Capitilo 2 AstromTempo realParmetro de estimao
2.1 INTRODUOA determinao em linha de parmetros de processo um
elemento-chave no controle adaptativo. Um parmetro estimador
recursivo aparece explicitamente como um componente de um regulador
de auto-ajuste (ver figura 1-19). Estimao de parmetros tambm ocorre
implicitamente em um controlador adaptativo por modelo de referncia
(ver figura 1.18). Este captulo apresenta alguns mtodos de estimao
de parmetros em tempo real. til para ver estimativa parmetro no
contexto mais amplo de identificao do sistema. Os elementos-chave
de identificao do sistema so a seleo de estrutura do modelo, design
experincia, estimativa de parmetros e de validao. Desde
identificao, o sistema executado automaticamente em sistemas
adaptativos, essencial ter uma boa compreenso de todos os aspectos
do problema. Seleo do modelo estruturado e parametrizao so questes
fundamentais. Modelos de funo de transferncia simples sero usados
neste captulo. Os problemas de identificao so significativamente
simplificada se os modelos so parmetros lineares.Desenho do
experimento crucial para a identificao do sistema bem sucedida. Em
problemas de controle isso se resume da seleo do sinal de entrada.
A escolha de um sinal de entrada requer algum conhecimento do
processo e a utilizao prevista para o modelo. Em sistemas
adaptativos, h uma complicao adicional, porque o sinal de entrada
para a planta gerado pela realimentao. Em certos casos, esta no se
permite que os parmetros sejam determinados exclusivamente, uma
situao que tem consequncias a longo prazo. Em alguns casos, pode
ser necessrio introduzir sinais de perturbao, como discutido em
mais detalhado no captulo 6 e 7. No controle adaptativo os
parmetros de um processo mudam de forma contnua, por isso,
necessrio ter MTODOS estimao que atualizam os parmetros de forma
recursiva.Ao resolver problemas de identificao muito importante
para validar os resultados. isto especialmente importante para os
sistemas adaptativos, em que a identificao realizada
automaticamente. Por conseguinte, ir ser discutido Algumas tcnicas
de validao.O mtodo dos mnimos quadrados uma tcnica bsica para
estimativa de parmetros. O mtodo particularmente simples, se o
modelo tem a propriedade linear nos parmetros. No caso mnimo -
quadrados a estimativa pode ser calculada analiticamente. A
apresentao compacta do mtodo dos mnimos quadrados dada na seo 2.2.
As frmulas para a estimativa so derivados e a interpretaes
geomtricas e estatsticos so dadas. E mostra como os clculos podem
ser feitos de forma recursiva. Na seco 2.3 mostrado como o mtodo do
mnimo - quadrados pode ser usado para estimar parmetros dinmicos
que introduzi a noo de excitao constante. A utilizao da estimativa
de parmetros no controle adaptativo til para ter uma viso intuitiva
sobre as propriedades dos estimadores dos parmetros. Para comear a
desenvolver isso, damos uma srie de simulaes que ilustram as
propriedades dos diferentes algoritmos em seo 2.5. Mais
propriedades de diferentes esquemas de estimativa so dadas no
captulo 6, em conexo com a convergncia e estabilidade anlise dos
controladores adaptativos.2.2 Mnimo quadrado e modelo de
regressoKarl Friedrich Gauss formulou o princpio dos mnimos
quadrados no final do sculo XVIII e usado para determinar as rbitas
dos planetas e asteroides. Gauss afirma que, de acordo com este
princpio, os parmetros desconhecidos de um modelo matemtico devem
ser escolhidos de tal maneira que a soma dos quadrados das
diferenas entre os realmente observados e os valores calculados,
multiplicada por um nmero que medem o grau de preciso, um mnimo.O
mtodo do mnimo - quadrado pode ser aplicado a uma grande variedade
de problemas. particularmente simples para um modelo matemtico que
pode ser escrita na forma
Onde y a varivel observavel , , ... , , so parmetros
determinados pelo modelo e , ,..., so conhecidos por funes que
podem depender de outras variveis. Os vetores
Foram tambm introduzidas. O modelo indexado pela varivel i, que
muitas vezes denota tempo. ser assumido inicialmente que este
conjunto de ndices um conjunto discreto. as variveis so chamados de
regresso varivel, ou os regressores, e o modelo na eq 2.1 concorda,
tanto quanto possvel com as variveis medidas y(i) no sentido dos
mnimos quadrados. Isto , o parmetro devem ser escolhidos para
minimizar a perda da funo mnimo quadrados.
