Traitement du signal Chapitre 1- Signaux discrets
Traitement du signalChapitre 1- Signaux discrets
Vahid MeghdadiELT2
2012-2013
Rappel sur les signaux temps continus
Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus
∫−
∞→=
2/
2/
2)(
1lim
T
T
aT
x dttxT
PLa puissance pour un signal illimité dans le temps:
Pour un signal limité dans le temps on définit l’énergie: ∫
−
=2
1
2)(
t
t
ax dttxE
Puissance instantanée: 2
)()( txtP a=
Energie dans (a,b) ∫=b
a
ba dttpE )(),(
Transformée de Fourier
Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus
2( ) ( ) j ftX f x t e dtπ∞
−
−∞
= ∫ ∫∞
∞−
= dfefXtx ftj π2)()(
Propriétés:
020) ( ) j ftx(t - t X f e π−ℑ =Délai temporel
Linéarité )()()()( fbXfaXtbytax +=+ℑ
est réel )()( * fXfX =
)(Im)(Im
)(Re)(Re
)()(
)()(
fXfX
fXfX
fXfX
fXfX
−−=−=−−=
−=≺≺
Transformée de Fourier
Propriétés (suite)
)().()(*)( fYfXtytx ⇒
0 0 02 ( ) 20* ( ) ( )j f t j H f j f te h t H f e eπ π⇒ ≺
Convolution
Fonction de transfert
Exponentiel est une fonction propre d’un système linéaire. C’est la raison pour laquelle, il est important d’écrire un signal quelconque en fonction d’une somme des exponentiels.
)(*)()().( fYfXtytx ⇒Produit
Limité en temps Illimité en fréquenceLimité en fréquence Illimité en temps
Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus
Echantillonnage
Chapitre 1: Signaux discrets 1-2- Echantillonnage
Peigne de dirac.
∑∞
−∞=
−=n
T nTtt )()( δδ
∑∞
−∞=
−=ℑk
T T
kf
Tt )(
1)( δδ
)()()( ttxtx TT δ=
Echantillonnage
Chapitre 1: Signaux discrets 1-2- Echantillonnage
∑∑∑ −=−=−=ℑ∞
−∞= kee
kkT kffXfTkfX
TT
kf
TfXtx )()/(
1)(
1*)()( δ
Chevauchement du spectre (aliasing). Pour l’éviter il faut respecter le critère de Shannon : La fréquence d’échantillonnage ≥ le double de la largeur de bande du signal.
Signaux discrets
est une séquence que l’on peut stocker dans la mémoire ou dans un fichier.
La notion de temps disparaît donc ! il faut garder la fréquence d’échantillonnage en tête !
Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets
Définitions
Un signal temps discret est limité dans le temps si :
1 2 2 1, ( ) 0N et N N x n pour n N ou n N∃ ∈ = > <
2( ) ( )P n x n=
Un signal temps discret est illimité dans le temps si ce N1 ou N2 n’existe pas.
Puissance instantané :
Puissance moyenne d’un signal illimité dans le temps
Energie
21lim ( )
2 1
N
Nn N
P x nN→∞ =−
=+ ∑
2lim ( )
N
Nn N
E x n→∞ =−
= ∑
Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets
Exemples de fonctions
1 0( )
0 0
nn
nδ
== ≠
∑∞
=
−=−−=0
)()()1()()(m
mnnununun δδ
Delta
1
n
Echelon1 0
( )0 0
nu n
n
≥= <
1
n
Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets
Exponentiel 1
n
( ) ( )nx n u nα=
Propriétés
)()()()( mnmxmnnx −=− δδ1-
2- ∑∞
−∞=
−=m
mnmxnx )()()( δ
Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets
Système discret
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
T( . )x(n) y(n)
)()( nxTny =
Exemple: Délai )()( 0nnxny −=
Exemple: Accumulateur ∑∑∞
=−∞=
−==0
)()()(m
n
m
mnxmxny
Remarque : si x(n)=δ(n), alors y(n)=u(n).
Système sans mémoire
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
La sortie à l’instant n est une fonction de l’entrée uniquement à l’instant n.
Exemple:
y(n)=2x(n)y(n)=x2(n)+2x(n)
Contre exemple:
y(n)=x(n-1)
Système linéaire
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
TLIN( . )x(n) y(n)
)()()()()( 2121 nxbTnxaTnbxnaxTny +=+=Exemple:
y(n) = 4 x(n)y(n) = x(n-1) -2x(n) + x(n+1)
Contre exemple:
y(n) = 4x(n) + 1y(n) = x2(n)
Système causal
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
L’entrée à l’instant n0 n’influence pas la sortie aux instants n<n0.
C’est-à-dire que le système ne peut pas anticiper.
Exemple d’un dérivateur causal : 1
Exemple d’un dérivateur non causal : ! 1
Système stable
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
Un système est stable si n’importe quelle entrée bornée donne une sortie bornée.
Exemple: Accumulateur n’est pas un système stable.
∑∞
=
−=0
)()(m
mnxny
Par exemple si " la sortie tend vers l’infinie quand tend vers l’infinie.
Système linéaire et invariant dans le temps
Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps
LITx(n) y(n) )()( nxTny =
Si l’entrée est un delta Dirac # , la sortie, par convention, s’appelle $.
