MEC2348 Transferência de Calor II 2015 - 2 Departamento de Engenharia Mecânica Angela Ourivio Nieckele sala 163- L – ramal 1182 – e-mail: [email protected]
MEC2348
Transferência de Calor II
2015-2 Departamento de Engenharia Mecânica
Angela Ourivio Nieckelesala 163- L – ramal 1182 – e-mail: [email protected]
• Termodinâmica: estuda as interações de energia
entre um sistema e a vizinhança (calor e trabalho).
Trata de estados em equilíbrio. Não trata da natureza
da interação.
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• Fenômenos de Transporte Dinâmica dos fluidos: transporte de quantidade de
movimento
Transferência de calor: transporte de energia
Transferência de massa: transporte de massa de
espécies químicas
Observação:
1. Freqüentemente ocorrem simultaneamente
2. As equações básicas são muito semelhantes e as ferramentas
matemáticas para resolver problemas são similares, porque os
mecanismos moleculares são diretamente relacionados.
• Transferência de calor: estuda os mecanismos
de transferência de calor, e relações para o
cálculo das taxas de transferência de calor.
• Exemplos: Projetos de paredes refratárias,
calor perdido em equipamentos, trocadores
de calor, etc.
• Modos de transferência de calor:
• condução, convecção e radiação
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Modos de transferência de calor
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Condução: movimentos randômicos translacionais
(difusão) de moléculas (fluidos) ou elétrons (sólidos)
Convecção: é o processo de transferência de calor
efetuado pelo escoamento de fluidos (transferência de calor +
escoamento de fluidos)
Radiação: Todo corpo (sólido, líquido ou gás) com tempera-
tura acima do zero absoluto, emite energia (ondas eletroma-
gnéticas com velocidade da luz).
• Não é necessário um meio material para a propagação de
energia.
CONDUÇÃO
Comentários A determinação da taxa de transferência de calor e taxa de
transferência de massa na interface entre fases em um sistema
fluido é um dos grandes objetivos de um engenheiro. Em
geral, deseja-se determinar a transferência entre uma interface
sólido-fluido, onde o fluido encontra-se em movimento em
relação a superfície sólida estacionária, mas também existem
aplicações onde a interface é entre um líquido e um gás.
Se o fluido estiver em repouso, o problema torna-se ou um
simples problema de condução de calor onde existe um
gradiente de temperatura normal a interface (superfície), ou
um simples problema de difusão de massa onde existe um
gradiente de concentração de massa normal a superfície.
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Comentários
Contudo, se houver movimento de fluido, haverá transporte de
energia e massa por gradientes potenciais e pelo movimento
do fluido propriamente dito. Este complexo processo de
transporte é chamado de convecção. Este é o foco do presente
curso
O maior desafio para resolver um problema de convecção,
consiste em analisar uma situação que envolve uma
combinação da transferência de calor, transferência de massa e
reações químicas.
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7
Propriedades dos Fluidos Matéria é formada por moléculas em movimento, colidindo. As
propriedades de matérias estão relacionadas com o
comportamento molecular
Pressão (P): resultante da colisão das moléculas com as
paredes do recipiente
Densidade (r): relaciona-se com a ocupação da
matéria
Volume específico (n): relaciona-se com a
ocupação da matéria
Densidade relativa (d): razão entre a densidade
da substância e a densidade da água
(adimensional)
Pa
m
N
área
ForçaP
2
r
3m
kgm
r
n
kg
m1
m
3
O2H
dr
r
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Temperatura (T): é uma medida da energia cinética das
moléculas. Medida relativa T (oC, oF) ou absoluta T (K, R)
Igualdade de temperatura equilíbrio térmico
Viscosidade absoluta(m): razão entre a tensão cisalhante(t)
e a taxa de deformação ( )
Viscosidade cinemática (u)
tm
r
mu
Fluidos
Líquidos: força coesiva entre moléculas é forte.
Possui superfície livre
Gases: força coesiva entre moléculas é fraca.
Ocupa todo recipiente.