uma vez que a varivel y medida linear nos parmetros 0 e o
critrio do mnimo - quadrados quadrtica, o problema admite uma soluo
analtica. Apresente-se as notaes
Onde os resduos (i) so definidos por
com estas notaes a funo de perda (2.2) pode ser escrita como
Onde E pode ser escrita como
A soluo do problema de mnimo quadrado, dada pelo seguinte
teoremaTeorema 2.1 Estimao do mnimo quadradoA funo da equao 2.2 um
mnimo para o parmetro tal que
Se a matriz no singular, o mnimo nico e dada por
Prova: A funo de perda de Eq. (2.2) pode e escrito como
Uma vez que a matriz sempre definida no negativa , a funo V tem
um mnimo. A funo de perda quadrtica em . O mnimo pode ser
encontrado em muitos aspectos. uma maneira de determinar a inclinao
da Eq. (2.7) com respeito a (veja o problema 2.1 no final do
capitulo). O gradiente zero quando a Eq. (2.5) satisfeita. Outra
maneira de encontrar o mnimo -quadrado completo; Ns temos.
O primeiro termo do lado direito independente de . O segundo
termo sempre positivo. O mnimo obtido por:
Logo o teorema provado.Observao 1: A equao (2.5) chamada de
equao normal. A equao 2.6 pode ser escrita como
Observao 2: A condio que a matriz irreversvel e chamada de
condio de excitao.Observao 3: o critrio do mnimo quadrado a
ponderao de todos os erros so iguais, e isso corresponde suposio de
que todas as medies tm a mesma preciso.Diferentes ponderao de erros
podem ser contabilizadas alterando a funo de perda (2.2) para
Onde W uma matriz diagonal com as ponderaes na diagonal. A
estimao do mnimo quadrado dada por
Exemplo 2.1 Estimativa do mnimo quadrado do sistema
esttico.Considere o sistema
Quando e(i) zero a media Gaussian, o rudo com desvio padro 0.1.
O sistema de parmetro linear e pode ser escrito na forma 2.1
como
A sada medida para as sete diferentes entradas mostrado pelos
pontos na Fig. 2.1. Na prtica, a estrutura do modelo geralmente
desconhecida, e que o usurio deve decidir sobre um modelo adequado.
Ilustramos este parmetros estimando os seguintes modelosOs
diferentes modelos dado um polinmio dependente de ordens diferentes
entre y e u.A tabela 2.1 mostra as estimativas do mnimo quadrado
para diferentes modelos em conjunto com a funo de perda resultante.
A figura 2.1 tambm mostra a relao entre a estimativa entre u e y
para diferentes modelos. A partir da tabela verifica-se que sobre
as mesmas perdas so obtidos para os modelos 3 e 4. O ajuste para os
pontos de dados quase o mesmo para estes dois modelos, como visto
na Fig. 2.1.O exemplo mostra que importante escolher o modelo de
estrutura correta para obter um bom modelo. Com alguns parmetros no
possvel obter um bom ajuste aos dados. Se forem usados muitos
parmetros, o ajuste aos dados medidos vai ser muito bom, mas o
ajuste para outro conjunto muitos dados pode ser muito pobre. Neste
ltimo caso chamado overfitting (superajuste).
