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451
CONVECCIN INTERNA FORZADA
En las aplicaciones de calentamiento y enfriamiento, es comn el
uso delflujo de lquido o gas a travs de tubos y ductos. En ellas,
se fuerza al flui-do a desplazarse por medio de un ventilador o
bomba por un tramo detubo o ducto que es suficientemente largo como
para realizar la transferenciadeseada de calor. En este captulo, se
pone atencin particular en la determi-nacin del factor de friccin y
del coeficiente de conveccin, ya que estn rela-cionados en forma
directa con la cada de presin y con la razn de latransferencia de
calor, respectivamente. As, estas cantidades son usadas
paradeterminar la necesidad de potencia de bombeo y la longitud
requerida del tubo.
Se tiene una diferencia fundamental entre los flujos interno y
externo. En elflujo externo, considerado en el captulo 7, el fluido
tiene una superficie librey, como consecuencia, la capa lmite sobre
la superficie del cuerpo slidopuede crecer en forma indefinida. Sin
embargo, en el flujo interno, el fluidoest confinado por completo
por las superficies interiores del tubo y, por con-siguiente,
existe un lmite en el crecimiento posible de la capa lmite.
Se inicia este captulo con una descripcin fsica general del
flujo interno,as como de la velocidad promedio y la temperatura
promedio. Se continacon la discusin de las longitudes de entrada,
hidrodinmica y trmica, elflujo en desarrollo y el flujo
completamente desarrollado. A continuacin, seobtienen los perfiles
de velocidad y temperatura para el flujo laminar comple-tamente
desarrollado y se desarrollan relaciones para el factor de friccin
y elnmero de Nusselt. Por ltimo, se presentan relaciones empricas
para los flu-jos en desarrollo y completamente desarrollado, y se
demuestra su aplicacin.
OBJETIVOS
Cuando el lector termine de estudiar este captulo, debe ser
capaz de:
Obtener la velocidad promedio a partir de un conocimiento del
perfil de velocidad, ascomo la temperatura promedio a partir de un
conocimiento del perfil de temperatura,en el flujo interno
Tener una comprensin visual de las diferentes regiones del
flujo, en el flujo interno: lasregiones de entrada y de flujo
completamente desarrollado; asimismo, calcular las lon-gitudes de
entrada hidrodinmica y trmica
Analizar el calentamiento y el enfriamiento de un fluido que se
desplaza en un tubo, encondiciones de temperatura de superficie
constante y de flujo constante de calor en lasuperficie, as como
trabajar con la diferencia media logartmica de temperatura
Obtener relaciones analticas para el perfil de velocidad, la
cada de presin, el factorde friccin y el nmero de Nusselt, en el
flujo laminar completamente desarrollado, y
Determinar el factor de friccin y el nmero de Nusselt en el
flujo turbulento completa-mente desarrollado, con la aplicacin de
relaciones empricas, y calcular la cada depresin y la razn de la
transferencia de calor.
8CONTENIDO
8-1 Introduccin 452
8-2 Velocidad y temperaturapromedios 453
8-3 La regin de entrada 455
8-4 Anlisis trmico general 458
8-5 Flujo laminar en tubos 463
8-6 Flujo turbulento en tubos 473
Tema de inters especial:
Flujo de transicin en tubos 482
Resumen 490
Bibliografa y lecturassugeridas 491
Problemas 492
CAPTULO
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8-1 INTRODUCCINLos trminos tubo, ducto y conducto suelen usarse
en forma intercambiablepara los tramos de flujo. En general, los
tramos de flujo de seccin transversalcircular son nombrados tubos
(en especial cuando el fluido es un lquido), ylos tramos de flujo
de seccin transversal no circular, ductos (en especialcuando el
fluido es un gas).*
Es probable que el lector haya advertido que la mayor parte de
los fluidos, enespecial los lquidos, se transportan en tubos
circulares. Esto se debe a que lostubos con una seccin transversal
circular pueden soportar grandes diferenciasde presin de adentro y
de afuera del tubo, sin sufrir una distorsin significativa.Los
tubos no circulares suelen ser usados en aplicaciones como los
sistemas decalefaccin y enfriamiento de los edificios, en donde la
diferencia de presin esrelativamente pequea, los costos de
fabricacin e instalacin son ms bajos yel espacio del que se dispone
para la revisin y reparacin del ducto es limitado(figura 8-1). Para
un rea superficial fija, el tubo circular da la mayor
transfe-rencia de calor para la cada de presin ms baja, lo cual
explica la abrumadorapopularidad de los tubos circulares en los
equipos de transferencia de calor.
Aunque la teora del flujo de fluidos est comprendida
razonablementebien, soluciones tericas slo son obtenidas para unos
cuantos casos sencillos,como el de un flujo laminar completamente
desarrollado en un tubo circular.Por lo tanto, para la mayor parte
de los fluidos se debe buscar apoyo en resul-tados experimentales y
relaciones empricas, y no en soluciones analticas quepermitan
conocer todas las variables desconocidas a base de las
variablesdadas. Al advertir que los resultados experimentales son
obtenidos en condi-ciones de laboratorio controladas de manera
cuidadosa y que no hay dos sis-temas que sean exactamente
semejantes, no se debe ser tan ingenuo como paraver los resultados
obtenidos como exactos. Un error de 10% (o ms) en losfactores de
friccin calculados con la aplicacin de las relaciones dadas eneste
captulo es la norma, en lugar de la excepcin.
La velocidad del fluido en un tubo cambia de cero en la
superficie, debido ala condicin de no deslizamiento, hasta un mximo
en el centro del mismo. Enel flujo de fluidos, resulta conveniente
trabajar con una velocidad promedio,Vprom, la cual se mantiene
constante en el flujo incompresible, cuando el rea dela seccin
transversal del tubo es constante (figura 8-2). La velocidad
promedioen las aplicaciones de calefaccin y enfriamiento puede
cambiar un tanto en vir-tud de las modificaciones en la densidad
debidos a la temperatura. Pero, en laprctica, se evalan las
propiedades del fluido a alguna temperatura promedio yse les trata
como constantes. La conveniencia de trabajar con propiedades
cons-tantes por lo general justifica suficientemente la ligera
prdida en exactitud.
Asimismo, la friccin entre las partculas del fluido en un tubo
en realidadcausa un ligero aumento en la temperatura del propio
fluido, como resultadode la energa mecnica que se est convirtiendo
en energa trmica sensible.Pero esta elevacin de la temperatura
debido al calentamiento por friccinsuele ser demasiado pequea para
garantizar alguna consideracin en losclculos y, como consecuencia,
se descarta. Por ejemplo, en ausencia decualquier transferencia de
calor, no se puede detectar una diferencia notableentre las
temperaturas de entrada y de salida de agua que fluya en un tubo.
Laconsecuencia principal de la friccin en el flujo de fluidos es la
cada de pre-sin, por lo que cualquier cambio significativo de
temperatura en el fluido se
452TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
Tubo circular
Ducto rectangular
Agua50 atm
Aire 1.2 atm
FIGURA 8-1Los tubos circulares pueden soportargrandes
diferencias de presin entre elinterior y el exterior sin sufrir
distorsin,pero los tubos no circulares no.
FIGURA 8-2La velocidad promedio Vprom se definecomo la magnitud
promedio de lavelocidad a travs de una seccintransversal. Para el
flujo laminarcompletamente desarrollado en tubos,Vprom es la mitad
de la velocidadmxima.
Vprom
*Nota del RT: Al traducir del ingls al espaol las palabras pipe
y tube se utiliza el vocablotubo; sin embargo los tubos de dimetro
pequeo comnmente son llamados tubes,mientras que a los tubos de
mayores dimetros se conocen como pipes. Dada estaincertidumbre, en
esta obra se usarn frases ms descriptivas (como un tubo circular o
unducto rectangular) siempre que sea necesario, a fin de evitar
cualquier malentendido.
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CAPTULO 8453
debe a transferencia de calor. Pero se debe considerar el
calentamiento porfriccin para los flujos en los que intervienen
fluidos intensamente viscososcon gradientes grandes de
velocidad.
8-2 VELOCIDAD Y TEMPERATURA PROMEDIOSEn el flujo externo, la
velocidad de la corriente libre sirvi como una veloci-dad de
referencia conveniente para usarse en la evaluacin del nmero
deReynolds y el coeficiente de friccin. En el flujo interno, no se
tiene corrien-te libre y, como consecuencia, se necesita una
alternativa. La velocidad de unfluido en un tubo cambia desde cero
en la superficie, en virtud de la condicinde no deslizamiento,
hasta un mximo en el centro del propio tubo. Por lo tan-to, resulta
conveniente trabajar con una velocidad promedio o media, Vprom,la
cual permanece constante para el flujo incompresible cuando el rea
de laseccin transversal del tubo es constante.
El valor de la velocidad media, Vprom, en un tubo se determina a
partir del re-quisito de que se debe satisfacer el principio de
conservacin de la masa(figura 8-2). Es decir,
(8-1)
en donde m. es el gasto de masa, r es la densidad, Ac es el rea
de la seccintransversal y u(r) es el perfil de velocidad. Entonces
la velocidad promedio parael flujo incompresible en un tubo
circular de radio R se puede expresar como
(8-2)
Por lo tanto, cuando se conoce el gasto o el perfil de
velocidad, se puede de-terminar con facilidad la velocidad
promedio.
Cuando un fluido se calienta o se enfra conforme fluye por un
tubo, su tem-peratura en cualquier seccin transversal cambia de Ts
en la superficie de lapared hasta algn mximo (o mnimo, en el caso
del calentamiento) en el centrodel tubo. En el desplazamiento de
fluidos, resulta conveniente trabajar con unatemperatura promedio o
media, Tm, la cual permanece constante en una sec-cin transversal.
A diferencia de la velocidad media, la temperatura media Tmcambia
en la direccin del flujo, siempre que el fluido se caliente o se
enfre.
El valor de la temperatura media Tm se determina con base en el
requisito deque se debe satisfacer el principio de conservacin de
la energa. Es decir, laenerga transportada por el fluido a travs de
una seccin transversal en el flu-jo real debe ser igual a la energa
que se transportara a travs de la misma sec-cin transversal si el
fluido estuviera a una temperatura constante Tm. Esto sepuede
expresar matemticamente como (figura 8-3)
E fluido m cpTm cpT(r)dm rcpT(r)u(r)VdAc (8-3)
en donde cp es el calor especfico del fluido. Advirtase que el
productomcpTm, en cualquier seccin transversal a lo largo del tubo,
representa el flujode energa con el fluido en esa seccin
transversal. Entonces, la temperaturamedia de un fluido, con
densidad y calor especfico constantes, que fluye enun tubo circular
de radio R, se puede expresar como
Tm T(r)u(r) rdr (8-4)2VpromR2
R
0
R0
cpT(r)ru(r)2prdrrVprom(pR2)cp
m# cpT(r)dm
#
m#cp
Ac
m
Vprom Ac
ru(r) dAcrAc
R
0 ru(r)2pr dr
rpR2
2R2
R
0 u(r)r dr
m#
rVprom Ac Ac
ru(r) dAc
Tmn
Ts
Tm
a) Real
b) IdealizadoFIGURA 8-3
Perfiles real e idealizado de temperaturapara el flujo en un
tubo (la velocidad a
la cual se transporta la energa con elfluido es la misma para
ambos casos).
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Note que la temperatura media Tm de un fluido cambia durante el
calentamien-to o el enfriamiento. Asimismo, las propiedades del
fluido en el flujo internosuelen evaluarse en la temperatura media
del fluido con respecto a la masa, lacual es el promedio aritmtico
de las temperaturas medias en la admisin y lasalida; es decir, Tb
(Tm, i Tm, e)/2.