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Para entender o comportamento da matéria seria
necessário considerar cada molécula, conhecendo a
história de cada uma, velocidade, aceleração e modos de
iteração. Isto é inviável sem um tratamento estatístico,
devido ao elevado número de moléculas.
m/
d d*
Molecular Continuo
Na maioria das aplicações da engenharia, desejamos estudar
uma quantidade de volume de fluido contendo um grande
número de moléculas hipótese do contínuo: admite-se que os
fluidos são meios contínuos, esquecendo-se da sua estrutura
molecular.
Para demonstrar o conceito do contínuo, considere a
propriedade densidade:
ex: densidade: r(x,y,z,t) = lim m/
dd*
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10
A hipótese do contínuo falha quando as dimensões
envolvidas forem da ordem do caminho médio livre entre
colisões moleculares:
Distância média entre colisões de moléculas do ar nas CNTP:
1, 6 x 10-5 cm
ex. arraste em satélites. A Teoria cinética dos gases trata desta área.
zyx ezeyexr
r
zr ezerr
)(r
),(r rerr
Não importa qual a partícula que está no ponto
em um determinado instante de tempo, mas sim
em que condições a partícula que passar pelo
ponto naquele instante possui.
Conceito do contínuo está associado com o conceito de
campo, i.e., todas as grandezas são definidas no espaço e
no tempo: Ex: V(r,t); P(r,t); etc.
O vetor posição r pode ser escrito em diferentes sistemas de
coordenadas:
Cartesiano:
Cilíndrico:
Esférico:
10
11
Método Lagrangeano versus Euleriano
Método Lagrangiano: As equações de conservação
são aplicadas a um sistema arbitrário, o qual pode ser
infinitesimal ou finito.
A variável física é descrita para um determinada partícula
A variável independente é um “rótulo” da partícula, como por
exemplo, a coordenada da partícula em um determinado
instante de tempo: é a posição da partícula P em t = 0
Esta função descreve como a função da
partícula P varia com o tempo
Ex: policial seguindo carro
Pr
),( trP
12
Método Lagrangeano versus Euleriano
Método Euleriano: As equações de conservação são
aplicadas a um volume de controle arbitrário, o qual
pode ser infinitesimal ou finito
A variável física é descrita em relação a um ponto do espaço
Para cada instante t, a partícula em é uma partícula
diferente
é a posição da partícula P em t
Esta função descreve a função na posição
da partícula P em função do tempo
Ex: controlador de tráfego
r
r
),( tr
Vamos utilizar a formulação
Euleriana, juntamente com o
conceito de campo, i.e., todas
as propriedades são definidas
em função de sua localização
no espaço e no tempo
Derivada total de uma grandeza (pressão, temperatura,
velocidade, etc) descreve como a grandeza varia segundo o movimento
(= como varia com o tempo para uma determinada partícula
),,,( tzyx Descrição Euleriana
wvu
particula td
zd
ztd
dy
ytd
dx
xtd
dt
ttd
d
)(.)(
convectivavariaçãopartículadamovaodevidotempoocomvariaçãodetaxa
fixaposiçãotempoocomvariaçãodetaxa
wz
vy
uxttD
D
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ii
xe
xe
xe
xe
33
22
11grad
14
Vetor Velocidade:
Produto escalar entre vetores:
Operador gradiente:
iii
iizyx eueueueueueweveuV
332211
iiijjijijijjii BABAeeBAeBeABA
Operador Divergente:
i
iij
i
jji
