].
Les études sur les cavités partitionnées citées plus haut traitent uniquement de la convection
naturelle. Or, le partitionnement joue aussi un rôle important dans la réduction du transfert
radiatif.
Très peu d’études à notre connaissance traitent du couplage rayonnement-convection dans des
cavités partitionnées. Abdelbaki et Zrikem [ABD. 1999] ont fait une étude de simulation
numérique des transferts couplés à travers des parois alvéolaires. Ces auteurs ont montré que
l’étude de ces parois pouvait être réduite à celle d'un bloc creux à deux alvéoles dans la direction
du transfert de chaleur. Ils ont analysés les effets du rayonnement sur la convection naturelle et
ont abouti aux conclusions suivantes :
- la convection naturelle dans les alvéoles de la rangée gauche est fortement atténuée par
les échanges radiatifs entre les surfaces internes de celles-ci ;
- le transfert de chaleur global à travers la structure croît fortement lorsque les échanges
radiatifs sont pris en compte ; les effets de ce dernier sont beaucoup plus prononcés pour
les faibles nombres de Rayleigh, où l'influence de la convection naturelle est encore
négligeable. Han et Baek [HAN 2000] ont étudié l’influence du rayonnement sur la
convection naturelle dans une cavité rectangulaire avec deux cloisons incomplètes.
Lorente et al. [LOR. 1996] ont approché les transferts thermiques à travers les briques à alvéoles
verticales par un modèle analytique. Ce modèle est utilisé pour évaluer la résistance thermique
de la brique alvéolaire.
Parmi les études que nous venons de passer en revue, aucune ne traite de manière systématique
le couplage rayonnement-convection dans des cavités avec plusieurs cloisons, ni n’analyse
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
64
l’influence des paramètres de la cavité partitionnée à la fois sur la convection naturelle et le
rayonnement. C’est ce que nous nous proposons de réaliser dans cette étude.
III-2 Etude expérimentale de la cavité partitionnée
Les objectifs de l’étude expérimentale sont entre autres :
- la vérification de la bidimensionnalité des transferts thermiques à travers la cavité
partitionnée,
- la quantification du niveau de stratification des températures sur les faces d’alvéoles,
- la détermination expérimentale de la résistance thermique de la cavité partitionnée,
- la validation d’un modèle simplifié 1D des transferts thermiques.
III-2-1 Description
Pour atteindre les objectifs cités plus haut, nous avons construit une maquette en PVC (Fig. III-1)
de la cavité partitionnée. Les dimensions extérieures de la maquette sont de 0.200 m de hauteur,
de 0.301 m de large et de 0.290 m de profondeur. Les parois extérieures de la cavité ont une
épaisseur de 0.008 m. La maquette est démontable de façon à pouvoir y insérer respectivement 3,
5, 7, 11, 15, 23 ou 47 cloisons de 0.003 m d'épaisseur, créant ainsi 7 géométries différentes
comportant respectivement 4, 6, 8, 12, 16, 24 et 48 alvéoles de largeurs égales.
Fig. III-1 : Photo de la maquette de la cavité partitionnée.
Lorsque cela est possible, chaque face d’une alvéole est instrumentée par des thermocouples de
type K placés aux points P1, P2, P3 et P4 comme indiqué sur le schéma de la Fig. III-2.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
65
Fig. III-2 : Positions des thermocouples sur une paroi d’alvéole
Les points de mesures P1, P2 et P3 permettront de mettre en évidence la stratification des
températures. La moyenne des températures de ces points sera comparée avec la température
calculée avec le modèle simplifié 1D.
Les points P2 et P4 permettront de vérifier que le problème ne présente pas un caractère
tridimensionnel.
La maquette est placée dans un mur isolé qui sépare deux ambiances à température contrôlée :
une enceinte chaude et une autre froide (Fig. III-3). Le dispositif de mesure est celui utilisé pour
la mesure du coefficient d'isolation U d’un mur suivant la norme ISO 8990 [ISO 1996], dispositif
qui a été modifié pour la caractérisation d’une brique isolée [LAC. 2003b].
Sur les surfaces extérieures de la maquette, des thermocouples de type K ont été placés pour
mesurer les températures chaude TC et froide TF expérimentales. Sur ces mêmes surfaces, des
fluxmètres carrés (de surface 100 x 100 mm2) ont été placés pour mesurer les densités de flux sur
le côté chaud et le côté froid de la maquette
Les thermocouples ont été étalonnés et leur incertitude est estimée à 0.3 °C. Quant aux
fluxmètres, la précision donnée par le constructeur est de 5%.
Les températures et les densités de flux sont mesurées à intervalle de temps régulier par une
centrale d’acquisition pilotée par ordinateur jusqu’à l’établissement d’un régime permanent.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
66
Fig. III-3 : Dispositif expérimental
On détermine la résistance thermique expérimentale pour une unité de surface de la cavité
partitionnée par :
Cmes Fmesexp
mes
T Tr −=
ϕ (III-1)
TCmes : température moyenne de la face chaude
TFmes : température moyenne de la face froide
ϕmes : moyenne des densités de flux mesurées sur la face chaude et la face froide
L’étude expérimentale de la cavité partitionnée concerne 7 configurations différentes notées
Conf_1, Conf_2 …Conf_7 dont les caractéristiques sont présentées dans le tableau Tab. III.1.
Les températures TC et TF sont imposées par l’expérience.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
67
Tab. III-1 : Caractéristiques des configurations de la cavité partitionnée expérimentées
Nom Conf_1 Conf_2 Conf_3 Conf_4 Conf_5 Conf_6 Conf_7
N 47 23 15 11 7 5 3
A 61.3 20.4 12.3 8.8 5.6 4.1 2.7
TC (°C) 30.9 30.3 24.2 30.9 24.1 30.6 25.5
TF (°C) 0.7 0.9 1.0 1.2 2.7 1.8 2.3
Le point représentatif du transfert de chaleur par convection ou conduction dans les alvéoles de
ces configurations est porté dans un diagramme (Fig. III-4) où sont indiqués les domaines
d'existence des différents mécanismes de transferts thermiques selon divers auteurs [YIN 1978],
[BAT. 1954]. Le nombre de Rayleigh moyen aR représente la moyenne des nombres de
Rayleigh Rai calculés dans les différentes alvéoles. On peut constater que les diverses
configurations concernent tous les régimes de transferts thermiques dans les alvéoles.
1
10
100
1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Nombre de Rayleigh moyen Ra
Rap
port
d'al
long
emen
t A
[YIN 1978]
[BAT 1954]
Présente étude
Conf_2
Conf_3Conf_4
Conf_5Conf_6
Conf_7
Conf_1
Conduction Convection
Fig. III-4 : Limites des domaines de conduction et convection
Dans la suite, les températures sont représentées sous forme adimensionnelle par m
C F
T TT T
−θ =
−.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
68
III-2-2 Validation du caractère bidimensionnel Des mesures de températures ont été faites sur les interfaces solide-air aux points indiqués sur la
figure III-2. Sur la figure III-5, nous présentons les températures adimensionnées mesurées aux
points P1, P2 et P3 pour les configurations Conf_4, Conf_5, Conf_6 et Conf_7. Ces courbes
mettent en évidence la stratification des températures. La stratification de ces températures
augmente lorsque le nombre de cloisons diminue, indiquant une augmentation de la convection.
Dans une configuration, la stratification est plus importante au centre de la cavité. Cela est dû
aux températures uniformes imposées sur les faces de ladite cavité. La stratification des
températures mise en évidence par les mesures impose que la cavité partitionnée est au moins
bidimensionnelle.
Fig. III-5 : Stratification des températures expérimentales pour différents nombres de cloisons
Sur la figure III-6, nous présentons les températures adimensionnelles mesurées aux points P2 et
P4 pour les configurations respectives Conf_7 (N=3), Conf_6 (N=5), Conf_5 (N=7) et Conf_4
(N=11). Ces graphes montrent que les températures des points P2 et P4 sont pratiquement
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
69
confondues. Les écarts constatés sur certains points peuvent être attribués à des mesures
erronées. On peut donc dire qu’un caractère tridimensionnel n’est pas mis en évidence au centre
de la cavité partitionnée par l’expérience. Ceci est certainement dû au fait que la cavité
expérimentale était complètement isolée sur ses côtés latéraux.
Fig. III-6 : Comparaison des températures expérimentales des points P2 et P4 pour différents
nombres de cloisons
Ce résultat est important et constitue la justification de notre étude numérique de la cavité
partitionnée en 2D.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
70
III-3 Etude numérique de la cavité partitionnée
Les objectifs de l’étude numérique sont d’une part la validation d’un modèle simplifié 1D et
d’autre part l’analyser des transferts thermiques à travers la cavité partitionnée, notamment la
mise en évidence de l’influence de divers paramètres sur ces transferts.
III-3-1 Description de la cavité partitionnée
Le système étudié est une cavité partitionnée de dimensions extérieures : hauteur H, largeur L et
de profondeur supposée infinie (Fig. III-7). Les quatre parois de la cavité ont une épaisseur ew. N
cloisons d’épaisseur ep sont disposées de manière équidistante.
Fig. III-7 : Schéma de la cavité partitionnée
Les surfaces extérieures des parois verticales sont maintenues à des températures chaude TC et
froide TF tandis que celles des parois horizontales sont adiabatiques.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
71
III-3-2 Modélisation numérique de la cavité partitionnée
Pour analyser en détail les transferts thermiques à travers la cavité partitionnée représentée
schématiquement par la Fig. III-7, nous avons utilisé un modèle numérique 2D. En effet, l’étude
expérimentale a montré (voir III-2-2) le caractère bidimensionnel des transferts thermiques dans
ces cavités partitionnées.
III-3-2-1 Mise en équations
Le modèle numérique proposé ici consiste à résoudre les équations de Navier Stockes, l’équation
de l’énergie et l’équation du transfert radiatif dans un système à deux dimensions. Un certain
nombre d’hypothèses sont posées. Parmi ces hypothèses, les principales sont les suivantes :
- l’approximation de Boussinesq est applicable ; en effet, vu la faible différence de
température appliquée sur les deux faces de la cavité partitionnée, on peut admettre
aisément que dans les différentes alvéoles on a ( ) 1TTβ F,iC,ii <<− .
- le régime d’écoulement par convection naturelle est laminaire ; on peut effectivement
voir sur la figure III-4 que le nombre de Rayleigh moyen dans les alvéoles est inférieur à
106.
- le rayonnement est dû uniquement aux échanges radiatifs entre les parois d’alvéoles ;
l’air est considéré comme un milieu transparent et non diffusant pour le rayonnement
infrarouge. Les parois sont parfaitement diffusantes avec une émissivité donnée ε.
Avec ces hypothèses, la convection naturelle laminaire en régime permanent dans les alvéoles
est régie par les équations suivantes :
- Equation de continuité u w 0x z
∂ ∂+ =
∂ ∂ (III-2)
- Equations de la quantité de mouvement
( )02
2
2
2
2
2
2
2
TTgzw
xw
zp1
zww
xwu
zu
xu
xp1
zuw
xuu
−β+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
ν+∂∂
ρ−=
∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
ν+∂∂
ρ−=
∂∂
+∂∂
(III-3)
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
72
- Equation de l’énergie 2 2
2 2
T T T Tu w ax z x z
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(III-4)
Le rayonnement dans les alvéoles est régi par l’équation de transfert radiatif écrite en considérant
l’air comme un milieu transparent et non diffusant :
( )I(r,s)s 0∇ =r r r
(III-5)
( )I r,sr r
est la luminance directionnelle pour une direction de propagation sr
à la position rr
.
Dans les parties solides de la cavité, le transfert thermique est conductif et est régi par : 2 2
2 2
T T 0x z
∂ ∂+ =
∂ ∂ (III-6)
Les conditions aux limites du système sont les suivantes :
- températures constantes imposées sur les surfaces extérieures verticales de la cavité
partitionnée
( )( )
C
F
T 0, z T
T L,z T
=⎧⎪⎨
=⎪⎩ (III-7)
- surfaces extérieures horizontales de la cavité partitionnée adiabatiques ;
z 0 z H
T T0 et 0z z= =
∂ ∂= =
∂ ∂ (III-8)
- continuité des températures et des flux aux interfaces solide-air
interface verticale à x=x0 :
( ) ( ) ( ) ( )0
ss 0 a 0 s cv 0 rad 0
x x
TT x , z T x , z et - x , z x , zx =
∂= λ = ϕ + ϕ
∂ (III-9)
interface horizontale à z=z0 :
( ) ( ) ( ) ( )0
ss 0 a 0 s cv 0 rad 0
z z
TT x, z T x, z et - x, z x, zz =
∂= λ = ϕ + ϕ
∂ (III-10)
ϕcv et ϕrad sont les flux surfaciques respectivement convectif et radiatif.
- vitesse nulle aux interfaces solide-air
interface verticale à x=x0 : ( ) ( )0 0u x , z w x , z =0 = (III-11)
interface horizontale à z=z0 : ( ) ( )0 0u x, z w x, z =0 = (III-11’)
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
73
Sur une surface solide donnée, le flux surfacique radiatif incident est donné par :
in ins.n 0
I s.n d>
ϕ = Ω∫r rr r
(III-12)
Iin est la luminance directionnelle incidente et est solution de l’équation (III-5).
Ainsi, la densité de flux radiatif qui quitte la surface solide en question est donnée par :
( ) 4s in1 Tϕ = − ε ϕ + εσ (III-13)
La valeur I0 de la luminance directionnelle de cette surface constitue une condition aux limites de
l’équation (III-5) et est donnée par :
s0I ϕ
=π
(III-14)
III-3-2-2 Adimensionnalisation des équations Pour rendre adimensionnelles les équations précédentes, on introduit les variables
adimensionnées suivantes :
HxX = et
HyY = ;
0
uUw
= et 0
wWw
= avec ( )0 0 C Fw g T T H= β − ; 20
pPw
=ρ
; m
C F
T TT T
−θ =
−
avec C Fm
T TT2+
= ; 40
IIT
∗ =α
avec T0=Tm+273
Les équations régissant la convection naturelle dans les alvéoles deviennent :
- équation de continuité
0ZW
XU
=∂∂
+∂∂ (III-15)
- équations de quantité de mouvement
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
θ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
∂∂
−=∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
∂∂
−=∂∂
+∂∂
2
2
2
221
2
2
2
221
ZW
XW
RaPr
ZP
ZWW
XWU
ZU
XU
RaPr
XP
ZUW
XUU
(III-16)
- équation de l’énergie
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
θ∂+
∂θ∂
=∂
θ∂+
∂θ∂ −
2
2
2
2
21
ZXPrRa
ZW
XU (III-17)
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
74
Pr et Ra sont les nombres respectifs de Prandtl et de Rayleigh définis ici par :
( )
a
a
C F 3
a a
Pra
T TRa g H
a
ν⎧ =⎪⎪⎨ −⎪ = β⎪ ν⎩
(III-18)
L’équation adimensionnelle du transfert radiatif dans les alvéoles s’écrit :
( )I (r,s)s 0∗∇ =r r r
(III-19)
L’équation de conduction dans les parties solides devient :
0ZX 2
2
2
2
=∂
θ∂+
∂θ∂ (III-10)
Les conditions aux limites de la cavité partitionnée deviennent :
( )21Z,0 =θ ;
21Z,
HL
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛θ ; 0
Z 0Z
=∂
θ∂
=
et Z 1
0Z =
∂θ=
∂ (III-21)
Les conditions aux limites sur une interface solide-air sont les suivantes :
interface verticale à X=X0 : ( ) ( )
( )0 0
s 0 a 0
s ar rad 0
X X r X X
X , Z X , Z
1- - N X , ZX k X
∗
= =
⎧θ = θ⎪
∂θ ∂θ⎨ = + ϕ⎪ ∂ ∂⎩
(III-22)
interface horizontale à Z=Z0 : ( ) ( )
( )0 0
s 0 a 0
s ar rad 0
Z Z r Z Z
X, Z X, Z
1- - N X, ZZ k Z
∗
= =
⎧θ = θ⎪
∂θ ∂θ⎨ = + ϕ⎪ ∂ ∂⎩
(III-23)
La densité de flux radiatif adimensionnelle rad∗ϕ est donnée par :
radrad 4
0T∗ ϕ
ϕ =σ
(III-24)
Nr est un paramètre de couplage appelé nombre de radiation défini par :
( )40
rs C F
T HNT T
σ=
λ − (III-25)
sr
a
k λ=
λ est le rapport des conductivités thermiques.