Flujos laminar y turbulento en tubosEl flujo en un tubo puede
ser laminar o turbulento, dependiendo de las condi-ciones del
mismo. El flujo de fluidos sigue lneas de corriente y, como
conse-cuencia, es laminar a velocidades bajas, pero se vuelve
turbulento conformese incrementa la velocidad ms all de un valor
crtico. La transicin de flujolaminar a turbulento no ocurre de
manera repentina; ms bien, se presenta so-bre algn intervalo de
velocidad, donde el flujo flucta entre laminar y turbu-lento antes
de volverse por completo turbulento. La mayor parte de los flujosen
tubos que se encuentran en la prctica son turbulentos. El flujo
laminar seencuentra cuando fluidos intensamente viscosos, como los
aceites, fluyen entubos de dimetro pequeo o pasos angostos.
Para el flujo en un tubo circular, el nmero de Reynolds se
define como
Re (8-5)
en donde Vprom es la velocidad promedio del flujo, D es el
dimetro del tubo yn m/r es la viscosidad cinemtica del fluido.
Para el flujo por tubos no circulares, el nmero de Reynolds as
como el n-mero de Nusselt y el factor de friccin se basan en el
dimetro hidrulico Dh,definido como (figura 8-4)
Dh (8-6)
donde Ac es el rea de la seccin transversal del tubo y p es su
permetro. Eldimetro hidrulico se define en tal forma que se reduce
al dimetro comn Dpara los tubos circulares, ya que
Tubos circulares: Dh D
Por supuesto, resulta conveniente tener valores precisos de los
nmeros deReynolds para los flujos laminar, de transicin y
turbulento, pero, en la prc-tica, este no es el caso. Esto se debe
a que la transicin de flujo laminar a tur-bulento tambin depende
del grado de perturbacin que ese flujo recibe porparte de la
aspereza de la superficie, las vibraciones del tubo y las
fluctuacio-nes en el flujo. En las condiciones ms prcticas, el
flujo en un tubo es la-minar para Re 2 300, turbulento para Re 10
000 y, en los valores inter-medios, de transicin. Pero se debe
tener presente que, en muchos casos, elflujo se vuelve
completamente turbulento para Re 4 000, como se discuteen el Tema
de inters especial, al final de este captulo. Cuando se diseanredes
de tuberas y se determina la potencia de bombeo, se aplica un
enfoqueconservador y se supone que los flujos con Re 4 000 son
turbulentos.
En el flujo de transicin ste oscila entre laminar y turbulento
de maneraaleatoria (figura 8-5). Se debe tener presente que, en
tubos muy lisos, se pue-de mantener el flujo laminar con nmeros de
Reynolds mucho ms altos, pa-ra evitar las perturbaciones del flujo
y las vibraciones del tubo. Enexperimentos cuidadosamente
controlados de esa manera, se ha mantenido elflujo laminar con
nmeros de Reynolds de hasta 100 000.
4pD2/4pD
4Acp
4Acp
Vprom D
rVpromDm
454TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
Dh = = D4(pD2/4)
pD
Dh = = a4a24a
Dh = =4ab
2(a + b)2ab
a + b
Tubo circular:
Ducto rectangular:
Ducto cuadrado:
ab
D
a
a
FIGURA 8-4El dimetro hidrulico Dh 4Ac/p sedefine en tal forma
que se reduce al dimetro comn para los tuboscirculares.
FIGURA 8-5En la regin de transicin, el flujocambia
aleatoriamente entre laminar yturbulento.
Laminar Turbulento
Vprom
Traza de tinta
Inyeccin de tinta
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8-3 LA REGIN DE ENTRADAConsidrese un fluido que entra a un tubo
circular a una velocidad uniforme.Debido a la condicin de no
deslizamiento, las partculas del fluido en la capaen contacto con
la superficie del tubo llegan a detenerse por completo. Estacapa
tambin causa que las partculas del fluido en las capas adyacentes
se de-saceleren en forma gradual como resultado de la friccin. Para
compensar estareduccin en la velocidad, la velocidad del fluido en
el centro del tubo tieneque incrementarse a fin de mantener
constante el flujo de masa por el tubo.Como resultado, se
desarrolla un gradiente de velocidad a lo largo del tubo.
La regin del flujo en la cual se sienten los efectos de las
fuerzas cortantesviscosas causadas por la viscosidad del fluido se
llama capa lmite de veloci-dad o slo capa lmite. Una superficie
fronteriza hipottica divide en dos re-giones el flujo en un tubo:
la regin de la capa lmite, en la cual los efectosviscosos y los
cambios en la velocidad son significativos, y la regin del
flujoirrotacional (central), en la cual los efectos de la friccin
son despreciablesy la velocidad permanece esencialmente constante
en la direccin radial.
El espesor de esta capa lmite se incrementa en la direccin del
flujo hastaque esa capa llega al centro del tubo y, como
consecuencia, llena ste porcompleto, como se muestra en la figura
8-6. La regin que existe desde la en-trada del tubo hasta el punto
en donde la capa lmite se une en la lnea centralse llama regin de
entrada hidrodinmica, y la longitud de esta regin seconoce como
longitud de entrada hidrodinmica, Lh. El flujo en la reginde
entrada se menciona como flujo hidrodinmicamente en desarrollo, ya
queen esta regin se desarrolla el perfil de velocidad. La regin que
se encuentrams all de la regin de entrada, en la cual el perfil de
velocidad est comple-tamente desarrollado y permanece inalterado,
se conoce como regin com-pletamente desarrollada hidrodinmicamente.
El perfil de velocidad en laregin completamente desarrollada es
parablico, en el flujo laminar, y untanto ms plano o ms lleno en el
flujo turbulento, debido al movimiento arre-molinado y al mezclado
ms vigoroso en la direccin radial.
Considere ahora un fluido a una temperatura uniforme que entra
en un tubocircular cuya superficie se mantiene a una temperatura
diferente. En esta oca-sin, las partculas de fluido que estn en la
capa en contacto con la superficiedel tubo toman la temperatura de
esta superficie. Esto iniciar la transferenciade calor por
conveccin en el tubo y el desarrollo de una capa lmite trmicaa lo
largo de este ltimo. El espesor de la capa lmite tambin aumenta en
ladireccin del flujo hasta que alcanza el centro del tubo y, de
este modo, lo lle-na por completo, como se muestra en la figura
8-7.
La regin del flujo sobre la cual se desarrolla la capa lmite
trmica y alcan-za el centro del tubo se llama regin trmica de
entrada y la longitud de es-ta regin se llama longitud trmica de la
entrada Lt. El flujo en la regin deentrada trmica se llama flujo en
desarrollo trmico, ya que es ah donde se
CAPTULO 8455
FIGURA 8-6Desarrollo de la capa lmite de velocidad
en un tubo. (El perfil desarrollado develocidad promedio es
parablico en elflujo laminar, como se muestra, pero untanto ms
plano o ms lleno en el flujo
turbulento).
x
r
Regin de entrada hidrodinmica
Regin completamente desarrollada hidrodinmicamente
Capa lmitede velocidad
Perfil de velocidaden desarrollo
Perfil de velocidad
completamente desarrollado
Regin del flujoirrotacional (central)
Vprom Vprom Vprom Vprom Vprom
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desarrolla el perfil de temperaturas. La zona que se encuentra
ms all de laregin de entrada trmica, en la que el perfil de
temperaturas adimensionales,expresado como (Ts T)/(Ts Tm),
permanece inalterado se llama regin tr-mica completamente
desarrollada. La regin en la cual el flujo est tanto hi-drodinmica
como trmicamente desarrollado y, como consecuencia, tanto elperfil
de velocidades como el de temperaturas adimensionales
permaneceninalterados se llama flujo completamente desarrollado; es
decir,Completamente desarrollado
0 u u(r) (8-7)hidrodinmicamente:
Completamente desarrollado 0 (8-8)trmicamente:
El esfuerzo cortante en la pared del tubo, tw, est relacionado
con la pen-diente del perfil de velocidad en la superficie. Al
advertir que el perfil de ve-locidad permanece inalterado en la
regin completamente desarrolladahidrodinmicamente, el esfuerzo
cortante en la pared tambin permanece cons-tante en esa regin. Se
puede dar un argumento semejante para el coeficientede
transferencia de calor en la regin completamente desarrollada
trmica-mente.
En una regin plenamente desarrollada trmicamente la derivada de
(Ts T)/(Ts Tm) con respecto a x es cero por definicin y, por tanto
(Ts T)/(Ts Tm) es independiente de x. Entonces, la derivada de (Ts
T)/(Ts Tm) con respecto ar tambin debe ser independiente de x; es
decir,
f(x) (8-9)
El flujo de calor en la superficie se puede expresar como
qs hx(Ts Tm) k hx (8-10)
lo cual, por la ecuacin 8-9, es independiente de x. Por lo
tanto, se concluyeque en la regin de un tubo completamente
desarrollada trmicamente, el coe-ficiente local de conveccin es
constante (no vara con x). Por ende, la friccin(la cual est
relacionada con el esfuerzo cortante en la pared) y los
coefi-cientes de conveccin permanecen constantes en la regin
completamentedesarrollada de un tubo.
Note que el perfil de temperaturas en la regin completamente
desarrolladatrmicamente vara con x en la direccin del flujo. Es
decir, a diferencia delperfil de velocidades, el perfil de
temperaturas puede ser diferente en seccionestransversales
diferentes del tubo en la regin desarrollada y, por lo comn, loes.
Sin embargo, el perfil de temperaturas adimensionales definido con
anterio-
k(T/r)rRTs Tm
Tr
rR
(T/r)rRTs Tm
r
Ts TTs TmrR
x
Ts(x) T(r, x)Ts(x) Tm(x)
u(r, x)x
456TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
FIGURA 8-7Desarrollo de la capa lmite trmica enun tubo. (El
fluido dentro del tubo seest enfriando.)
Perfil de temperaturas
Regin completamente
desarrollada trmicamente
Capa lmite trmica
Regin de entrada trmica
x
Ti Ts
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ridad permanece inalterado en la regin trmicamente desarrollada
cuando latemperatura o el flujo de calor en la superficie del tubo
permanecen constantes.
Durante el flujo laminar en un tubo la magnitud del nmero
adimensionalde Prandtl (Pr) es una medida del crecimiento relativo
de las capas lmite tr-mica y de la velocidad. Para los fluidos con
Pr 1, como los gases, las doscapas lmite coinciden entre s. Para
los fluidos con Pr 1, como los aceites,la capa lmite de la
velocidad crece ms que la trmica. Como resultado, lalongitud de la
entrada hidrodinmica es ms pequea que la trmica. Se cum-ple lo
opuesto para los fluidos con Pr 1, como los metales lquidos.
Considrese un fluido que se est calentando (o enfriando) en un
tubo, con-forme se desplaza por l. El esfuerzo cortante en la pared
y el coeficiente detransferencia de calor son los ms altos en la
entrada del tubo, en donde el es-pesor de las capas lmite es el ms
pequeo, y decrecen en forma gradual hastalos valores del flujo
completamente desarrollado, como se muestra en lafigura 8-8. Por lo
tanto, la cada de presin y el flujo de calor son ms altos enlas
regiones de entrada de un tubo, y el efecto de la regin de entrada
siemprees el incremento del factor de friccin promedio y del
coeficiente promedio detransferencia de calor evaluados para el
tubo completo. Este incremento puedeser significativo para los
tubos cortos, pero despreciable para los largos.
