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Gisele Cristina da Cunha Holtz
Traado automtico de envoltrias de esforos em estruturas planas
utilizando um algoritmo evolucionrio
Dissertao de Mestrado
Dissertao apresentada como requisito parcial para obteno do
ttulo de Mestre pelo Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil da
PUC-Rio.
Orientadores: Luiz Fernando C. R. Martha Luiz Eloy Vaz
Rio de Janeiro, abril de 2005
DBDPUC-Rio - Certificao Digital N 0310953/CA
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Gisele Cristina da Cunha Holtz
Traado automtico de envoltrias de esforos em estruturas planas
utilizando um algoritmo evolucionrio
Dissertao apresentada como requisito parcial para obteno do
ttulo de Mestre pelo Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil da
PUC-Rio. Aprovada pela Comisso Examinadora abaixo assinada.
Luiz Fernando Campos Ramos Martha Presidente / Orientador
Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Luiz Eloy Vaz Co-orientador
UFRJ
Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil -
PUC-Rio
Ivan Fbio Mota de Menezes Departamento de Informtica -
PUC-Rio
Pedro Colmar Gonalves da Silva Vellasco UERJ
Jos Eugnio Leal Coordenador(a) Setorial do Centro Tcnico
Cientfico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 14 de abril de 2005
DBDPUC-Rio - Certificao Digital N 0310953/CA
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Todos os direitos reservados. proibida a reproduo total ou
parcial do trabalho sem autorizao da universidade, da autora e do
orientador.
Gisele Cristina da Cunha Holtz Graduou-se em Engenharia Civil,
pelo UniFOA - Centro Universitrio de Volta Redonda em 2002.
Desenvolveu seu trabalho de pesquisa com nfase em computao grfica
aplicada.
Ficha Catalogrfica
Holtz, Gisele Cristina da Cunha
Traado automtico de envoltrias de esforos em estruturas planas
utilizando algoritmo evolucionrio / Gisela Cristina da Cunha Holtz
; orientador: Luiz Fernando C. R. Martha, Luiz Eloy Vaz. Rio de
Janeiro : PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2005.
v., 123 f. : IL. ; 29,7cm
Dissertao (mestrado) Pontifcia Universidade Catlica do Rio de
Janeiro, Departamento de Engenharia Civil.
Inclui referncias bibliogrficas.
1. Engenharia civil Teses. 2. Estratgia evolutiva. 3. Computao
evolucionria. 4. Envoltria de esforos internos. 5. Trem-tipo. I.
Martha, Luiz Fernando Campos Ramos. II . Vaz, Luiz Eloy. III.
Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro. Departamento de
Engenharia Civil. IV. Ttulo.
CDD: 624
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Agradecimentos
A Deus, pela certeza de Seu amor incondicional.
Aos meus pais, Osmar e Ftima, que no mediram esforos para tornar
possvel
a concretizao desta etapa, dando todo o apoio, carinho e
incentivo
necessrios.
Ao meu marido Jlio, pelo companherismo, amor e pacincia
inestimveis, que
tornaram mais ameno e agradvel o tempo dedicado concluso deste
trabalho.
Ao meu irmo Gustavo, pela amizade e incentivo, e a minha irm
Patrcia, pelos
cuidados e carinhos de uma verdadeira me.
Ao professor Luiz Fernando Martha, orientador deste trabalho,
pela confiana
que me dedicou, pela qualidade de seus ensinamentos e pela
eficincia ao
orientar este trabalho.
Ao professor Luiz Eloy Vaz, co-orientador deste trabalho, pelo
direcionamento do
caminho a seguir no desenvolvimento deste trabalho e por suas
valiosas
orientaes.
Aos professores Francisco Abreu, Nacib Abdala e Ildony Bellei,
que foram os
primeiros a me incentivar a seguir este caminho.
A todos os amigos e familiares pelas oraes e pelo incentivo, em
especial ao
meu av Joo Batista e a amiga Laci Tuller, que acompanharam de
perto as
dificuldades enfrentadas, e aos novos amigos aqui conquistados,
Juliana Vianna,
Patrcio Pires e Leandro Ferreira.
Aos amigos do TecGraf que muito contriburam, direta ou
indiretamente, para o
desenvolvimento deste trabalho.
Ana Roxo e a todos os funcionrios e professores do Departamento
de
Engenharia Civil da PUC.
Ao TecGraf pelo apoio financeiro e tecnolgico durante o curso de
mestrado.
CAPES pelo apoio financeiro durante o curso de mestrado.
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Resumo Holtz, Gisele Cristina da Cunha; Martha, Luiz Fernando C.
R. (Orientador); Vaz, Luiz Eloy (Co-orientador). Traado automtico
de envoltrias de esforos em estruturas planas utilizando um
algoritmo evolucionrio. Rio de Janeiro, 2005. 123p. Dissertao de
Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifcia Universidade
Catlica do Rio de Janeiro.