∑∞
−∞=
−=k
knkxnx )()()( δ
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=
−=
kk
knTkxknkxTny )()()()()( δδ
On a utilisé la linéarité, et maintenant l’invariance dans le temps.
∑∞
−∞=
−=k
knhkxny )()()( )()()( nhnxny ∗=Définition de convolution
Propriétés des systèmes LIT
Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps
Commutativité:
∑∑∞
=
∞
=
−=−
∗=∗=
00
)()()()(
)()()()()(
kk
knxkhknhkx
nxnhnhnxny
Connexion parallèle
[ ] )()()()()()()( 2121 nhnxnhnxnhnhnx ∗+∗=+∗
Propriétés des systèmes LIT
Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps
- Connexion série
( ))(*)(*)()(*)(*)()(*)(*)( 211121211 nhnhnxnhnhnxnhnhnx ==
- Stabilité:Un système LIT est stable si et seulement si ∞<∑
∞
−∞=k
kh2
)(
- CausalitéUn système LIT et causal si et seulement si h(n)=0 pour n<0
Système défini par un équation aux différences
Chapitre 1: Signaux discrets 1-7- Système définie par une équation aux différences
)(...)1()()(...)1()( 101 MnxbnxbnxbNnyanany MN −++−+=−++−+
∑∑==
−−−=N
mm
M
mm mnyamnxbny
10
)()()(
Exemple: Accumulateur ∑−∞=
=n
k
kxny )()(
∑−
−∞=
=−1
)()1(n
k
kxny )()1()()()(1
nxnynxkxnyn
k
+−=+= ∑−
−∞=
)()1()( nxnyny =−−
Présentation en diagramme bloc
Accumulateur
Exemple dérivateur causal
Chapitre 1: Signaux discrets 1-7- Système définie par une équation aux différences
Traitement du signal
Chapitre 2- Transformation en Z
Vahid Meghdadi
ELT2
2012-2013
Echantillonnage
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Peigne de dirac.
n
T nTtt )()(
k
TT
kf
Tt )(
1)(
)()()( ttxtx TT
Echantillonnage
k
eae
k
a
k
aT
kffXfTkfXT
T
kf
TfXtx
)()/(1
)(1
*)()(
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Transformée de Z
Transformée de Laplace de 𝑥𝑇 𝑡 est:
t
st
n
aT dtenTtnTxsX )()()(
nTs
n
aT enTxsX
)()(
On pose 𝑧 = 𝑒𝑠𝑇 Alors:
n
nznxzX )()(Transformée en Z
d’une séquence
discrète
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
𝑋𝑇 𝑠 = 𝑋 𝑧 𝑧=𝑒𝑠𝑇 𝑋 𝑧 = 𝑋𝑇 𝑠 𝑠=1𝑇ln (𝑧)
Rappel : ln 𝑟 + 𝑗𝜃 = ln 𝑟 + 𝑗𝜃
Relation plan Z et plan S
, sT T j Tz e s j z e e
C-à-d qu’à partir de la TL de 𝑥𝑇 𝑡 , on obtient la TZ de 𝑥 𝑛 .
Remarque: la transformée de Z est en relation avec 𝑥𝑇 𝑡 et non pas
avec 𝑥𝑎 𝑡
jΩ0
∑0
jΩ
∑
Plan S Plan Z
TjTee 00
ReZ
ImZ
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
TF et TZ
Dans le domaine temps continu, en général, on a 𝑋 𝑗𝜔 = 𝑋 𝑠 𝑠=𝑗Ω.
On peut dire donc que la transformée de Fourier de 𝑥𝑇 𝑡 est la transformée
de Laplace 𝑋𝑇 𝑠 calculée sur l’axe 𝑗Ω (𝑠 = 𝑗Ω) :
jsTT sXjX )()(
La séquence 𝑥 𝑛 est obtenue à partir de 𝑥𝑇 𝑡 ou de 𝑥𝑎 𝑡 : 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇).
Sachant que 𝑋 𝑧 = 𝑥 𝑛 𝑧−𝑛∞𝑛=−∞ et que 𝑋 𝑒𝑗𝜔 = 𝑥 𝑛 𝑒−𝑗𝑛𝜔∞
𝑛=−∞ , la
transformée de Fourier de 𝑥 𝑛 peut s’obtenir par :
1ln( ) /
( ) ( ) ( ) |jj
j
Tz e s e j TT
X e X z X s
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Conclusion
•𝑋(𝑧) calculé sur le cercle unité donne 𝑋(𝑒𝑗𝜔) qui est la transformée de
Fourier (TFSD) de 𝑥(𝑛).
•La transformée de Fourier du signal temps discret 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎(𝑛𝑇) est obtenu
en remplaçant Ω par 𝜔
𝑇 dans 𝑋𝑇(jΩ).
•C’est-à-dire qu’en transformant le signal « peigné » en séquence, nous
avons exactement le même spectre (mise à part d’un facteur d’échelle)
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
𝜔 ⟺ Ω𝑇
Exemple
10
( ) ( )
1 ( ) ( )
1
n
n n n n
n n
x n a u n
X z a u n z a zaz
Convergence si azaz 11
Si a<1, la transformée de Fourier existe.
j
j
aeeX
1
1)(
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Domaine de convergence de TZ
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Le domaine de convergence est l’ensemble de points sur le plan Z où la
TZ converge. C-à-d
Exemple: Pour un delta dirac
zznnTZn
n
pour 1)()(
( ) ( ) ( )n n n
n n n
x n z x n z x n r
Alors domaine de convergence DOC est le plan Z.