Longitudes de entradaLa longitud de entrada hidrodinmica suele
tomarse como la distancia desdela entrada al tubo hasta aquella
seccin transversal donde el esfuerzo cortanteen la pared (y, por
consiguiente, el factor de friccin) se aproxima al valor delflujo
completamente desarrollado dentro de 2% de diferencia. En el
flujolaminar, las longitudes de entrada hidrodinmica y trmica se
dan de maneraaproximada como [vanse Kays y Crawford (1993) y Shah y
Bhatti (1987)]
Lh, laminar 0.05 Re D (8-11)Lt, laminar 0.05 Re Pr D Pr Lh,
laminar (8-12)
Para Re 20, la longitud de la entrada hidrodinmica tiene un
tamao cerca-no al del dimetro, pero crece de manera lineal con la
velocidad. En el caso l-mite de Re 2 300 esa longitud es de
115D.
En el flujo turbulento, el intenso mezclado que se efecta en el
curso de lasfluctuaciones aleatorias suele dominar los efectos de
la difusin molecular y,por lo tanto, las longitudes de entrada
hidrodinmica y trmica tienen ms omenos el mismo tamao y son
independientes del nmero de Prandtl. La lon-gitud de entrada
hidrodinmica para el flujo turbulento se puede determinar apartir
de [vanse Bhatti y Shah (1987) y Zhi-qing (1982)]
Lh, turbulento 1.359D Re1/4 (8-13)
La longitud de entrada es mucho ms corta en el flujo turbulento,
como era deesperarse, y su dependencia del nmero de Reynolds es ms
dbil. En muchosflujos en tubos de inters prctico, los efectos de la
entrada se vuelven in-significantes ms all de la longitud de tubo
igual a 10 dimetros, y las longi-tudes de entrada hidrodinmica y
trmica se toman en forma aproximadacomo
Lh, turbulento Lt, turbulento 10D (8-14)
En la figura 8-9 se da la variacin del nmero de Nusselt local a
lo largo deun tubo en flujo turbulento, tanto para la temperatura
superficial uniforme co-mo para el flujo de calor uniforme en la
superficie, para el intervalo de nme-
CAPTULO 8457
Capa lmite trmica
Regin completamente
desarrollada
Capa lmite de la velocidad
Lh
x
hx
ho
f
fx
Lt
Regin de
entrada
Flujo completamente
desarrollado
FIGURA 8-8Variacin del factor de friccin y del
coeficiente de transferencia porconveccin en la direccin del
flujo,
para el flujo en un tubo (Pr 1).
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ros de Reynolds que se encuentran en el equipo de transferencia
de calor. Conbase en esta figura, se hacen estas observaciones
importantes:
Los nmeros de Nusselt y, por consiguiente, los coeficientes de
transferen-cia de calor por conveccin son mucho ms altos en la
regin de entrada.
El nmero de Nusselt alcanza un valor constante a una distancia
de menosde 10 dimetros y, por tanto, se puede suponer que el flujo
est completa-mente desarrollado para x 10D.
Los nmeros de Nusselt para las condiciones de temperatura
superficialuniforme y flujo de calor uniforme son idnticos en las
regiones comple-tamente desarrolladas y casi idnticos en las
regiones de entrada. Por lotanto, el nmero de Nusselt no es
sensible al tipo de condicin de fronteratrmica y se pueden usar las
correlaciones del flujo turbulento para cual-quiera de los dos
tipos de esa condicin.
En la literatura, se encuentran correlaciones precisas para los
coeficientes defriccin y de transferencia de calor, para las
regiones de entrada. Sin embargo,la longitud de los tubos que se
usan en la prctica, en la conveccin forzada,suele ser varias veces
la longitud de cualquiera de las dos regiones de entraday, por
consiguiente, a menudo se supone que el flujo por los tubos est
com-pletamente desarrollado en toda la longitud del tubo. Este
enfoque simplistaproporciona resultados razonables para la
transferencia de calor en los tuboslargos, y resultados
conservadores, en caso de los tubos cortos.
8-4 ANLISIS TRMICO GENERALEn ausencia de cualesquiera
interacciones de trabajo (como el calentamientomediante resistencia
elctrica), la ecuacin de conservacin de la energa para elflujo
estacionario de un fluido en un tubo se puede expresar como (figura
8-10)
Q m cp(Te Ti) (W) (815)donde Ti y Te son las temperaturas medias
del fluido en la entrada y la salidadel tubo, respectivamente, y Q
es la razn de la transferencia de calor hacia elfluido o desde ste.
Note que la temperatura de un fluido que fluye en un tubo
458TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
FIGURA 8-9Variacin del nmero local de Nusselt alo largo de un
tubo, en flujo turbulento,
tanto para temperatura superficialuniforme como para flujo
uniforme
de calor en la superficie [Deissler(1953)].
800
700
600
500
400
300
200
100
0 2
x/D
4 6 8 10 12 14 16 18 20
D
Nux, T (Ts = constante)Nux, H ( s = constante)
Nu x
, T
Nu x
, H
Re
= 2 105
6 104
3 104
105
q
104
TeTi
.
Q
cp(Te Ti)mBalance de energa
=
m cpTem cpTi
Q
FIGURA 8-10La transferencia de calor hacia un fluidoque fluye en
un tubo es igual al aumentoen la energa de ese fluido.
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permanece constante en ausencia de cualquier interaccin de
energa a travsde la pared.
Las condiciones trmicas en la superficie por lo comn se pueden
aproxi-mar con razonable precisin como temperatura superficial
constante (Ts constante) o flujo de calor constante en la
superficie (qs constante). Porejemplo, se presenta la condicin de
temperatura superficial constante cuandoocurre un proceso de cambio
de fase, como ebullicin o condensacin, en lasuperficie exterior de
un tubo. Se tiene la condicin de flujo de calor constan-te en la
superficie cuando el tubo se somete a calentamiento por radiacin
oresistencia elctrica de manera uniforme desde todas las
direcciones.
El flujo de calor en la superficie se expresa comoqs hx (Ts Tm)
(W/m2) (8-16)
donde hx es el coeficiente de transferencia de calor local y Ts
y Tm son las tem-peraturas en la superficie y media del fluido en
ese lugar. Note que la tempe-ratura media del fluido Tm de un
fluido que fluye en un tubo debe cambiardurante el calentamiento o
el enfriamiento. Por lo tanto, cuando hx h constante, la
temperatura superficial Ts debe cambiar cuando qs constante,y el
flujo de calor en la superficie qs debe cambiar cuando Ts
constante. Portanto, se puede tener Ts constante o qs constante en
la superficie de un tubo, pero no ambas. Enseguida, se considerar
la transferencia de calor porconveccin para estos dos casos
comunes.
Flujo constante de calor en la superficie(qs constante)En el
caso de qs constante, la velocidad de la transferencia de calor
tambinse puede expresar como
Q qs As m cp(Te Ti) (W) (8-17)Entonces, la temperatura media del
fluido en la salida del tubo queda
Te Ti (8-18)
Note que la temperatura media del fluido se incrementa
linealmente en la di-reccin del flujo en el caso de flujo de calor
constante en la superficie, puestoque el rea superficial aumenta en
forma lineal en esa direccin (As es igual alpermetro, el cual es
constante, multiplicado por la longitud del tubo).
En el caso de flujo de calor constante en la superficie, qs, la
temperatura su-perficial se puede determinar a partir de
qs h(Ts Tm) Ts Tm (8-19)
En la regin completamente desarrollada, la temperatura
superficial Tstambin se incrementar linealmente en la direccin del
flujo, dado que hes constante y, por tanto, Ts Tm constante (figura
8-11). Por supuesto, es-to se cumple cuando las propiedades del
fluido permanecen constantes en elflujo.
Se puede determinar la pendiente de la temperatura media del
fluido Tm enun diagrama T-x mediante la aplicacin de un balance de
energa de flujo es-tacionario a una rebanada del tubo de espesor
dx, mostrada en la figura 8-12.Esto da
m cp dTm qs(pdx) constante (8-20)
donde p es el permetro del tubo.
q#s pm#cp
dTmdx
q# sh
q# s Asm#cp
CAPTULO 8459
T
= Ts Tm =
TeTi
L x
TRegin
de entrada
Regin completamente
desarrollada
Ti
0
Ts
Te
Tmh
qs = constante
qs
FIGURA 8-11Variacin de las temperaturas superficialdel tubo y
media del fluido a lo largo del
tubo para el caso de flujo constante decalor en la
superficie.
cp(Tm + dTm)cpTm .
m
= h(Ts Tm)dA
dx
Tm Tm + dTm
Ts
m
Q
FIGURA 8-12Interacciones energticas para un
volumen diferencial de control en un tubo.
Cengel_08A.qxd 1/3/07 8:56 AM Page 459
-
Puesto que qs y h son constantes, la derivacin de la ecuacin
8-19 con res-pecto a x da
(8-21)
Asimismo, el requisito de que el perfil de temperatura
adimensional perma-nezca inalterado en la regin completamente
desarrollada da
0 0 (8-22)
puesto que Ts Tm constante. Al combinar las ecuaciones 8-20,
8-21 y 8-22, da
constante (8-23)
Entonces, se concluye que en el flujo completamente desarrollado
en un tubosujeto a flujo de calor constante en la superficie, el
gradiente de temperaturaes independiente de x y, por tanto, la
forma del perfil de temperaturas no cam-bia a lo largo del tubo
(figura 8-13).
Para un tubo circular, p 2pR y m rVprom Ac rVprom(pR2), la
ecuacin8-23 queda
Tubo circular: constante (8-24)
Donde Vprom es la velocidad media del fluido.
Temperatura superficial constante (Ts constante)Con base en la
ley de Newton del enfriamiento, la razn de la transferencia decalor
desde o hacia un fluido, que fluye en un tubo se puede expresar
como
Q hAsTprom hAs(Ts Tm) prom (W) (8-25)
donde h es el coeficiente de transferencia de calor por
conveccin promedio,As es el rea superficial para la transferencia
de calor (es igual a pDL para untubo circular de longitud L) y
Tprom es alguna diferencia promedio apropiadade temperatura entre
el fluido y la superficie. Ms adelante se discuten dosmaneras
adecuadas para expresar Tprom.
En el caso de temperatura superficial constante (Ts constante),
Tprom sepuede expresar aproximadamente por la diferencia media
aritmtica detemperatura Tma como
Tprom Tma Ts
Ts Tb (8-26)
donde Tb (Ti Te)/2 es la temperatura media de masa del fluido,
la cual esel promedio aritmtico de las temperaturas medias del
fluido en la admisin yla salida del tubo.
Note que la diferencia media aritmtica de temperatura Tma es
simple-mente el promedio de las diferencias de temperatura entre la
superficie y elfluido en la admisin y la salida del tubo. Inherente
a esta definicin, se supo-ne que la temperatura media del fluido
vara linealmente a lo largo del tubo, locual difcilmente es el caso
cuando Ts constante. Esta simple aproximacin
Ti Te2
(Ts Ti) (Ts Te)2
Ti Te2
2q# srVpromcp R
Tx
dTsdx
dTmdx
q# s pm#cp
Tx
dTsdx
dTmdx
Tx
dTsdx
1Ts Tm
Tsx Tx x Ts TTs Tm
dTsdx
dTmdx
460TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
T (r) T (r)Ts1 Ts2
x1
x
x2
qs
FIGURA 8-13La forma del perfil de temperaturaspermanece
inalterada en la regincompletamente desarrollada de un tubosujeto a
flujo de calor constante en lasuperficie.
Cengel_08A.qxd 1/3/07 8:56 AM Page 460
-
a menudo proporciona resultados aceptables, pero no siempre. Por
lo tanto, senecesita una mejor manera de evaluar Tprom.