O objetivo deste trabalho desenvolver dentro do programa FTOOL
uma
ferramenta para obteno de envoltrias de esforos internos devido
a cargas
mveis. Envoltrias geralmente so obtidas atravs de interpolao de
valores
limites de sees pr-selecionadas ao longo da estrutura. Estes
valores so
obtidos com base no posicionamento da carga mvel em relao s
linhas de
influncia dos esforos internos. A determinao de valores limites
de um
esforo em uma seo constitui um problema de otimizao cujo
objetivo
minimizar ou maximizar os valores dos esforos em relao posio do
trem-
tipo que percorre a estrutura. Porm, no existe uma expresso
analtica que
defina os valores limites de um esforo em uma seo para um dado
trem-tipo, o
que impossibilita o uso da maioria dos mtodos clssicos de
otimizao para
resolver o problema, porque esses mtodos requerem, na maioria
das vezes, o
uso de pelo menos a primeira derivada da funo objetivo em relao
s
variveis de projeto. Portanto, este trabalho adotou algoritmos
da Estratgia
Evolutiva ( EE ) para determinar os valores limites devidos a
cargas mveis.
Foram feitas duas implementao distintas de Estratgia Evolutiva,
conhecidas
como EE+ )1( e EE+ )( . Alm de utilizar algoritmos de EE
para
resolver o problema de envoltrias, foi desenvolvido um outro
processo de
soluo denominado Fora Bruta, que consiste em percorrer com o
trem-tipo
toda estrutura por passos pr-estabelecidos e calcular os valores
dos esforos
mnimos e mximos. Para a grande maioria dos casos, os resultados
obtidos
com a Estratgia Evolutiva foram corretos, porm, em alguns casos
mais
crticos, o valor exato da envoltria no encontrado em algumas
sees da
estrutura, embora encontre um valor muito prximo a ele.
Observou-se que os
resultados da EE podem ser melhorados quando se enriquece a
soluo com uma estratgia econmica de posicionamento de cargas
concentradas em cima
de picos da linha de influncia.
Palavras-chave Estratgia Evolutiva, Computao Evolucionria,
Envoltria de Esforos
Internos, Trem-tipo.
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Abstract Holtz, Gisele Cristina da Cunha; Martha, Luiz Fernando
C. R. (Advisor); Vaz, Luiz Eloy (Co-advisor). Automatic tracing of
envelopes in planar structures using a evolutionary algorithm. Rio
de Janeiro, 2005. 123p. MSc. Dissertation Civil Engineering
Department, Pontifcia Universidade Catlica do Rio de Janeiro.
The objective of this work is to develop a tool for obtaining
envelopes of
internal forces due to load-trains in the FTOOL software.
Usually, envelopes are
obtained through interpolation of limiting values on
pre-selected sections along
the structure. These values are obtained based on the
positioning of the load-
train in relation to influence lines of internal forces. The
determination of limiting
values of an effect at a section represents an optimization
problem whose
objective is to minimize or maximize the values of that effect
in relation to the
position of a load-train that passes along the structure.
However, there is no
analytical expression that defines a limiting value of an effect
on a section for a
specific load-train. Therefore, classical optimization methods
cannot be used to
solve this problem. Rather, the solution requires a method that
does not require
derivatives of the objective function. For this reason, this
work adopts algorithms
of the Evolution Strategy (ES) to achieve the limiting values
due to load-trains.
Two distinct algorithms of the ES, known as ES+ )1( and ES+ )( ,
were
implemented. In addition to the ES algorithms to trace the
envelopes, another
process of solution called ForceBrute was developed. It consists
of moving the
load-train in pre-determined steps along the structure and
calculating minimum e
maximum values. In general, the ES method converges to the
correct solution.
However, there are cases, depending on the complexity of the
load-train, that the
algorithms do not find the exact limiting value (although
usually very close to it). It
was observed that the ES results could be complemented and
improved with
results from an inexpensive solution in which concentrated loads
are positioned
on peak values of the influence lines.
Key-words Evolution Strategy, Evolutionary Computation,
Envelopes of Internal
Forces, Load-Train.
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Sumrio
1 Introduo 20 1.1. Objetivo 20 1.2. Organizao do Trabalho 21
2 Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 22
2.1. Introduo 22 2.2. Classificao das aes atuantes nas estruturas
22 2.3. Cargas Mveis 23 2.4. Linhas de Influncia 24 2.4.1. Traado
de LI 25 2.5. Determinao de esforo extremo com base em LI 26 2.6.
Envoltria Limite de Esforos 28
3 Mtodos de Otimizao 35 3.1. Introduo 35 3.2. Definies 35 3.3.
Mtodos Determinsticos 36 3.4. Mtodos Probabilsticos 38 3.4.1.