i
jjj
ii
x
A
x
Aee
x
AAe
xeAA
div
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15
Deseja-se medir variação da pressão com o tempo, em três situações diferentes:
1 - Estação Metereológica p=p(t) dp
dt
p
t
2 - Avião com velocidade V u i v j w ka a a a
dp
dt
p
t
dt
dt
p
x
dx
dt
p
y
dy
dt
p
z
dz
dt
p
t
p
xu
p
yv
p
zwa a a
3 - Balão sem propulsão, se deslocando com a velocidade do ar, do fluido,
com velocidade V u i v j w k
dp
dt
p
t
dt
dt
p
x
dx
dt
p
y
dy
dt
p
z
dz
dt
p
t
p
xu
p
yv
p
zw
p
tV p
D p
D t
Va
ii
xu
ttD
DouV
ttD
D
Derivada Material
16
VVat
V
tD
VD
z
v
y
v
x
v
t
v
t
v
tD
vDy wvuvVa
z
w
y
w
xw
t
w
t
w
tD
wDz wvuwVa
Aceleração:
aceleração aceleração
local temporal convectiva
i
kki
i
kkikt
ukk
kkj
ijikt
ukk
jjiit
eu
t
V
tD
VD
x
euu
x
ueueea
eux
ueeux
eeuVVa
k
kkk
)()(
kajaiaakwjviuV zyx
,Em coordenadas cartesianas:
z
u
y
u
x
u
t
u
t
u
tD
uDx wvuuVa
y ej
ej ei
ei
x
17
Em coordenadas cilíndricas:
zzrr
zzrr
eaeaeaa
eueueuV
,
r
uuuuuVa
z
uzr
u
r
urt
urt
u
tD
uDr
rrrrrr
2
r
uuuuuuVa r
z
uzr
u
r
urt
u
t
u
tD
uD
z
uzr
u
r
urt
uzt
u
tD
uDz
zzzzzz uuuuVa
VVat
V
tD
VD
Aceleração:
i
kki
i
kkikt
ukk
x
euu
x
ueueea k
y er
e e er
r
x
18
Tipos de Campos:
Campo escalar:
massa específica: r(r ,t); temperatura: T(r ,t); pressão p(r ,t)
Campo vetorial:
velocidade: V(r ,t); aceleração: a(r ,t); força F(r ,t)
Campo Tensorial:
tensão: s(r ,t); gradiente de velocidade: V(r ,t);
taxa de deformação D(r ,t)
Fluidos em Movimento
O escoamento dos fluidos é determinado a partir do
conhecimento da velocidade em cada ponto do
escoamento, isto é, a partir do campo das diversas
grandezas relevantes.
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Equações Governantes
da Mecânica
massa
quantidade movimento linear (2ª. Lei de Newton)
quantidade de movimento angular
energia (1ª. Lei da termodinâmica)
massa de espécies químicas
entropia
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Equações constitutivas: Difusão de calor: lei de Fourier,
Difusão de massa: lei de Fick
Difusão de quantidade de movimento: lei da
viscosidade de Newton,
Transferência de calor por convecção: lei de
Newton,
Transferência de calor por radiação: lei de Stefan-
Boltzman
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Modos de transferência de calor
21Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio
Condução: • Modo de transferência de calor em sólidos ou fluidos
em repouso
Tq gradΚ
Lei de Fourier: fornece a taxa de transferência de calor por
condução
T1
T2
q”x
L
xArea A
x
TAkq
Aq
x
Tq
x
x
x
A
qq x
x
T1 > T2 calor irá de T1 T2
qx = taxa de calor que cruza a área A (Watt ou Btu/h)
k = condutividade
térmica [W /(K m)]
fluxo de calor
(W/m2)
Lei de Fourier
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Condução:
• Lei de Fourier:
• K= tensor condutividade térmica
TTq ΚΚ grad
kqjqiqq zyx
k
z
Tj
y
Ti
x
TT
z
Tk
y
Tk
x
Tkq xzxyxxx
z
Tk
y
Tk
x
Tkq zzzyzxz
z
Tk
y
Tk
x
Tkq yzyyyxy
devido a simetria: kxy = kyx ; kxz = kzx ; kyz = kzy
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Condução:
• Lei de Fourier:
K= tensor condutividade térmica
TTq ΚΚ grad
o K é uma propriedade do material e depende de:
temperatura, T
densidade (gases, material sinterizado)
direção (materiais anisotrópicos).