Considere el calentamiento de un fluido en un tubo de seccin
transversalconstante cuya superficie interior se mantiene a una
temperatura constante deTs. Se sabe que la temperatura media del
fluido Tm aumenta en la direccin delflujo como resultado de la
transferencia de calor. El balance de energa sobreun volumen
diferencial de control, mostrado en la figura 8-12, da
m cp dTm h(Ts Tm)dAs (8-27)
Es decir, el aumento en la energa del fluido (representado por
un aumento ensu temperatura media por dTm) es igual al calor
transferido por conveccin hacia este ltimo desde la superficie del
tubo. Dado que el rea superficial diferencial es dAs pdx, donde p
es el permetro del tubo, y que dTm d(Ts Tm), puesto que Ts es
constante, la relacin antes dada se puede rea-comodar como
dx (8-28)
Al integrar desde x 0 (admisin del tubo donde Tm Ti), hasta x L
(sali-da del tubo donde Tm Te) da
ln (8-29)
donde As pL es el rea superficial del tubo y h es el coeficiente
de transfe-rencia de calor por conveccin promedio constante. Al
tomar la exponencialde ambos miembros y despejar Te se obtiene la
siguiente relacin, la cual re-sulta muy til para la determinacin de
la temperatura media del fluido en lasalida del tubo:
Te Ts (Ts Ti) exp (hAs /m cp) (8-30)
Tambin se puede usar esta relacin para determinar la temperatura
media delfluido Tm(x), para cualquier valor de x, al reemplazar As
pL por px.
Note que la diferencia de temperatura entre el fluido y la
superficie decaeexponencialmente en la direccin del flujo y la
velocidad del decaimiento de-pende de la magnitud del exponente hAx
/m cp, como se muestra en la figura 8-14. Este parmetro
adimensional recibe el nombre de nmero de unidadesde transferencia,
denotado por NTU (Number of Transfer Units), y es una medida de la
efectividad de los sistemas de transferencia de calor. Para NTU 5,
la temperatura de salida del fluido se vuelve casi igual a la
tempe-ratura superficial, Te Ts (figura 8-15). Dado que la
temperatura del fluidopuede aproximarse a la superficial pero no
puede cruzarla, un NTU de alrede-dor de 5 indica que se alcanza el
lmite para la transferencia de calor y sta no aumenta, sin importar
cunto se extienda la longitud del tubo. Por otra parte, un valor
pequeo del NTU indica ms oportunidades para la transferen-cia de
calor y sta continuar incrementndose conforme se aumenta la
longi-tud del tubo. Un NTU grande y, por consiguiente, un rea
superficial grandepara la transferencia de calor (lo cual significa
un tubo grande) puede ser de-seable desde un punto de vista
relativo a la transferencia de calor, pero ina-ceptable desde un
punto de vista econmico. Por lo comn, la seleccin delequipo de
transferencia de calor refleja un compromiso entre el rendimientoen
la transferencia de calor y el costo.
hAsm#cp
Ts TeTs Ti
hpm#cp
d(Ts Tm)Ts Tm
CAPTULO 8461
L x
Ts = constante
Ts = constante
Ti
Ts
T
(Tm tiende asintticamente a Ts)
0
Ti
Te
T
= Ts Tm
Tm
TeTi
FIGURA 8-14Variacin de la temperatura media del
fluido a lo largo del tubo para el caso detemperatura
constante.
Te
As,h
Ts = 100C
, cp
NTU = hAs / cp Te , C
0.010.050.100.501.005.00
10.00
20.823.927.651.570.699.5
100.0
Ti =20C
m
m
FIGURA 8-15Un NTU mayor que 5 indica que el
fluido que fluye en un tubo alcanzar latemperatura superficial a
la salida, sin
importar cul sea la temperatura de admisin.
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-
Despejando m cp en la ecuacin 8-29 da
m cp (8-31)
Al sustituir esto en la ecuacin 8-15 se obtieneQ hAsTln
(8-32)
donde
Tln (8-33)
es la diferencia media logartmica de temperatura. Note que Ti Ts
Tiy Te Ts Te son las diferencias de temperatura entre la superficie
y el flui-do en la admisin y la salida del tubo, respectivamente.
Esta relacin de Tlnparece ser propensa a usarse de manera indebida,
pero es prcticamente aprueba de fallas, ya que si se usa Ti en
lugar de Te y viceversa en el numeradory en el denominador, o en
cualquiera de los dos, cuando mucho se afectar elsigno, no la
magnitud. Asimismo, se puede usar tanto para el calentamiento(Ts Ti
y Te) como para el enfriamiento (Ts Ti y Te) de un fluido en un
tubo.
La diferencia media logartmica de temperatura, Tln, se obtiene
al seguir elrastro del perfil real de temperaturas del fluido a lo
largo del tubo y es una re-presentacin exacta de la diferencia de
temperatura promedio entre el fluido yla superficie. En verdad
refleja el decaimiento exponencial de la diferencia detemperatura
local. Cuando Te difiere de Ti en no ms de 40%, el error al usarla
diferencia media aritmtica de temperatura es menor a 1%. Pero el
error seincrementa hasta niveles indeseables cuando Te difiere de
Ti en cantidadesmayores. Por lo tanto, siempre se debe usar la
diferencia media logartmica detemperatura cuando se determine la
transferencia de calor por conveccin enun tubo cuya superficie se
mantenga a una temperatura constante Ts.
Te Tiln (Te /Ti)
Ti Teln [(Ts Te)/(Ts Ti)]
hAsln [(Ts Te)/(Ts Ti)]
462TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
115CAgua15C
0.3 kg/s
Vapor de aguaTs = 120C
D = 2.5 cm
FIGURA 8-16Esquema para el ejemplo 8-1.
EJEMPLO 8-1 Calentamiento de agua en un tubo por mediode
vapor
Entra agua a 15C y a razn de 0.3 kg/s en un tubo delgado de
cobre, de 2.5cm de dimetro interno, que forma parte de un
intercambiador de calor y se ca-lienta por medio de vapor que se
condensa en el exterior a 120C. Si el coefi-ciente de transferencia
de calor promedio es de 800 W/m2 C, determine lalongitud requerida
del tubo para calentar el agua hasta 115C (figura 8-16).
SOLUCIN Se calienta agua por medio de vapor en un tubo circular.
Se debedeterminar la longitud requerida del tubo para calentar el
agua hasta una tem-peratura especfica.Suposiciones 1 Existen
condiciones de operacin estacionarias. 2 Las propie-dades del
fluido son constantes. 3 El coeficiente de transferencia de calor
porconveccin es constante. 4 La resistencia a la conduccin del tubo
de cobre esdespreciable, de modo que la temperatura superficial
interior del mismo es iguala la temperatura de condensacin del
vapor.Propiedades El calor especfico del agua a la temperatura
media de la masa de(15 115)/2 65C es de 4 187 J/kg C. El calor de
condensacin del va-por a 120C es de 2 203 kJ/kg (tabla A-9).Anlisis
Al conocer las temperaturas de admisin y de salida del agua se
de-termina que la razn de la transferencia de calor es
Q m cp(Te Ti) (0.3 kg/s)(4.187 kJ/kg C)(115C 15C) 125.6 kW
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-
8-5 FLUJO LAMINAR EN TUBOSEn la seccin 8-2, se mencion que el
flujo en tubos es laminar para Re 2 300 y que est completamente
desarrollado si el tubo es suficientementelargo (en relacin con la
longitud de entrada), de modo que los efectos de laentrada sean
despreciables. En esta seccin, se considera el flujo laminar
esta-cionario de un fluido incompresible con propiedades
constantes, en la regincompletamente desarrollada de un tubo
circular recto. Se obtiene la ecuacinde la cantidad de movimiento
al aplicar un balance de fuerzas a un elementodiferencial de
volumen, as como el perfil de velocidad al resolver dichaecuacin.
Como paso siguiente, se usa sta con el fin de obtener una
relacinpara el factor de friccin. Aspecto importante del anlisis es
que se trata deuno de los pocos casos en que se dispone de la
solucin analtica para el flujoviscoso.
En el flujo laminar completamente desarrollado, cada una de las
partculasdel fluido se mueve a una velocidad axial constante a lo
largo de una lnea decorriente y el perfil de velocidades, u(r),
permanece inalterado en la direccindel flujo. No se tiene
movimiento en la direccin radial y, por tanto, la com-ponente de la
velocidad en la direccin perpendicular al flujo es cero en
todaspartes. No se tiene aceleracin, puesto que el flujo es
estacionario.
Considrese ahora un elemento diferencial de volumen con forma de
anillo,de radio r, espesor dr y longitud dx, orientado en forma
coaxial con el tubo,como se muestra en la figura 8-17. En el
elemento de volumen slo inter-vienen los efectos de la presin y los
efectos viscosos, de donde las fuerzas depresin y cortantes deben
equilibrarse entre s. La fuerza de presin que actasobre una
superficie plana sumergida es el producto de la presin en el
cen-troide de la superficie y el rea de sta. Un balance de fuerzas
sobre el ele-mento de volumen en la direccin del flujo da
(2prdrP)x (2prdrP)x dx (2prdxt)r (2prdxt)r dr 0 (8-34)
CAPTULO 8463
umx
u(r)
x
dx
dr rR
Px Px dx
tr
tr dr
FIGURA 8-17Diagrama de cuerpo libre de un
elemento diferencial de fluido con formade anillo, de radio r,
espesor dr y
longitud dx, orientado en forma coaxialcon un tubo horizontal en
flujo laminar
completamente desarrollado.
La diferencia media logartmica de temperatura es
Te Ts Te 120C 115C 5C
Ti Ts Ti 120C 15C 105C
Tln 32.85C
El rea superficial de transferencia de calor es
Q hAsTln As 4.78 m2
Entonces la longitud requerida del tubo queda
As pDL L 61 m
Discusin La temperatura media de la masa de agua durante este
proceso de calentamiento es de 65C y, por consiguiente, la
diferencia media aritmti-ca de temperatura es Tma 120 65 55C. Si se
usa Tma en lugar de Tlndara L 36 m, lo cual es un tremendo error.
Esto hace ver la importancia deusar la temperatura media logartmica
en los clculos.
4.78 m2p(0.025 m)
AspD
125.6 kW(0.8 kW/m2 C)(32.85C)
QhTln
5 105ln (5/105)
Te Tiln (Te /Ti)
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-
lo cual indica que en el flujo completamente desarrollado en un
tubo horizon-tal las fuerzas viscosas y de presin se equilibran
entre s. Al dividir entre2pdrdx y reacomodar,
r 0 (8-35)
Al tomar el lmite cuando dr, dx 0 da
r 0 (8-36)
Si se hace la sustitucin t m(du/dr) y se toma m constante, da
laecuacin deseada
(8-37)
La cantidad du/dr es negativa en el flujo en tubos y se incluye
el signo nega-tivo con el fin de obtener valores positivos para t.
(Es decir, du/dr du/dy,ya que y R r.) La parte izquierda de la
ecuacin 8-37 es funcin de r y laparte derecha lo es de x. La
igualdad debe cumplirse para cualquier valor de ry x, y una
igualdad de la forma f(r) g(x) slo se puede satisfacer si tanto
f(r)como g(x) son iguales a la misma constante. De lo anterior se
concluye quedP/dx constante. Se puede verificar esto al escribir un
balance de fuerzassobre un elemento de volumen de radio R y espesor
dx (una rebanada deltubo), lo cual da (figura 8-18)
Aqu, tw es constante, puesto que la viscosidad y el perfil de
velocidad sonconstantes en la regin completamente desarrollada. Por
lo tanto, dP/dx constante.