Computao Evolucionria 38 3.4.1.1. Definies 41 3.4.1.2. Algoritmo
Evolucionrio 41 3.4.1.3. Principais Ramos da Computao Evolucionria
46 3.4.1.4. Algoritmos Genticos (AGs) 47 3.4.1.5. Programao Gentica
(PG) 48 3.4.1.6. Programao Evolutiva (PE) 50 3.4.1.7. Estratgia
Evolutiva (EE) 51 3.4.1.7.1. Distribuio Normal 52 3.4.1.7.2.
Algoritmo Padro de EE 55 3.4.1.8. Comparao entre Estratgia
Evolutiva e Algoritmo Gentico 57
4 Implementao Computacional 59 4.1. Introduo 59
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4.2. Trem-tipo 59 4.2.1. NBR 7188 Carga mvel em ponte rodoviria
e passarela de
pedestre 59 4.2.2. NBR 7189 Cargas mveis para projetos
estrutural de obras
ferrovirias 62 4.2.3. Interface grfica 63 4.2.4. Carga
Concentrada 65 4.2.5. Carga Distribuda 65 4.2.6. Carga de Multido
67 4.2.7. Estrutura de Dados 69 4.3. Funo Aptido 70 4.3.1. Eventos
71 4.3.1.1. Estrutura de Dados dos Eventos 72 4.3.2. Clculo da Funo
Aptido 75 4.3.3. Envoltria de Esforos no FTOOL 75
5 Algoritmos Implementados 78 5.1. Introduo 78 5.2. Consideraes
gerais 78
5.3. Estratgia 1+ - EE 80 5.3.1. Sub-diviso do Espao de busca 80
5.3.1.1. Estrutura de dados 81 5.3.1.2. Inicializao da populao 82
5.3.1.3. Mutao 82 5.3.1.4. Seleo 83 5.3.1.5. Critrio de parada
85
5.4. Estratgia + - EE 85 5.4.1. Estrutura de dados 85 5.4.1.1.
Inicializao da populao 86 5.4.1.2. Mutao 86 5.4.1.3. Seleo 86
5.4.1.4. Critrio de parada 88 5.5. Fora Bruta 89 5.6.
Cargas-em-picos 90
6 Exemplos de Validao e Anlise de Resultados 91
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6.1. Introduo 91 6.2. Exemplo 1 91 6.2.1. Envoltria de Esforo
Cortante 92 6.2.1.1. Variao dos Parmetros 96 6.2.2. Envoltria de
Momento Fletor 98 6.3. Exemplo 2 100 6.3.1. Envoltria de Esforo
Cortante 100 6.3.2. Envoltria de Momento Fletor 102 6.4. Exemplo 3
104 6.4.1. Envoltria de Esforo Normal 105 6.4.2. Envoltria de
Esforo Cortante 106 6.4.3. Envoltria de Momento Fletor 108 6.5.
Exemplo 4 109 6.5.1. Envoltria de Esforo Cortante 110 6.5.2.
Envoltria de Momento Fletor 111 6.6. Testes Realizados 113 6.6.1.
Caso 1 113 6.6.2. Caso 2 115 6.7. Anlise do nmero de avaliaes da
funo aptido 116 6.8. Anlise do tempo de processamento 117
7 Concluso 119 7.1. Sugesto para trabalhos futuros 120
Referncia Bibliogrfica 121
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Lista de figuras
Figura 2.1 Linha de influncia de momento fletor em uma seo de
uma viga
contnua. 24 Figura 2.2 Deslocamentos generalizados utilizados no
mtodo cinemtico. 26 Figura 2.3 Carga permanente uniformemente
distribuda atuando em uma viga
contnua. 26 Figura 2.4 Posicionamento da carga mvel para
provocar mximo momento
fletor em uma seo. 27 Figura 2.5 Posicionamento da carga mvel
para provocar mnimo momento
fletor em uma seo. 27 Figura 2.6 Viga bi-apoiada com balanos,
carga permanente e carga mvel. 29 Figura 2.7 Esforos internos da
carga permanente. 29
Figura 2.8 Esforo cortante mximo e mnimo na seo esqB . 30
Figura 2.9 Esforo cortante mximo e mnimo na seo dirB . 30 Figura
2.10 Esforo cortante mximo e mnimo na seo C . 30 Figura 2.11 Esforo
cortante mximo e mnimo na seo D . 31 Figura 2.12 Envoltrias de
Esforo Cortante. 32 Figura 2.13 Momento fletor mximo e mnimo na seo
B . 32 Figura 2.14 Momento fletor mximo e mnimo na seo C . 32
Figura 2.15 Momento fletor mximo e mnimo na seo D . 33 Figura 2.16
Envoltrias de momento fletor. 33 Figura 3.1 Formulao de um problema
de otimizao. 37 Figura 3.2 Evoluo tpica de um AE , ilustrada de
acordo com a distribuio
da populao. Adaptado de EIBEN & SMITH (2003). 40 Figura 3.3
Esquema geral de um Algoritmo Evolucionrio. Adaptado de
BCK et al (1997). 45 Figura 3.4 Ramificao da Inteligncia
Artificial. Adaptada de
OLIVIERI (2004). 46 Figura 3.5 Seleo utilizando o mtodo da
roleta (Barbosa, 1977). 48 Figura 3.6 Crossover na PG : seleo
aleatria dos ramos que sofrero o corte
(SOUSA & ANDRADE, 1998). 49 Figura 3.7 Crossover na PG :
funes resultantes (SOUSA & ANDRADE,
1998). 50
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Figura 3.8 Aplicao do operador de mutao na PG
(SOUSA & ANDRADE, 1998). 50 Figura 3.9 Funo de densidade de
probabilidade de uma v.a. normal com
mdia e desvio padro . 53 Figura 3.10 Nmeros gerados pela funo
rand da biblioteca da linguagem C.54 Figura 3.11 Nmeros gerados
pela transformao da v.a. uniforme em v.a.