Note: On ne considère que des signaux bornés de gauche
Domaine de convergence de TZ
Exemple: 𝑥 𝑛 = 𝑢(𝑛)
10 1
1)()(
zzznuzX
n
n
n
n
Domaine de convergence : 1z
Remarque
Si 1 1DOC tel que , DOCz z z z z
Remarque: Si cercle unité appartient au DOC, TF existe.
Remarque: Le DOC est toujours à l’extérieur d’un cercle (pour les
signaux bornée de gauche)
Chapitre 2: Transformation en Z 2-1- Transformée de Z
Propriétés de TZ
Chapitre 2: Transformation en Z 2-2- Propriétés de la transformée de Z
1- Linéarité
)()()()( 2121 zbXzaXnbxnax
2- Décalage dans le temps
0
0( ) ( )n
x n n z X z
Exemple:
1 2DOC x xR R
)1(4
1)(
4
1
1)(
1
nunx
z
zX
n
Propriétés de TZ
3- Multiplication par exponentiel
00 /)( zzXnxzn
Résultat:
0 0( )( )
j n je x n X e
Exemple: )()cos()( 0 nunrnx n
221
0
1
0
cos21
cos1)(
zrzr
zrzX
Chapitre 2: Transformation en Z 2-2- Propriétés de la transformée de Z
Propriétés de TZ
4- Dérivé de X(z)
dz
zdXznnx
)()(
5- convolution )().()(*)( 2121 zXzXnxnx
6- Valeur initiale: si 𝑥 𝑛 = 0 pour 𝑛 < 0 (𝑥(𝑛) est causal) alors:
)(lim)0( zXxz
Chapitre 2: Transformation en Z 2-2- Propriétés de la transformée de Z
Transformée inverse de Z
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
A part l’utilisation de la formule exacte de l’inverse de la transformée
en Z qui est souvent complexe, il existe trois autres méthodes.
1- Utilisation des tables et des propriétés.
11
1)(
aznuan avec la propriété de dérivation:
21
1
)1()(
az
aznunan
Alors donne
1
1 2
0.5( )
(1 0.5 )
zX z
z
(0.5) ( ) ( )
2
n
n
nn u n u n
2- Décomposition en éléments simples
C’est à utiliser pour des fonctions rationnelles
N
k
k
M
k
k
za
zb
zX
0
1
0
1
)(
Si 𝑀 < 𝑁 alors:
1
0 1
11 10
1
(1 )
( )1
(1 )
M
k Nk k
Nk k
k
k
c zb A
X za d z
d z
où kdzkk zXzdA
)(1 1
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
1
( ) ( ) ( )N
n
k k
k
x n A d u n
Décomposition en éléments simples
Si 𝑀 ≥ 𝑁 alors
Et pour chaque terme: 1
( ) ( )1
nkk k
k
AA d u n
d z
Alors:
1
( ) ( ) ( )N
n
k k
k
x n A d u n
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
10 1
( )1
M N Nr k
r
r k k
AX z B z
d z
Exemple
𝑋 𝑧 =1 + 2𝑧−1 + 4𝑧−2
1 + 𝑧−1
𝑋 𝑧 =4𝑧−2 + 2z−1 + 1
𝑧−1 + 1= 4𝑧−1 − 2 +
3
1 + 𝑧−1
𝑥 𝑛 = −2𝛿 𝑛 + 4𝛿 𝑛 − 1 + 3 −1 𝑛𝑢 𝑛
Décomposition en éléments simples
Exercice: 21
21
2
1
2
31
21)(
zz
zzzX
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
Solution:
)(2
198)(2)( nunnx
n
3-Développement en série
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
On développe 𝑋(𝑧) en une série de 𝑧−1 et on identifie les 𝑥(𝑛).
...)1()0()1(...)()( 101
zxzxzxznxzXn
n
Exemple:
112
1112
2
11
2
1
)1)(1)(2
11()(
zzz
zzzzzX
Développement en série
Exemple 11
1)(
azzX
En faisant une division longue on obtient :
...1)( 221 zaazzX
Ce qui donne )()( nuanx n
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
Exercice
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
Soit un système LIT avec la réponse impulsionnelle ci-dessous.
Calculer la réponse du système à un échelon (réponse indicielle).
)(3
13)( nunh
n
Solution 1: Convolution directe.
0
( ) ( )* ( ) ( ) ( )n
m k
y n u n h n h n m h k
Exercice (suite)
Solution 2: Calcul de 𝑋(𝑧) et 𝐻(𝑧), puis 𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 𝐻(𝑧), et finalement
𝑦 𝑛 = 𝑍−1𝑌 𝑧
11 3/11
4/3
1
4/9)(
zzzY
)(3
1
4
3)(
4
9)( nununy
n
Chapitre 2: Transformation en Z 2-3- Transformée inverse de Z
Traitement du signal
Chapitre 3- Système LIT rationnel
Vahid Meghdadi
ELT2
2012-2013
Fonction de transfert
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-1- Généralités
Prenons le cas d’un système définie par son équation aux différences.