La ecuacin 8-37 se puede resolver al reordenar e integrarla dos
veces, paradar
u(r) C1 ln r C2 (8-38)
Se obtiene el perfil de velocidades u(r) mediante la aplicacin
de las condicio-nes de frontera u/r 0 en r 0 (debido a la simetra
con respecto a la l-nea central) y u 0 en r R (la condicin de no
resbalamiento en lasuperficie del tubo). Se obtiene
u(r) (8-39)
Por lo tanto, el perfil de velocidades en el flujo laminar
completamente desa-rrollado en un tubo es parablico con un mximo en
la lnea central y mnimoen la superficie del tubo. Asimismo, la
velocidad axial u es positiva para cual-quier r y, como
consecuencia, el gradiente de presin axial dP/dx debe ser ne-gativo
(es decir, la presin debe decrecer en la direccin del flujo debido
a losefectos viscosos).
La velocidad promedio se determina con base en su definicin al
sustituir laecuacin 8-39 en la 8-2 y realizar la integracin. Esto
da
(8-40)Vprom 2R2
R
0 u(r)r dr 2
R2
R
0
R2
4madP
dxb a1 r 2
R2br dr R2
8madP
dxb
R24m dPdx1 r
2
R2
14m dPdx
dPdx
2twR
m
r
ddr
ar dudrb dP
dx
d(rt)dr
dPdx
(rt)xdr (rt)rdr
Pxdx Pxdx
464TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
tw
R2P pR2(P dP) 2pR dx tw = 0
=
dPdx R
r
x
2pR dx tw
pR2(P dP)
p
2
pR2P
R
Balance de fuerzas::
Simplificando::
dx
FIGURA 8-18Diagrama de cuerpo libre de unelemento de fluido con
forma de disco,de radio R y longitud dx, en flujolaminar
completamente desarrollado enun tubo horizontal.
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Si se combinan las dos ltimas ecuaciones, se redefine el perfil
de velocidadcomo
(8-41)
La anterior es una forma conveniente para el perfil de
velocidades, ya que se puede determinar Vprom con facilidad a
partir de la informacin del gasto deflujo.
Se tiene la velocidad mxima en la lnea central y se determina a
partir de laecuacin 8-41 mediante la sustitucin r 0,
(8-42)
Por lo tanto, la velocidad promedio en el flujo laminar
completamente desa-rrollado en un tubo es un medio de la velocidad
mxima.
Cada de presinUna cantidad de inters en el anlisis del flujo en
tubos es la cada de presin
P ya que est directamente relacionada con las necesidades de
potencia delventilador o la bomba con el fin de mantener el flujo.
Dado que dP/dx cons-tante y se integra desde x x1, donde la presin
es P1, hasta x x1 L, don-de la presin es P2. Se obtiene
(8-43)
Si se sustituye la ecuacin 8-43 en la expresin de la Vprom de la
8-40, la cadade presin se puede expresar como
Flujo laminar: (8-44)
Tradicionalmente, se usa el smbolo para indicar la diferencia
entre los valo-res final e inicial, como y y2 y1. Pero en el flujo
de fluidos, P se em-plea para designar la cada de presin y, por
consiguiente, es P1 P2. Unacada de presin debida a efectos viscosos
representa una prdida irreversiblede presin y se le conoce como la
prdida de presin PL, para hacer resaltarque es una prdida
(precisamente como la prdida de carga hL, la cual es pro-porcional
a ella).
Ntese, por lo expresado en la ecuacin 8-44, que la cada de
presin es pro-porcional a la viscosidad m del fluido, y P sera cero
si no hubiera friccin.Por lo tanto, en este caso, la cada de presin
de P1 a P2 se debe por entero alos efectos viscosos, y la ecuacin
8-44 representa la prdida de presin PLcuando un fluido de
viscosidad m fluye por un tubo de dimetro constante Dy longitud L,
a la velocidad promedio Vprom.
En la prctica, resulta conveniente expresar la prdida de presin
para todoslos tipos de flujos internos completamente desarrollados
(flujos laminares oturbulentos, tubos circulares o no circulares,
superficies lisas o speras, tuboshorizontales o inclinados) como
(figura 8-19)
Prdida de presin: (8-45)
en donde rV 2prom/2 es la presin dinmica y f es el factor de
friccin deDarcy,
ste tambin se conoce como factor de friccin de Darcy-Weisbach,
enhonor del francs Henry Darcy (1803-1858) y el alemn Julius
Weisbach
f 8twrV 2prom
PL f LD rV2prom
2
P P1 P2 8mLVprom
R2
32mLVpromD2
dPdx
P2 P1
L
umx 2Vprom
u(r) 2Vprom1 r2R2
CAPTULO 8465
Prdida de presin: PL = f L
Vprom
D 2
21
2g
Prdida de carga: hL = f L
PLDrg
D
L
PL
Vprom
rVprom2
2 =
FIGURA 8-19La relacin para la prdida de presin (y
para la prdida de carga) es una de lasms generales en la mecnica
de fluidos
y es vlida para los flujos laminares oturbulentos, para tubos
circulares o nocirculares y para tubos con superficies
lisas o speras.
2
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-
(1806-1871), los dos ingenieros que realizaron la mayor
contribucin para sudesarrollo. No debe confundirse con el
coeficiente de friccin Cf [tambin lla-mado factor de friccin de
Fanning, en honor del ingeniero estadounidenseJohn Fanning
(1837-1911)], el cual se define como Cf 2tw /(rV 2prom) f /4.
Si se igualan las ecuaciones 8-44 y 8-45 entre s y se despeja f,
se obtiene elfactor de friccin para el flujo laminar completamente
desarrollado en un tubocircular:Tubo circular, laminar: (8-46)
Esta ecuacin muestra que en el flujo laminar, el factor de
friccin es funcinslo del nmero de Reynolds y es independiente de la
aspereza de la superfi-cie del tubo.
En el anlisis de sistemas de tuberas, las prdidas por friccin
comnmentese expresan en trminos de la altura equivalente de la
columna de fluido, lla-mada prdida de carga hL. Si se observa, con
base en la esttica de fluidos,que P rgh y, como consecuencia, una
diferencia de presin de P corres-ponde a una altura de fluido de h
P/rg, la prdida de carga en el tubo seobtiene al dividir PL entre
rg para dar
La prdida de carga hL representa la altura adicional a la que
necesita ele-varse el fluido por medio de una bomba para vencer las
prdidas por friccinen el tubo. La prdida de carga es causada por la
viscosidad y est relacionadade manera directa con el esfuerzo
cortante en la pared. La ecuacin 8-45 esvlida tanto para los flujos
laminares como para los turbulentos, tanto en tu-bos circulares
como en no circulares; en cambio, la ecuacin 8-46 slo es vli-da
para el flujo laminar completamente desarrollado en tubos
circulares.
Una vez que se conoce la prdida de presin (o prdida de carga),
se deter-mina la potencia requerida de bombeo para vencer la prdida
de presin, apartir de
(8-47)
donde V.
es el gasto volumtrico y m. es el gasto de masa.La velocidad
promedio para el flujo laminar en un tubo horizontal es, de
acuerdo con la ecuacin 8-44,
Tubo horizontal:
Entonces, el gasto volumtrico para el flujo laminar a travs de
un tubo hori-zontal de dimetro D y longitud L queda
(8-48)
Esta ecuacin se conoce como ley de Poiseuille y a este flujo se
le llama flujode Hagen-Poiseuille, en honor de los trabajos de G.
Hagen (1797-1884) y J.Poiseuille (1799-1869) sobre el tema. A
partir de la ecuacin 8-48, ntese quepara un gasto especificado, la
cada de presin y, por ende, la potencia re-querida de bombeo, son
proporcionales a la longitud del tubo y a la viscosi-dad del
fluido, pero inversamente proporcionales a la cuarta potencia
delradio (o del dimetro) del tubo. Por lo tanto, la necesidad de
potencia debombeo para un sistema de tuberas se puede reducir en un
factor de 16 al du-plicar el dimetro del tubo (figura 8-20). Por
supuesto, deben sopesarse losbeneficios de la reduccin en los
costos de la energa en contraste con el costomayor de construccin,
debido al uso de tubo con dimetro ms grande.
V# Vprom Ac
(P1 P2)R28mL
pR2 (P1 P2)pD4
128mL
P pD4
128mL
Vprom (P1 P2)R2
8mL
(P1 P2)D232mL
P D2
32mL
W#
bomba, L V# PL V
#rghL m
# ghL
hL
PLrg
f LD
V2prom
2g
f 64mrDVprom
64Re
466TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
2D
Wbomba = 16 hp
Wbomba = 1 hp
D
FIGURA 8-20La necesidad de potencia de bombeopara un sistema de
tubos con flujolaminar se puede reducir en un factor de 16 al
duplicar el dimetro del tubo.
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-
La cada de presin P es igual a la prdida de presin PL, si se
trata de untubo horizontal, pero ste no es el caso para los tubos
inclinados o para aqu-llos con rea variable de la seccin
transversal, debido a los cambios en la ele-vacin y la
velocidad.
Perfil de temperatura y el nmero de NusseltEn el anlisis
anterior, se ha obtenido el perfil de velocidad para el flujo
com-pletamente desarrollado en un tubo circular a partir de un
balance de fuerzasaplicado sobre un elemento de volumen, y se ha
determinado el factor de fric-cin y la cada de presin. Ahora se
obtendr la ecuacin de la energa me-diante la aplicacin del balance
energtico sobre un elemento diferencial devolumen y se resolver con
el fin de obtener el perfil de temperatura para loscasos de
temperatura superficial constante y flujo de calor constante en la
su-perficie.
Reconsidrese el flujo laminar estacionario de un fluido en un
tubo circularde radio R. Las propiedades del fluido r, k y cp son
constantes y el trabajo rea-lizado por las fuerzas viscosas es
despreciable. El fluido fluye a lo largo deleje x con velocidad u.
El flujo est completamente desarrollado, de modo queu es
independiente de x, de donde u u(r). Al advertir que la energa se
trans-fiere por la masa en la direccin x y por conduccin en la
direccin r (sesupone que la conduccin en la direccin x es
despreciable), el balance deenerga de flujo estacionario para un
elemento con forma de una capa ciln-drica, de espesor dr y longitud
dx, se puede expresar como (figura 8-21)
m cpTx m cpTx dx Q r Q r dr 0 (8-49)
donde m ruAc ru(2prdr). Al sustituir y dividir entre 2prdrdx da,
des-pus de reordenar,
rcpu (8-50)
o bien,
u (8-51)
Pero
k2prdx 2pkdx (8-52)
Al sustituir y utilizar a k/rcp da
u (8-53)
lo cual expresa que la razn de transferencia neta de energa al
volumen decontrol por el flujo de masa es igual a la razn neta de
conduccin de caloren la direccin radial.
Flujo constante de calor en la superficiePara el flujo
completamente desarrollado en un tubo circular sujeto a flujo
decalor constante en la superficie, se tiene, con base en la
ecuacin 8-24,
constante (8-54)2q# s
rVpromcpRTx
dTsdx
dTmdx
ar
dr ar Tr bTx
r
r Tr Tr r Qr
Qr
12rcpprdx
Tx
Q#
rdr Q#r
dr1
2prdxTxdx Tx
dx
CAPTULO 8467
dx
drr
mcpTx dx
Qr dr
QrmcpTx
.
.
.
.
FIGURA 8-21Elemento diferencial de volumen usado
en la deduccin de la relacin delbalance de energa.