Pour résoudre ces équations, un maillage régulier et serré, de dimension 401 x 603 nœuds, a été
appliqué à la cavité partitionnée. Ce maillage assure une indépendance des solutions par rapport
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
75
au nombre de mailles. La résolution est faite à l’aide du code de calcul Fluent basé sur la
méthode des volumes finis.
Afin de pouvoir comparer les résultats avec ceux du modèle analytique, la température moyenne
à chaque interface solide-air d’abscisse X0 est calculée par :
( )'
w
w
H eH
em 0 0H
(X ) X , Z dZ+
θ = θ∫ (III-26)
Le nombre de Nusselt local à chaque point de cette interface est obtenu par :
0
0
X Xcv 0
cd
X X
XNu (X , Z)
X
=
=
∂θ⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠
=∂θ⎛ ⎞
⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(III-27)
cdθ est la température dans le cas où le transfert de chaleur est purement conductif dans les
alvéoles.
De même, on définit un nombre de Nusselt local relatif aux transferts radiatifs par :
( )
0
rad 0rrad 0
cdr
X X
X , ZNNu (X , Z)k
X
∗
=
ϕ= −
∂θ⎛ ⎞⎜ ⎟∂⎝ ⎠
(III-28)
On en déduit le nombre de Nusselt moyen par :
( ) ( )'
w
w
H eHj e0 j 0'
H
HNu X Nu X , Z dZ avec j=cv ou radH
+
= ∫ (III-29)
Les nombres de Nusselt moyens (convectif et radiatif) d’une alvéole sont les moyennes des
nombres de Nusselt pariétaux.
La valeur de la conductivité thermique du PVC [RT2000] est 1 1s W.m .K− −λ = 0.17 et celle de
l’émissivité des surfaces est ε=0.9.
Les propriétés thermophysiques de l'air sont prises à la température moyenne Tm en °C en
appliquant les relations suivantes tirées de [BRE. 1989] :
( )74
5a m
3a m
2 4 2a m m
10a m
0.024 7.6 10 T
1.29 3.9 10 T
Cp 1000 6.8 10 T 2.2 10 T
6.95 10 T 273
−
−
− −
−
⎧λ = + ⋅⎪ρ = − ⋅⎪
⎨ = + ⋅ + ⋅⎪⎪ν = ⋅ +⎩
(III-30)
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
76
Le coefficient de dilation thermique est calculé par :
( )m
1T 273
β =+
(III-31)
III-3-2-3 Validation du modèle numérique
Pour valider notre simulation avec Fluent, une cavité carrée d’air différentiellement chauffée a
été modélisée. Les résultats obtenus ont été comparés avec ceux de Wang et al. [WAN. 2006] qui
prennent en compte le couplage convection-rayonnement. Des résultats d’autres auteurs
rapportés par [ABD. 1999] sur la même cavité où seule la convection est prise en compte sont
aussi présentés dans le tableau III-2.
Tab. III-2 : Comparaison des nombres de Nusselt pour une cavité carrée (Ra=106)
De Vahl Davis dans
[ABD.1999]
Le Breton et al. dans
[ABD.1999]
A. Abdelbaki et Z. Zrikem
[ABD.1999]
H. Wang et al.
[WAN. 2006]
Présente
étude
ε=0 Nucv 9.270 8.794 9.446 8.852 8.947
Nucv N/A N/A N/A 2.337 2.338
ε=0.2 Nurad N/A N/A N/A 8.399 8.458
Nucv N/A N/A N/A 7.873 7.941
ε=0.8 Nurad N/A N/A N/A 11.208 11.229
Nos résultats sont en accord avec ceux de [WAN. 2006] car la différence maximale entre ces
deux études sur le nombre de Nusselt est seulement de 1%.
III-3-3 Résultats numériques et analyse Nous avons fait différentes simulations afin de mettre en évidence l’influence sur les transferts
thermiques à travers une cavité partitionnée de divers paramètres tels que le nombre de cloisons,
l’émissivité thermique des faces d’alvéoles, la conductivité du solide et le nombre de radiation
Nr. La cavité partitionnée a des parois extérieures de 8 mm et des cloisons de 3 mm également
réparties.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
77
Pour faire l’analyse, les nombres de Nusselt sont calculés sur l’interface solide-air située à
X0=0.7525. C’est la face droite de la cloison centrale de la cavité partitionnée.
III-3-3-1 Influence du nombre de cloisons Nous avons soumis les configurations Conf_4 (N=11), Conf_5 (N=7), Conf_6 (N=5) et Conf_7
(N=3) aux mêmes conditions aux limites TC=25°C et TF=5°C, soit un nombre de Rayleigh global
Ra=1.9 107. Le matériau de la cavité est le PVC. L’émissivité des surfaces est prise égale à 0.9.
Sur les images de la figure III-8, nous présentons le champ thermique de la cavité partitionnée
dans les configurations Conf_4 (N=11), Conf_5 (N=7), Conf_6 (N=5) et Conf_7 (N=3). Les
isothermes se déforment lorsque le nombre de cloisons diminue. En effet, la convection s’accroit
dans les alvéoles comme attendu d’après les régimes donnés sur la figure III-4.
Les lignes de courant sont présentées sur la figure III-9. Le cas (N=3) est caractéristique d’un
écoulement convectif prononcé, à la différence du cas (N=11).
(N=3) (N=5)
(N=7) (N=11)
(N=3) (N=5)
(N=7) (N=11) Fig. III-8 : Champ thermique des différentes configurations
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
78
(N=3) (N=5)
(N=7) (N=11)
(N=3) (N=5)
(N=7) (N=11) Fig. III-9 : Lignes de courant dans différentes configurations
Sur la figure III-10, nous présentons les nombres de Nusselt convectif et radiatif calculés sur
l’interface solide-air situé à X0=0.7525 en fonction de ( ) 1N 1 −+ . Le graphe de la figure III-10(a)
montre que le nombre de Nusselt convectif est inversement proportionnel à (N+1). On retrouve
un résultat déjà connu mis en évidence par Nishimura et al. [NIS. 1988] qui proposent la
corrélation suivante :
( )1 1
14 4HNu 0.297 Ra A N 1
− −= +
Les nombres de Nusselt convectifs trouvés dans notre étude sont inférieurs à ceux calculés à
partir de la corrélation de Nishimura. Cela peut s’expliquer d’une part par la prise en compte
dans notre étude du rayonnement qui atténue la convection naturelle dans les alvéoles et d’autre
part par le fait que nos cloisons ont une certaine épaisseur et donc participent au transfert
thermique global.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
79
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.263
4
5
6
7
8
9
10
11
1/(N+1)
Nu
radi
atif
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.261
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
1/(N+1)
Nu
conv
ectif
Corrélation de Nishimura
(a) (b)
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.263
4
5
6
7
8
9
10
11
1/(N+1)
Nu
radi
atif
0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.261
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
1/(N+1)
Nu
conv
ectif
Corrélation de Nishimura
(a) (b)
Fig. III-10 : Nombres de Nusselt en fonction du nombre de cloisons
Le graphe de la figure III-10(b) montre que le nombre de Nusselt radiatif est aussi inversement
proportionnel à (N+1). Ce résultat est prévisible car on sait que l’insertion d’un écran radiatif
divise le flux radiatif par deux.
III-3-3-2 Influence de l’émissivité thermique des faces d’alvéoles La configuration Conf_7 (N=3) a été étudiée avec les conditions aux limites précédentes
(Ra=1.9 107), et on fait varier l’émissivité thermique des faces d’alvéoles : (a) ε=0.9, (b) ε=0.6,
(c) ε=0.3, (d) ε=0.
La figure III-11 montre le champ thermique de la cavité partitionnée pour différentes émissivités.
Ces images montrent que le transfert radiatif a une influence sur le champ thermique et donc sur
le transfert convectif. En effet, on constate une plus grande stratification de la température dans
les alvéoles au fur et à mesure que l’émissivité diminue.
La figure III-12 montre les lignes de courant qui présentent une dissemblance prouvant ainsi que
le transfert radiatif influence le transfert convectif.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
80
(ε=0.9) (ε=0.6)
(ε=0.3) (ε=0)
(ε=0.9) (ε=0.6)
(ε=0.3) (ε=0) Fig. III-11 : Champ thermique d’une cavité pour différentes émissivités ε
(ε=0.9) (ε=0.6)
(ε=0.3) (ε=0)
(ε=0.9) (ε=0.6)
(ε=0.3) (ε=0) Fig. III-12 : Lignes de courant d’une cavité pour différentes émissivités ε
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
81
Les nombres de Nusselt convectif et radiatif calculés sur l’interface solide-air situé à X0=0.7525
sont présentés en fonction de l’émissivité thermique sur la figure III-13.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.94.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
6.2
6.4
6.6
émissivité thermique
Nu
conv
ectif
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
2
4
6
8
10
12
émissivité thermiqueN
u ra
diat
if
(a) (b)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
6.2
6.4
6.6
émissivité thermique
Nu
conv
ectif
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90
2
4
6
8
10
12
émissivité thermiqueN
u ra
diat
if
(a) (b)
Fig. III-13 : Nu en fonction de l’émissivité thermique
Le graphe de la figure III-13(a) montre que le nombre de Nusselt convectif diminue lorsque
l’émissivité augmente. Le transfert radiatif freine donc le transfert convectif. Cela peut
s’expliquer par le fait que le transfert radiatif a tendance à homogénéiser la température des
parties solides suivant Oz. La conséquence est la diminution de la stratification dans les alvéoles.
Le ralentissement de la convection par l’augmentation de l’émissivité est plus sensible aux
faibles valeurs d’émissivité.
Le graphe de la figure III-13(b) montre que le nombre de Nusselt radiatif augmente avec
l’émissivité. Ce résultat est évident car le moteur du transfert radiatif est l’émissivité thermique
des parois.
III-3-3-3 Influence de la conductivité thermique du solide Nous avons fait varier la conductivité thermique du solide de la cavité partitionnée Conf_7
(N=3) avec les conditions aux limites précédentes (Ra=1.9 107).
Sur les figures III-14 et III-15 nous présentons respectivement le champ thermique et les lignes
de courant pour différentes valeurs de la conductivité relative kr.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
82
(kr=1.4) (kr=6.8)
(kr=33.9) (kr=270.9)
(kr=1.4) (kr=6.8)
(kr=33.9) (kr=270.9)
Fig. III-14 : Champ thermique d’une cavité pour différents kr
(kr=1.4) (kr=6.8)
(kr=33.9) (kr=270.9)
(kr=1.4) (kr=6.8)
(kr=33.9) (kr=270.9) Fig. III-15 : Lignes de courant d’une cavité pour différents kr
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
83
Ces images montrent une certaine dissemblance prouvant que la conductivité thermique des
parties solides a une influence sur les transferts thermiques dans les alvéoles.
Pour analyser cette influence, nous présentons sur la figure III-16 la variation des nombres de
Nusselt calculés sur l’interface solide-air située X0=0.7525 en fonction de la conductivité relative
kr.
100 101 102 1039.8
9.9
10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
kr
Nu
radi
atif
100 101 102 1033.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
kr
Nu
conv
ectif
(a) (b)100 101 102 103
9.8
9.9
10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
kr
Nu
radi
atif
100 101 102 1033.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
kr
Nu
conv
ectif
100 101 102 1039.8
9.9
10
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
kr
Nu
radi
atif
100 101 102 1033.8
4
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
kr
Nu
conv
ectif
(a) (b)
Fig. III-16 : Nombres de Nusselt en fonction de la conductivité thermique relative kr
La variation du nombre de Nusselt convectif (Fig. III-16(a)) présente un maximum suggérant
l’existence d’une conductivité thermique qui favorise plus le transfert thermique. Ce
comportement a été déjà mis en évidence par Kangni et al. [KAN. 1991] comme le montre la
figure III-17.
Fig. III-17 : Nombre de Nusselt convectif en fonction de la conductivité thermique relative
[KAN. 1991]
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
84
On peut expliquer ce phénomène de la façon suivante :
- une faible valeur de kr entraine un gradient thermique horizontal élevé dans les parties
solides. A l’inverse, ce gradient est faible dans les alvéoles ayant pour conséquence un
transfert convectif faible.
- lorsque kr augmente, le gradient thermique horizontal dans les alvéoles augmente,
entrainant une augmentation du flux convectif. Cependant, dans le même temps, le
gradient vertical dans les parties solides diminue entrainant une diminution de la
stratification ce qui atténue le transfert convectif.
- au-delà d’une certaine valeur de kr, l’atténuation du transfert convectif due à la
diminution de la stratification devient prépondérante par rapport à l’augmentation du
transfert convectif avec le gradient thermique horizontal dans les alvéoles.
Le graphe de la figure III-16(b) montre que le nombre de Nusselt radiatif augmente avec kr et
tend vers une valeur asymptotique. Ce comportement s’explique par l’augmentation du gradient
thermique horizontal dans les alvéoles avec kr.
III-3-3-4 Influence du nombre de radiation Nr Pour mettre en évidence l’influence du nombre de radiation Nr sur les transferts radiatif et
convectif, nous avons étudié la cavité partitionnée Conf_7 (N=3) en imposant la même
différence de température entre la face chaude et la face froide mais en faisant varier la
température moyenne de 5°C à 35°C par pas de 10°C.
La figure III-18 présente le champ thermique de la cavité partitionnée respectivement pour
Νr=20, Νr =23, Νr =26 et Νr =30. Des différences sur le champ thermique sont notées entre ces
cas.
Sur la figure III-19, nous présentons les lignes de courants dans les cas Νr=20, Νr =23, Νr =26 et
Νr =30. Les dissemblances notées entre les différents cas confirment que le nombre de radiation
a une influence certaine sur les transferts thermiques.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
85
(Nr=20) (Nr=23)
(Nr=26) (Nr=30)
(Nr=20) (Nr=23)
(Nr=26) (Nr=30) Fig. III-18 : Champ thermique d’une cavité pour différents nombres de radiation Nr
(Nr=20) (Nr=23)
(Nr=26) (Nr=30)
(Nr=20) (Nr=23)
(Nr=26) (Nr=30) Fig. III-19 : Lignes de courant d’une cavité pour différents nombres de radiation Nr
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
86
Nous traçons dans la figure III-20 l’évolution des nombres de Nusselt en fonction du nombre de
radiation. La figure III-20(b) montre que le nombre de Nusselt radiatif croit linéairement avec
Nr. Ce résultat s’explique par le fait que le coefficient linéarisé de transfert radiatif est
proportionnel à la puissance trois de la température moyenne.
Le graphe de la figure III-20(a) montre que le nombre de Nusselt convectif diminue de manière
linéaire lorsque Nr augmente. Ce comportement peut être expliqué par la baisse du nombre de
Rayleigh lorsque Nr augmente. En effet, le nombre de Nusselt en convection naturelle laminaire
est proportionnel à 14Ra . Or le nombre de Rayleigh est proportionnel à β qui diminue lorsque la
température augmente, donc lorsque Nr augmente. Outre le coefficient β, le nombre de Rayleigh
est aussi inversement proportionnel à la viscosité νa et la diffusivité thermique aa de l’air qui
augmentent lorsque Nr augmente.