Interpretao geomtricaO problema de mnimo quadrado pode ser
interpretado como problema geomtrico em Rt . Quanto t um numero de
observao. A fig. 2.2 ilustra uma situao com dois parmetros e trs
observadores. Os vetores e abrange um plano linearmente
independente. Os resultados de sada previstos Y encontram-se no
plano gerado por e . O erro pequena quando E ortogonal a este
plano. No caso geral a equao (2.4) pode ser escrita como:
Onde so as colunas da matriz . O problema do mnimo quadrado pode
ser interpretado como o problema de encontrar constantes . Tal que
o vector Y aproximado assim possvel por uma combinao linaer dos
vetores . Sendo o vetor no espao de que a melhor aproximao, e tendo
o vetor E pequeno quando ortogonal a todo o vetor . Dado por
Que idntica a equao normal 2.5 . O vetor nico se os vetores so
linearmente independentes.
Interpretao estatsticaO mtodo do mnimo quadrado pode ser
interpretado em termos estatsticos. Em seguida, necessrio fazer
suposies sobre como os dados foram gerados. Assume-se que o
processo Onde 0 o vetor de verdadeiros parmetros e { e(i) , i=1,2,
...} uma sequncia independente, distribudos igualmente por variveis
aleatrias com mdia zero. Isto , tambm assume que e independente de
. A equao 2.4 pode ser escrita como
Multiplicando por T temos
desde que E seja independente de T , o que equivale dizer que
e(i) independente de a expectativa matemtica de igual para . Uma
estimativa com essa propriedade chamada imparcial. O teorema a
seguir dado sem uma prova.Teorema 2.2 Propriedade estatstica para
estimao do mtodo quadradoConsidere a estimativa na equao 2.6
assumindo que os dados so gerados a partir da equao (2.12), onde {
e(i) , i=1,2, ...} uma sequncia de variveis aleatrias independentes
com mdia zero e varincia . Sendo que E denota expectativa matemtica
e cov a covarincia de uma varivel aleatria. Se no singular, ento:
uma estimativa imparcial de Onde n o numero dos parmetros em e e t
o numero de dados no ponto.o teorema afirma que as estimativas so
imparcial, isto , . Alm disso, desejvel que converja para uma
estimativa do verdadeiro valor de parmetro como o nmero de
observaes aumenta para o infinito. Esta propriedade chamada de
consistncia. Existem vrias noes de consistncia correspondentes a
diferentes conceitos de convergncia para variveis aleatrias.
Convergncia mdia quadrada uma possibilidade, que pode ser
investigada simplesmente atravs da anlise da varincia da
estimativa. O resultado (ii) pode ser usado para determinar a
varincia de estimativa que diminui com o nmero de observaes. Isto
ilustrado por um exemplo.
Exemplo 2.2 Diminuio de varinciaConsideremos o caso em que o
modelo em eq. (2.12) tem apenas um parmetro. Seja t o nmero de
observaes. Segue-se a partir de (ii) do teorema 2.2 que a
estimativa da varincia dada por
Vrios casos diferentes agora podem ser considerados, dependendo
do comportamento assinttico de para grande k. Introduzindo a notao
para indicar que e so proporcionais.a) Assume que . A soma no
denominador acima, em seguida, converge, e a variao vai para uma
constante.b) Assume que Em seguida
a variao vai de zero se c) Assume que . A varincia em seguida,
vai para zero com 1/t.d) Assume que A varincia em seguida vai para
zero com e) Assume que A varincia em seguida vai para zero com
O exemplo mostra claramente como a preciso da estimativa depende
da taxa de crescimento do vector de regresso. A variao no vai a
zero com o aumento do nmero de observaes, se a varivel de regresso
diminui mais rapidamente do que . Na situao normal, quando os
regressores so da mesma ordem de grandeza, a varincia diminui
medida 1/t. A varincia diminui mais rapidamente se as variveis
aumentam com o tempo de regresso.quando vrios parmetros so
estimados, as taxas de convergncia podem ser diferente para
diferentes parmetros. Isto est relacionado com a estrutura da
matriz na eq. (2.6).Clculos Recursivos Em controladores adaptativos
as observaes so obtidas sequencialmente em tempo real. ento
desejvel fazer os clculos de forma recursiva para salvar tempo de
computao. A estimativa do clculo do mnimo - quadratico podem ser
dispostos de tal maneira que os resultados obtidos no tempo t - 1
pode ser usado para obter as estimativas no tempo t. A soluo na Eq.