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-
468TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
Si en la deduccin de la ecuacin 8-53 se considerara la conduccin
de caloren la direccin x, dara un trmino adicional a2T/x2, el cual
sera igual a ce-ro, ya que T/x constante y, por tanto, T T(r). Por
lo tanto, en este caso,se satisface con exactitud la suposicin de
que no se tiene conduccin de ca-lor axial.
Al sustituir la ecuacin 8-54 y la relacin para el perfil de
velocidad (ecua-cin 8-41) en la 8-43, da
(8-55)
la cual es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden.
Su solucingeneral se obtiene mediante la separacin de las variables
e integrar dos veces,para dar
T C1r C2 (8-56)
La solucin deseada para el problema se obtiene al aplicar las
condiciones defrontera T/x 0 en r 0 (debido a la simetra), y T Ts,
en r R. Se ob-tiene
T Ts (8-57)
La temperatura media de la masa Tm se determina al sustituir las
relaciones delos perfiles de velocidades y de temperaturas
(ecuaciones 8-41 y 8-57) en laecuacin 8-4 y llevar a cabo la
integracin. Esto da
Tm Ts (8-58)
Al combinar esta relacin con qs h(Ts Tm) da
h (8-59)
o bien,
Tubo circular, laminar (qx constante): Nu 4.36 (8-60)
Por lo tanto, para el flujo laminar completamente desarrollado
en un tubo circular sujeto a flujo de calor constante en la
superficie, el nmero de Nusseltes constante. No se tiene
dependencia con respecto a los nmeros de Reynoldso de Prandtl.
Temperatura superficial constanteSe puede realizar un anlisis
semejante para el flujo laminar completamentedesarrollado en un
tubo circular para el caso de temperatura superficial cons-tante
Ts. En este caso el procedimiento de solucin es ms complejo, ya que
serequieren iteraciones, pero la relacin del nmero de Nusselt que
se obtiene esigualmente simple (figura 8-22):
Tubo circular, laminar (Ts constante): Nu 3.66 (8-61)hDk
hDk
2411
kR
4811
kD 4.36
kD
1124
q# s Rk
qs Rk 34 r
2
R2
r 4
4R4
q# skR ar 2 r
4
4R2b
4qskR 1 r
2
R2 1r ddr r dTdr
Ts = constante
f = 64Re
DNu = 3.66
Flujo laminar completamente desarrollado
u (r)
FIGURA 8-22En el flujo laminar en un tubo contemperatura
superficial constante tantoel factor de friccin como el
coeficientede transferencia de calor permanecenconstantes en la
regin completamentedesarrollada.
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-
CAPTULO 8469
TABLA 8-1
Nmero de Nusselt y factor de friccin para el flujo laminar
completamentedesarrollado en tubos de diversas secciones
transversales (Dh 4Ac /p,Re VpromDh /v, y Nu hDh /k)
Nmero de NusseltConfiguracin a/b Factor de geomtrica del tubo o
Ts Const. q
s Const. friccin f
Crculo 3.66 4.36 64.00/Re
Rectngulo a/b1 2.98 3.61 56.92/Re2 3.39 4.12 62.20/Re3 3.96 4.79
68.36/Re4 4.44 5.33 72.92/Re6 5.14 6.05 78.80/Re8 5.60 6.49
82.32/Re 7.54 8.24 96.00/Re
Elipse a/b1 3.66 4.36 64.00/Re2 3.74 4.56 67.28/Re4 3.79 4.88
72.96/Re8 3.72 5.09 76.60/Re
16 3.65 5.18 78.16/Re
Tringulo 10 1.61 2.45 50.80/Re30 2.26 2.91 52.28/Re60 2.47 3.11
53.32/Re90 2.34 2.98 52.60/Re
120 2.00 2.68 50.96/Re
D
La conductividad trmica k a usarse en las relaciones de Nu antes
dadas debeevaluarse en la temperatura media de la masa del fluido,
la cual es el prome-dio aritmtico de las temperaturas medias del
fluido en la admisin y la salidadel tubo. Para el flujo laminar el
efecto de la aspereza superficial sobre el fac-tor de friccin y el
coeficiente de transferencia de calor es despreciable.
Flujo laminar en tubos no circularesEn la tabla 8-1 se dan las
relaciones del factor de friccin f y del nmero deNusselt para el
flujo laminar completamente desarrollado en tubos de diver-sas
secciones transversales. Los nmeros de Reynolds y de Nusselt para
el flu-jo en estos tubos estn basados en el dimetro hidrulico Dh
4Ac /p, dondeAc es el rea de la seccin transversal del tubo y p es
su permetro. Una vezque se cuenta con el nmero de Nusselt, el
coeficiente de transferencia de ca-lor por conveccin se determina a
partir de h kNu/Dh.
b
a
b
a
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-
Desarrollo del flujo laminar en la regin de entradaPara un tubo
circular de longitud L sujeto a temperatura superficial
constante,el nmero promedio de Nusselt para la regin de entrada
trmica se puede de-terminar a partir de (Edwards y otros, 1979)
Regin de entrada, laminar: Nu 3.66 (8-62)
Note que el nmero de Nusselt promedio es ms grande en la regin
de entra-da, como era de esperarse, y tiende en forma asinttica al
valor completamen-te desarrollado de 3.66 cuando L . En esta
relacin se supone que el flujoest hidrodinmicamente desarrollado
cuando el fluido entra en la seccin decalentamiento, pero tambin se
puede usar en forma aproximada para el flujoen desarrollo
hidrodinmico.
Cuando la diferencia entre las temperaturas de la superficie y
del fluido esgrande, puede ser necesario tomar en cuenta la
variacin de la viscosidad conla temperatura. En ese caso, se puede
determinar el nmero de Nusselt prome-dio para el flujo laminar en
desarrollo en un tubo circular a partir de [Sieder yTate
(1936)]
Nu 1.86 (8-63)
Todas las propiedades se evalan en la temperatura media de la
masa del flui-do, excepto ms, la cual se evala en la temperatura de
la superficie.
El nmero de Nusselt promedio para la regin de entrada trmica de
flujoentre placas paralelas isotrmicas de longitud L se expresa
como (Edwards yotros, 1979)Regin de entrada, laminar: Nu 7.54
(8-64)
donde Dh es el dimetro hidrulico, el cual es el doble del
espaciamiento en-tre las placas. Esta relacin se puede usar para Re
2 800.
0.03 (Dh /L) Re Pr1 0.016[(Dh /L) Re Pr]2/3
Re Pr DL 1/3
mbms0.14
0.065 (D/L) Re
Pr1 0.04[(D/L) Re
Pr]2/3
470TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
EJEMPLO 8-2 Cada de presin en un tubo
Est fluyendo agua en forma estacionaria a 40F (r 62.42 lbm/ft3 y
m 1.038 103 lbm/ft s) en un tubo horizontal de 0.12 in de dimetro y
30 ftde largo, a una velocidad promedio de 3 ft/s (figura 8-23).
Determine la cadade presin y la necesidad de potencia de bombeo que
se requiere para venceresta cada de presin.
SOLUCIN Se da la velocidad de flujo promedio en un tubo. Deben
determi-narse la cada de presin y la potencia requerida de
bombeo.Suposiciones 1 El flujo es estacionario e incompresible. 2
Los efectos de la en-trada son despreciables y, por consiguiente,
el flujo est completamente de-sarrollado. 3 El tubo no contiene
componentes como codos, vlvulas o conec-tores.Propiedades Se da que
la densidad y la viscosidad dinmica del agua, que sonr 62.42
lbm/ft3 y m 1.038 103 lbm/ft s.Anlisis En primer lugar, se necesita
determinar el rgimen de flujo. Elnmero de Reynolds es
Re 1 803(62.42 lbm/ft3)(3 ft/s)(0.12/12 ft)
1.038 103 lbm/ft srVprom D
m
3 ft/s
30 ft
0.12 in
FIGURA 8-23Esquema para el ejemplo 8-2.
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-
CAPTULO 8471
el cual es menor que 2 300. Por lo tanto, el flujo es laminar.
Entonces el factorde friccin y la cada de presin quedan
f 0.0355
P f 0.0355
930 lbf/ft2 6.46 psi
El gasto volumtrico y las necesidades de potencia de bombeo
son
V
Vprom Ac Vprom (pD2/4) (3 ft/s)[p(0.01 ft)2/4] 0.000236
ft3/s
Wbomba V
P (0.000236 ft3/s)(930 lbf/ft2) 0.30 W
Por lo tanto, se necesita una entrada de potencia mecnica en la
cantidad de0.30 W para vencer las prdidas por friccin en el flujo
debidas a la viscosidad.
a 1 W0.73756 lbf ft/sb
1 lbf32.174 lbm ft/s2(62.42 lbm/ft3)(3 ft/s)2
230 ft
0.01 ftLD rV2prom
2
64Re
641 803
Te
200 m
20C Aceite2 m/s
D = 0.3 m
Lago helado, 0C
0C
FIGURA 8-24Esquema para el ejemplo 8-3.
EJEMPLO 8-3 Flujo de aceite en una tubera que pasa a travsde un
lago
Considere el flujo de aceite a 20C en una tubera de 30 cm de
dimetro a unavelocidad promedio de 2 m/s (figura 8-24). Una seccin
de 200 m de largo dela tubera horizontal pasa por las aguas heladas
de un lago a 0C. Las medicio-nes indican que la temperatura de la
superficie del tubo est muy cercana a0C. Si descarta la resistencia
trmica del material del tubo, determine a) latemperatura del aceite
cuando el tubo sale del lago, b) la razn de la transfe-rencia de
calor desde el aceite y c) la potencia requerida de bombeo para
ven-cer las prdidas de presin y mantener el flujo del aceite en el
tubo.
SOLUCIN Fluye aceite en una tubera que pasa por las aguas
heladas de unlago a 0C. Deben determinarse la temperatura de salida
del aceite, la razn dela prdida de calor y la potencia de bombeo
necesaria para vencer las prdidasde presin.Suposiciones 1 Existen
condiciones estacionarias de operacin. 2 La tempera-tura
superficial del tubo es muy cercana a 0C. 3 La resistencia trmica
del tu-bo es despreciable. 4 Las superficies interiores de la
tubera son lisas. 5 El flujoest hidrodinmicamente desarrollado
cuando la tubera llega al lago.Propiedades No se conoce la
temperatura de salida del aceite y, como conse-cuencia, no se puede
determinar la temperatura media de la masa a la cual sedeben
evaluar las propiedades del aceite. La temperatura media del aceite
enla admisin es de 20C y se espera que esta temperatura caiga un
tanto comoresultado de la prdida de calor hacia las aguas heladas
del lago. Se evalan laspropiedades del aceite a la temperatura de
admisin, pero se repetirn los clculos, si es necesario, mediante
las propiedades a la temperatura media de lamasa evaluada. A 20C,
se lee (tabla A-14)
r 888.1 kg/m3 n 9.429 104 m2/s
k 0.145 W/m C cp 1 880 J/kg C Pr 10 863
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-
472TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
Anlisis a) El nmero de Reynolds es
Re 636
el cual es menor que el nmero de Reynolds crtico de 2 300. Por
lo tanto, elflujo es laminar y, en este caso, la longitud de la
entrada trmica es muy apro-ximada,
Lt 0.05 Re Pr D 0.05 636 10 863 (0.3 m) 103 600 m
lo cual es mucho mayor que la longitud total del tubo. Esto es
tpico de los flui-dos con altos nmeros de Prandtl. Por lo tanto, se
supone un flujo en desarro-llo trmico y se determina el nmero de
Nusselt a partir de
Nu 3.66
3.66
33.7
Note que este nmero de Nusselt es considerablemente ms alto que
el valorcompletamente desarrollado de 3.66. Entonces,
h Nu (33.7) 16.3 W/m2 C
Asimismo,
As pDL p(0.3 m)(200 m) 188.5 m2m rAcVprom (888.1 kg/m3)[ p(0.3
m)2](2 m/s) 125.6 kg/s
A continuacin se determina la temperatura de salida del aceite a
partir de
Te Ts (Ts Ti) exp (hAs /m cp)
0C [(0 20)C] exp
19.74C
Por tanto, la temperatura media del aceite cae en un simple
0.26C al cruzar ellago. Esto hace que la temperatura media de la
masa de aceite sea 19.87C, lacual es prcticamente idntica a la de
admisin de 20C. Por lo tanto, no se ne-cesita volver a evaluar las
propiedades.