18 20 22 24 26 28 30 329
9.5
10
10.5
11
11.5
12
12.5
Nr
Nu
radi
atif
18 20 22 24 26 28 30 324
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
Nr
Nu
conv
ectif
(a) (b)18 20 22 24 26 28 30 32
9
9.5
10
10.5
11
11.5
12
12.5
Nr
Nu
radi
atif
18 20 22 24 26 28 30 324
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
Nr
Nu
conv
ectif
18 20 22 24 26 28 30 329
9.5
10
10.5
11
11.5
12
12.5
Nr
Nu
radi
atif
18 20 22 24 26 28 30 324
4.2
4.4
4.6
4.8
5
5.2
5.4
Nr
Nu
conv
ectif
(a) (b)
Fig. III-20 : Nu en fonction du nombre de radiation
L’un des résultats de l’étude paramétrique que nous venons de mener a montré que les transferts
convectif et radiatif à travers une cavité partitionnée diminuent lorsque le nombre de cloisons
augmente. Par contre, on sait qu’une augmentation du nombre de cloisons favorise la conduction
dans les parties solides. Afin de minimiser les échanges thermiques à travers la cavité
partitionnée, il est donc nécessaire de trouver le nombre de cloisons permettant d’obtenir une
résistance aux transferts thermiques maximale. Nous allons utiliser un modèle simplifié 1D pour
mener cette optimisation.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
87
III-4 Modèle simplifié 1D des transferts thermiques à travers la cavité partitionnée
Le code numérique 2D est d’utilisation trop lourde pour une étude de sensibilité aux paramètres
géométriques et thermophysiques. En conséquence, nous nous proposons de faire l’étude des
transferts thermiques à travers la cavité partitionnée au moyen d’un modèle simplifié. Nous
supposons le transfert de chaleur unidirectionnel suivant Ox. La cavité partitionnée peut être
divisée en trois parties visibles sur la figure III-7 :
- les parties 1 et 3 sont les parois horizontales de la cavité
- la partie 2 constitue la partie alvéolaire proprement dite.
On se propose d’évaluer le flux de chaleur pour une profondeur unitaire (dans la direction Oy).
III-4-1 Description du modèle
III-4-1-1 Transfert de chaleur à travers les parois horizontales
Les parties 1 et 3 sont constituées des parois horizontales de la cavité partitionnée. On suppose
que le flux de chaleur conductif est monodimensionnel dans la direction Ox et est par conséquent
donné par l’équation suivante :
C Fw s w s w
T TTe ex L
−∂φ = −λ = λ
∂ (III-32)
où λs est la conductivité thermique des parties solides.
La résistance au transfert thermique à travers ces parois horizontales est donnée par :
C F1 3
w w w
T T LR Re
−= = =
φ λ (III-33)
III-4-1-2 Transfert de chaleur à travers la partie alvéolaire
Dans la partie alvéolaire, le calcul du flux thermique doit tenir compte de la conduction ou
éventuellement de la convection dans les alvéoles et du rayonnement thermique entre les
surfaces des alvéoles. Soient TC,i et TF,i les températures des surfaces respectivement chaude et
froide de l’alvéole i (voir Fig. III-21).
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
88
Fig. III-21 : Schéma de l’alvéole i
Lorsque le transfert thermique à travers cette alvéole est purement conductif, le flux de chaleur
φcdi est donné par :
C,i F,i'cdi a
a
T TH
e−
φ = λ (III-34)
où λa est la conductivité thermique de l’air.
Par contre, si le transfert thermique est convectif, le flux de chaleur φcvi est alors donné par :
C,i F,i'cvi a i
a
T TNu H
e−
φ = λ (III-35)
où Nui est le nombre de Nusselt convectif dans l’alvéole i.
Ce nombre de Nusselt peut être calculé à partir de la corrélation suivante de Bejan [BEJ. 1995] : 1
14i iNu 0.364Ra A−= (III-36)
où Rai est le nombre de Rayleigh dans l’alvéole i et A est le rapport de forme de l’alvéole.
Le nombre de Rayleigh est calculé par la relation suivante :
( ) 3
aa
iF,iC,ii H
νaTT
gβRa ′−
= (III-37)
avec :
βi : coefficient de dilatation volumique à pression constante
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
89
aa : diffusivité thermique de l’air
νa : viscosité cinématique de l’air
g : accélération de la pesanteur.
Le rapport de forme A quant à lui est donné par définition par : '
a
HAe
= (III-38)
Le flux radiatif échangé par les surfaces chaude et froide de l’alvéole i est donné par :
( )'ri ri C,i F,ih H T Tφ = − (III-39)
Le coefficient radiatif de linéarisation hri est donné par [SAC 1993] :
3ri 0i
Ci Fi
Ci Fi CF
1h 4 T1 1 1
F
= σ⎛ ⎞− ε − ε
+ +⎜ ⎟ε ε⎝ ⎠
(III-40)
εCi et εFi sont les émissivités respectives des faces chaude et froide de l’alvéole i.
FCF est le facteur de forme géométrique de la surface chaude par rapport à la surface froide.
T0i est la température moyenne de l’alvéole i en Kelvin. Elle est donnée par :
C,i F,i0i
T TT 273
2+⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠
(III-41)
Le flux global à travers l’alvéole i qui prend en compte le flux conductif ou convectif et le flux
radiatif est donné par :
( )'Gi Gi Ci Fih H T Tφ = − (III-42)
avec ( )
ria
iaaGi h
eNu;max
h +λλ
=
Les flux à travers les parois verticales sont donnés respectivement par :
( )C C,1'w1 s
w
T TH
e−
φ = λ et ( )F,N 1 F'
w 2 sw
T TH
e+ −
φ = λ (III-43)
De même, le flux à travers une cloison j est donnée par :
( )F, j C, j 1'pj s
p
T TH
e+−
φ = λ (III-44)
En régime permanent, la conservation du flux impose :
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
90
Gi pj w1 w 2 totφ = φ = φ = φ = φ (III-45)
φtot est le flux total à travers toute la partie alvéolaire et peut être calculé à partir de la différence
de température (TC-TF) par :
( )C F'tot N 1
pw
i 1s s Gi
T TH
ee 12 Nh
+
=
−φ =
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟λ λ⎝ ⎠
∑ (III-46)
Le calcul des températures TC,i et TF,i et du flux total est fait en résolvant les équations non
linéaires (III-42) à (III-46) selon une méthode itérative.
La résistance thermique de la partie 2 est alors donnée par :
( )N 1
pw
i 1w p GiC F2 '
tot
ee 12 NhT T
RH
+
=
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟λ λ− ⎝ ⎠= =
φ
∑ (III-47)
III-4-1-3 Transfert de chaleur à travers toute la cavité partitionnée
La résistance thermique globale de la cavité partitionnée est déterminée en considérant les
résistances R1, R2 et R3 en parallèle. La résistance globale est donc donnée par :
1 2 3G
1 2 1 3 2 3
R R RRR R R R R R
=+ +
(III-48)
Le flux thermique global φG à travers toute la cavité partitionnée est donné par :
C FG
G
T TR−
φ = (III-49)
La résistance thermique globale pour une unité de surface rG est calculée par :
G Gr H R= (III-50)
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
91
III-4-2 Validation du modèle simplifié 1D
III-4-2-1 Validation expérimentale
Nous comparons la température moyenne expérimentale sur les différentes interfaces solide-air
avec les températures obtenues avec le modèle simplifié 1D sur ces mêmes interfaces.
Sur la figure III-22, nous présentons les températures aux interfaces obtenues par le modèle
simplifié 1D en fonction de la température moyenne mesurée sur les mêmes interfaces pour les
configurations Conf_4, Conf_5, Conf_6 et Conf_7. Nous traçons sur les mêmes graphiques la
première diagonale afin de situer les points par rapport à cette même diagonale. Les points sont
pratiquement alignés sur la diagonale montrant ainsi la fiabilité du modèle simplifié à prédire les
températures aux interfaces solide-air. Les écarts non négligeables notés sur certains points
peuvent être attribués à des mesures erronées.
(N=11)
(N=5)(N=3)
(N=7)(N=11)
(N=5)(N=3)
(N=7)
Fig. III-22 : Comparaison des températures adimensionnelles expérimentales et analytiques pour
différentes configurations
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
92
III-4-2-2 Validation numérique
La validation numérique du modèle simplifié consiste à comparer les températures moyennes
calculées sur les interfaces solide-air ainsi que les nombres de Nusselt calculés dans les alvéoles
avec le code numérique à ceux obtenus avec le modèle simplifié 1D.
Sur la figure III-23, nous représentons la température adimensionnelle aux interfaces solide-air
obtenues par le modèle simplifié 1D en fonction de celle obtenue avec le code numérique
respectivement pour les configurations Conf_4, Conf_5, Conf_6 et Conf_7. Ces courbes
montrent une bonne concordance entre les résultats du modèle simplifié 1D et ceux obtenus avec
le code numérique. On peut donc dire que le modèle simplifié 1D est très fiable pour la
détermination des températures aux interfaces solide-air.
(N=11)
(N=5)(N=3)
(N=7)(N=11)
(N=5)(N=3)
(N=7)
Fig. III-23 : Comparaison des températures adimensionnelles numériques et analytiques pour
différentes configurations
Nous présentons également dans les tableaux III-3, III-4, III-5 et III-6 les nombres de Nusselt
convectif et radiatif dans les différentes alvéoles respectivement pour les configurations Conf_4
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
93
(N=11), Conf_5 (N=7), Conf_6 (N=5) et Conf_7 (N=3). Les nombres de Nusselt obtenus par le
modèle simplifié 1D portent l’indice 1D tandis que ceux calculés à partir du modèle numérique
portent l’indice « num ».
Tab. III-3 : Nombres de Nusselt dans les alvéoles pour la configuration à N=11
Tab. III-4 : Nombres de Nusselt dans les alvéoles pour la configuration à N=7
Alvéole 1 2 3 4 5 6 7 8
cv,1DNu 2.33 2.34 2.35 2.37 2.38 2.40 2.42 2.43
cv,numNu 2.02 2.18 2.24 2.27 2.28 2.29 2.25 2.21
rad,1DNu 5.79 5.65 5.51 5.37 5.23 5.09 4.95 4.81
rad,numNu 5.72 5.48 5.39 5.33 5.18 5.14 5.13 5.17
Tab. III-5 : Nombres de Nusselt dans les alvéoles pour la configuration à N=5
Alvéole 1 2 3 4 5 6
cv,1DNu 3.59 3.63 3.67 3.71 3.75 3.79
cv,numNu 3.09 3.29 3.36 3.39 3.39 3.22
rad,1DNu 8.02 7.68 7.35 7.01 6.68 6.35
rad,numNu 7.47 7.14 6.99 6.88 6.69 6.68
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
94
Tab. III-6 : Nombres de Nusselt dans les alvéoles pour la configuration à N=3
Alvéole 1 2 3 4
cv,1DNu 5.82 5.89 5.96 6.04
cv,numNu 4.66 4.91 4.97 4.80
rad,1DNu 11.49 10.9 10.32 9.74
rad,numNu 11.43 10.84 10.24 9.73
Ces tableaux montrent une bonne concordance entre les résultats du modèle simplifié 1D et ceux
numériques en 2D pour les nombres de Nusselt radiatifs. L’écart maximal constaté est de 4%,
7%, 8% et 1% respectivement pour les configurations à N=11, N=7, N=5 et N=3.
Pour les nombres de Nusselt convectifs, les valeurs du modèle simplifié 1D sont plus élevées que
celles du modèle numérique 2D. Notre modèle simplifié 1D surestime donc le transfert convectif
dans les alvéoles.
Pour une configuration donnée, l’écart relatif entre les résultats du modèle 1D et ceux
numériques n’est pas le même suivant la position de l’alvéole. Les première et dernière alvéoles
présentent les écarts les plus importants qui sont de 16%, 16%, 18% et 26% respectivement pour
les configurations à N=11, N=7, N=5 et N=3. Les alvéoles centrales, quant à elles, présentent des
écarts plus faibles qui sont respectivement de 1%, 4%, 9% et 20% pour les configurations
précédentes. Le modèle 1D ne peut pas prendre en compte les phénomènes de bord liés aux
conditions aux limites imposées.
On peut aussi remarquer que l’écart relatif entre les nombres de Nusselt convectifs des modèles
simplifié 1D et numérique augmentent lorsque le nombre de cloisons diminue. Cela peut
s’expliquer par le fait que la corrélation utilisée dans le modèle simplifié 1D pour évaluer le
transfert convectif ne tient pas compte du couplage avec le rayonnement. Nous avons déjà
montré plus haut que le transfert radiatif atténuait la convection. D’autre part, il faut aussi noter
que cette corrélation a été établie pour une cavité unique avec des températures uniformes
imposées au niveau des faces verticales.
Cependant, la légère surestimation du transfert convectif par le modèle simplifié 1D n’enlève en
rien la validité de ce modèle pour l’évaluation des transferts à travers une cavité partitionnée. En
effet, les tableaux III-3 à III-6 montrent que c’est le transfert radiatif qui est prépondérant dans
les alvéoles ; ce résultat a été trouvé par Nicolas et al. [NIC. 2005]. Le rayonnement représente
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
95
près de 70% du transfert global dans une alvéole. Ainsi, une surestimation du transfert convectif
de 20% représente seulement une surévaluation de 6% sur le transfert global. Cet écart relatif est
du même ordre de grandeur que l’incertitude donnée par le constructeur des fluxmètres (5%).
On peut donc considérer le modèle simplifié 1D suffisamment fiable pour être utilisé pour le
calcul de la résistance thermique à travers la cavité partitionnée.
III-4-3 Sensibilité de la résistance thermique à certains paramètres
III-4-3-1 Optimisation de la résistance thermique L’optimisation de la résistance thermique de la cavité partitionnée consiste à trouver le nombre
de cloisons qui minimise le transfert thermique. Pour cela, nous allons tracer la variation de la
résistance thermique en fonction du nombre de cloisons.
Le calcul de la résistance thermique est donc fait de façon théorique en utilisant le modèle
simplifié 1D de la cavité partitionnée que nous avons validé dans la partie III-4-2.
La résistance thermique ainsi calculée est comparée avec celle qui a été déterminée
expérimentalement pour les sept configurations Conf_1 à Conf_7 de la cavité partitionnée.
La figure III-24 montre la variation de la résistance thermique en fonction du nombre de
cloisons. Sur cette courbe sont placées les résistances thermiques obtenues expérimentalement
avec leur barre d’incertitude. Cette courbe met en évidence un bon accord entre la théorie et
l’expérience. La présence d’un maximum indique qu’il existe bien un nombre optimal de
cloisons induisant une résistance thermique maximale. Ce nombre de cloisons est égal à 45 dans
notre cas (cavité en PVC dont la géométrie est décrite à la figure III-7).
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Nombre de cloisons
Rés
ista
nce
ther
miq
ue (m
2.K
/W)
Fig. III-24 : Variation de la résistance thermique en fonction du nombre de cloisons
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
96
Le résultat présenté sur cette figure est une validation supplémentaire du modèle simplifié 1D.
Le modèle simplifié 1D est ensuite utilisé pour faire une étude paramétrique de la résistance
thermique d’une cavité partitionnée afin de mettre en évidence l’influence de différents
paramètres sur cette résistance.
III-4-3-2 Influence de la température moyenne
Sur la figure III-25, nous présentons la variation de la résistance thermique d’une cavité en PVC
avec comme paramètre la température moyenne à laquelle est soumise la cavité partitionnée. La
résistance diminue lorsque la température moyenne augmente. Cela est dû à l’augmentation du
transfert radiatif avec la température moyenne comme cela a été détaillé dans la partie III-3-2-4.
Cependant, le transfert convectif diminue lorsque la température moyenne augmente. Cela
entraîne une augmentation plus légère de la résistance thermique dans la zone convective que
dans la zone conductive. Le nombre optimal de cloisons diminue légèrement avec la température
moyenne.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Nombre de cloisons
Rés
ista
nce
ther
miq
ue (m
2.K
/W)
Tm=10°CTm=20°CTm=30°CTm=40°C
Conduction Convect°
Fig. III-25 : Variation de la résistance thermique en fonction du nombre de cloisons (paramètre :
Tm = (TC+TF)/2)
III-4-3-3 Influence de l’écart de température
La figure III-26 présente la résistance thermique de la cavité partitionnée en PVC en fonction du
nombre de cloisons avec l’écart de température appliquée entre les faces chaude et froide comme
paramètre. Ce graphe montre que la résistance thermique n’est pas sensible à cet écart de
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
97
température en dehors de la zone convective. Le nombre de Nusselt convectif étant proportionnel
à la puissance 14
de cet écart de température via le nombre de Rayleigh, le transfert convectif
augmente légèrement lorsque l’écart de température augmente. C’est ce qui explique la légère
diminution de la résistance thermique dans la zone convective lorsque l’écart de température
augmente.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Nombre de cloisons
Rési
stan
ce th
erm
ique
(m2.