(2.6) para o problema mnimo quadrtico ser reescrito de forma
recursiva. Sendo denotam os mnimos quadrados estimamos com base em
t -1 medies. Assume-se que a matriz no singular para todo t.
Resulta a partir da definio de P (t) na Eq. (2.3) que
A estimativa do mnimo quadrtico dada pela equao (2.9)
Resulta das Eqs. (2.9) e (2.14) que
A estimativa do tempo t agora pode ser escrito como
Onde
O residual (t) pode ser interpretado como erro na predio do
sinal y(t) um degrau a frente com base na estimativa Para
prosseguir necessrio obter uma equao recursiva para P (t), em vez
de P(t)-1 na Eq. (2.14). O seguinte lema til.LEMMA 2.1 Lema da
Matriz InversaTemos A, C, and C-1 + DA 1B sejam matriz quadrtica no
singular. Ento A+BCD inversvel, e
Prova: Por multiplicao direta descobrimos que
Aplicando o lema 2.1 para P(t) e usando a Eq. (2.14), temos.
Isto implica que
Note-se que a matriz inversa necessrio para calcular P. No
entanto, as matriz a serem invertidas da mesma dimenso que o nmero
de medies. Isto , para um nico sistema de sada um escalar.Os
clculos recursivos esto resumidos no seguinte teorema.Teorema 2.3
Estimativa recursiva dos mnimos quadrados (RLS)Assume-se que a
matriz (t) tem categoria (classificao) completa, que no singular,
para todo . Dado ( , a estimativa do mnimo quadrado em seguida,
satisfaz as equaes recursivas.
Observao 1: A equao (2.15) tem forte apelo intuitivo. A
estimativa obtido adicionando uma correo estimativa anterior A
correo proporcional a (t), onde o ltimo termo pode ser interpretado
como o valor de y no tempo t previsto pelo modelo da Eq. (2.1). O
termo de correo , assim, proporcional diferena entre o valor medido
de Y (t) e a predio de y (t) com base na estimativa do parmetro
anterior. Os componentes do vetor K (t) so fatores de ponderao que
dizem como a correo e a estimativa anterior devem ser
combinados.Observao 2: A estimativa do mnimo quadrado pode ser
interpretado pelo filtro de Kalman ao seguinte processo
Observao 3: A equao recursiva pode tambm ser derivadas iniciando
pelas perdas da funo da Eq. (2.2). Usando as Eqs. (2.8) dada
O primeiro termo do lado direito independente de , e os dois
termos restantes so quadrticos em . V(,t) pode ento ser facilmente
minimizado em relao .Nota-se que a matriz P(t) definida apendas
quando a matriz no singular. Sendo
Segue que sempre singular se t < n. Para obter uma condio
inicial para P, , portanto, necessrio escolher t = t0 tal que no
singular. As condies inicias so
As equaes recursivas pode ento ser utilizado para t > t0 .