b) La diferencia media logartmica de temperatura y la razn de la
prdida decalor del aceite son
Tln 19.87C
Q hAs Tln (16.3 W/m2 C)(188.5 m2)(19.87C) 6.11 104 W
20 19.74
ln 0 19.740 20
Ti Te
ln Ts TeTs Ti
(16.3 W/m2 C)(188.5 m2)(125.6 kg/s)(1 881 J/kg C)
14
0.145 W/m C0.3 m
kD
0.065(0.3/200) 636 10 8631 0.04[(0.3/200) 636 10 863]2/3
0.065 (D/L) Re Pr1 0.04 [(D/L) Re
Pr]2/3hDk
Vprom Dn
(2 m/s)(0.3 m)
9.429 104 m2/s
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Por lo tanto, el aceite perder calor a razn de 61.1 kW cuando
fluye por el tu-bo en las aguas heladas del lago. Note que, en este
caso, Tln es idntica a latemperatura media aritmtica, ya que Ti
Te.
c) El flujo laminar del aceite est hidrodinmicamente
desarrollado. Por lo tan-to, se puede determinar el factor de
friccin a partir de
f 0.1006
Entonces, la cada de presin en el tubo y la potencia requerida
de bombeoquedan
P f 0.1006 1.19 105 N/m2
Wbomba 16.8 kW
Discusin Se necesita una bomba de 16.8 kW slo para vencer la
friccin en el tubo cuando el aceite fluye en el tramo de 200 m de
largo a travs del lago.
(125.6 kg/s)(1.19 105 N/m2)888.1 kg/m3
m#Pr
200 m0.3 m
(888.1 kg/m3)(2 m/s)22
LD rV 2prom
2
64Re
64636
CAPTULO 8473
8-6 FLUJO TURBULENTO EN TUBOSAl principio se mencion que el
flujo en los tubos lisos es completamente tur-bulento para Re 10
000. El flujo turbulento se utiliza de manera comn enla prctica
debido a los coeficientes ms altos de transferencia de calor
asocia-dos con l. La mayor parte de las correlaciones para los
coeficientes de fric-cin y de transferencia de calor en el flujo
turbulento se basan en estudiosexperimentales debido a la
dificultad para tratar en forma terica con este ti-po de flujo.
Para los tubos lisos, el factor de friccin en el flujo
turbulento se puede de-terminar a partir de la primera ecuacin de
Petukhov explcita [Petukhov(1970)], dada comoTubos lisos: f (0.790
ln Re 1.64)2 3 000 Re 5 106 (8-65)
El nmero de Nusselt en el flujo turbulento est relacionado con
el factor defriccin a travs de la analoga de Chilton-Colburn,
expresada como
Nu 0.125 f RePr1/3 (8-66)Una vez que se cuenta con el factor de
friccin, se puede usar esta ecuacin demanera conveniente con el fin
de evaluar el nmero de Nusselt tanto para lostubos lisos como para
los speros.
Para el flujo turbulento completamente desarrollado en tubos
lisos, se pue-de obtener una relacin simple para el nmero de
Nusselt al sustituir en laecuacin 8.66 de la simple relacin de la
ley de potencia f 0.184 Re0.2 parael factor de friccin. Esto da
Nu 0.023 Re0.8 Pr1/3 (8-67)
la cual se conoce como ecuacin de Colburn. Se puede mejorar la
precisinde esta ecuacin al modificarla como
Nu 0.023 Re0.8 Pr n (8-68)
0.7 Pr 160Re 10 000
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donde n 0.4 para el calentamiento y 0.3 para el enfriamiento del
fluido quefluye por el tubo. Esta ecuacin se conoce como ecuacin de
Dittus-Boelter[Dittus y Boelter (1930)] y se prefiere a la de
Colburn.
Pueden usarse las ecuaciones precedentes cuando la diferencia de
tempera-tura entre el fluido y la superficie de la pared no es
grande, evaluando todaslas propiedades del fluido en la temperatura
media del fluido, Tb (Ti Te)/2. Cuando la variacin es grande,
debido a una diferencia grande en lastemperaturas, puede usarse la
ecuacin que sigue, debida a Sieder y Tate(1936),
(8-69)
En este caso, todas las propiedades se evalan en Tb, excepto ms,
la cual seevala en Ts.
Las relaciones del nmero de Nusselt que acaban de darse son
bastante sim-ples, pero pueden dar errores tan grandes como de 25%.
Este error se puedereducir de manera considerable, hasta menos de
10%, mediante relacionesms complejas pero precisas, como la segunda
ecuacin de Petukhov, expre-sada como
Nu (8-70)
Se mejora la exactitud de esta relacin al modificarla como
[Gnielinski(1976)]
Nu (8-71)
donde se puede determinar el factor de friccin f a partir de una
relacin apro-piada, como la primera ecuacin de Petukhov. En los
clculos debe preferirsela ecuacin de Gnielinski. Una vez ms, las
propiedades deben evaluarse a latemperatura media de la masa del
fluido.
Las relaciones antes dadas no son muy sensibles a las
condiciones trmicasen las superficies del tubo y se pueden usar
tanto para el caso de Ts constan-te como para el de qs constante. A
pesar de su sencillez, las relaciones yapresentadas dan resultados
suficientemente precisos para la mayor parte de losfines de
ingeniera. Tambin se pueden usar para obtener estimaciones
apro-ximadas del factor de friccin y de los coeficientes de
transferencia de caloren la regin de transicin.
Las relaciones dadas hasta ahora no se aplican a los metales
lquidos debi-do a sus nmeros de Prandtl muy bajos. Para los metales
lquidos (0.004 Pr
0.01), Sleicher y Rouse (1975) recomiendan las relaciones
siguientes para104 Re 106:
Metales lquidos, Ts constante: Nu 4.8 0.0156 Re0.85 Pr
(8-72)
Metales lquidos, qs constante: Nu 6.3 0.0167 Re0.85 Pr
(8-73)
donde el subndice s indica que el nmero de Prandtl se debe
evaluar a la tem-peratura superficial.
0.93s
0.93s
0.5 Pr 2 0003 103 Re 5 106( f/8)(Re 1 000) Pr
1 12.7( f/8)0.5 (Pr2/3 1)
0.5 Pr 2 000104 Re 5 106( f/8) Re Pr
1.07 12.7( f/8)0.5 (Pr2/3 1)
0.7 Pr 17 600Re 10 000 Nu 0.027 Re0.8Pr1/3am
msb 0.14
474TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
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-
Superficies sperasCualquier irregularidad o aspereza en la
superficie perturba la subcapa lami-nar y afecta el flujo. Por lo
tanto, a diferencia del flujo laminar, el factor defriccin y el
coeficiente de conveccin en el flujo turbulento dependen
fuerte-mente de la aspereza superficial.
El factor de friccin en el flujo turbulento completamente
desarrollado enun tubo depende del nmero de Reynolds y de la
aspereza relativa e/D, lacual es la razn de la altura media de la
aspereza del tubo al dimetro de ste.La forma funcional de esta
dependencia no se puede obtener a partir de unanlisis terico y
todos los resultados de los que se dispone se obtienen
deconcienzudos experimentos mediante el uso de superficies cuya
aspereza seproduce en forma artificial (comnmente, al pegar granos
de arena de untamao conocido sobre las superficies interiores de
los tubos). La mayor partede esos experimentos los condujo J.
Nikuradse, estudiante de Prandtl, en1933, y fueron seguidos por los
trabajos de otros. El factor de friccin secalcul a partir de las
mediciones del gasto y de la cada de presin.
Los resultados experimentales obtenidos se presentan en las
formas tabular,grfica y funcional, obtenidas mediante ajuste de
curvas con base en los datosexperimentales. En 1939, Cyril F.
Colebrook (1910-1997) combin los datos dis-ponibles para el flujo
de transicin y para el flujo turbulento en tubos lisos, ascomo
speros, en la relacin implcita siguiente, conocida como ecuacin
deColebrook:
2.0 log (flujo turbulento) (8-74)
Se observa que el logaritmo de la ecuacin 8-74 es uno de base
10, en lugar denatural. En 1942, el ingeniero estadounidense Hunter
Rouse (1906-1996) veri-fic la ecuacin de Colebrook y produjo un
trazo grfico de f como funcin deRe y del producto . Tambin present
la relacin para el flujo laminar yuna tabla de asperezas de tubos
comerciales. Dos aos ms tarde, Lewis F.Moody (1880-1953) volvi a
trazar el diagrama de Rouse en la forma que esusada comnmente en la
actualidad. En el apndice se da, como figura A-20, elahora famoso
diagrama de Moody. En ste se presenta el factor de friccinde Darcy
para el flujo en tubos como funcin del nmero de Reynolds y dee/D,
sobre un amplio rango. Probablemente es uno de los diagramas
acepta-dos y usados con ms amplitud en ingeniera. Aunque est
desarrollado paratubos circulares, tambin se puede usar para tubos
no circulares, al reemplazarel dimetro por el dimetro
hidrulico.
Para los tubos lisos, la concordancia entre las ecuaciones de
Petukhov y deColebrook es muy buena. El factor de friccin es mnimo
para un tubo liso(pero todava no cero debido a la condicin de no
deslizamiento) y aumentacon la aspereza (figura 8-25).
Los tubos que se encuentran en el comercio son diferentes a los
usados en losexperimentos en el sentido de que la aspereza de los
primeros no es uniforme yresulta difcil dar una descripcin precisa
de ella. En la tabla 8-3 y en el diagra-ma de Moody, se dan valores
de la aspereza equivalente para algunos tubos co-merciales. Pero
debe tenerse presente que estos valores son para tubos nuevos yla
aspereza relativa de stos puede incrementarse con el uso como
consecuenciade la corrosin, la acumulacin de incrustacin y la
precipitacin. Como resul-tado, el factor de friccin puede
incrementarse en un factor de 5 a 10. En el di-seo de sistemas de
tuberas, deben considerarse las condiciones reales deoperacin.
Asimismo, el diagrama de Moody y su equivalente ecuacin de Co-
Re1f
/D3.7 2.51Re f1
f
CAPTULO 8475
Aspereza Factor derelativa, friccin,
/D f
0.0* 0.01190.00001 0.01190.0001 0.01340.0005 0.01720.001
0.01990.005 0.03050.01 0.03800.05 0.0716
*Superficie lisa. Todos los valores son para Re 106 y estn
calculados con base en la ecua-cin 8-74.
FIGURA 8-25El factor de friccin es mnimo para un
tubo liso y aumenta con la aspereza.