K/W
)
TC-TF=10°CTC-TF=20°CTC-TF=30°CTC-TF=40°C
Convect° Conduction
Fig. III-26 : Variation de la résistance thermique en fonction du nombre de cloisons (paramètre :
TC-TF)
III-4-3-4 Influence de l’émissivité thermique des surfaces
La cavité partitionnée considérée est toujours en PVC. La figure III-27 montre que la diminution
de l’émissivité des faces d’alvéoles permet d’améliorer sensiblement la résistance thermique
optimale de la cavité. Ce résultat est prévisible du fait que le rayonnement constitue la partie
prépondérante des transferts thermiques dans les alvéoles. On constate également que le nombre
optimal de cloisons diminue avec l’émissivité thermique. En effet, lorsque l’émissivité diminue
la proportion du transfert radiatif diminue et donc le nombre d’écrans permettant de limiter ce
transfert diminue.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
98
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
1
2
3
4
5
6
7
8
Nombre de cloisons
Rési
stan
ce th
erm
ique
(m2.
K/W
)
ε=0.9ε=0.6ε=0.3ε=0.0
Convect° Conduction
Fig. III-27 : Variation de la résistance thermique en fonction du nombre de cloisons (paramètre :
émissivité ε)
Lorsque l’émissivité est nulle, le nombre optimal de cloisons correspond à celui permettant le
passage d’un régime convectif à un régime conductif. La courbe correspondante présente un
point d’inflexion qui pourrait faire penser à un comportement non physique. Il faut d’abord noter
que la variation de la résistance thermique n’est pas continue mais discrète car le nombre de
cloisons est un entier. D’autre part, l’introduction d’une cloison pour réduire la convection
augmente de façon très sensible la résistance thermique. Aussi, lorsque la convection est arrêtée
dans les alvéoles, l’introduction d’une cloison favorise le transfert thermique conductif dans les
parties solides ; d’où la diminution de la résistance thermique.
Les constructeurs de matériaux alvéolaires peuvent ainsi améliorer sensiblement la résistance
thermique de ces matériaux en effectuant un traitement de surface afin de diminuer l’émissivité
thermique.
III-4-3-5 Influence de la conductivité thermique du solide
La figure III-28 illustre l’influence de la conductivité thermique du matériau de la cavité
partitionnée sur le nombre optimal de cloisons.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
99
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Nombre de cloisons
Rési
stan
ce th
erm
ique
(m2.
K/W
)
kr=6.7kr=33.3kr=66.6kr=133.2
Convect° Conduction
Fig. III-28 : Variation de la résistance thermique en fonction du nombre de cloisons (paramètre :
la conductivité relative sr
a
k λ=
λ)
Le graphe met en évidence deux phénomènes. Premièrement, le nombre optimal de cloisons
diminue légèrement vers une valeur limite lorsque la conductivité thermique augmente. La
valeur limite est de 40 cloisons correspondant à une épaisseur des alvéoles de 4mm. La
conductivité du matériau a donc peu d'influence sur le nombre optimal de cloisons, mais bien sûr
une grande influence sur la résistance thermique qui augmente lorsque la conductivité thermique
diminue. Deuxièmement, quand la conductivité thermique est grande, la variation de la
résistance thermique présente un plateau autour de la valeur optimale. En effet, dès que la
convection dans les alvéoles est arrêtée, la réduction du transfert radiatif par l’ajout d’une cloison
est de même ordre de grandeur que l’augmentation du flux conductif liée à cet ajout. Par
conséquent, le flux de la chaleur total varie lentement. Par exemple, pour le cas de kr=133.2
( 1 1s 3.4W.m .K− −λ = ), le nombre optimal de cloisons pourrait être réduit de moitié sans modifier
pratiquement la résistance thermique.
III-4-3-6 Influence de l’épaisseur des cloisons
Le matériau de la cavité partitionnée est toujours le PVC. La figure III-29 montre que l’épaisseur
des cloisons a une forte influence sur la résistance thermique optimale de la cavité et sur le
nombre optimal de cloisons. La résistance optimale diminue lorsque l’épaisseur des cloisons
augmente. Cela est dû d’une part à l’augmentation de la part radiative des transferts liée à la
diminution des écrans radiatifs (cloisons) et d’autre part à l’augmentation de la conduction dans
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
100
les cloisons. En effet, en multipliant l’épaisseur des cloisons par deux (en passant d’une
épaisseur de 3 à 6 mm), le nombre optimal de cloisons passe de 45 à 27 ce qui fait passer
l’épaisseur cumulée des cloisons de 135 à 162 mm.
Ce graphe montre également que lorsque la convection est toujours présente dans la cavité
partitionnée, l’augmentation de l’épaisseur des cloisons augmente la résistance thermique. Cela
s’explique par le fait que l’augmentation de l’épaisseur des cloisons revient à diminuer la largeur
des alvéoles, ce qui revient à diminuer la convection. Le taux de réduction de la convection étant
supérieur à celui de l’augmentation de la conduction dans les cloisons, le transfert thermique
global est ainsi réduit, ce qui augmente la résistance thermique. Ce phénomène disparaît lorsque
la conductivité thermique des cloisons est grande.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Nombre de cloisons
Rési
stan
ce th
erm
ique
(m2.
K/W
)
ep=3mmep=6mmep=9mmep=12mm
Fig. III-29 : Variation de la résistance thermique en fonction du nombre de cloisons (paramètre :
épaisseur des cloisons ep)
III-4-3-7 Influence de l’épaisseur des parois verticales de la cavité partitionnée
La cavité partitionnée est en PVC avec des cloisons de 3 mm d’épaisseur. La figure III-30
montre l’influence de l’épaisseur des parois extérieures verticales sur la résistance thermique. Ce
graphe est semblable à celui de la figure III-29 et on peut faire les mêmes commentaires que
précédemment. Cependant, l’augmentation de l’épaisseur des parois verticales de la cavité a une
influence assez modeste sur la résistance thermique optimale. En effet, en multipliant l’épaisseur
par un facteur quatre (en passant d’une épaisseur de 8 à 32 mm) la résistance optimale passe de
4.06 à 3.72 m2.K/W seulement tandis que le nombre optimal de cloisons passe de 45 à 37. Ce
résultat est très important car il montre qu’on peut améliorer l’inertie de la cavité partitionnée en
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
101
augmentant seulement l’épaisseur des parois verticales sans dégrader de façon très significative
la résistance thermique.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Nombre de cloisons
Rési
stan
ce th
erm
ique
(m2.
K/W
)
ew=8mmew=16mmew=32mmew=64mm
Fig. III-30 : Variation de la résistance thermique en fonction du nombre de cloisons (paramètre :
épaisseur des parois verticales extérieures)
III-4-3-8 Influence de l’épaisseur des parois horizontales de la cavité partitionnée
La cavité partitionnée est toujours en PVC avec des cloisons de 3 mm. La hauteur de la cavité est
maintenue constante à 20 cm. On présente sur la figure III-31 l’influence des parois horizontales
sur la résistance thermique. L’épaisseur des parois horizontales n’a aucune influence sur le
nombre optimal de cloisons. Cependant, la résistance optimale de la cavité partitionnée diminue
lorsque l’épaisseur des parois horizontales augmente. Cela s’explique par le fait que ces parois
horizontales constituent des ponts thermiques et donc favorise le transfert thermique global. Aux
faibles valeurs du nombre de cloisons N, la résistance thermique augmente lorsque l’épaisseur
des parois horizontales augmente. Cela s’explique par la présence de la convection dans les
alvéoles de la cavité et l’augmentation de l’épaisseur des parois horizontales revient à réduire le
rapport d’allongement des alvéoles, donc à augmenter la convection. La conductivité thermique
équivalente de la partie alvéolaire est plus grande que celle du solide, et donc c’est cette partie
qui constitue le pont thermique. Lorsqu’on augmente le nombre de cloisons, la conductivité
thermique de la partie alvéolaire diminue jusqu’à devenir plus faible que celle du solide. C’est ce
qui explique l’inversion des courbes lorsque N dépasse la valeur 8 pour notre cas. Ce phénomène
est invisible lorsque le matériau de la cavité est très conducteur.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
102
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Nombre de cloisons
Rési
stan
ce th
erm
ique
(m2.
K/W
)
ew=0mmew=8mmew=16mmew=32mm
Convect° Conduction
Fig. III-31 : Variation de la résistance thermique en fonction du nombre de cloisons (paramètre :
épaisseur des parois horizontales)
Les parois horizontales d’une cavité partitionnée peuvent modéliser le mortier liant les briques
d’un mur. Il est donc intéressant de voir l’influence de la conductivité thermique des parois
horizontales sur la résistance thermique.
III-4-3-9 Influence de la conductivité thermique des parois horizontales
La cavité partitionnée est toujours en PVC. Seules les parois horizontales sont constituées d’un
autre matériau dont la conductivité thermique est k fois celle du PVC. Sur la figure III-32, nous
présentons la variation de la résistance thermique en fonction du nombre de cloisons avec
comme paramètre le coefficient k. La conductivité thermique des parois horizontales jouent un
rôle très important dans la résistance thermique de la cavité partitionnée. En effet, malgré leur
faible épaisseur (8 mm) lorsqu’on augmente la conductivité thermique de ces parois, la
résistance optimale diminue de manière très drastique. Ces parois constituent de véritables ponts
thermiques pour la cavité partitionnée.
Chapitre III Transferts thermiques en régime permanent
103
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Nombre de cloisons
Rési
stan
ce th
erm
ique
(m2.
K/W
)
k=0.5k=1.0k=5.0k=10.0
Convect° Conduction
Fig. III-32 : Variation de la résistance thermique en fonction du nombre de cloisons
(paramètre : k)
III-4 Conclusions L’analyse systématique des transferts thermiques à travers une cavité partitionnée que nous
venons d’entreprendre nous a permis de mettre en exergue l’influence de divers paramètres. Le
modèle simplifiée en 1D des transferts thermiques nous a permis d’approcher la résistance
thermique de la cavité et surtout la détermination du nombre optimal de cloisons permettant
d’avoir une résistance maximale [SAM. 2007].. Ce modèle assez fiable nous a permis de voir
l’influence d’un certain nombre de paramètres sur la résistance thermique.
Cette étude, bien que très poussée, est faite en régime permanent. Or, beaucoup d’applications
utilisant des cavités partitionnées sont soumises aux fluctuations des conditions extérieures
(température extérieure, ensoleillement, …). C’est pourquoi l’étude de la cavité partitionnée en
régime variable est une nécessité.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
105
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en
régime variable
IV-1 Introduction Nous avons dans le chapitre précédent étudié en détails les transferts thermiques à travers une cavité
partitionnée en régime permanent. Notre objectif dans ce chapitre concerne l’étude de ces transferts
en régime dynamique. En effet, les systèmes réels sont le plus souvent soumis à des sollicitations
périodiques. C’est pourquoi nous nous proposons d’étudier une cavité partitionnée
différentiellement chauffée soumise à une température constante sur sa face extérieure chaude et à
une température sinusoïdale sur sa face extérieure froide. La démarche entreprise est analogue à
celle que nous avons utilisée dans le chapitre précédent concernant l’étude de la cavité en régime
permanent. A partir de mesures expérimentales, nous montrons la bidimensionnalité des transferts
dans la cavité et l’influence de certains paramètres sur des caractéristiques dynamiques de la cavité.
Pour une analyse plus fine des transferts thermiques, nous avons entrepris une modélisation
numérique en 2D de la cavité partitionnée via un code CFD. Cette étude 2D nous montre l’influence
de la période de la température sinusoïdale sur les transferts.
IV-2 Revue bibliographique La convection naturelle dans une cavité est un thème largement abordé dans la littérature comme il a
été montré au chapitre III. Cependant dans un grand nombre d’applications, les systèmes sont le plus
souvent soumis à des conditions aux limites variables dans le temps, d’où l’intérêt sans cesse
grandissant des études de la convection instationnaire. La plupart des études concernent la
convection transitoire dans des cavités soumises sur l’une de ses parois à une variation brusque de la
température comme celles de Nicolette et al. [NIC. 1985] et de Hall et al. [HAL. 1988]. Cependant,
les études qui s’intéressent à des conditions aux limites plus réalistes sont moins nombreuses. Yang
et al. [YAN. 1989] ont étudié numériquement et analytiquement une cavité de grand rapport
d’allongement dont l’une des parois est soumise à une température qui varie de manière périodique
avec le temps. Ils ont observé que les caractéristiques de l’écoulement s’accordaient bien avec celles
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
106
de la convection naturelle d’une plaque plane verticale soumise à une oscillation de température de
surface pour les basses fréquences, comme pour les grandes fréquences. Kazmierczak et Chinoda
[KAZ. 1992] ont étudié numériquement la convection naturelle dans une cavité carrée soumise sur
l’une des parois verticales à une température chaude variant sinusoïdalement dans le temps et sur
l’autre paroi à une température froide constante. Ils ont fait l’analyse des effets de la période et de
l’amplitude de la température sinusoïdale sur l’écoulement du fluide et le transfert de chaleur à
travers la paroi froide. Les solutions obtenues sont périodiques. Ils ont également montré que le
transfert de chaleur moyen (dans le temps) évalué sur une période était approximativement égal à la
valeur obtenue en régime permanent lorsque la température chaude est maintenue à une valeur
constante. Lage et Bejan [LAG. 1993] ont entrepris une étude numérique et analytique de la
convection naturelle dans une cavité carrée refroidie sur une des parois verticales par une
température constante et chauffée sur la paroi opposée à l’aide d’un flux de chaleur pulsé. Cette
étude visait principalement la détermination des combinaisons particulières des paramètres de base
qui engendrent un phénomène de résonance au sein de la cavité. Ils ont montré que ce phénomène
de résonance est lié à une fréquence critique du flux de chaleur imposé et que cette dernière dépend
fortement des nombres de Rayleigh et de Prandtl. Le phénomène de résonance de la convection dans
les cavités est un sujet qui a intéressé divers auteurs. Kwak et al. [KWA. 1998a] ont entrepris une
investigation numérique sur la convection naturelle d’un fluide incompressible dans une cavité
carrée. Cette cavité est soumise du côté froid à une température constante et du coté chaud à une
température sinusoïdale. Ils ont analysé les effets de l’amplitude et de la fréquence de la température
sinusoïdale sur le transfert thermique moyen et sur les fluctuations du transfert thermique instantané.
Dans une note technique, ces mêmes auteurs [KWA. 1998b] ont fait une prédiction théorique de la
fréquence de résonance.
Lakhal et al. [LAK. 1999] ont quant eux mené une étude comparative de la réponse d’une cavité
carrée soumise à deux types d’excitations thermiques variables (sinusoïdale et pulsatoire). Les
auteurs ont montré que le chauffage pulsatoire est plus favorable au transfert thermique et que la
période de résonance est indépendante de la nature de l’excitation.
Abourida et al. [ABO. 1998] ont étudié numériquement une cavité carrée différentiellement
chauffée. La température chaude varie sinusoïdalement tandis que celle froide est soit constante soit
sinusoïdale. Les paramètres de l’étude sont l’amplitude des températures imposées, leur période, les
nombres de Rayleigh et de Prandtl. Ils ont montré qu’une combinaison adéquate de ces paramètres
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
107
permet de contrôler le transfert thermique. Toutes les études présentées plus haut concernent des
cavités avec des parois fines. Chung et al. [CHU. 2001] ont fait une étude numérique sur une cavité
carrée avec une paroi d’épaisseur finie. Ils ont analysé la variation de l’amplitude du nombre de
Nusselt en fonction de la fréquence. L’influence de la conductivité thermique sur la fréquence de
résonance est analysée.
Il faut signaler qu’aucune des études traitant des transferts instationnaires citées plus haut ne
concerne les cavités partitionnées. C’est pourquoi, nous nous proposons dans ce qui suit de traiter ce
sujet d’abord de manière expérimentale et ensuite numériquement. Nous prendrons en compte le
couplage convection-rayonnement.
IV-3 Etude expérimentale
IV-3-1 Description du protocole expérimental
Le dispositif expérimental est celui utilisé pour l’étude de la cavité partitionnée en régime
permanent et décrit au paragraphe III-4 dont un schéma est présenté sur la Fig. IV-1. L’enceinte
chaude a été maintenue à une température constante notée TC tandis que la température de l’enceinte
froide notée TF suit une variation temporelle suivant la loi sinusoïdale suivante :
FF F2T (t) T T sin tPπ⎛ ⎞= + ∆ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ (IV-1)
FT est la valeur moyenne de la température froide et est prise ici inférieure à TC.