o Para materiais isotrópicos: kxy = kxz = kyz = 0
em geral kxx = kyy = kzz=k
x
Tkqx
y
Tkqy
z
Tkqz
Tkq
Forma geral da Lei de Fourier isotrópica
Modos de transferência de calor
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Convecção
• é o processo de transferência de
calor efetuado pelo escoamento de
fluidos (transferência de calor +
escoamento de fluidos)
25
• É composto por dois mecanismos:
• Difusão (movimento molecular aleatório)
• Advecção: (energia transferida devido ao
movimento macroscópico de mistura do fluido)
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Convecção
sA
)( TTAhq ss
0
yfluido
kcy
Tkqq
Lei de Newton: taxa de calor que cruza a superfície:
h = coeficiente de transferência de calor ou coeficiente
de filme de transferência de calor
fluxo de calor em y = 0, u = 0
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Classificação da convecção
• Convecção forçada: movimento do fluido é causado por
agentes externos (bombas, ventiladores, movimento de
um veículo, etc.)
• Convecção natural: movimento do fluido ocorre devido a
campos externos como o gravitacional (forças de empuxo),
agindo no gradiente de densidade induzido pelo próprio
processo de transporte (de massa ou energia).
• Convecção mista: natural + forçada
• Evaporação/Condensação: casos especiais de
convecção, onde a energia é transferida na forma de calor
latente.
Lei de Newton de resfriamento: fornece a taxa de transferência de calor por convecção
q"= h(Ts -T¥)h - coeficiente de troca de calor por convecção (W/m2K)
Ts - temperatura da superfície
T - temperatura do fluido
Exemplo:
Em convecção natural, har 10 W/m2K e hágua 100 W/m2K
q”água > q”ar (i.e., para um mesmo intervalo de tempo,
um corpo na água perde mais calor do que um no ar)
Tar=20 0C
Tágua=20 0C
27
Convecção
Ordem de grandeza de h (W/m2K):
Convecção natural: gases - 2 a 25
líquidos - 50 a 1000
Convecção forçada: gases - 25 a 250
líquidos - 50 a 20000
Convecção com mudança de fase: 2500 a 100000
Modos de transferência de calorRadiação• Todo corpo (sólido, líquido ou gás) com temperatura
acima do zero absoluto, emite energia (ondas
eletromagnéticas com velocidade da luz).
• Não é necessário um meio material para a propagação de
energia.
Lei de Steffan-Boltzman: Fluxo máximo de
radiação que pode ser emitida por uma superfície
corpo negro: 4" sTq s
s=5,67×10-8 W/(m2K4) → constante de Stefan Boltzmann
T em temperatura absoluta
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Radiação
Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio
inc
abs
inc
trans
inc
ref
abstransrefinc
q
q
q
q
q
q
qqqq
"
"
"
"
"
"1
""""
Radiação incidente:
• a → absortividade, 0≤ a≤1 (fração da energia absorvida)
• r → refletividade, 0≤ r≤1 (fração da energia refletida)
• t → transmissividade, 0≤ t≤1 (fração da energia transmitida)
→Conservação de energia: art1
Radiação
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Emissão de corpo real:
corpo cinza: ea(Lei de Kirchhoff)
e → emissividade, 0≤ e≤1
4" sTq se
– Aplicações: espaçonaves, câmaras de combustão; coletor solar
)( 42
4112212 TTAq s
12 = fator de forma ou fator de configuração, depende:
- propriedades
- geometria (como as superfícies se enxergam)
troca de calor entre duas superfícies
Difusão de Massa
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Lei de Fick:
w1 (x) > w1 (x+dx)
Por exemplo: hidrogênio se difunde através de uma
camada estagnada de oxigênio
rr1 r2 = massa específica total
D12 = difusividade de massa da espécie 1 na espécie 2
fluxo de difusivo de
massa [kg/(sm2)]
Fração em massa da espécie 1
A
Mm x
x1
1
xADM x
1
121w
r
xM1 taxa de difusão da espécie 1 que cruza a área A
(kg/s)
Lei de Fick: Modo de transferência de massa difusivo
r
rw 1
1
Lei de Fick para difusão binária: 112 wr Dm
32
Difusão de calor e massa para fluidos
binários:
• Para um fluido puro em regime permanente, as taxas na qual
calor e massa se difundem em relação a velocidade média
baseada na massa podem ser determinados com precisão como
sendo proporcionais aos gradientes de temperatura e de fração
em massa, respectivamente.