TABLA 8-2
Tamaos estndar para tubos deacero cdula 40
Tamao Dimetro interiornominal, in real, in
18 0.26914 0.36438 0.49312 0.62234 0.8241 1.049112 1.6102
2.067212 2.4693 3.0685 5.047
10 10.02
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lebrook comprenden varias incertidumbres (el tamao de la
aspereza, el errorexperimental, el ajuste de la curva para los
datos, etc.) y, por consiguiente, losresultados obtenidos no deben
tratarse como exactos. Suele considerarse queson exactos hasta 15%
sobre el intervalo completo de la figura.
La ecuacin de Colebrook es implcita en f y, por lo tanto, la
determinacindel factor de friccin requiere alguna iteracin, a menos
que se use un pro-grama para resolver ecuaciones, como EES. En
l983, S. E. Haaland dio unarelacin explcita aproximada como
1.8 log (8-75)
Los resultados obtenidos a partir de esta relacin se encuentran
a menos de 2%de diferencia de los obtenidos con la ecuacin de
Colebrook. Si se desean re-sultados ms exactos, se puede usar la
ecuacin 8-75 como una buena primeraconjetura en una iteracin de
Newton cuando se usa una calculadora progra-mable o una hoja de
clculo a fin de resolver para f con la ecuacin 8-74.
En el flujo turbulento la aspereza de la pared incrementa el
coeficiente detransferencia de calor h en un factor de 2 o ms
[Dipprey y Sabersky (1963)].Se puede calcular aproximadamente el
coeficiente de transferencia de calorpor conveccin para los tubos
speros con base en las relaciones del nmerode Nusselt, como la
ecuacin 8-71, mediante el factor de friccin determina-do a partir
del diagrama de Moody o la ecuacin de Colebrook. Sin embargo,este
procedimiento no es muy exacto, ya que no se tiene un aumento
adicio-nal en h con f para f 4fliso [Norris (1970)] y deben usarse
las correlacionesdesarrolladas especficamente para los tubos speros
cuando se desea una ma-yor exactitud.
Desarrollo del flujo turbulento en la regin de entradaLas
longitudes de entrada para el flujo turbulento son tpicamente
cortas, amenudo slo de 10 dimetros de tubo de largo y, por tanto,
se puede usar demanera aproximada el nmero de Nusselt determinado
para el flujo turbulen-to completamente desarrollado para todo el
tubo. Este simple procedimientoproporciona resultados razonables
para la cada de presin y la transferenciade calor, en el caso de
tubos largos, y resultados conservadores para los tuboscortos. Para
obtener una mayor exactitud, en la literatura se dispone de
corre-laciones para los coeficientes de friccin y de transferencia
de calor para lasregiones de entrada.
Flujo turbulento en tubos no circularesLos perfiles de
velocidades y de temperaturas en el flujo turbulento son casilneas
rectas en la regin central y se tienen cualesquiera gradientes
significa-tivos de velocidad y de temperatura en la subcapa viscosa
(figura 8-26). Apesar del espesor pequeo de la subcapa laminar (por
lo comn mucho menosde 1% del dimetro del tubo), las caractersticas
del flujo en esta capa son muyimportantes, ya que fijan el
escenario para el flujo en el resto del tubo. Por lotanto, las
caractersticas de la cada de presin y de la transferencia de
calordel flujo turbulento en los tubos son dominados por la subcapa
viscosa muydelgada prxima a la superficie de la pared y la forma de
la regin central notiene mucho significado. Como consecuencia,
tambin se pueden usar, con ra-zonable exactitud, las relaciones
para el flujo turbulento antes dadas para lostubos circulares en
los no circulares, al reemplazar el dimetro D en la evalua-cin del
nmero de Reynolds por el dimetro hidrulico Dh 4Ac /p.
6.9Re /D3.71.11
1f
476TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
TABLA 8-3
Valores de la aspereza equivalentepara tubos comerciales
nuevos*
Aspereza,
Material ft mm
Vidrio, plstico 0 (liso)Concreto 0.003-0.03 0.9-9Duela de
madera 0.0016 0.5Caucho
alisado 0.000033 0.01Tubera de co-
bre o latn 0.000005 0.0015Hierro
fundido 0.00085 0.26Hierro
galvanizado 0.0005 0.15Hierro forjado 0.00015 0.046Acero
inoxidable 0.000007 0.002Acero comer-
cial (liso) 0.00015 0.045
*La incertidumbre en estos valores puede ser tangrande como
60%.
u (r)r
Regin del ncleo
Subcapa viscosa
0
FIGURA 8-26En el flujo turbulento, el perfil develocidades es
casi una recta en laregin del ncleo y se tienencualesquiera
gradientes significativos develocidad en la subcapa viscosa.
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Flujo por la seccin anular entre tubos concntricosAlgunos
equipos sencillos de transferencia de calor constan de dos tubos
con-cntricos y, de manera apropiada, se les conoce como
intercambiadores de ca-lor de tubo doble (figura 8-27). En esos
aparatos, uno de los fluidos fluye porel tubo en tanto que el otro
fluye por el espacio anular. Las ecuaciones dife-renciales que
rigen los dos flujos son idnticas. Por lo tanto, se puede
estudiaranalticamente el flujo laminar estacionario por una corona
circular mediantecondiciones de frontera adecuadas.
Considere una corona circular concntrica de dimetro interior Di
y exteriorDo. El dimetro hidrulico de la corona es
Dh Do Di
El flujo en un espacio anular est asociado con dos nmeros de
Nusselt Nui sobre la superficie interior del tubo y Nuo sobre la
superficie exteriordel tubo ya que puede estar relacionado con
transferencia de calor en lasdos superficies. En la tabla 8-4, se
dan los nmeros de Nusselt para el flujo la-minar completamente
desarrollado con una superficie isotrmica y la otraadiabtica.
Cuando se conocen los nmeros de Nusselt, los coeficientes
deconveccin para las superficies interior y exterior se determinan
a partir de
Nui y Nuo (8-76)
Para el flujo turbulento completamente desarrollado, los
coeficientes deconveccin interior y exterior son aproximadamente
iguales entre s y la coro-na circular del tubo se puede considerar
como un tubo no circular con un di-metro hidrulico de Dh Do Di. En
este caso, se puede determinar elnmero de Nusselt con base en una
relacin adecuada del flujo turbulento, como la ecuacin de
Gnielinski. Para mejorar la exactitud de los nmeros deNusselt
obtenidos a partir de estas relaciones para el flujo anular,
Petukhov yRoizen (1964) recomiendan multiplicarlos por los
siguientes factores de co-rreccin, cuando una de las paredes del
tubo es adiabtica y la transferencia decalor se lleva a cabo a
travs de la otra pared:
Fi 0.86 (pared exterior adiabtica) (8-77)
Fo 0.86 (pared interior adiabtica) (8-78)
Mejoramiento de la transferencia de calorLos tubos con
superficies speras tienen coeficientes de transferencia de
calormucho ms altos que aquellos con superficies lisas. Por lo
tanto, a menudo lassuperficies de los tubos se hacen
intencionalmente speras, corrugadas o conaletas con el fin de
mejorar el coeficiente de transferencia de calor por con-veccin y,
de este modo, la velocidad de la transferencia de calor por ese
me-dio (figura 8-28). La transferencia de calor en el flujo
turbulento en un tubo seha incrementado en tanto como 400% al hacer
spera la superficie, por su-puesto, tambin se incrementa el factor
de friccin y, en consecuencia, la ne-cesidad de potencia para la
bomba o el ventilador.
Tambin se puede incrementar el coeficiente de transferencia de
calor porconveccin al inducir flujo pulsante mediante generadores
de pulsos, al indu-cir remolinos mediante la introduccin de una
cinta en espiral dentro del tubo,o bien, induciendo flujos
secundarios formando un serpentn con el tubo.
DiDo0.16
DiDo0.16
ho Dhk
hi Dhk
4p(D2o D2i )/4p(Do Di)
4Acp
CAPTULO 8477
a) Superficie con aletas
b) Superficie hecha spera
Aleta
Aspereza
FIGURA 8-28Con frecuencia las superficies de los
tubos se hacen intencionalmentesperas, se corrugan o se les
colocan
aletas para mejorar la transferencia decalor por conveccin.
DoDi
FIGURA 8-27Un intercambiador de calor de tubo do-
ble consta de dos tubos concntricos.
TABLA 8-4
Nmero de Nusselt para flujo lami-nar completamente desarrollado
enuna corona circular con una superfi-cie isotrmica y la otra
adiabtica(Kays y Perkins, 1972)
Di /Do Nui Nuo
0 3.660.05 17.46 4.060.10 11.56 4.110.25 7.37 4.230.50 5.74
4.431.00 4.86 4.86
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478TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
EJEMPLO 8-4 Cada de presin en un tubo de agua
Est fluyendo agua en forma estacionaria a 60F (r 62.36 lbm/ft3 y
m 7.536 104 lbm/ft s) en un tubo horizontal de 2 in de dimetro
interno,fabricado de acero inoxidable, a razn de 0.2 ft3/s (figura
8-29). Determine lacada de presin y la potencia de bombeo requerida
para mantener el flujo entubo de 200 ft de largo.
SOLUCIN Se da el gasto volumtrico de agua que corre por un tubo
especfi-co. Deben determinarse la cada de presin y las necesidades
de potencia debombeo.Suposiciones 1 El flujo es estacionario e
incompresible. 2 Los efectos de la en-trada son despreciables y,
por tanto, el flujo est completamente desarrollado. 3 El tubo no
contiene componentes como codos, vlvulas y conectores. 4 La sec-cin
de tubera no contiene aparatos de trabajo como una bomba o una
turbina.Propiedades Se da que la densidad y la viscosidad dinmica
del agua son r 62.36 lbm/ft3 y m 7.536 104 lbm/ft s. Para el acero
inoxidable, e 0.000007 ft (tabla 8-3).Anlisis En primer lugar se
calculan la velocidad media y el nmero de Rey-nolds con el fin de
determinar el rgimen de flujo:
V 9.17 ft/s
Re 126 400
lo cual es mayor que 10 000. Por lo tanto, el flujo es
turbulento. La asperezarelativa del tubo es
/D 0.000042
El factor de friccin correspondiente a esta aspereza relativa y
el nmero deReynolds se pueden determinar con facilidad a partir del
diagrama de Moody.Para evitar el error de lectura, se determina con
base en la ecuacin de Cole-brook:
2.0 log 2.0 log
Mediante un programa para resolver ecuaciones o un esquema
iterativo se de-termina que el factor de friccin es f 0.0174.
Entonces la cada de presin yla entrada requerida de potencia
quedan
P f 0.0174
1 700 lbf/ft2 11.8 psi
Wbomba V
P (0.2 ft3/s)(1 700 lbf/ft2) 461 W
Por lo tanto, se necesita una entrada de potencia en la cantidad
de 461 W para vencer las prdidas por friccin en el tubo.Discusin
Tambin pudo determinarse el factor de friccin con facilidad a
par-tir de la relacin explcita de Haaland. Dara f 0.0172, lo cual
est suficien-temente cercano a 0.0174. Asimismo, en este caso el
factor de friccincorrespondiente a 0 es 0.0170, lo cual indica que
se puede suponer, conerror despreciable, que los tubos de acero
inoxidable son lisos.
a 1 W0.73756 lbf ft/sb
a 1 lbf32.174 lbm ft/s2
b(62.36 lbm/ft3)(9.17 ft/s)22200 ft2/12 ftLD rV2
2
0.0000423.7 2.51126 400 f 1
f
/D3.7
2.51Re f
1f
0.000007 ft2/12 ft
(62.36 lbm/ft3)(9.17 ft/s)(2/12 ft)7.536 104 lbm/ft s
rVDm
0.2 ft3/sp(2/12 ft)2/4
V#
Ac
V#
pD2/4
200 ft
2 inAgua a 0.2 ft3/s