ℎ(𝑛) 𝑥(𝑛) y(𝑛)
M
m
m
N
m
m mnxbmnya00
)()(
Transformée de Z de deux côtés:
)()( zYzaknyaTZ k
kk
M
m
m
m
N
m
m
m zXzbzYza00
)()( )()(
)(
0
0 zH
za
zb
zX
zYN
m
m
m
M
m
m
m
Fonction de transfert (suite)
Ceci veut dire qu’avec la transformée en Z une équation aux différences
se transforme en une équation algébrique.
H(z) X(z) Y(z)
Exemple délai : ( ) ( 1)y n x n
)()( 1 zXzzY 1)( zzH
z -1 X(z) Y(z)
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-1- Généralités
ℎ(𝑛) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛)
Exemple dérivateur
Donner le diagramme en bloc d’un dérivateur causal
11)()( )1()()( zzXzYnxnxny
11)( zzH
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-1- Généralités
Exemple Moving average
n
Mnm
mxny1
)()(
1
0
)()(M
m
mnnh Alors: pourquoi ?
)()()( Mnununh 11
1
)(
)()(
z
z
zX
zYzH
M
)()()()( 1 zXzzXzYzzY M
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-1- Généralités
Exemple accumulateur
)()( )()( nunhkxnyn
k
11
1
)(
)()(
zzX
zYzH
)()()( 1 zYzzXzY
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-1- Généralités
Exemple Filtre RIF
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-1- Généralités
Filtre à réponse impulsionnelle finie où ℎ(𝑛) est borné de gauche et de droite
m
mhmnxnhnxny )()()(*)()(
)(...)1()()( 10 Mnxhnxhnxhny M
Stabilité
Pour qu’un système LIT rationnel soit stable, il faut que ses pôles soient
à l’intérieur du cercle unité. Autrement dit, il faut que le cercle unité
appartienne à la région de convergence.
)(
)()(
zQ
zPzH
MpppzQ ,...,,0)( 21
Conclusion de stabilité: tous les pôles à l’intérieur du cercle unité
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-2- Stabilité
Rappel: Pour les systèmes continus, il fallait des pôles à gauche du plan S.
Système inverse
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-3- Système inverse
)(
1)(
zHzH i
)()(*)()( nnhnhng i
•Pour que l’inverse aussi soit stable, il faut que ses pôles soient à
l’intérieur du cercle unité.
•Alors, il faudra que les pôles et les zéros du H(z) soient à l’intérieur du
cercle unité.
Réponse fréquentielle
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-4- Réponse fréquentielle
N’importe quelle fonction rationnelle de 𝑧−1 peut être présentée sous forme
(à condition d’avoir des pôles simples)
10 1
( )1
M N Nr k
r
r k k
AX z B z
d z
Le premier terme existe si 𝑀 ≥ 𝑁 et peut être obtenu par une division directe.
La ROC est à l’extérieur du cercle passant par le pôle le plus loin d’origine.
0 1
( ) ( ) ( ) ( )M N N
n
r k k
r k
x n B n r A d u n
Exemple:Système RIF
Système (filtre) causal à réponse impulsionnelle finie
Nn
nnh
0
00)(
1
0
)()()(N
m
mnxmhny
Exemple:
ailleurs
Nnanh
n
0
0)(
Les zéros sont à : Nkj
k aez /2
N=8
Les pôles sont tous à l’origine.
Chapitre 3: Système LIT rationnel 3-4- Réponse fréquentielle
𝑋(𝑧) est un polynôme en 𝑧−1
Traitement du signal
Chapitre 4- Transformée de Fourier
Discrète TFD
Vahid Meghdadi
ELT2
2011-2012
Panorama
Signaux analogiques
•Non-périodique
•Transformée de Fourier
•Périodique
•Série de Fourier
Signaux Discrets
•Non-périodique
•Transformée de Fourier signal discret TFSD
•Périodique
•Série de Fourier discrète SFD
•Limité dans le temps
•Transformée de Fourier Discrète TFD
SFD pour des signaux périodiques
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Ce signal peut être présenté par une somme des exponentiels aux
fréquences 2𝜋/𝑁.
( ) ( ) ,x n x n rN r n
12 /
0
1( ) ( )
Nj nk N
k
x n X k eN
1
2 /
0
( ) ( )N
j nk N
k
X k x n e
•𝑋(𝑘) est la pondération sur le 𝑘ième exponentiel.
•𝑋(𝑘) est définit pour 𝑘 = 0, … ,𝑁 − 1 mais on peut penser que c’est une
séquence périodique de période 𝑁 ∶ 𝑋 𝑘 = 𝑋(𝑘 + 𝑁)
Représentation matricielle de la SFD
où x [ (0) (1) ... ( 1)]Tx x x N
X [ (0) (1) ... ( 1)]TX X X N
2 0/ 2 0/ 2 0/ 2 0/
2 0/ 2 / 2 2/ 2 ( 1)/
2 0/ 2 2/ 2 4/ 2 2( 1)/
2 0/ 2 ( 1)/ 2 2( 1)/ 2 ( 1)( 1)/
...