Isto , no entanto, muitas vezes conveniente utilizar as equaes
recursivas em todos os passos. se as equaes recursivas so iniciados
com a condio inicialP(0) = P0 Onde P0 definido positivo, ento
Note que P(t) pode ser feito arbitrariamente prximo de (
escolhendo P0 suficientemente grande.Pelo uso do filtro de Kalman a
interpretao do mtodo mnimo quadrado, pode-se ver que esta forma de
iniciar a recurso corresponde situao na qual os parmetros tm uma
distribuio inicial significativo e covarincia P0.Parmetros variando
com o tempoPara o modelo mnimos quadrados (2.1) os parmetros so
assumidos como constantes. Em vrios problema de adaptao
interessante para considerar a situao em que os parmetros variam
com o tempo. Dois casos podem ser abrangidos por extenses simples
do mtodo dos mnimos quadrados. Em um dos caso os parmetros assumem
alteraes de forma bruscas, mas com pouca frequncia. No outro caso,
os parmetros mudam continuamente, mas lentamente. O caso de mudanas
bruscas de parmetros podem ser abrangidos atravs da reposio. A
matriz P do algoritmo mnimos quadrados (Teorema 2.3) ento redefinir
periodicamente para , onde um numero grande. Isto implica que o
ganho K(t) no estimador torna-se grande e a estimativa pode ser
atualizada com um passo maior. Uma verso mais sofisticada executar
n estimadores em paralelo, que so repostas sequencialmente. A
estimativa ento escolhida usando alguma lgica de deciso (ver
captulo 6). O caso dos parmetros que variam lentamente com tempo
pode ser coberto por modelos matemticos relativamente simples. Uma
abordagem pragmtica e simplesmente para substituir o critrio de
mnimos quadrados da Eq. (2.2) com
Onde um parmetro tal que . O parmetro chamado de fator de ou
fator de desconto. A funo de perda da Eq (2.20) implica que
introduzido a variao do tempo de ponderao dos dados. Os dados mais
recentes so dadas por unidade de peso, mas de dados que tempo de n
unidades de idade ponderada pelo . o mtodo ento chamado de
esquecimento exponencial ou desconto exponencial. Ao repetir os
clculos que levam ao teorema 2.3 para a funo de perda da Eq.
(2,20), o seguinte resultado obtido.Teorema 2.4 - Mnimos quadrados
recursivos com esquecimento exponencialAssume-se que a matriz (t)
tem classificao para . O parmetro , que minimiza a Eq. (2.20) dada
de forma recursiva por:
Uma desvantagem de do esquecimento exponencial que os dados so
descontados mesmo que . Esta condio implica que y (t) no contm
qualquer nova informao sobre o parmetro . Neste caso, segue-se a
partir das Equaes. (2,21) que a matriz P aumenta exponencialmente
com taxa . Diversas formas para evitar isso so discutidos em
detalhe no captulo 11.Um mtodo alternativo de lidar com os
parmetros que variam com o tempo assumir um modelo matemtico que
varia com o tempo. Os parmetros que variam com o tempo podem ser
obtidos por substituio do primeiro na equao (2.18) com o modelo
Onde v uma matriz conhecida e tempo discreto rudo branco. A
interpretao do problema de filtragem dos mnimos quadrados dada na
observao 2 do teorema 2.3 agora podem facilmente ser generalizados.
O estimador de mnimos quadrados ser, ento, o filtro de Kalman. O
caso v=1 corresponde a um modelo em que os parmetros esto deriva do
processo Wiener.Algoritmos simplificadosO recurso do algoritmo
pelos mnimos quadrados dado pelo Teorema 2.3 tem dois conjuntos de
variveis de estado, , que deve ser atualizao em cada degrau. Para
um grande n a atualizao da matriz P domina a computao da matriz P
ao custo de convergncia mais lenta. O algoritmo de projeo de
Kaczmarzs uma soluo simples. Para descrever este algoritmo,
considera-se o parmetro desconhecido como um elemento de Rn. uma
medio
Determina a projeo do parmetros vetor do no vetor . Desde que
seja imediatamente claro n medies, onde intervalo Rn , so
necessrios para determinar exclusivamente o parmetro do vetor .
Assume-se que a estimativa , est disponvel a uma nova medio, tal
que obtm a eq. (2.22). Uma vez que a medida y (t) contm informaes
apenas na direo no espao de parmetros, natural para escolha de uma
nova estimativa do valor que minimiza sujeito a restrio
Introduzindo o multiplicador de Lagrange para lidar com a restrio,
temos, portanto, que minimizar a funo.
Tomando derivadas em relao a e . Temos.