FT∆ est l’amplitude de variation de la température froide.
P est la période de variation prise dans l’expérience égale à 24 heures.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
108
Fig. IV-1 : Dispositif expérimental
Les tests que nous avons menés visent deux objectifs. Le premier est d’ordre fondamental et
consiste à comprendre les transferts thermiques variables à travers une cavité partitionnée.
Le deuxième a pour but de mettre en évidence l’influence de certains paramètres sur l’inertie
thermique de la cavité. Les paramètres étudiés sont le nombre de cloisons, l’épaisseur des cloisons et
celle des parois extérieures verticales. Les grandeurs utilisées pour caractériser le comportement
dynamique des cavités partitionnées sont le déphasage et l’amortissement de l’onde thermique ainsi
que la capacité thermique surfacique :
• Le déphasage de l’onde thermique à une position x donnée est le temps qui sépare le
maximum de l’excitation (ici la température froide) et le maximum de la réponse à
l’excitation (ici la température T(x,t)) à la position x.
• L’amortissement de l’onde est caractérisé par un facteur noté Am qui est le rapport entre
l’amplitude de la température à la position x à celle de la température excitatrice, soit :
( ) ( )F
T xAm x
T∆
=∆
(IV-2)
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
109
Plus le facteur d’amortissement est faible, plus l’onde thermique est amortie.
Plusieurs configurations de la cavité partitionnée ont été testées (nombre et épaisseur de cloisons).
La figure IV-2 en montre un exemple.
La cavité partitionnée a été instrumentée avec des thermocouples placés sur les faces indiquées sur
la Fig. IV-2a. Sur une face, les thermocouples sont disposés suivant le schéma de la Fig. IV-2b. Les
températures des points P1(z = 25mm), P2(z = 75mm), P3(z = 125mm) et P4(z = 175mm) mettent en
évidence la stratification sur les faces des alvéoles tandis que celles des points P3 et P5 donnent une
indication sur l’existence ou non d’une 3e dimension dans les transferts thermiques.
Fig. IV-2 : Position des thermocouples : (a) coupe verticale de la cavité, (b) vue de face d’une
cloison
IV-3-1-1 Variation du nombre de cloisons Pour mettre en évidence l’influence du nombre de cloisons, une cavité partitionnée de parois
extérieures de 8 mm avec des cloisons de 3 mm également réparties a été testée. La configuration de
base est celle avec trois cloisons (Conf_7). Pour passer de cette configuration de base aux
configurations à sept cloisons (Conf_5), à onze cloisons (Conf_4) et à quinze cloisons (Conf_3), on
insère au milieu des alvéoles de la Conf_7 respectivement une, deux et trois cloisons comme indiqué
dans la figure IV-3. Les différentes configurations de cette cavité partitionnée sont présentées dans
le tableau IV-1.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
110
(N=3)(N=7)
(N=11)(N=15)
x9 x9
x9 x9
TC
TC
TC
TC
TF TF
TF TF
(N=3)(N=7)
(N=11)(N=15)
x9 x9
x9 x9
TC
TC
TC
TC
TF TF
TF TF
Fig. IV-3 : Schéma des configurations étudiées avec différents nombre de cloisons (N)
Tableau IV-1 : Configurations étudiées pour la mise en évidence de l’influence du nombre de
cloisons (N)
Nom Conf_7 Conf_5 Conf_4 Conf_3
N 3 7 11 15
ea (mm) 69 33 21 15
FT (°C) 2.0 2.0 8.6 1.9
FT∆ (°C) 9.8 9.4 7.4 9.5
CT (°C) 25.5 25.5 26.1 25.5
Remarque : A la suite d’un aléa expérimental, la température FT de la configuration Conf_11 n’a
pas pu être fixée à 2°C, comme pour les autres configurations.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
111
IV-3-1-2 Variation de l’épaisseur des cloisons
Pour mettre en évidence l’influence de l’épaisseur des cloisons, une cavité partitionnée avec 3
cloisons a été testée. L’épaisseur des parois extérieures verticales est de 15 mm tandis que celles
horizontales ont une épaisseur de 8 mm. Les configurations étudiées sont schématisées sur la figure
IV-4 et leurs caractéristiques sont portées dans le tableau IV-2.
(ep=3mm)(ep=8mm)
(ep=15mm)
(ep=3mm)(ep=8mm)
(ep=15mm)
Fig. IV-4 : Schéma des configurations étudiées avec des cloisons de différentes épaisseurs
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
112
Tab. IV-2 : Configurations étudiées pour la mise en évidence de l’influence de l’épaisseur des
cloisons (ep)
Nom Conf_CL1 Conf_CL2 Conf_CL3
ep (mm) 3 8 15
ea (mm) 62 69 69 62 59.5 64 64 59.5 56 57 57 56
FT (°C) 9.5 9.6 9.5
FT∆ (°C) 6.8 6.9 7.2
CT (°C) 25.9 25.5 25.8
IV-3-1-3 Variation de l’épaisseur des parois extérieures verticales
Nous avons également étudié différentes configurations de la cavité partitionnée pour mettre en
évidence l’influence de l’épaisseur des parois extérieures verticales sur des paramètres dynamiques
de la cavité partitionnée. La cavité étudiée a 3 cloisons de 8 mm et des parois extérieures
horizontales de 8 mm. Les deux alvéoles centrales ont une largeur égale de 64 mm. Par contre, la
largeur des première et quatrième alvéoles notée ea1 varie d’une configuration à une autre. Le
schéma des différentes configurations étudiées est présenté sur la figure IV-5 et les caractéristiques
de ces configurations sont présentées dans le tableau IV-3.
Tab. IV-3 : Configurations étudiées pour la mise en évidence de l’influence de l’épaisseur des murs
extérieurs (ew)
Nom Conf_W8 Conf_W15 Conf_W20 Conf_W30
ew (mm) 8 15 20 30
ea1=ea4 (mm) 66.5 59.5 54.5 44.5
FT (°C) 10.1 9.6 9.7 9.3
FT∆ (°C) 6.9 6.9 6.9 6.9
CT (°C) 25.5 25.5 25.6 25.8
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
113
(ew=8mm) (ew=15mm)
(ew=20mm) (ew=30mm)
(ew=8mm) (ew=15mm)
(ew=20mm) (ew=30mm)
Fig. IV-5 : Schéma des configurations étudiées avec des parois extérieures verticales de différentes
épaisseurs
IV-3-2 Détermination expérimentale de la capacité thermique
La méthode que nous utilisons pour calculer la capacité thermique de la cavité partitionnée a déjà
été utilisée par [CAD. 2005] pour déterminer les caractéristiques dynamiques d’un monomur. Elle
est basée sur la méthode des quadripôles développée dans le chapitre I. L’approche inverse consiste
à déterminer les éléments de la matrice de transfert de la brique considérée comme homogène à
partir du flux et de la température mesurés sur les deux faces de cette brique.
En effet, si CΘ et CΦ sont les transformées complexes de la température et du flux sur la face
chaude de la brique et FΘ et FΦ celles de la température et du flux sur la face froide, il existe une
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
114
relation matricielle unique qui est :
CF
F C
A BC D
ΘΘ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥Φ Φ⎣ ⎦
(IV-3)
Pour déterminer les coefficients A, B, C et D de la matrice de transfert, il faut au moins quatre
équations. Il faut donc trouver deux autres équations en plus de celles tirées de la relation matricielle
précédente.
Il existe deux autres relations entre les éléments de la matrice du fait de la symétrie du système :
A DAD-BC=1
=⎧⎨⎩
(IV-4)
La dernière relation n’est pas linéaire. Pour résoudre ce système, nous avons utilisé la méthode de
Newton Raphson.
En pratique, la température et le flux sur la face chaude sont très atténués (la chambre chaude étant
régulée à une température constante). L’application de la méthode en utilisant CΘ et CΦ est
pratiquement impossible. On se propose de déterminer la capacité thermique surfacique de la demi-
brique en calculant la température MΘ et le flux MΦ au milieu de la cloison centrale à partir des
températures expérimentales sur les deux faces de cette cloison centrale. En effet, il s’agit de
déterminer le champ thermique dans la cloison en résolvant l’équation de la chaleur avec des
conditions aux limites de type « températures imposées ». Les conditions aux limites étant
sinusoïdales, une solution analytique existe via la méthode des harmoniques.
Le flux surfacique est obtenu à partir de la dérivée de la température au milieu de la cloison. Le
nouveau système d’équations à résoudre est donc :
M M F
M M F
A BC D
A D 0AD-BC=1
Θ + Φ = Θ⎧⎪Θ + Φ = Φ⎪⎨
− =⎪⎪⎩
(IV-5)
IV-3-3 Résultats expérimentaux et analyse
Pour analyser les phénomènes de transferts thermiques dans les alvéoles, nous définissons un
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
115
nombre de Rayleigh variables Rai(t) dans chaque alvéole i :
( )ii i a ,i
i i
T tRa (t) g e
a∆
= βν
(IV-6)
( )iT t∆ est la différence à chaque instant entre la température chaude et la température froide de
l’alvéole i.
Les propriétés βi, ai et νi de l’air sont déterminées à la température moyenne à chaque instant.
Le nombre de Rayleigh ainsi défini peut renseigner sur le transfert convectif dans les alvéoles.
IV-3-3-1 Analyse des transferts thermiques dans les alvéoles
Nous présentons en détails des résultats concernant une cavité partitionnée schématisée sur la Fig.
IV-6. Les parois extérieures horizontales ont une épaisseur de 8 mm, tandis que celles verticales ont
une épaisseur de 15 mm. Les autres caractéristiques de cette configuration sont présentées dans le
tableau IV-4 ci-après.
Fig. IV-6 : Cavité partitionnée étudiée
Tab. IV-4 : Caractéristiques de la cavité partitionnée étudiée
N ecl (mm)
eal1 (mm)
eal2 (mm)
eal3 (mm)
eal4 (mm)
FT (°C)
FT∆ (°C)
CT (°C)
3 8 59.5 64 64 59.5 9.6 6.9 25.5
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
116
L’analyse concerne dans un premier temps la vérification du caractère bidimensionnel des transferts
et dans un second temps une appréciation de la convection par le niveau de stratification des
températures sur les faces d’alvéoles ainsi que la variation du nombre de Rayleigh calculé dans les
alvéoles.
IV-3-3-1-1 Bidimensionnalité des transferts
Nous présentons sur les graphes de la figure IV-7, une comparaison entre la température au point P3
et celle du point P5 des faces des alvéoles 2 et 3. Les points sont confondus de façon quasi-parfaite
avec la première diagonale. Les températures des points P3 et P5 sont donc identiques prouvant ainsi
que le transfert peut être considéré comme bidimensionnel.
0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
P3
P5
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
P3
P5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
P3
P5
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
P3
P5
0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 10.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
P3
P5
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
P3
P5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
P3
P5
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
P3
P5
Fig. IV-7 : Mise en évidence de l’absence de la 3e dimension
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
117
IV-3-3-1-2 Stratification des températures pariétales
Sur la figure IV-8, nous présentons l’évolution des températures des points P1, P2, P3 et P4 sur les
faces des différentes alvéoles.
On constate une stratification nette des températures. Compte tenu du fait que le système est soumis
à des températures uniformes sur ses faces extérieures verticales et est isolé sur ses parois
horizontales, la nette stratification des températures présume de l’existence d’un régime convectif
dans les alvéoles.
Sur les courbes, on constate une différence de niveau de stratification lorsque les températures
atteignent leur minimum ou leur maximum ; ou lorsque les températures sont sur une partie
ascendante ou descendante de la courbe.
0 20 40 60 80 1000.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
P1P2P3P4
0 20 40 60 80 1000.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
t (h)
θ
P1P2P3P4
0 20 40 60 80 1000.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
t (h)
θ
P1P2P3P4
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
P1P2P3P4
0 20 40 60 80 1000.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
P1P2P3P4
0 20 40 60 80 1000.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
t (h)
θ
P1P2P3P4
0 20 40 60 80 1000.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
t (h)
θ
P1P2P3P4
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
P1P2P3P4
Fig. IV-8 : Variation temporelle des températures des points P1, P2, P3 et P4 sur différentes faces
d’alvéoles
Pour mieux apprécier ces différences, on présente sur les graphes de la figure IV-10, le profil de la
température sur la face froide de l’alvéole 2 en fonction de la côte z pour différents instants
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
118
matérialisés sur la figure IV-9 :
- (a) un instant où les températures atteignent leur maximum,
- (b) un instant où elles atteignent leur minimum
- et (c) et (d) deux instants symétriques par rapport au minimum (ou au maximum).
50 55 60 65 70 75 80 85 90
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. IV-9 : Matérialisation des instants où les températures sont sur (a) un maximum, (b) un
minimum, (c) une marche descendante et (d) une marche ascendante
En comparant les graphes (a) et (b) de la figure IV-10, on remarque que le niveau de stratification
est plus prononcé lorsque les températures de la face sont sur un minimum que lorsqu’elles sont sur
un maximum. Le gradient de température suivant la cote z est en moyenne de 7 °C/m pour (a) et de
13 °C/m pour (b). On peut en déduire que la convection est plus prononcée lorsque les températures
atteignent leur minimum que lorsqu’elles sont sur leur maximum. Cela est dû à l’écart de
température entre les faces de l’alvéole (donc le nombre de Rayleigh dans l’alvéole) qui est plus
élevé quand les températures sont au minimum que lorsqu’elles sont au maximum.
De même, par comparaison des graphes (c) et (d) de la figure IV-10, on constate que les
températures sont plus stratifiées lorsqu’elles suivent une marche descendante que lorsqu’elles sont
sur une marche ascendante. Le niveau de stratification atteint un gradient de 11 °C/m en marche
descendante contre 9 °C/m en marche ascendante. En effet, lorsque les températures baissent, elles
favorisent la convection, d’où son renforcement. Par contre, lorsque les températures montent, elles
freinent la convection, d’où son affaiblissement.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
119
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180.3
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
0.46
z (m)
θ
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180.62
0.64
0.66
0.68
0.7
0.72
0.74
0.76
0.78
z (m)
θ
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
0.64
z (m)
θ
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180.46
0.48
0.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
z (m)
θ
(a) (b)
(c) (d)
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180.3
0.32
0.34
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
0.46
z (m)
θ
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180.62
0.64
0.66
0.68
0.7
0.72
0.74
0.76
0.78
z (m)
θ
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
0.64
z (m)
θ
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.180.46
0.48
0.5
0.52
0.54
0.56
0.58
0.6
0.62
z (m)
θ
(a) (b)
(c) (d)
Fig. IV-10 : Niveau de stratification sur la face froide de l’alvéole 2 lorsque les températures sont sur (a) un minimum, (b) un maximum, (c) une marche descendante et (d) une marche ascendante
IV-3-3-1-3 Evolution du nombre de Rayleigh Nous présentons sur la figure IV-11, la variation dans le temps du nombre de Rayleigh moyen
calculé dans les différentes alvéoles avec comme longueur caractéristique la largeur des alvéoles.
Ces courbes montrent d’abord que la convection doit apparaître dans toutes les alvéoles et que le
régime convectif doit être laminaire (le nombre de Rayleigh étant inférieur ici à 1.5 105). On
remarque aussi une oscillation de plus en plus élevée de l’alvéole 1 vers l’alvéole 4 c’est-à-dire au
fur et à mesure qu’on se rapproche de la face froide. Cela augure d’une fluctuation de plus en plus
prononcée des transferts convectifs de la première alvéole à la dernière.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
15x 104
t (h)
Ra
Alv1Alv2Alv3Alv4
Fig. IV-11 : Evolution de Rai dans les alvéoles
IV-3-3-2 Influence du nombre de cloisons
Nous faisons dans cette partie l’analyse de l’influence du nombre de cloisons sur des
caractéristiques dynamiques de la cavité partitionnée.
Nous présentons sur la figure IV-12, la variation dans le temps de la température moyenne sur les
faces situées aux abscisses x1=8mm, x2=77mm, x3=80mm, x4=149mm, x5=152mm, x6=221mm,
x7=224mm, x8=293mm et x9=301mm matérialisées sur les schémas de la figure IV-3.