...
W ...
...
j N j N j N j N
j N j N j N j N N
j N j N j N j N N
j N j N N j N N j N N N
e e e e
e e e e
e e e e
e e e e
2 /[ ] ( )j N ij
ijw e C’est-à-dire
1x W XH
N X Wx
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Exemple
( ) ( ) et ( ) ( )x n n x n x n N
Pour ce signal la période est 𝑁.
x(n)
n N
X(k)
k N-1
1
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Propriété de la SFD
1- Linéarité
1 1
1 2 1 2
2 2
( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x n X kx n bx n aX k bX k
x n X k
2- Décalage 2
( ) ( )k
j mNx n m e X k
Attention: c’est un décalage circulaire !
2
( ) ( )l
j nNe x n X k l
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Propriété de la SFD
3- Dualité
( ) ( )
( ) ( )
x n X k
X n Nx k
4- Convolution périodique
1 2 1 2( ) ( ) ( ) Y(k)=X ( ) ( )y n x n x n k X k
1
2 1
0
( ) ( ) ( )N
m
y n x m x n m
Attention, x1 et x2 sont périodiques.
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Transformée de Fourier signal discret
Quelle est la relation entre la SFD d’un signal périodique et sa
transformée de Fourier signal discret, c’est-à-dire entre SFD et TFSD?
Les signaux périodiques ne vérifient pas la condition nécessaire pour avoir
une transformée de Fourier : 2
( )n
x n
Mais un signal qui peut être présenté sous forme d’une somme
d’exponentiels possède une transformée de Fourier sous forme de sommes
de deltas Dirac.
2 2( ) ( ) ( )j
k
kX e X k
N N
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
12 /
0
1( ) ( )
Nj nk N
k
x n X k eN
Exemple
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
12 /
0
( ) ( )
( ) ( ) 1
2 2( ) ( )
r
Nj nk N
n
j
k
p n n rN
P k p n e
kP e
N N
p(n)
n N
P(k)
k N-1
P(ejω)
ω 2π
2π/N
2π/N
1
1
Une période
Donc pour un signal discret périodique on
peut écrire la transformée de Fourrier.
Périodisation des signaux non périodique
Pour périodiser un signal 𝑥(𝑛) limité dans le temps dans l’intervalle de
0 à 𝑁 − 1, on peut le convoluer avec la séquence 𝑝(𝑛) précédente.
p(n)
n N
x(n)
n N *
N
( )x n
2N -2N n
( ) ( )* ( ) ( )* ( ) ( )r r
x n x n p n x n n rN x n rN
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-1- SFD pour des signaux périodique
Signaux bornés et la TFD
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-2- TFD pour des signaux bornés
Supposons que 𝑥(𝑛) est nul pour 𝑛 < 0 et 𝑛 ≥ 𝑁. On construit le signal
ci-dessous:
( ) ( )r
x n x n rN
( ) 0( )
0
x n n Nx n
ailleur
( ) ( modulo )x n x n N
Pour 𝑥 (𝑛), qui est un signal périodique, la série de Fourier existe et on peut
donc calculer les 𝑋(𝑘). Les 𝑋(𝑘) pour 𝑘 = 0,… , 𝑁 − 1 s’appellent la TFD du signal borné 𝑥(𝑛).
Transformée de Fourier Discrète TFD
21
0
( ) ( ) 0nkN j
N
n
X k x n e k N
21
0
1( ) 0
( )
0
nkN jN
n
X k e n Nx n N
ailleurs
( ) ( )TFDx n X k
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-2- TFD pour des signaux bornés
Soit 𝑥(𝑛) un signal défini dans l’intervalle [0,N)
Relations
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD
2 21 1
0 0
( ) ( ) ( )nk nkN Nj j
N N
n n
X k x n e x n e
De l’autre côté
1
0
( ) ( ) ( )N
j j n j n
n n
X e x n e x n e
( )x nOù est le résultat de la périodisation de x(n).
Alors: 2( ) ( )jk
N
X k X e
Soit x(n) un signal défini dans l’intervalle [0,N). On peut écrire
4-2- TFD pour des signaux bornés
Discussion et résultat
On souhaite calculer la TFSD d’un signal 𝑥(𝑛) limité dans le temps défini
sur 𝑀 points (TFSD est une fonction continue de 𝜔 de −𝜋 à 𝜋).
On se contente de quelques échantillons de 𝑋(𝑒𝑗𝜔), disons
0
2
( ) ou ( )j k
jk NX e X e
Il suffit de calculer la TFD de 𝑥(𝑛) sur 𝑁 échantillons : 2( ) ( )jk
N
X e X k
•Si 𝑁 > 𝑀, on ajout assez de zéro derrière 𝑥(𝑛) pour avoir une séquence
de taille 𝑁, puis calculer la TFD de cette séquence.
•Si 𝑁 < 𝑀, la séquence sur la quelle il faut appliquer la TFD est le
résultat de la périodisation de 𝑥(𝑛) sur 𝑁 points.