Resolvendo estas equaes temos
A atualizao da frmula chamada de algoritmo de Kaczmars. til para
ser capaz de alterar o comprimento do passo do ajuste dos parmetros
atravs da introduo de um fator . Dado
Para evitar um problema potencial que ocorre quando o
denominador no termo de correo alterada de para , onde uma
constante positiva. Obtem ento o algoritmo a seguir.Algoritimo 2.1
Algoritmo de Projeo
Onde e .Observao 1. Em alguns livros didticos isso chamado o
algoritmo de projeo normalizada.Observao 2. O limite para o
parmetro obtida a partir da seguinte anlise. Suponha que os dados
foram gerados pela Eq. (2.2) com o parmetro . Segue-se ento a
partir da Eq. (2,24) o erro do parmetro
Satisfaz a equao
Onde
A matriz A(t) tem um valor prprio, este valor inferior a 1 em
magnitude se . O outro valor prprio de A so todos igual a 1.O
algoritmo de projeo assume que os dados so gerados pela Eq. (2.22)
sem erro. Quando os dados so gerados pela Eq. (2.12) com erro
aleatrio adicional, um algoritmo simplificado dada por
Onde
Esta a aproximao do algoritmo estocstico (SA). Note que um novo
escalar quando y(t) um escalar. A maior simplificao a mdia do
algoritmo do mnimo quadrtico (LMS) em que o parmetro de atualizao
feito atravs da utilizao.
Onde uma constanteModelo em tempo continuoNos esquemas
recursivos as variveis at agora tm sido indexado por um parmetro
discreto t. A notao t foi escolhido porque em muitas aplicaes que
indica a hora. Em alguns casos, natural para utilizar observaes de
tempo contnuo. fcil de generalizar os resultados para este caso. A
equao (2.1) ainda utilizada, mas agora assumida como sendo uma
varivel real. Assumindo esquecimento exponencial, o parmetro deve
ser determinado de tal modo que o critrio. minimizado. O parmetro
quando , corresponde ao fator de esquecimento na equao (2.20). Um
clculo simples mostra que o critrio minimizado se (ver problema
2,15 no final do captulo)
Que a equao normal. A estimativa nica se a matriz
inversivel. Tambm possvel obter equatios recursivas
diferenciando Eq. (2,28). A estimativa dada pelo seguinte
teorema.Teorema 2.5 Tempo de estimao constante para mnimos
quadradosAssume-se que a matriz R(t) dada pela equao (2.29)
inversivel para todo t. A estimativa que minimiza satisfaz a equao
(2.27)
Prova: O teorema provado pela diferenciao da eq (2.28)Observao
1: A matriz R(t) = P(t) -1 satisfaz
Observao 2: H tambm verses de tempo contnuas dos algoritmos
simplificados. O algoritmo de projeo que correspondem as equaes
(2.25) e (2,26) so dadas pela equao (2.30) com
Onde P(t) um novo escalar.2.3 Estimando os parmetros em sistemas
dinmicosNs agora mostrar como o mnimos quadrados pode ser utilizado
para estimar os parmetros de modelos de sistemas dinmicos. A
maneira particular de fazer isso vai depender do carter do modelo e
sua parametrizao.Modelo de resposta de impulso infinitoO sistema
dinmico linear invariante no tempo caracterizado unicamente por sua
resposta ao impulso. A resposta ao impulso geralmente infinito
dimensional. para sistemas estveis a resposta ao impulso vai para
zero exponencialmente rpida e, em seguida, pode ser truncado. Nota,
no entanto, que pode ser necessrio um grande nmero de parmetros, se
o intervalo de amostragem curto em comparao com a constante de
tempo mais lento do sistema. Isto resulta no chamado modelo de
resposta de impulso finito.
Este modelo idntico ao modelo de regresso da equao. (2.1), para
esperar o ndice T do vetor de de regresso, que diferente. A razo
para esta alterao de notao que ser conveniente para rotular o vetor
de regresso com o tempo dos dados mais recente que aparece no
regressor. O modelo da equao (2.33) se adapta claramente formulao
de mnimos quadrados, e o estimador ento dado pelo teorema 2.3.O
parmetro de estimao pode ser representado pelo diagrama de blocos
da figura 2.3. O estimador pode ser considerado como um sistema com
entradas u e y e de sada .. Sendo o sinal
est disponvel no sistema, tambm pode considerar como uma sada.
Sendo prevista uma estimativa de y, o estimador recursivo tambm
pode ser interpretado como um filtro adaptativo para prever y. O
uso desse filtro discutido no captulo 13.
