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Lei de Fourier Equação do Calor Resistências Térmicas Paredes Planas Paredes Cilíndricas

Transferência de CalorCondução em Paredes Planas e Cilíndricas

Prof. Rodolfo RodriguesUniversidade Federal do Pampa

BA000200 – Fenômenos de TransporteCampus Bagé

15 de maio de 2017

Rodolfo Rodrigues Fenômenos de Transporte

Transferência de Calor: Condução 1 / 28


Condução: Lei de Fourier

A condução é o transporte de energia em um meio devido aum ∆T e o mecanismo físico é a atividade atômica/molecularaleatória;

A equação da taxa de condução é a lei de Fourier;

Esta lei é fenomenológica, isto é, é desenvolvida a partir defenômenos observados ao invés de princípios fundamentais;

Da observação chegou-se a:

qx ∝ A∆T∆x

(1)





Figura 1: Experimento de condução térmica em regime permanente.Fonte: Incropera et al. (2008).





A lei de Fourier, para uma direção x, é dada por:

q′′x =qx

A= −k

dTdx

(2)

O fluxo térmico, q′′x , é uma grandeza vetorial que é normal àárea da seção transversal A ;

Sua direção será sempre normal a uma superfícieisotérmica;

Uma forma geral da equação da taxa da condução (lei deFourier) é:

qqq′′ = −k∇∇∇T = −k(iii∂T∂x

+ jjj∂T∂y

+ kkk∂T∂z

)(3)





Figura 2: Faixas de condutividades térmicas de vários estados da matéria atemperaturas e pressões normais.

Fonte: Incropera et al. (2008).





(a) (b)

Figura 3: A dependência com a temperatura da condutividade térmica de: (a) sólidos e(b) líquidos não metálicos saturados.






(a) (b)

Figura 4: A dependência com a temperatura da condutividade térmica de: (a) líquidosnão-metálicos saturados e (b) gases a pressões normais.






Propriedades Termofísicas

São de 2 categorias:Propriedades de transporte: viscosidade cinemática, µ,(transporte de momento) e condutividade térmica, k , (transportede calor); ePropriedades termodinâmicas: massa específica, ρ, e calorespecífico, cp .

Outras propriedades relevantes:Capacidade térmica volumétrica, ρcp (J/(m3.K)), mede acapacidade de um material armazenar energia térmica;Difusividade térmica, α (m2/s):

α =kρcp

(4)

que mede a capacidade de um material de conduzir energiatérmica em relação à sua capacidade de armazená-la.




Condução: Equação do Calor

Ao se aplicar a lei de conservação de energia em umvolume de controle diferencial chega-se a equação dadifusão térmica ou equação do calor;

A equação do calor permite determinar a distribuição detemperaturas em um meio a das condições impostas emsuas fronteiras;

Sua forma geral, em coordenadas cartesianas, é:

∂

∂x

(k∂T∂x

)+

∂

∂y

(k∂T∂y

)+

∂

∂z

(k∂T∂z

)+ q̇ = ρcp

∂T∂t

(5)

onde q̇ é a taxa de geração de energia por volume (W/m3).





Figura 5: Volume de controle diferencial, dx dy dz, para a análise da condução emcoordenadas cartesianas (x, y, z).






Sua forma geral, em coordenadas cilíndricas, é:

1r∂

∂r

(kr∂T∂r

)+

1r2

∂

∂φ

(k∂T∂φ

)+

∂

∂z

(k∂T∂z

)+ q̇ = ρcp

∂T∂t

(6)

Figura 6: Volume de controle diferencial, dr · rdφ · dz, para a análise da condução emcoordenadas cilíndricas (r , φ, z).






Simplificações: Coordenadas Cartesianas

Condutividade térmica, k , constante:

∂2T∂x2

+∂2T∂y2

+∂2T∂z2

+q̇k

=1α

∂T∂t

(7)

Regime permanente:

∂

∂x

(k∂T∂x

)+

∂

∂y

(k∂T∂y

)+

∂

∂z

(k∂T∂z

)+ q̇ = 0 (8)

Regime permanente, unidimensional e sem geração deenergia:

ddx

(k

dTdx

)= 0 (9)





Condições de Contorno e Inicial

Determinar a distribuição de temperaturas em um meiodepende de resolver a equação do calor a partir decondições existentes nas fronteiras e em um algum instanteinicial;

A equação do calor é de 2a ordem em relação ao espaço ede 1a ordem em relação ao tempo;

Assim, necessita de 2 condições de contorno (C.C.) e 1condição inicial (C.I.);





Tabela 1: Condições de contorno para a equação do calor na superfície (x = 0).