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-2- TFD pour des signaux bornés
Exemple
Exemple:
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD
41 0( )
0
nx n
ailleurs
2 3 4
5 5 /2 5 /2 5 /22
/2 /2 /2
( ) 1
1 sin5 / 2
1 sin / 2
j j j j j
j j j jj
j j j j
X e e e e e
e e e ee
e e e e
2π -π π -2π 0
( )jX e
4-2- TFD pour des signaux bornés
Le but est de calculer, utilisant la TFD, des échantillons de 𝑋 𝑒𝑗𝜔 sur 𝑁 points.
Exemple (suite)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
X(8)
X(9)
L’interprétation: si on périodise le
signal avec une période de 𝑁 = 5.
Cela donnera un signal constant
avec comme TFD un delta à
l’origine.
L’interprétation: Si 𝑁 = 10, ici le
signal périodisé résultant sera
celui-ci-dessous.
x(n)
10
1
( )jX e
( )jX e
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD
Si on ne voulait que 2 échantillons
sur X(ejω), quelle était la séquence
temporelle?
4-2- TFD pour des signaux bornés
Echantillonnage de la TFSD
Supposons ( ) ( )jx n X e . Nous avons déjà vu que ( ) ( ) j
j
z eX e X z
On en déduit que 2
2( ) ( ) ( ) j kN
j
z ekN
X k X e X z
Re
Im
1
X(k)
Plan Z
A partir de X(k) (des échantillons de X(z)), on
construit une séquence périodique ( )x n
21
0
1( ) ( )
nkN jN
k
x n X k eN
Quelle est la relation entre et x(n) de départ ? ( )x n
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-2- TFD pour des signaux bornés
Echantillonnage de la TFSD
2 21 1
0 0
2 ( )1 1
0 0
1
0
1( ) ( )
1( )
( ) ( ) ( )* ( ) ( )
km nkN N j jN N
k m
k n mN N jN
m k
N
m r
x n x m e eN
x m eN
x m p n m x n p n x n rN
Le signal obtenu est le résultat de la périodisation du signal de départ.
Si le signal était limité dans le temps, une période du signal obtenue
est identique au signal de départ. Sinon, un aliasing dans le temps se
produit.
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-2- TFD pour des signaux bornés
Propriétés de la TFD
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-3- Propriétés de la TFD
1- Linéarité 1 1
1 2 1 2
2 2
( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
x n X kx n bx n aX k bX k
x n X k
La TFD est à calculer sur 𝑁 = max𝑁1, 𝑁2 points.
2- Décalage circulaire
2
( ))mod ( )j mk
TFD Nx n m N e X k
x(n)
n N-1
x((n-m)mod N)
n N-1
Propriétés de la TFD (suite)
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-3- Propriétés de la TFD
3- Dualité
( ) ( )
( ) ( )mod
TFD
TFD
x n X k
X n Nx k N
4- Convolution circulaire ( )
1 1
( )
2 2
( ) ( )
( ) ( )
TFD N
TFD N
x n X k
x n X k
1 2( ) ( ) ( )Y k X k X kSi alors y(n) = ?
1
1 2
0
1
2 1 1 2
0
( ) ( ) (( )mod )
( ) (( )mod ) ( ) ( )
N
m
N
m
y n x m x n m N
x m x n m N x n x n
Exemple
1 2
1 0 1( ) ( )
0
n Lx n x n
ailleurs
1. Poser L=6
2. Calculer 𝑋1(𝑘) et 𝑋2(𝑘) sur 𝑁 = 𝐿 points
3. Calculer 𝑌 𝑘 = 𝑋1 𝑘 . 𝑋2(𝑘)
4. Calculer 𝑦(𝑛) en faisant une TFD inverse de 𝑌(𝑘)
5. Calculer 𝑦(𝑛)directement en faisant une convolution circulaire
6. Calculer 𝑦1(𝑛) la convolution linéaire entre deux séquences
7. Conclusion : 𝑦(𝑛) ≠ 𝑦1 𝑛
8. Répéter les étapes 2 à 6 avec 𝑁 = 2𝐿
9. Conclure
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-3- Propriétés de la TFD
Convolution linéaire faisant TFD
A partir de l’exemple précédent, on conclut que
h(n) x(n) y(n)
( ) ( )* ( )y n x n h n
1( ) ( ) ( )y n TFD X k H k
𝑦(𝑛) est une séquence de taille 𝑁 + 𝐿 − 1
Ceci est parce que dans les systèmes réels une convolution linéaire
se produit et non pas une convolution circulaire.
Cependant il y a une possibilité d’utiliser la TFD pour effectuer une
convolution linaire. La question est « comment ».
𝑥(𝑛) est une séquence de taille 𝑁
ℎ(𝑛) est une séquence de taille 𝐿
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
Les séquences bornées
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
Les séquences bornées
x(n) est une séquence de taille L
h(n) est une séquence de taille P (filtre RIF)
y(n) est une séquence de taille L+P-1
1. Calculer la TFD de x(n) et de h(n) sur N points
2. Effectuer Y(k)=X(k)H(k)
3. y(n)=TFD-1Y(k)
Pour que y(n) soit le résultat d’une convolution linéaire entre x(n) et h(n),
N doit être au moins L+P-1.
C’est-à-dire que l’on ajoute assez de zéros à la fin de x(n) et h(n) pour
obtenir des séquence de cette taille (L+P-1).