Funo de transferncia do modeloO mtodo mnimos quadrados pode ser
usado para identificar o parmetro do sistema dinmico. Vamos usar o
sistema descrito pelo modelo.
Onde q o operador de deslocamento e A(q) e B(q) so polinmios
A equao (2.34) pode ser escrita como equao diferena
supe que a sequncia de entradas {u(1), u(2),...,u(t)} foi
aplicado ao sistema e a correspondente sequncia de sadas {y(1),
y(2),...,y(t)} foi observado. Introduo ao parmetro vetor.
e o vetor regresso
Nota-se que o sinal de atraso de sada aparece no vetor de
regresso. O modelo ento chamado de um modelo auto-regressivo. A
maneira na qual os elementos esto ordenados na matriz claro,
arbitrrio, desde que tambm similarmente reodernado. Mais tarde, ao
lidar com controle adaptativo, ser natural para reordenar os
termos. A conveno de que o ndice de tempo de vetor ir se referir ao
tempo em que todos os elementos do vetor esto disponveis tambm ser
adotada. O modelo pode formalmente ser escrito como o modelo de
regresso.
A estimao do parmetro pode ser obtido aplicando o mtodo do mnimo
quadrado (teorema 2.1). A matriz dada por
Se usarmos a interpretao estatstica da estimativa dos mnimos
quadrados dadas pelo teorema 2.2, segue-se que o mtodo descrito ir
funcionar bem quando as pertubaes pode ser descrito como rudo
branco adicionados ao lado direito da equao. (2,34). Isto leva ao
modelo de mnimos quadrados
(Comparando com a equao 2.12). O mtodo chamado, portanto, um
mtodo equao de erro. Um ligeira variao do mtodo melhor se as
perturbaes so descritos como rudo branco em vez adicionada sada do
sistema, isto , quando o modelo est
O mtodo obtido ento chamado de mtodo de erro de sada. Para
descrever um tal mtodo, seja u a entrada e a sida do sistema com a
entrada em relao a sada.
Determinando o parmetro que minimiza o critrio
Onde . Este problema pode ser interpretado como problema de
mnimo quadrado, cuja soluo dada por
Onde
Comparando com o teorema 2.1. O estimador recursivo obtido pode
ser representado pelo diagrama de blocos na figura 2.4.
Funo de transferncia em tempo continuoAgora mostrado que o mtodo
de mnimos quadrados tambm pode ser usado para estimar parmetros em
funes de transferncia em tempo contnuo. Por exemplo, considere um
modelo da forma tempo contnuo.
que tambm pode ser escrito como
Onde A(p) e B(p) so polinmios em que o operador diferencial
p=d/dt. Na maioria dos casos, no podemos calcular convenientemente
pny(t) porque iria envolver as n derivadas de um sinal. O modelo de
equao (2.36), portanto, reescrito como
Onde
E Hf(p) uma funo de transferncia estvel com excesso de polo de n
ou mais. Veja a figura 2.5. Se introduzirmos.
O modelo expresso pela equao (2.37) pode ser escrito como
Por uma realizao adequada do filtro Hf possvel utilizar um
filtro para gerar todos os sinais piHf(p)y, i=0, ... , n, e um
outro filtro para gerar piHf(p)u, i= 0, ... ,m-1. O padro mnimos
Quadrados agora pode ser aplicado, uma vez que este um modelo de
regresso. A estimativa recursiva dada pelo Teorema 2.5. Com a
restrio de Hf no haver qualquer diferenciao simples da sada ou a
entrada para o sistema.Modelo no linearMnimos quadrados tambm pode
ser aplicado para um certo modelo no linear. A principal restrio
que os modelos de parmetros lineares podem ser escritos como modelo
de regresso linear. Note que os regressores no precisa ser linear,
nas entradas e sadas. Um exemplo ilustra a idia.Exemplo 2.3-
Sistema no linearConsidere o modelo
Por introduo
E
O modelo pode ser escrito como
O modelo de parmetro linear, e o metodo mnimo quadrado pode ser
usado para estimar .Modelos estocsticosA estimativa do mnimo
quadrado baseado quando usado com dados gerados pela Eq. (2.12),
onde o erro e(i) so correlacionadas. A razo (compare Eq.(2.13)). A
possibilidade de lidar com este problema modelar a correlao dos
distrbios e para estimar os parmetros que descrevem as correlaes.