On remarque sur ces courbes que lorsque le nombre de cloisons augmente, la température au point
d’abscisse x = 8mm est moins influencée par les variations de la température froide. On remarque
aussi que le déphasage entre les températures des différentes faces augmente avec le nombre de
cloisons. Ces constats nous amènent à déduire que l’inertie thermique augmente avec le nombre de
cloisons. Pour étayer cela, nous allons déterminer le déphasage et le facteur d’amortissement de
l’onde pour les différentes configurations de la cavité partitionnée ainsi que la capacité thermique de
la moitié de la cavité.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
121
0 10 20 30 40 50 60 70-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x=7x=8x=9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x=7x=8x=9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ x1x2x3x4x5x6x7x8x9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
(N=3) (N=7)
(N=11) (N=15)
0 10 20 30 40 50 60 70-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x=7x=8x=9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x=7x=8x=9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ x1x2x3x4x5x6x7x8x9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
(N=3) (N=7)
(N=11) (N=15)
Fig. IV-12 : Variations de la température moyenne en fonction du temps pour des cavités
partitionnées avec différents nombres de cloisons Remarque : La température en x9 qui représente la température de la face froide de la cavité est très
bruitée à cause des ventilateurs de l’enceinte froide.
Sur les graphes de la figure IV-13, nous présentons le déphasage de l’onde thermique exprimée en
heures à l’abscisse x2 en fonction du nombre de cloisons. Notons que la température au point x1 est
très atténuée dans certaines configurations rendant ainsi très hasardeuse la détermination du
déphasage à ce point. Pour cette raison, nous calculons le déphasage au point x2.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
122
3 5 7 9 11 13 152
3
4
5
6
7
8
N
déph
asag
e (h
)
Fig. IV-13 : Déphasage au point x2 en fonction du nombre de cloisons (N)
Le déphasage varie de façon quasi-linéaire avec le nombre de cloisons comme le montre la droite de
régression linéaire.
Sur les graphes de la figure IV-14, nous présentons la variation en fonction de la position du facteur
d’amortissement de l’onde thermique dans la cavité partitionnée calculée selon la relation (IV-2). Le
facteur d’amortissement varie de manière quasi-linéaire avec la position pour la configuration à trois
cloisons. Ce type de variation indique que les cloisons ont ici la même efficacité dans
l’amortissement de l’onde.
Par contre, lorsque le nombre de cloisons augmente, la forme de la courbe de variation montre que
les cloisons les plus proches de la face froide ont une efficacité plus grande que celles les plus
éloignées. En effet, la tangente de la courbe de variation présente une pente de plus en plus
prononcée lorsque l’on s’approche de la face d’excitation. Le facteur d’amortissement de la
configuration à onze cloisons (Conf_4) est un peu plus faible que celui de la configuration à quinze
cloisons (Conf_3). Ce résultat inattendu est probablement dû à la différence des températures froides
(tableau IV-3). En effet, la température froide moyenne de la Conf_4 est plus grande que celle de la
Conf_3 et l’amplitude des variations est plus faible.
Sur la figure IV-15, la variation de la capacité thermique de la moitié de la cavité est présentée en
fonction du nombre de cloisons. La capacité thermique augmente avec le nombre de cloisons et
semble tendre vers une asymptote.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
123
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
(N=3) (N=7)
(N=11) (N=15)
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
(N=3) (N=7)
(N=11) (N=15)
Fig. IV-14 : Variation du facteur d’amortissement dans la cavité partitionnée pour différents
nombres de partitions (N)
3 5 7 9 11 13 1517
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Cap
acité
ther
miq
ue s
urfa
ciqu
e (k
J/(m
2.K
))
N Fig. IV-15 : Variation de la capacité thermique de la demi-cavité en fonction du nombre de cloisons
(N)
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
124
Dans la suite, nous allons considérer une cavité partitionnée avec trois cloisons pour la mise en
évidence de l’influence de l’épaisseur des cloisons ainsi que celle des parois extérieures verticales.
IV-3-3-3 Influence de l’épaisseur des cloisons
Nous présentons ci-après les résultats de la mise en évidence de l’influence de l’épaisseur des
cloisons sur les caractéristiques dynamiques d’une cavité partitionnée avec trois cloisons.
Sur la figure IV-16, nous avons la variation en fonction du temps des températures moyennes sur les
faces d’alvéoles pour respectivement des cloisons de 3, 8 et 15 mm. Il est à noter ici que les
abscisses des points x2 à x7 varient d’une configuration à l’autre compte tenu de la variation de
l’épaisseur des cloisons (voir Fig. IV-4).
0 10 20 30 40 50 60 70-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9(ep=3mm) (ep=8mm)
(ep=15mm)0 10 20 30 40 50 60 70
-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9(ep=3mm) (ep=8mm)
(ep=15mm)
Fig. IV-16 : Variations de la température moyenne adimensionnée en fonction du temps pour des
cavités partitionnées avec des cloisons de différentes épaisseurs (ep) Pour mieux faire la comparaison entre ces configurations, nous calculons le déphasage de l’onde
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
125
thermique au point d’abscisse x1 qui est identique pour les trois cas. Ce déphasage est de 3.4 h pour
le cas (ep=3 mm), tandis qu’il est respectivement de 3.9 h et 5.0 h pour les cas (ep=8 mm) et (ep=15
mm). Ainsi, on augmente le déphasage de 44% en quintuplant l’épaisseur (en passant de cloisons de
3 mm à des cloisons de 15 mm).
Sur les graphes de la figure IV-17, nous présentons la variation du facteur d’amortissement de
l’onde en fonction de la position x dans la cavité partitionnée. L’épaisseur des cloisons favorise
l’amortissement de l’onde thermique. En effet, une cloison de grande épaisseur présente une masse
thermique plus importante, donc atténue mieux les fluctuations de la température.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
(ep=3mm) (ep=8mm)
(ep=15mm)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
(ep=3mm) (ep=8mm)
(ep=15mm)
Fig. IV-17 : Répartition du facteur d’amortissement dans la cavité partitionnée pour différentes
épaisseurs de cloisons La capacité thermique de la demi-cavité partitionnée calculée est de 26.6, 25.9 et 30.8 kJ.m-2.K-1
respectivement pour ecl=3 mm, ecl=8 mm et ecl=15 mm. La capacité thermique semble peu varier
avec l’épaisseur des cloisons.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
126
IV-3-3-4 Influence de l’épaisseur des parois verticales
Pour mettre en évidence l’influence de l’épaisseur des parois extérieures verticales sur les
caractéristiques dynamiques, une cavité partitionnée avec trois cloisons est considérée (voir schémas
de la Fig. IV-5).
Nous présentons sur la figure IV-18 la variation des températures moyennes sur différents points de
la cavité partitionnée pour des parois extérieures verticales d’épaisseur respective 8, 15, 20 et 30
mm. Les abscisses des points x2 à x7 sont les mêmes d’une configuration à l’autre.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
(ew=8mm) (ew=15mm)
(ew=20mm) (ew=30mm)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
0 10 20 30 40 50 60-0.5
0
0.5
1
t (h)
θ
x1x2x3x4x5x6x7x8x9
(ew=8mm) (ew=15mm)
(ew=20mm) (ew=30mm)
Fig. IV-18 : Variations de la température moyenne en fonction du temps pour des cavités
partitionnées avec des parois extérieures verticales de différentes épaisseurs (ew) Pour faire la comparaison entre les configurations, nous calculons le déphasage au point d’abscisse
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
127
x2. Ce déphasage est de 3 h pour des parois extérieures verticales de 8 mm ; il devient 3.7 h pour des
parois de 15 mm alors qu’il atteint 4.4 h pour des parois de 30 mm. Ainsi en passant de parois
extérieures de 8 mm à celles de 30 mm, le déphasage augmente de plus de 46 %. On peut dire que
l’augmentation de l’épaisseur des parois extérieures est plus efficace que celle de l’épaisseur des
cloisons dans l’accroissement du déphasage de l’onde thermique.
Nous présentons sur les graphes de la figure IV-19, la variation du facteur d’amortissement dans la
cavité partitionnée. L’onde est amortie plus rapidement lorsque l’épaisseur des parois extérieures est
grande. En effet, la pente de la tangente à la courbe de régression au point d’abscisse x7 augmente au
fur et à mesure que l’épaisseur des parois extérieures verticales augmente.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
(ew=8mm) (ew=15mm)
(ew=20mm) (ew=30mm)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (m)
Fact
eur d
'am
ortis
sem
ent
(ew=8mm) (ew=15mm)
(ew=20mm) (ew=30mm)
Fig. IV-19 : Répartition du facteur d’amortissement dans la cavité partitionnée pour différentes
épaisseurs des parois extérieures verticales (ew) Sur la figure IV-20, nous présentons la variation de la capacité thermique en fonction de l’épaisseur
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
128
des parois extérieures verticales. La capacité thermique augmente avec l’épaisseur des parois
extérieures verticales. La courbe de régression linéaire montre que l’augmentation de la capacité
thermique en fonction de l’épaisseur des parois extérieures peut être considérée comme linéaire. On
peut expliquer cette variation par le fait que les épaisseurs expérimentées ici sont inférieures à
66mm4Λ
= , la longueur d’onde Λ du PVC étant de 264 mm pour une période de 24 heures.
5 10 15 20 25 30 3515
20
25
30
35
40
45
Cap
acité
ther
miq
ue s
urfa
ciqu
e (k
J/(m
2.K
))
épaisseur des parois extérieures verticales (mm) Fig. IV-20 : Variation de la capacité thermique de la demi-cavité en fonction de l’épaisseur des
parois extérieures verticales (ew)
IV-4 Etude numérique de la cavité partitionnée en régime variable
IV-4-1 Présentation du modèle
L’étude expérimentale a montré que les transferts thermiques à travers la cavité partitionnée sont
bidimensionnels. On se propose ici d’étudier numériquement la cavité partitionnée au moyen d’un
code CFD (Fluent) en régime variable. La cavité partitionnée étudiée est celle présentée à la figure
IV-6. Les trois cloisons ont une épaisseur de 8 mm. Les parois extérieures verticales ont une
épaisseur de 15 mm tandis que celles horizontales ont une épaisseur de 8 mm. Sur l’une des faces, il
est appliqué une température chaude constante tandis que sur l’autre, une variation sinusoïdale de la
température froide de période 24h est appliquée. Cette température froide dont la valeur moyenne
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
129
est inférieure à la température chaude est donnée par :
FF F2T (t) T T sin tPπ⎛ ⎞= + ∆ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ (IV-5)
Les hypothèses posées au paragraphe III-5 sont considérées valables aussi en régime variable. Il
s’agit donc de résoudre les équations suivantes :
- équation de continuité
0ZW
XU
=∂∂
+∂∂ (IV-6)
- équations de conservation de la quantité de mouvement
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
θ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
−=∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
221
H
2
2
2
221
H
ZW
XW
RaPr
ZP
ZWW
XWU
tW
ZU
XU
RaPr
XP
ZUW
XUU
tU
(IV-7)
- équation de conservation de l’énergie
( )2 21
2H 2 2U W Ra Pr
X Z X Z− ⎛ ⎞∂θ ∂θ ∂θ ∂ θ ∂ θ
+ + = +⎜ ⎟∂τ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (IV-8)
La conduction dans les parties solides est régie par : 2 2
s 2 2at X Z
⎛ ⎞∂θ ∂ θ ∂ θ= +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(IV-9)
Les conditions aux limites de la cavité partitionnée deviennent :
( )0, Z 1θ = ; f
FC
TL 2, Z sin tH TT T
∆ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; 0
Z 0Z
=∂
θ∂
=
et Z 1
0Z =
∂θ=
∂ (IV-10)
Les conditions aux limites sur une interface solide-air sont les suivantes :
interface verticale à X=X0 :
( ) ( )
( )0 0
s 0 a 0
s ar rad 0
X X r X X
X , Z X , Z
1- - N X , ZX k X
∗
= =
⎧θ = θ⎪
∂θ ∂θ⎨ = + ϕ⎪ ∂ ∂⎩
(IV-11)
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
130
interface horizontale à Z=Z0 : ( ) ( )
( )0 0
s 0 a 0
s ar rad 0
Z Z r Z Z
X, Z X, Z
1- - N X, ZZ k Z
∗
= =
⎧θ = θ⎪
∂θ ∂θ⎨ = + ϕ⎪ ∂ ∂⎩
(IV-12)
Les flux radiatifs aux interfaces sont calculés avec la méthode des ordonnées discrètes.
Les variables adimensionnées intervenant dans les équations précédentes sont déterminées par les
relations suivantes :
HxX = et
HyY = ;
0
uUw
= et 0
wWw
= avec ( )F0 0 Cw g T T H= β − ; 20
pPw
=ρ
; m
C F
T TT T
−θ =
− avec
FCm
T TT2+
=
Nous avons utilisé un maillage régulier de 201 x 302 nœuds soit une maille élémentaire de 1 mm.
Pour atténuer le temps de calcul, ce maillage a été préféré à celui plus serré que nous avons utilisé
dans l’étude numérique en régime permanent. Nous avons vérifié que les résultats sont inchangés.
La simulation numérique est faite à l’aide du code Fluent avec :
- une résolution découplée des équations
- et un schéma d’intégration temporelle implicite,
Le pas de temps utilisé est de 1 s. Cependant, au début des calculs celui-ci était pris à 0.1 s pour
tenir compte des constantes de temps de notre système.
Pour l’exploitation des résultats du modèle numérique, nous définissons les nombres de Nusselt
convectif et radiatif locaux sur une face donnée par :
( ) ( )
( ) ( )
cvcv
cond
rdrd
cond
z, tNu z, t
z, tNu z, t
ϕ⎧=⎪ ϕ⎪
⎨ϕ⎪ =⎪ ϕ⎩
(IV-13)
Le flux surfacique de référence ϕcond est le flux conductif du régime permanent pour la même cavité
soumise à la température chaude TC et une température froide constante prise égale à la température
froide moyenne FT du régime variable. La détermination de ϕcond nécessite donc la modélisation en
régime permanent des transferts thermiques dans chaque configuration de cavité partitionnée
différentiellement chauffée avec un écart de température de ( )FCT T− .
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
131
Les nombres de Nusselt convectif et radiatif moyens sont déterminés à chaque instant par : '
w
w
'w
w
e H
cv cv'e
e H
rd rd'e
1Nu (t) Nu (z, t)dzH
1Nu (t) Nu (z, t)dzH
+
+
⎧=⎪
⎪⎨⎪
=⎪⎩
∫
∫ (IV-14)
En définissant ainsi les nombres de Nusselt, ceux-ci pourront être comparés à ceux du régime
permanent.
IV-4-2 Comparaison des résultats expérimentaux et numériques
Aux différents points P1, P2, P3 et P4 des faces d’alvéoles, nous comparons les températures
obtenues avec le modèle numérique et les températures expérimentales.
Sur les figures IV-21 à IV-28, sont présentées les températures expérimentales et numériques aux
points P1, P2, P3 et P4 sur les différentes faces des alvéoles de la cavité partitionnée étudiée.
Ces courbes montrent un accord entre les résultats numériques et expérimentaux en termes d’ordre
de grandeur. Cependant, on constate un décalage entre les températures expérimentales et
numériques. Ce décalage s’accentue au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la face froide de la
cavité. Les températures expérimentales sont en avance par rapport aux températures numériques.
Cela peut être dû :
- soit à la différence au niveau des températures initiales. En effet, pour le modèle numérique,
la température initiale en tout point du maillage autre que les conditions limites est prise
égale à T0. Dans le cas où cette hypothèse est vérifiée, le déphasage devrait disparaître après
un certain nombre de cycles.
- soit à une méconnaissance des propriétés thermophysiques du PVC. Nous vérifierons plus
loin cette dernière hypothèse en utilisant le modèle simplifié 1D.