• Se os gradientes forem muito grandes, as relações lineares
perdem precisão. Da mesma forma, se o fluido está sujeito
simultaneamente a difusão tanto de calor como de massa, os dois
fluxos influenciam um ou outro, de tal forma que podem ser
previstos por uma combinação linear dos forçamentos dados
pelos gradientes de temperatura e fração em massa. Esta
interdependência é devido ao movimento das partículas que
transferem massa, mas também transferem energia e vice-versa.
Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio
33
• Expressões gerais para um fluido com multi-componentes são
muito complexas, mas para o caso de um fluido binários, os
fluxos difusivos de calor e massa podem ser dados por
(
Dufourefeitodifusãotermoivainterdifus
convecçãoFourier
decondução
mMM
MTRmHHTkq
1
21
2
121a
• onde H1 e H2 são as entalpias específicas de cada espécies, M1, M2 são as
massas moleculares de cada espécie e M é a massa molecular da mistura. R é a
constante do gás e a é o fator de difusão térmica.
• O termo de convecção interdifusiva é normalmente desprezível. Indica que a
transferência de massa difusiva induz a um fluxo de energia, mesmo quando o
fluxo líquido difusivo é nulo, mas as partículas de massa das diferentes espécies
carregam quantidades diferentes de energia a mesma temperatura.
• O termo de difusão chamado efeito de Dufour (descoberto por Dufour em 1873)
indica que o fluxo de massa difusiva induz a um fluxo de energia e depende do
fator de difusão térmica a. Este termo, também é normalmente desprezado,
porém pode ser importante quando, por exemplo, hélio é soprado através de
uma superfície porosa em uma corrente de gás quente, com o objetivo de
proteger a superfície do gás quente.Prof. Angela Nieckele, PUC-Rio
34
onde p é a pressão e e são forças de corpo
(
Soretdeefeitotérmicadifusão
corpodeforçadedifusão
pressãodedifusãoFick
dedifusão
TT
DBB
TR
DMMp
p
DMMDm
awwrwwwwr 1221
2112212111221
1121
1B 2B
• O termo de difusão de pressão indica que o movimento líquido da espécie 1
pode ocorrer se um gradiente de pressão é imposto. Apesar de ser normalmente
desprezado, pode ser importante em escoamentos com rotação (swirl) onde
altíssimos gradientes de pressão podem ser encontrados, como é o caso de
centrífugas
• O termo de difusão de força de corpo é diferente de zero somente quando forças
de corpo diferentes atuam nos dois componentes. Isso pode ocorrer na
tecnologia de plasma, onde o fluido interage com forças elétricas e magnéticas e
em sistemas ionizados. Se o campo gravitacional for o único responsável pelas
forças de corpo, então o termo de difusão de força de corpo desaparece.
• O termo de difusão térmica, chamado de efeito Soret, descreve a tendência de
uma espécie de massa difundir na presença de um imposto gradiente de
temperatura, e é desprezível a menos que o gradiente encontrado seja muito
grande. Este efeito tem sido utilizado na separação de isótopos na coluna de
Clusius-Dickel, a qual combina convecção para alcançar a separação.
Fluxo de massa
35
Lei de Newton de viscosidade
O tensor extra é proporcional a taxa de deformação do
elemento de fluido (deformação linear, angular e taxa de
compressão ou expansão):
y
uAFF syxext
m
y
u
A
Fyxyx
mt
fluido NewtonianoForça
Tensão
m = viscosidade absoluta ou
viscosidade dinâmica,
propriedade do fluido
Lei de Newton:
36
Vetor tensão
A dependência de tn em n pode ser obtida através de um
balanço de forças em um tetraedro com a altura h 0.
Da 3ª. Lei de Newton
então
00 )e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxn dAdAdAdAF
O vetor tensão tn é a força de contato por
unidade de área que um material dentro
de (t) faz no material fora de (t).