Tabela 2: Condições de contorno para a equação do calor na superfície (x = 0)(continuação).





Condução: Resistências Térmicas

Para o caso particular da transferência de calorunidimensional sem geração interna de energia epropriedades constantes é aplicável o conceito deresistência térmica, Rt :

• Resistência térmica para a condução: Rt ,cond

• Resistência térmica para a convecção: Rt ,conv

• Resistência térmica para a radiação: Rt ,rad




Condução: Resistências Térmicas

Assim, a equação da taxa de calor pode ser escrita como:

q =∆TRtot

(10)

onde Rtot é a resistência térmica total.

A resistência térmica total é calculada para:• Resistências térmicas em série:

Rtot =∑

Rt (11)

• Resistências térmicas em paralelo:

Rtot =1∑

(1/Rt )(12)




Condução: Paredes Planas

Distribuição de Temperaturas

Para condução unidimensional em regime permanente em umaparede plana sem geração de calor:

ddx

(k

dTdx

)= 0 (13)

Supondo k constante e integrando 2x, a solução geral é:

T(x) = C1x + C2 (14)

Para C.C.: T(0) = Ts,1 e T(L) = Ts,2, tem-se finalmente:

T(x) =Ts,2 − Ts,1

Lx + Ts,1 (15)

Disto tem-se que T varia linearmente com x.





Para paredes planas, as resistências térmicas, Rt , sãodefinidas como:

• Resistência térmica para a condução:

Rt ,cond =L

kA(16)

• Resistência térmica para a convecção:

Rt ,conv =1

hA(17)

• Resistência térmica para a radiação:

Rt ,rad =1

hrA(18)





Figura 7: Transferência de calor através de uma parede plana. (a) Distribuição detemperaturas. (b) Circuito térmico equivalente.






Figura 8: Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série.Fonte: Incropera et al. (2008).





Figura 9: Parede composta em série-paralelo.Fonte: Incropera et al. (2008).





Figura 10: Circuitos térmicos equivalentes para a parede composta em série-paralelo dafigura anterior.





Condução: Paredes Cilíndricas

Distribuição de Temperaturas

Para condução unidimensional em regime permanente em umaparede cilíndrica sem geração de calor:

1r

ddr

(kr

dTdr

)= 0 (19)

Supondo k constante e integrando 2x, a solução geral é:

T(r) = C1 ln r + C2 (20)

Para C.C.: T(r1) = Ts,1 e T(r2) = Ts,2, tem-se finalmente:

T(r) =Ts,1 − Ts,2

ln (r1/r2)ln

(rr2

)+ Ts,2 (21)

Disto tem-se que T varia logaritmicamente com r .





Para paredes cilíndricas, as resistências térmicas, Rt , sãodefinidas como:

• Resistência térmica para a condução:

Rt ,cond =ln(r2/r1)

2πLk(22)

• Resistência térmica para a convecção:

Rt ,conv =1

2πrLh(23)

• Resistência térmica para a radiação:

Rt ,rad =1

2πrLhr(24)





Figura 11: Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies e circuito térmicoequivalente.






Figura 12: Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta e circuitotérmico equivalente.




Condução: Resumo dos Resultados

Tabela 3: Soluções unidimensionais, em regime permanente, da equação do calor semgeração.

Parede Plana Parede Cilíndrica

Equação do calord2Tdx2

= 01r

ddr

(r

dTdr

)= 0

Distribuição de temperaturas Ts,1 −∆TxL

Ts,2 + ∆Tln(r/r2)

ln(r1/r2)

Fluxo térmico (q′′) k∆TL

k∆Tr ln(r2/r1)

Taxa de calor (q) kA∆TL

2πLk∆Tln(r2/r1)

Resistência térmica (Rt ,cond)L

kAln(r2/r1)

2πLk




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