A cette étape, nous ne pouvons pas affirmer que le modèle numérique est validé par les résultats
expérimentaux. Cette validation se fera dans le chapitre suivant. Nous pouvons néanmoins
utiliser ce modèle numérique pour faire une analyse des transferts thermiques à travers la cavité
partitionnée.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
132
0 10 20 30 40 50-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 50-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. IV-21 : Températures adimensionnées expérimentale et numérique sur la face froide de
l’alvéole 4
0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. IV-22 : Températures adimensionnées expérimentale et numérique sur la face chaude de
l’alvéole 4
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
133
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. IV-23 : Températures adimensionnées expérimentale et numérique sur la face froide de
l’alvéole 3
0 10 20 30 40 500.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 500.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. IV-24 : Températures adimensionnées expérimentale et numérique sur la face chaude de
l’alvéole 3
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
134
0 10 20 30 40 500.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 500.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. IV-25 : Températures adimensionnées expérimentale et numérique sur la face froide de
l’alvéole 2
0 10 20 30 40 500.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 500.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. IV-26 : Températures adimensionnées expérimentale et numérique sur la face chaude de
l’alvéole 2
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
135
0 10 20 30 40 50
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 50
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. IV-27 : Températures adimensionnées expérimentale et numérique sur la face froide de
l’alvéole 1
0 10 20 30 40 500.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
(P1) (P2)
(P3) (P4)
0 10 20 30 40 500.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 500.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
(P1) (P2)
(P3) (P4)
Fig. IV-28 : Températures adimensionnées expérimentale et numérique sur la face chaude de
l’alvéole 1
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
136
IV-4-3 Analyse des phénomènes de transferts thermiques
Nous analyserons tout d’abord le comportement thermique de la cavité pour une période longue
(24h), puis une période courte (30 minutes) avant de présenter des résultats plus généraux sur
l’influence de la période.
IV-4-3-1 Cas de la période de 24h
La température imposée sur la face chaude de la cavité partitionnée est constante et est égale à
25.5°C. La température imposée sur la face froide est sinusoïdale de période 24h avec une valeur
moyenne de 10.1 °C et une amplitude de 6.9 °C.
Nous présentons dans les figures IV-29 et IV-30 les nombres de Nusselt convectif et radiatif moyens
calculés suivant la relation (IV-14) sur les différentes faces d’alvéoles de la cavité partitionnée.
Ces nombres de Nusselt varient périodiquement autour des nombres de Nusselt du régime
permanent. Sur toutes les faces, le nombre de Nusselt radiatif est en phase avec le nombre de
Nusselt convectif, mais il est nettement supérieur à ce dernier. Les transferts radiatifs sont donc
prépondérants dans les alvéoles, mais leur part relative varie au cours de la période, d’un maximum
lorsque les Nu sont élevés à un minimum lorsqu’ils sont plus faibles. Il y a également une légère
différence entre les nombres de Nusselt sur les faces froide et chaude d’une alvéole. Cela est dû à la
participation aux transferts des parois horizontales qui sont des ponts thermiques. L’amplitude des
nombres de Nusselt varie d’une alvéole à une autre et d’une face d’alvéole à l’autre. Ces variations
sont liées au niveau de températures atteint sur les faces des différentes alvéoles.
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
137
0 10 20 30 40 502
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
0 10 20 30 40 502
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
0 10 20 30 40 502
4
6
8
10
12
14
t (h)
Nu cv
rd
0 10 20 30 40 502
4
6
8
10
12
14
t (h)
Nu
cv rd
Régime variable
Régime permanent
0 10 20 30 40 502
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
0 10 20 30 40 502
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
0 10 20 30 40 502
4
6
8
10
12
14
t (h)
Nu cv
rd
0 10 20 30 40 502
4
6
8
10
12
14
t (h)
Nu
cv rd
Régime variable
Régime permanent
Fig. IV-29 : Nombres de Nusselt convectif et radiatif sur les faces des alvéoles 1 et 2
0 10 20 30 40 500
5
10
15
t (h)
Nu
cv rd
0 10 20 30 40 500
5
10
15
t (h)
Nu
cv rd
0 10 20 30 40 50-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t (h)
Nu
cv rd
0 10 20 30 40 50-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t (h)
Nu
cv rd
Régime variable
Régime permanent
0 10 20 30 40 500
5
10
15
t (h)
Nu
cv rd
0 10 20 30 40 500
5
10
15
t (h)
Nu
cv rd
0 10 20 30 40 50-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t (h)
Nu
cv rd
0 10 20 30 40 50-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t (h)
Nu
cv rd
Régime variable
Régime permanent
Fig. IV-30 : Nombres de Nusselt convectif et radiatif sur les faces des alvéoles 3 et 4
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
138
IV-4-3-2 Cas d’une période courte (30 minutes)
La température imposée sur la face froide de la cavité partitionnée est toujours une fonction
sinusoïdale de valeur moyenne et d’amplitude égales à celles précédentes, mais la période est très
courte et prise égale à 30 minutes. La température de la face chaude est constante et est identique à
celle du cas précédent.
Nous présentons sur les figures IV-31 et IV-32 la variation en fonction du temps des nombres de
Nusselt convectif et radiatif sur les faces chaude et froide des différentes alvéoles pour une période
très courte de 30 minutes. Il ressort de ces courbes que seuls les nombres de Nusselt dans l’alvéole 4
ont une variation périodique nette. Ceux de l’alvéole 3 gardent un caractère périodique avec des
amplitudes très faibles. Dans la première et la deuxième alvéole, les nombres de Nusselt perdent
complètement tout caractère périodique et tendent vers la valeur du régime permanent lorsque le
régime sinusoïdal établi est atteint. Ce comportement indique que l’onde thermique est
complètement absorbée dans les alvéoles 3 et 4 pour cette fréquence. Ce comportement est très
différent de celui de la période de 24 heures où les nombres de Nusselt dans les différentes alvéoles
suivent une variation périodique.
Régime variable
Régime permanent
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
14
16
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
14
16
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
Régime variable
Régime permanent
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
14
16
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
14
16
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
Fig. IV-31 : Nombres de Nusselt convectif et radiatif sur les faces des alvéoles 1 et 2
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
139
Régime variable
Régime permanent
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
14
16
t (h)
Nu
cv rd
Régime variable
Régime permanent
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
14
16
18
t (h)
Nu
cv rd
0 1 2 3 4 5 60
2
4
6
8
10
12
14
16
t (h)
Nu
cv rd
Fig. IV-32 : Nombres de Nusselt convectif et radiatif sur les faces des alvéoles 3 et 4
Compte tenu de la variation des nombres de Nusselt, on s’intéresse à l’amplitude de ces variations.
IV-4-3-3 Influence de la période des variations
Les deux résultats présentés ci-dessus ont confirmé l’évidence que la période des variations
influence la transmission du signal périodique dans la cavité. On recherche alors une loi de variation
de l’amplitude des nombres de Nusselt en fonction de la période de la température excitatrice
(température froide) et une éventuelle résonance des phénomènes de transferts convectifs et
radiatifs. L’amplitude du nombre de Nusselt est calculée sur une période par :
( )max minNu NuAmplitude de Nu =
2−
Sur la figure IV-33, nous présentons l’amplitude des nombres de Nusselt convectif sur les faces des
différentes alvéoles en fonction de la période du signal. Nous constatons que dans les alvéoles 1 et 2,
l’amplitude du nombre de Nusselt convectif est une fonction croissante de la période. Nous
observons le même comportement sur l’alvéole 3 ; cependant le nombre de Nusselt convectif sur la
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
140
face froide semble atteindre un maximum pour une période de 24h. Les courbes de variation du
nombre de Nusselt convectif sur les faces de la quatrième alvéole (alvéole la plus proche de la face
froide de la cavité) présentent un maximum indiquant qu’il existe une période de résonance. La
période de résonance n’est pas la même pour la face chaude et la face froide de l’alvéole. Cette
période de résonance semble augmenter au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la face froide.
Sur la figure IV-34, nous présentons la variation de l’amplitude des nombres de Nusselt radiatifs en
fonction de la fréquence. Nous faisons les mêmes observations que précédemment et les mêmes
commentaires peuvent être faits. La période de résonance pour les transferts radiatifs semble être la
même que celle des transferts convectifs. Cela pourrait s’expliquer par le fait que les deux types de
transferts étaient en phase comme on l’a montré sur les courbes des figures IV-29 à IV-32. En
comparant les amplitudes des nombres de Nusselt convectif et radiatif sur une même face d’alvéole,
on constate que celle du nombre de Nusselt radiatif est plus élevée que celle du nombre de Nusselt
convectif. Ainsi, les transferts radiatifs ont des valeurs moyennes et des amplitudes de variation plus
importantes que celles des transferts convectifs.
10-1 100 101 1020
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1020
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1020
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1021
2
3
4
5
6
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1020
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1020
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1020
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1021
2
3
4
5
6
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
Fig. IV-33 Amplitude des nombres de Nusselt convectifs sur les faces d’alvéoles en fonction de la
période
Chapitre IV Transferts thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable ________________________________________________________________________________
141
10-1 100 101 1020
0.5
1
1.5
2
2.5
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1020
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1020
1
2
3
4
5
6
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1022
4
6
8
10
12
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1020
0.5
1
1.5
2
2.5
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1020
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1020
1
2
3
4
5
6
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
10-1 100 101 1022
4
6
8
10
12
Période (h)
Am
plitu
de d
e N
u
face chaudeface froide
Fig. IV-34 Amplitude des nombres de Nusselt radiatifs sur les faces d’alvéoles en fonction de la
période
IV-4-4 Conclusions
Le modèle numérique a apporté un certain nombre d’informations supplémentaires à celles issues de
la campagne de mesures expérimentales. Ces éclairages sont entre autres :
• la confirmation de la bidimensionnalité des transferts thermiques dans la cavité partitionnée ;
• la prédominance des transferts radiatifs sur les transferts convectifs dans les alvéoles ;
• l’influence de la période des variations de la température de la face froide de la cavité ;
• l’existence d’une fréquence de résonance pour à la fois le transfert convectif et le transfert
radiatif dans l’une des alvéoles. Cette fréquence de résonance semble dépendre de la position
par rapport face qui subit la fluctuation sinusoïdale.
Nous supposerons ici avoir acquis suffisamment d’informations scientifiques sur la propagation
d’un signal périodique dans une cavité partitionnée pour aborder le problème pratique ayant motivé
initialement notre travail : la conception d’un matériau présentant ce type de géométrie et possédant
des propriétés macroscopiques désirées, ainsi que son optimisation.
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
143
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment
V-1- Introduction Les produits alvéolaires du type monomur utilisés dans le bâtiment sont censés avoir la double
propriété d’être isolants et d’avoir une bonne inertie thermique. Le développement de ces produits
nécessite une optimisation par rapport à la résistance thermique et la capacité thermique qui, nous
l’avons vu, caractérise l’inertie thermique. C’est dans cette logique que nous nous proposons
d’optimiser maintenant la géométrie de ces produits, en utilisant la méthode par algorithme
génétique, comme nous l’avons fait au chapitre III. Les cavités partitionnées décrites au chapitre IV
sont considérées comme une représentation acceptable des produits alvéolaires, Auparavant, nous
devrons développer un modèle simplifié 1D des transferts thermiques à travers une cavité
partitionnée soumise à des sollicitations sinusoïdales de période 24h. Ce modèle simplifié sera
validé avec des résultats expérimentaux et des résultats numériques obtenus par une modélisation en
2D avec un code CFD (Fluent).
V-2 Modèle simplifié 1D des transferts thermiques à travers la cavité partitionnée en régime variable
V-2-1 Présentation du modèle simplifié 1D
Le modèle simplifié que nous proposons est basé sur la définition d’une conductivité thermique
équivalente de l’air prenant en compte les transferts radiatif et convectif dans les alvéoles. La partie
alvéolaire constituée alternativement de parties solides et d’alvéoles est traitée comme une paroi
multicouche. Une alvéole est considérée comme une couche constituée d’un matériau solide
homogène de conductivité thermique égale à la conductivité équivalente de ladite alvéole. Sa masse
volumique et sa chaleur massique sont celles de l’air à la température moyenne de l’alvéole. Ainsi,
une alvéole est traitée comme un solide avec des propriétés thermophysiques thermo-dépendantes.
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
144
La conductivité thermique d’une alvéole i d’épaisseur ea,i est donnée par la relation :
eq,i G,i a,ih eλ = (V-1)
Le coefficient de transfert global dans l’alvéole hG,i est calculé suivant la méthode développée au III-
3-2. La différence essentielle est que les températures des faces chaude et froide varient dans le
temps, la conductivité équivalente de l’air dans l’alvéole varie en fonction du temps.
Ainsi, l’équation de la chaleur dans cette alvéole s’écrit : 2
eq,i 2
T Tat x
∂ ∂=
∂ ∂ (V-2)
La diffusivité équivalente aeq,i de l’alvéole est calculée par :
eq,ieq,i
a ,i a,i
aCp
λ=
ρ (V-3)
Dans les parties solides, nous avons : 2
s 2
T Tat x
∂ ∂=
∂ ∂ (V-4)
Les conditions d’interface solide-air sont :
- continuité des flux
- égalité des températures
L’équation de diffusion de la chaleur munie des conditions aux limites est résolue en utilisant la
méthode numérique des différences finies avec le schéma explicite comme schéma de discrétisation.
La validation de ce modèle simplifié 1D est effectué en comparant les résultats avec ceux
expérimentaux et numériques présentés dans le chapitre précédent.
V-2-2 Validation expérimentale du modèle simplifié 1D
Pour valider le modèle simplifié 1D, nous considérons toujours la cavité partitionnée de parois
extérieures verticales de 15 mm d’épaisseur avec trois cloisons de 8mm d’épaisseur. Les parois
extérieures horizontales ont la même épaisseur (8mm).
Sur les figures V-1 et V-2, nous comparons les températures théoriques avec les températures
moyennes expérimentales des faces des différentes alvéoles de la cavité partitionnée.
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
145
0 20 40 60 80 1000.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expth
Fig. V-1 : Températures adimensionnées du modèle 1D et expérimentale sur les faces des alvéoles 1
et 2
0 20 40 60 80 1000.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 100-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 100-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 100-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 100-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expth
Fig. V-2 : Températures adimensionnées du modèle 1D et expérimentale sur les faces des alvéoles 3
et 4
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
146
Les températures sont adimensionnées, comme dans les chapitres précédents ( m
C F
T TT T
−θ =
−).
Il ressort de ces courbes un bon accord des températures en termes d’ordre de grandeur. Cependant,
il existe un déphasage entre les températures théoriques et expérimentales. La température
expérimentale est en avance sur la température calculée. Nous avions un déphasage similaire entre
les résultats expérimentaux et les résultats numériques (cf. chapitre IV). Ce constat nous suggère de
faire une comparaison entre les résultats du modèle 1D avec ceux du modèle numérique 2D.
V-2-3 Validation numérique du modèle simplifié 1D
Sur les figures V-3 et V-4, nous comparons les températures de surface des alvéoles obtenues par le
modèle simplifié 1D aux températures moyennes obtenues par le modèle numérique 2D. On observe
un accord sur l’ordre de grandeur des fluctuations, et il n’existe pas de déphasage entre ces
températures. Dans un premier temps, cet accord entre les résultats du modèle simplifié 1D et ceux
du modèle numérique 2D montre la fiabilité du modèle simplifié pour représenter les transferts
thermiques bidimensionnels.
L’absence de décalage temporel nous fait penser que le déphasage noté entre les températures du
modèle numérique 2D et les températures expérimentales, d’une part, et entre celles du modèle 1D
et celles expérimentales, d’autre part, est certainement dû à une différence entre les valeurs réelles
des propriétés thermophysiques du PVC utilisé et celles trouvées dans la littérature.
La conductivité thermique semble être hors de cause car les résultats du régime permanent
concordent bien avec les résultats expérimentaux (cf. chap. III).
Nous avons donc fait un calage du modèle 1D sur les résultats expérimentaux en faisant varier la
valeur du produit (ρ.C) du PVC. Lorsque la valeur de ce produit est prise égale à 1529 kJ.m-3.K-1
soit un peu plus de 40 % de moins que la valeur donnée dans la littérature (2641 kJ.m-3.K-1), le
déphasage noté précédemment est supprimé comme on peut le voir sur les figures V-5 et V-6.
Nous avons également entrepris une autre simulation numérique en 2D en adoptant les nouvelles
valeurs de ρ et C du PVC. Nous constatons alors un bon accord entre les résultats du modèle
numérique et les résultats expérimentaux comme le montrent les courbes des figures V-7 à V-14. Ce
résultat atteste ainsi donc la validité de la modélisation numérique faite avec le code CFD.