Considere o modelo. Onde A(q), B(q) e C(q) so polinmios no operador
de deslocamento para a frente e {e(t)} indefinidos. Os parmetros do
polinmio C descreve a relao da perturbao. O modelo da Eq. (2.38) no
pode ser convertido diretamente para um modelo de regresso, sendo a
varivel {e(t)} no so conhecidos. O modelo de regresso pode, ser
obtida por adequadas aproximaes, para descrever estes,
tem-se.Onde
As variveis e(t) so aproximadas pela previso de erros (t). O
modelo pode ser aproximado por
e padro de mnimos quadrados recursivos pode ser aplicada. O
mtodo obtido chamado de mnimos quadrados prolongados (ELS). As
equaes para atualizar as estimativas so dadas por
(Compare com o teorema 2.3). Outro mtodo de estimar os parmetros
na Eq. (2,38) a utilizao de Eq. (2.39) e deixar que o residual ser
definido pela
E vetor regresso na Eq. (2.39) pode ser substitudo por ,
onde
As estimativas mais recentes devem ser usadas para a atualizar.
O mtodo obtido no verdadeiramente recursivo, uma vez que as Eqs
(2.41) e (2.40) so resolvidas a oartir de t=1 para cada medio. As
seguintes aproximaes podem ser feitas.
Este algoritmo chamado o mtodo recursivo de probabilidade mxima
(RML). vantajoso que tanto a ELS e RML para substituir o resduo no
vetor de regresso pelo residual posterior definida como
isto , o valor mais recente de usado para calcular Outra
possibilidade para modelar o rudo correlacionado usar o modelo
Em vez da Eq. (2.38). Estimativas dos parmetros recursivo para
este modelo pode ser derivada da mesma forma que para Eq.
(2.38)Detalhes sobre o prolongamento do mtodo dos mnimos quadrados
e o mtodo de probabilidade mxima recursiva so encontrados nas
referncias no final do captulo.UnificaoOs diferentes algoritmos
recursivos discutidos so bastante semelhantes. Eles podem todos ser
descrito pelas equaes.
Onde e so diferentes para diferentes mtodos.2.4 Condio
experimentalAs propriedades dos dados utilizados na estimativa de
parmetros so cruciais para a qualidade das estimativas. Por
exemplo, evidente que no h estimativas dos parmetros teis podem ser
obtidos, se todos os sinais so identicamente zero. Nesta seo, vamos
discutir a influncia das condies experimentais sobre a qualidade
das estimativas. No desempenho de identificao do sistema
automaticamente, como em um sistema adaptativo, essencial para
entender essas condies, a noo de excitao persistente, o que uma
maneira de caracterizar entradas do processo, introduzido. Em
sistemas adaptativos a entrada planta gerada pela realimentao.
Dificuldades causadas por este tambm so discutidos.Excitao
PersistenteVamos primeiro estimatima os parmetros em um modelo FIR
dada pela Eq. (2.33). Os parmetros do modelo no pode ser
determinado a no ser que algumas condies sejam impostas sobre o
sinal de entrada. Decorre a condio de exclusividade de estimativa
dos mnimos - quadrados dada pelo teorema 2.1 que o minimo nico se a
matriz.
tem rank completo. Esta condio chamada de condio de excitao.
Para conjuntos de dados longos, todas as quantias em Eq. (2.42)
pode ser tomada de 1 a t. Obtemos ento
Onde c(k) so as covarincias empricas da entrada, isto ,
Para os dados de comprimento ajusta-se a condio para a
singularidade pode assim ser expresso como a matriz na Eq. (2,43)
sendo definida positiva. Isto conduz seguinte definio.DEFINIO 2.1
Excitao Persistente