Exemple, utilisant matlab
x=[1 2 2 3 -1 0 0 …] L=5
h=[1 2 1 0 0 0…] P=3
y=x*h=[1 4 7 9 7 1 -1]
taille=5+3-1=7
X=fft(x) sur 7 points
H=fft(h) sur 7 points
Y=XH
y=ifft(Y) % est-ce la même réponse ?
Pour tracer le diagramme de Bode
Tracer H(ejw)
[H,w]=freqz(h)
plot(w,abs(H));grid
plot(w,angle(h)); grid
Ou seulement
freqz(h) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
TFSD de ℎ(𝑛)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-200
-150
-100
-50
0
Normalized Frequency ( rad/sample)
Phase (
degre
es)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100
-50
0
50
Normalized Frequency ( rad/sample)
Magnitude (
dB
)
freqz(h)
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
Une séquence non-bornée et filtre RIF
h(n) x(n) y(n)
( ) ( )* ( )y n x n h n
ℎ(𝑛) est de taille 𝑃
x(n)
n L
x0(n)
n L
x1(n)
n 0 L
2L
( ) 0( )
0r
x n rL n Lx n
ailleur
( ) ( )
( ) ( )* ( )
( )
( ) ( )* ( )
r
r
r
r
r r
x n x n rL
y n x n h n
y n rL
où y n x n h n
Méthode « overlap and add »
1( ) ( ) ( )r ry n TFD X k H k
Sur L+P-1
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
Exemple
Nous disposons d’une séquence réelle de taille 1740 échantillons. Il
faudrait calculer le résultat de la convolution de cette séquence avec un
filtre réel dont la taille de la réponse impulsionnelle est de 42 (la taille de
la séquence résultante sera de 1781).
•Une convolution linéaire demande combien de multiplications réelles ?
•Utiliser la méthode de convolution rapide (on suppose que nous
disposons déjà de la TFD de ℎ(𝑛) sur 128 points : 𝐻(𝑘) et 𝑘 = 0…127
•Expliquer en détaille l’algorithme de calcul.
•Combien de multiplications réelles seraient nécessaires pour
obtenir le même résultat. (Supposons qu’une TFD de taille 𝑁 =
2𝑘 ne demande que 𝑘𝑁
2 multiplications complexes)
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-4- Convolution linéaire et TFD
Transformée de Fourier Rapide (FFT)
On cherche à réduire le nombre d’opérations arithmétiques pour
calculer une TFD de taille N.
21
0
( ) ( )nkN j
N
n
X k x n e
Pour k=0, 1, …, N-1
•Le nombre de multiplications complexes = 𝑁 par points, 𝑁2 en tout
•Le nombre d’additions complexes = 𝑁 − 1 par point, 𝑁(𝑁 − 1) en tout
•Le nombre de multiplications réelles (# *) = 4𝑁^2
•Le nombre d’additions réelles (# +) = 2𝑁 𝑁 − 1 + 2𝑁2
•Exemple: Un TFD de taille 1024: plus de 4 millions de multiplications et
plus de 4 millions d’additions
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Simplifier le calcul de la TFD
Pour simplifier le calcul on utilise les propriétés suivantes:
2 2( )
nkj j n N k
N Ne e
*2 2 2( )
nk nkj N n k j j
N N Ne e e
2
1rN
jNe
Dans un premier temps on considère le cas où tous les points de
TFD ne nous intéressent pas. On va calculer 𝑋(𝑘) pour un certain
nombre de 𝑘 : algorithme de Goertzel.
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Algorithme de Goertzel
Par définition:
2j
NNW e
21 1
0 0
( ) ( ) ( )nkN Nj
nkNN
n n
X k x n e x n W
On peut multiplier les deux côtés par 1kN
NW
1( )
0
( ) ( ) ( )N
kN k N m
N N
m
X k W X k x m W
Ceci ressemble à une convolution. On définit la séquence
où 𝑥 𝑛 est une séquence bornée dans [0,N).
( ) ( )* ( )kn
k Ny n x n W u n
Dans ce cas ( ) ( )kX k y N
( ) ( )kn
Nh n W u nx(n) y(n)
( ) ( )kX k y N
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Algorithme de Goertzel
Calcul de complexité.
Pour chaque point de X(k), il faudra
•Pour chaque points de y(n)
•4 multiplications réelles
•4 additions réelles
•Pour calculer y(N), il faut donc 4N multiplications réelles et 4N additions
réelles
•Pour calculer tous les pont X(k), k=0,…,N-1:
•(# *) = (# +) = 4N2
Conclusion: Pas d’économie en terme de nombre d’opérations mais une
implantation facile par des circuits numérique ne nécessitant pas de
stockage pour les valeurs 𝑊𝑛𝑛𝑘 et 𝑥(𝑛).