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
147
0 10 20 30 40 500.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 500.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 500.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 500.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 500.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 500.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 500.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 500.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
2D1D
Fig. V-3 : Températures adimensionnées du modèle 1D et du modèle 2D des faces des alvéoles 1 et
2
0 10 20 30 40 500.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 50-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 500.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 50-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
2D1D
0 10 20 30 40 50-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
2D1D
Fig. V-4 : Températures du modèle 1D et du modèle 2D des faces des alvéoles 3 et 4
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
148
0 20 40 60 80 1000.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expth
Fig. V-5 : Températures adimensionnées du modèle 1D et expérimentale sur les faces des alvéoles 1
et 2 (ρC=1529 kJ.m-3.K-1)
0 20 40 60 80 1000.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 100-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 100-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 100-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expth
0 20 40 60 80 100-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expth
Fig. V-6 : Températures adimensionnées du modèle 1D et expérimentale sur les faces des alvéoles 3
et 4 (ρC=1529 kJ.m-3.K-1)
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
149
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
(P1) (P2)
(P3)(P4)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
t (h)
θ
expnum
(P1) (P2)
(P3)(P4)
Fig. V-7 : Températures adimensionnées expérimentales et numériques 2D sur la face chaude de
l’alvéole 1 (ρC=1529 kJ.m-3.K-1)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. V-8 : Températures adimensionnées expérimentales et numériques sur la face froide de
l’alvéole 1 (ρC=1529 kJ.m-3.K-1)
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
150
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θexpnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
t (h)
θexpnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. V-9 : Températures adimensionnées expérimentales et numériques sur la face chaude de
l’alvéole 2 (ρC=1529 kJ.m-3.K-1)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. V-10 : Températures adimensionnées expérimentales et numériques sur la face froide de
l’alvéole 2 (ρC=1529 kJ.m-3.K-1)
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
151
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θexpnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
t (h)
θexpnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. V-11 : Températures adimensionnées expérimentales et numériques sur la face chaude de
l’alvéole 3 (ρC=1529 kJ.m-3.K-1)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. V-12 : Températures adimensionnées expérimentales et numériques sur la face froide de
l’alvéole 3 (ρC=1529 kJ.m-3.K-1)
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
152
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θexpnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θexpnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. V-13 : Températures adimensionnées expérimentales et numériques sur la face chaude de
l’alvéole 4 (ρC=1529 kJ.m-3.K-1)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t (h)
θ
expnum
(P1)
(P3)
(P2)
(P4)
Fig. V-14 : Températures adimensionnées expérimentales et numériques sur la face froide de
l’alvéole 4 (ρC=1529 kJ.m-3.K-1)
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
153
Les développements que nous avons fait plus haut montrent que l’on peut approcher les transferts
thermiques à travers une cavité partitionnée en régime variable par un modèle simplifié 1D. L’utilité
de ce modèle est de justifier ensuite l’utilisation de la méthode des quadripôles pour évaluer le
transfert thermique dans une telle cavité et d’en déduire sa capacité thermique surfacique. La
méthode des quadripôles suppose la connaissance des propriétés thermophysiques des différentes
couches constituant le système. Or, dans notre cas, les propriétés thermophysiques équivalentes des
alvéoles sont thermo-dépendantes et donc varient en fonction du temps lorsque la cavité partitionnée
est soumise à des conditions aux limites sinusoïdales. En fait, l’examen des valeurs de la diffusivité
équivalente de l’air obtenues dans la résolution de l’équation de la chaleur montre qu’elles varient
très peu autour d’une valeur moyenne correspondant au gradient de température dans la cavité
soumise à des conditions aux limites constantes prises égales aux moyennes des températures
sinusoïdales.
Nous supposerons donc par la suite que les propriétés thermophysiques équivalentes des alvéoles
sont constantes et égales à celles de ces mêmes alvéoles lorsque la cavité est soumise à des
conditions aux limites constantes prises égales aux moyennes des températures sinusoïdales. Nous
justifions la validité de cette hypothèse en comparant les températures obtenues par le modèle
simplifié avec des propriétés thermophysiques équivalentes des alvéoles variables avec celles
obtenues par le même modèle avec cette fois des thermophysiques équivalentes des alvéoles. Une
telle comparaison est faite sur les figures V-15 et V-16. Les points dans ces graphes sont situés
pratiquement sur la première diagonale et montrent ainsi que les températures déterminées dans les
deux cas sont identiques. Cela est lié au gradient thermique moyen appliqué sur les faces chaude et
froide de la cavité partitionnée. En effet, ce gradient est le moteur principal du transfert thermique
dans une telle cavité.
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
154
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.90.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.850.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.70.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.90.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.850.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.70.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
Fig. V-15 : Comparaison des températures adimensionnées sur les faces des alvéoles 1 et 2
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.650.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.650.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
propiétés thermophysiques variables
prop
iété
s th
erm
ophy
siqu
es c
onst
ante
s
Fig. V-16 : Comparaison des températures adimensionnées sur les faces des alvéoles 3 et 4
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
155
V-3 Evaluation de la capacité thermique d’une cavité partitionnée
Nous avons appliqué la méthode des quadripôles à une cavité partitionnée afin de calculer la
capacité thermique et retrouver par le calcul l’influence de paramètres étudiés expérimentalement
(cf. chapitre IV) c’est-à-dire le nombre de cloisons, l’épaisseur des parois extérieures verticales et
l’épaisseur des cloisons. La cavité partitionnée est donc considérée comme une paroi multicouche ;
une couche est soit une partie solide (parois extérieures et cloisons) soit une alvéole.
Pour la détermination de la capacité thermique, nous considérons une cavité partitionnée qui
présente :
- des cloisons d’épaisseur identique également réparties (les alvéoles sont donc d’égale
largeur),
- des parois extérieures verticales de même épaisseur,
- et des parois extérieures horizontales d’épaisseur négligeable.
Une telle cavité est présentée sur la figure V-17 ci-après.
Fig. V-17 : Schéma de la cavité étudiée
V-3-1 Influence du nombre de cloisons
Pour mettre en évidence l’influence du nombre de cloisons, nous considérons une cavité partitionnée
avec des parois extérieures verticales de 8 mm et des cloisons de 3 mm.
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
156
Nous présentons sur la figure V-18 la variation de la capacité thermique sur le côté chaud en
fonction du nombre de cloisons. On remarque que la capacité thermique croit rapidement avec le
nombre de cloisons lorsque le nombre de cloisons est inférieur à une valeur limite (ici 10), avant de
tendre vers une valeur asymptotique au-delà de cette valeur limite. La valeur limite du nombre de
cloisons correspond ici à la disparition de la convection dans les alvéoles. Nous avons observé le
même comportement sur la figure IV-15. La différence observée dans les valeurs de ces deux
courbes s’explique par le fait que la capacité thermique de la figure IV-15 correspond à une demi-
cavité tandis que celle de la figure V-18 est pour une cavité entière.
0 5 10 15 20 25 3010
15
20
25
30
35
40
nombre de cloisons N
capa
cité
ther
miq
ue s
urfa
ciqu
e (k
J/(m
2.K
))
Fig. V-18 : Capacité thermique d’une cavité partitionnée en fonction du nombre de cloisons
(ew=8mm ; ep=3mm)
V-3-2 Influence de l’épaisseur des parois extérieures
Nous considérons toujours la cavité partitionnée avec des parois extérieures verticales d’épaisseur
variable et comportant trois cloisons de 3 mm également réparties dans la cavité. Sur la figure V-19,
nous présentons la variation de la capacité thermique en fonction de l’épaisseur des parois
extérieures verticales. Nous remarquons une augmentation quasi-linéaire de la capacité thermique
avec l’épaisseur des parois extérieures. Ce comportement peut s’expliquer par le fait que les
épaisseurs en question ici sont très inférieures au quart de la longueur d’onde du PVC ( 66mm4Λ
= ).
Nous avons déjà montré au chapitre II ce type de comportement pour une paroi bicouche.
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
157
5 10 15 20 25 30 35 4010
20
30
40
50
60
70
Epaisseur des parois extérieures (mm)
capa
cité
ther
miq
ue s
urfa
ciqu
e (k
J/(m
2.K
))
Fig. V-19 : Capacité thermique d’une cavité partitionnée en fonction de l’épaisseur des parois
extérieures (N=3, ep=3mm)
V-3-3 Influence de l’épaisseur des cloisons
Pour mettre en évidence l’influence de l’épaisseur des cloisons sur la capacité thermique, nous
avons considéré une cavité partitionnée avec des parois verticales de 8 mm d’épaisseur et
comportant trois cloisons dont on fait varier l’épaisseur. Sur la figure V-20, nous nous présentons la
variation de la capacité thermique en fonction de l’épaisseur des cloisons.
0 5 10 15 2015
20
25
30
35
40
45
50
55
épaisseur des cloisons (mm)
capa
cité
ther
miq
ue s
urfa
ciqu
e (k
J/(m
2.K
))
Fig. V-20 : Capacité thermique d’une cavité partitionnée en fonction de l’épaisseur des cloisons
(N=3, ew=8mm)
Cette courbe montre que la capacité thermique de la cavité partitionnée augmente très rapidement
avec l’épaisseur des cloisons.
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
158
Nous avons montré brièvement le comportement de la capacité thermique d’une cavité partitionnée
en fonction de certains paramètres comme le nombre de cloisons, l’épaisseur des parois extérieures
et l’épaisseur des cloisons.
Nous allons procéder à une optimisation d’une cavité partitionnée par rapport à sa capacité
thermique et sa résistance thermique.
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
159
V-4 Optimisation multicritère de la cavité partitionnée
V-4-1 Les objectifs et les contraintes de l’optimisation Les deux objectifs de l’optimisation de la cavité partitionnée sont :
- maximiser la résistance thermique
- maximiser la capacité thermique
La première contrainte du problème est la largeur totale L de la cavité partitionnée. Celle-ci doit être
constante. La deuxième contrainte concerne l’épaisseur minimale des cloisons. Afin d’éviter de
trouver des cloisons d’épaisseur difficile à réaliser techniquement, nous avons adopté une valeur
minimale de 3mm.
Si M est le nombre d’alvéoles de la cavité, les variables du problème sont des vecteurs composés de
2M entiers naturels constituant l’épaisseur en millimètres alternativement d’une partie solide et
d’une alvéole. Prenons en exemple, la cavité partitionnée schématisée sur la figure V-21.
La variable x représentant cette cavité est le vecteur suivant :
( )s1 a1 s2 a 2 s3 a3 s4 a 4x e ,e ,e ,e ,e ,e ,e ,e= (V-5)
L’épaisseur de la dernière partie solide est déduite de l’épaisseur totale de la cavité par :
( )4
s5 si aii 1
e L e e=
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ (V-6)
Les nombres esi et eai (i = 1…4) sont les épaisseurs respectives de la partie solide i (paroi extérieure
ou cloison) et de l’alvéole i.
La troisième contrainte du problème d’optimisation concerne l’épaisseur de la dernière partie solide.
Cette dernière doit être supérieure ou égale à une valeur minimale.
L’optimisation consiste à trouver le vecteur x qui maximise à la fois la résistance thermique et la
capacité thermique.
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
160
Fig. V-21 : Exemple de cavité partitionnée
La résistance thermique est calculée en utilisant le modèle simplifié développé au III-4.
La capacité thermique est calculée en utilisant la méthode des quadripôles appliquée à la cavité
partitionnée en considérant les alvéoles comme des couches solides ayant des propriétés
thermophysiques égales aux propriétés équivalentes de l’air dans les alvéoles. Cette hypothèse
déterminante a été justifiée dans les paragraphes précédents.
Pour faire l’optimisation de la cavité partitionnée, nous avons utilisé l’outil MOO (Multi-Objective
Optimiser) présenté (cf. chapitre I).
V-4-2 Résultats de l’optimisation On s’attache à obtenir des résultats utilisables au point de vue industriel. La cavité partitionnée
considérée dans cette optimisation est en terre cuite de propriétés thermophysiques suivantes : 1 10.72 W m K− −λ = ⋅ ⋅ , 31920kg m−ρ = ⋅ et 1 1C 840 J kg K− −= ⋅ ⋅ . La largeur totale de la cavité est
L=30 cm et la hauteur est de 20 cm.
Nous présentons sur la figure V-22 les fronts des cavités Pareto-optimales pour le cas de cavités
avec un nombre d’alvéoles faible (5 et 10).
Chapitre V Conception d’un élément alvéolaire de paroi du bâtiment _____________________________________________________________________________
161
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2175
180
185
190
195
200
Cth
(kJ/
(m2.
K))
Rth (m2.K/W)
A
B
C
0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2191
192
193
194
195
196
197
Cth
(kJ/
(m2.
K))
Rth (m2.K/W)
A
B
B
(M=5) (M=10)
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2175
180
185
190
195
200
Cth
(kJ/
(m2.
K))
Rth (m2.K/W)
A
B
C
0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2191
192
193
194
195
196
197
Cth
(kJ/
(m2.
K))
Rth (m2.K/W)
A
B
B
(M=5) (M=10)
Fig. V-22 : Front des cavités Pareto-optimales (M=5 et M=10)
Ces deux courbes représentant le cas de cavités de faible nombre de cloisons présentent deux parties
distinctes :
- une première partie où la capacité thermique varie très peu lorsque la résistance thermique
augmente,
- et une autre où la capacité thermique diminue drastiquement avec une augmentation
insignifiante de la résistance.
Ces deux courbes montrent aussi qu’on ne peut pas avoir une cavité optimale avec M 10≤ qui
respecte la valeur « garde-fou » de la RT 2005 pour la résistance thermique (2.2 m2.K/W).
La composition des cavités A, B et C sélectionnées sur le front de Pareto est présentée sur la figure
AUTEUR : Vincent SAMBOU TITRE : Transferts thermiques instationnaires : vers une optimisation de parois de bâtiments DIRECTRICES DE LA THESE : Pr Françoise MONCHOUX, Bérangère LARTIGUE LIEU ET DATE DE SOUTENANCE : Université Paul Sabatier le 05 février 2008
RESUME L’objectif de notre travail est d’optimiser une paroi multicouche ou un élément de paroi alvéolaire par rapport à l’isolation thermique et l’inertie thermique. Nous avons montré que la capacité thermique déduite de la représentation quadripolaire d’une paroi est un paramètre caractérisant l’inertie de la paroi. L’optimisation d’une paroi multicouche, en plus de donner la disposition optimale des couches, a aussi déterminé l’épaisseur optimale de la couche massive. La production d’entropie irréversible journalière d’une paroi multicouche a confirmé la meilleure disposition des couches. Un élément de paroi alvéolaire représenté par une cavité partitionnée a été étudié théoriquement et expérimentalement en régime permanent et en régime variable. Cette étude a montré la prépondérance du transfert radiatif sur le transfert convectif dans les alvéoles. Un nombre optimal de cloisons donnant une résistance maximale a été trouvé. L’influence de paramètres pertinents de la cavité partitionnée sur le transfert thermique et sur la résistance thermique a été mise en évidence. L’étude de l’influence de la période de la température excitatrice sur les transferts convectif et radiatif a décelé l’existence d’une fréquence de résonance dans l’alvéole la plus proche de la condition aux limites variable. Un modèle simplifié 1D des transferts thermiques dans une cavité partitionnée validé numériquement et expérimentalement nous a permis d’appliquer la méthode des quadripôles aux cavités partitionnées. Une cavité partitionnée a pu ainsi être optimisée par rapport à l’isolation thermique et à l’inertie thermique.
ABSTRACT The objective of this work is to optimize a multilayered wall or an element of alveolar wall in relation to insulation and thermal inertia. We showed that the thermal capacity deducted of the quadruple representation of a wall is a parameter characterizing thermal inertia of the wall. The optimization of a multilayered wall gives the optimal disposition of the wall layers and determines the optimal thickness of the massive layer. The daily entropy production of a multilayered wall confirms the best disposition of the layers. Heat transfer in an element of alveolar wall represented by a partitioned cavity has been theoretically and experimentally studied. Our results show the preponderance of the radiation heat transfer on the convection one. An optimal number of partitions giving a maximal resistance is found. The influence of pertinent parameters on heat transfer and thermal resistance is emphasized. Influence study of the exciting temperature period on the convection and radiation heat transfer shows the existence of a resonance frequency in the alveolus nearest to the variable boundary. A simplified 1D model of heat transfer in a partitioned cavity that has been validated both numerically and experimentally allows to apply quadruple method to partitioned cavity. Thus, a partitioned cavity can be optimized as regards insulation and thermal inertia.