Hipótese de Cauchy: tn = tn (n)
nt
zzyyxx tt;tt;tt
σnetetetn)e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxzzyyxxn
ex
ey
ez
37
Tensor tensão
Então substituindo as tensões nos planos perpendiculares
as direções x, y e z, tem-se
sé o tensor tensão:
Note que:
zzyyxx etetetσ
]t[ee]t[ee]t[eet
]t[ee]t[ee]t[eet
]t[ee]t[ee]t[eet
zzzzyyzxxz
yzzyyyyxxy
xzzxyyxxxx
]t[eee]t[eee]t[eee
]t[eee]t[eee]t[eee
]t[eee]t[eee]t[eeeσ
zzzzzyyzzxxz
yzzyyyyyyxxy
xzzxxyyxxxxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
tetete
tetete
tetete
σ
tzt-x
t-z
ty
tx
t-y ey
ez
ex
ez tz
ey
ex
A matriz s
38
Tensor tensão
Substituindo as tensões nos planos perpendiculares as
direções x, y e z, tem-se
Definindo
o tensor tensão sé :
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
sss
sss
sss
σ
etc;te;te;te xzxzxyxyxxxx sss
1º subscrito indica a superfície
do cubo na qual a tensão atua,
enquanto que o 2º índice
indica a direção da tensão
xxs
yxs
yys
y
x
z
yzs
zzs
xzs
xys
zxs
zys
39
Fluido em repouso:
I é a matriz identidade,
que também pode ser
representada pelo
operador
delta de kronecker
Compressão isotrópica:
Iσ PP
P
P
P
100
010
001
00
00
00
Pxx sPxx s
Pzz s
Pyy s
Pyy sPzz s
y
x
z
jise
jiseij
0
1
40
Fluido em movimento:
Surge uma tensão adicional: s PI t,onde té o tensor extra-
tensão (tensão de tensões viscosas)
xxxx P ts
yxyx ts
yyyy P ts y
x
z
yzyz ts
zzzz P ts
xzxz ts
xyxy ts
zxzx ts
zyzy ts
zzzyzx
zyyyyx
xzxyxx
ttt
ttt
ttt
τ
41
Taxa de deformação angular:
yxyx
tyx
yx
Dy
u
x
v
t
y
tdu
x
tdv
20
aa
lim
tantan
Taxa de deformação linear:
xxxx
txx
xx
Dx
u
t
x
tdu
0lim
=dv t
=(v/x)xt
=du t
=(u/y)yt
v (x)
u (y)
u (x)
u (y)=dv t =(v/y)yt
=du t
=(u/x)xt
v (y)
Taxa de deformação volumétrica:
Vz
w
y
v
x
uzzyyxx
42
Taxa de Deformação: D
z
w
y
w
z
v
x
w
z
u
z
v
y
w
y
v
x
v
y
u
z
u
x
w
y
u
x
v
x
u
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
D
Diagonal: taxa de deformação linear do elemento de fluido
Fora da diagonal: taxa de deformação angular do elemento de fluido
43
Gradiente de Velocidade: vEm coordenadas cartesianas:
dr = ex dx + ey dy + ez dz e v = ex u + ey v + ez w
IV3
2VV T
div])grad(grad[
(
z
w
z
v
z
u
y
w
y
v
y
u
x
w
x
v
x
u
wvu
z
y
x
VV
grad
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
V T)(grad
;
100
010
001
I ij
d v = d r • v
44
Taxa de Deformação: D
evorticidaddeformação
detaxa
2
1
2
1
TT VVVVV )()(
TVV )(2
1D
z
w
y
w
z
v
x
w
z
u
z
v
y
w
y
v
x
v
y
u
z
u
x
w
y
u
x
v
x
u
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
D
45
Taxa de rotação:
( (
zyxyx
tyx
yx
Wx
v
y
u
t
y
tdu
x
tdv
w
aa
2
1
2
1
2
1
0lim
tantan
=du t=(u/y)yt
v (x)
u (y)
=-dv t
=-(v/x)xt
46
Vorticidade: W
Vorticidade
evorticidaddeformação
detaxa
2
1
2
1
TT VVVVV )()(
TVV )(W
2
1
0
0
0
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
xy
xz
yz
y
w
z
v
x
w
z
u
z
v
y
w
x
v
y
u
z
u
x
w
y
u
x
v
ww
ww
ww
W
wx, wy e wz são taxas de rotação médias (velocidades angulares)
w = ex wx+ ey wy+ ez wz vetor vorticidade
47
Lei de Newton de viscosidade
O tensor extra é proporcional a taxa de deformação do