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR et décimation dans le temps
On pose une contrainte: 𝑁 = 2𝑉
1 1 1
0 0 0
/2 1 /2 1 /2 1 /2 12 (2 1) 2 2
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
(2 ) (2 1) (2 ) (2 1)
N N Nnk nk nk
N N N
n n npair impair
N N N Nrk rkrk r k k
N N N N N
r r r r
X k x n W x n W x n W
x r W x r W x r W x r W W
Sachant que 2 2
22 /2
/2
j jN N
N NW e e W
/2 1 /2 1
/2 /2
0 0
( ) (2 ) (2 1)N N
rk k rk
N N N
r r
X k x r W W x r W
( ) ( ) ( )k
NX k G k W H k
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR et décimation dans le temps
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
( ) ( ) ( )k
NX k G k W H k
𝐺(𝑘) et 𝐻(𝑘) sont
calculés pour k=0, 1,
…, 𝑁
2− 1. Pour le
reste de la
séquence, on utilise
le fait que 𝐺(𝑘) et
𝐻(𝑘) sont
périodiques.
/2 1 /2 1
/2 /2
0 0
( ) (2 ) (2 1)N N
rk k rk
N N N
r r
X k x r W W x r W
(# *)c =N+2(N/2)2
(# +)c=N+2(N/2)2
TFR et décimation dans le temps
Peuvent être transformés en 2 DFT de taille 2
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR et décimation dans le temps
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR et décimation dans le temps B
it r
evers
e e
n e
ntr
ée
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Calcul de la complexité
𝑁 = 2𝜈
Directe : 𝑁2 multiplications complexes
Après une décimation: 𝑁 + 2𝑁
2
2= 𝑁 +
𝑁2
2
Après deux décimations: 𝑁 + 2𝑁
2+ 2
𝑁
4
2= 2𝑁 + 4
𝑁
4
2
Après 𝜈 − 1 décimations: (𝜈 − 1)𝑁 + 2𝜈−1(2) = 𝜈𝑁
Alors, le nombre de multiplications complexes est de 𝑁 log2 𝑁
Si on tient compte de l’astuce de la page précédente, e
nombre de multiplications complexes est de
𝑁
2log2 𝑁
Exemple: 𝑁 = 1024, (# ∗ 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 = 20480)
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Exercice
Une autre façon de calculer la complexité de la TFR (FFT) :
Supposant 𝑁 = 2𝜈, donner le nombre des papillons dans une
architecture TFR
après une première décimation : ……………..
après une deuxième décimation : ……………….
nombre total à la fin : …………………
Combien de multiplications complexes sont nécessaires pour
chaque papillons : ……………
Nombre total de multiplications complexes : …………….
Utilisant l’astuce, nombre total de multiplications complexes :
…………….
TFR et décimation en fréquence
1
0
1 /2 1 12 2 2
0 0 /2
/2 1 /2 12 2 ( /2)
0 0
( ) ( )
(2 ) ( ) ( ) ( )
( ) ( / 2)
Nnk
N
n
N N Nnr nr nr
N N N
n n r N
N Nnr r n N
N N
n r
X k x n W
X r x n W x n W x n W
x n W x n N W
Puisque 2 ( /2) 2
/2
r n N rn rN rn
N N NW W W
/2 1
/2
0
(2 ) ( ) ( / 2)N
rn
N
n
X r x n x n N W
Et de la même manière
/2 1
/2
0
(2 1) ( ) ( / 2)N
n rn
N N
n
X r x n x n N W W
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR et décimation dans en fréquence
Bit re
vers
e e
n s
ortie
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
TFR entrée/sortie naturelles
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Exercice
Supposer le signal continu 𝑥 𝑡 = sin(2𝜋𝑡)
Le spectre de ce signal présente deux deltas à +1 et -1.
Considérer maintenant le signal discret obtenu en échantillonnant 𝑥(𝑡) à 5 Hz.
( ) sin 25
nx n
Le spectre de ce signal contient des deltas aux fréquences 2
25
k
Maintenant on utilisera un TFD sur N points (N=10, N=12, N=90)
Devinez les X(k).
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Calcul matlab
n=0:9;
x=sin(2*pi*n/5);
X=fft(x);
plot(n,abs(X),’o-’);
Interpréter les valeurs de l’axe
de fréquence. Pour quoi deux
deltas aux k=2 et 8.
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
Par fois il est préférable d’appliquer une
rotation circulaire pour voir les
fréquences négatives en leur place.
X=fftshift(X)
plot(-5:4,abs(X),’o-’);
-6 -4 -2 0 2 40
1
2
3
4
5
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Calcul matlab
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
-50 0 500
5
10
15
20
25
30
35
40
45
18
n=0:89;
x=sin(2*pi*n/5);
X=fft(x);
X=fftshift(X);
plot(-45:44,abs(X),'o-');
-18
En fait, les X(k) sont des
échantillons du spectre analogique
de la fonction
2sin 0 90
( ) 5
0
n nx n
ailleurs
C’est-à-dire un sinus cardinal dont les
zéros sont à 2kπ/90, coïncidant avec X(k).
Calcul matlab
Chapitre 4: Transformée de Fourier Discrète TFD 4-5- Transformée de Fourier Rapide
Si N ≠ multiple de la période, par exemple N=12 ou N=91.
0 2 4 6 8 10 120
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Calcul matlab
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
1
2
3
4
5
6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
5
10
15
20
25
30
35
40
45
n=0:89;
x=sin(2*pi*n/5);
X=fft(x,1024);
plot((0:1023)/1024,abs(X));
n=0:9;
x=sin(2*pi*n/5);
X=fft(x,1024);
plot((0:1023)/1024,abs(X));