elemento de fluido (deformação linear, angular e taxa de
compressão ou expansão):
onde
Viscosidade:
m : primeiro coeficiente de viscosidade molecular, viscosidade
absoluta ou viscosidade dinâmica
l – 2/3 m : segundo coeficiente de viscosidade
l 0: para escoamento de fluido incompressível
: viscosidade global
em geral 0para escoamentos compressíveis, com
exceção de escoamento com ondas de choque e explosões
IDτ V
mm
3
22
TVV )(D
2
1
Lei de Newton em coordenadas cilíndricas
48
V3
2
r
u2
r
u
r
u
r
u rrr
rrr
m
mt
mtt
,
V3
2
r
u
r
u2
r
u
z
u rzrzrrz
m
mt
mtt
,
V3
2
z
u2
r
u
z
u zzz
zzz
m
mt
mtt
,
notação indicial
ijk
k
i
j
j
iij
x
u
3
2
x
u
x
ummt
Fenômenos de Transporte
49
Lei de Fourier: x
Tkqx
( x
h
x
Tcp
cp
k
ra
r
r
Lei de Fick: ( x
Dx
DM x
1
121
121wrw
r
Lei de Newton de viscosidade:( (
y
u
y
u
y
u
ru
r
r
mmt
akrcp = difusividade térmica, u = mr= viscosidade cinemática
Razão entre difusividades:
No. de Prandtl térmicadedifusivida
movimentodequantidadedededifusivida
a
uPr
No. de Schmidt 2112 espécienaespéciedadedifusivida
movimentodequantidadedededifusivida
D
uSc
No. de Lewis térmicadedifusivida
espécienaespéciedadedifusividaD 2112 a
Le Le = Pr/Sc
50
Regime permanente:
V = V(r ); isto é ( ) / t = 0
Regime transiente:
V=V(r ,t) Caso geral: ( ) / t ≠ 0
Tipos de Escoamento
Escoamento uniforme: a velocidade é a
mesma em qualquer ponto do escoamento
Escoamento não uniforme: a velocidade
varia de ponto para ponto do escoamento
Dimensão
Uni-dimensional: v depende somente de uma
coordenada espacial
Bi-dimensional: v depende somente de duas
coordenadas espaciais
Tri-dimensional: v depende das três coordenadas
espaciais, caso geral.
52
Fluido perfeito, sem viscosidade:
t ≈ 0 ( )
Fluido viscoso : t≠ 0
0
Caracterização dos Fluidos quanto ao seu
comportamento sob esforços normais compressivos:
Compressíveis: quando há variação apreciável de volumes
devido à compressão. Gases em geral se comportam
assim. r ≠ constante (M>0,3), onde M= V/c é o número de
Mach; c = velocidade do som
Incompressíveis: quando a variação do volume é pequena
para grandes compressões. A maioria dos líquidos se
comporta desta forma. r≈ constante
53
Regime de Escoamento:
Escoamento laminar: movimento regular
Escoamento Turbulento: aparecem turbilhões no
escoamento, causando um movimento de mistura.
O turbilhamento provoca um regime não
permanente. Porém o tempo característico de
flutuação turbulenta < < escala de tempo que define
o regime permanente ou transiente
•Se o escoamento é laminar,
eventuais perturbações serão
amortecidas e desaparecerão
(Fig. a). Durante a transição,
picos esporádicos de turbulência
surgirão (Fig. b). Durante o
regime turbulento, o escoamento
flutuará continuamente (Fig. c).
54
Experiência de ReynoldsLaminar:
filamento de
corante não
se mistura
Turbulento: o
corante mistura
rapidamente
O escoamento turbulento
ocorre a altas velocidades. A
transição é caracterizada pelo
no. de Reynolds
m
r DVRe
Reynolds altos esc. turbulento
Reynolds baixo esc. laminar