normal. 54 Figura 4.1 Trem-tipo composto de um veculo e de
cargas uniformemente
distribudas (NBR 7188, 1982). 60 Figura 4.2 Veculos-tipo (NBR
7188, 1982). 61 Figura 4.3 Caractersticas geomtricas do trem-tipo
(NBR 7189, 1985). 62 Figura 4.4 - Interface grfica para a edio de
um novo trem-tipo. 63 Figura 4.5 Lista expansvel para seleo do
trem-tipo. 63 Figura 4.6 Mdulo para edio do nome do trem-tipo. 64
Figura 4.7 rea destinada edio do comprimento do trem-tipo. 64
Figura 4.8 Matriz de cargas concentradas. 65 Figura 4.9 Matriz de
cargas distribudas para trem-tipo rodovirio. 66 Figura 4.10 Matriz
de cargas distribudas para trem-tipo ferrovirio. 66 Figura 4.11
Cargas de multido. 67 Figura 4.12 Trecho de uma ponte. 68 Figura
4.13 LI da reao no apoio A , na Seo IIII . 68 Figura 4.14 LI da
reao no apoio A , na Seo II . 69 Figura 4.15 Trem-tipo
unidimensional resultante da transformao do trem-tipo
classe 45 da NBR-7188 (1982) . 69 Figura 4.16 Estrutura de dados
do trem-tipo. 70 Figura 4.17 Linha de influncia com a identificao
dos eventos. 72 Figura 4.18 Estrutura de dados de um evento 72
Figura 4.19 Botes para seleo dos esforos. 76 Figura 4.20 Prtico com
envoltria de esforo cortante devido ao de uma
carga mvel 76 Figura 4.21 LI com trem-tipo nas posies crticas.
77 Figura 5.1 Prtico com viga inclinada, trem-tipo e espao de
busca. 79 Figura 5.2 Determinao do trecho inicial e final. 81
Figura 5.3 Estrutura de dados dos trechos. 82 Figura 5.4 Processo
de busca por trechos. 84 Figura 5.5 Estrutura de dados de um
indivduo. 85
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Figura 6.1 Exemplo 1. 91 Figura 6.2 Envoltria de esforo cortante
do Exemplo 1 para EE+ 1 ,
EE+ , Fora Bruta e Cargas-em-picos. 92
Figura 6.3 LI de Esforo Cortante da Seo Ddir do Exemplo 1 com o
trem-tipo na posio crtica. 95 Figura 6.4 Diferena entre a envoltria
obtida e a envoltria real. 96 Figura 6.5 Surgimento de falhas na
envoltria de esforos cortantes no
balano. 97 Figura 6.6 Nmero de avaliaes da funo aptido no
Exemplo 1 x . 97
Figura 6.7 Variao do esforo cortante mximo na seo dirB do
Exemplo 1 em funo de . 98 Figura 6.8 Envoltria de momento fletor do
Exemplo 1 para EE+ 1 ,
EE+ , Fora Bruta e Cargas-em-picos. 98
Figura 6.9 Falha na envoltria de momento fletor ao utilizar
a
Estratgia + . 100
Figura 6.10 Exemplo 2. 100 Figura 6.11 Envoltria de esforo
cortante do Exemplo 2 para EE+ 1 ,
EE+ e Fora Bruta. 101
Figura 6.12 Envoltria de esforo cortante do Exemplo 2 para
Cargas-em-
picos. 101 Figura 6.13 Envoltria de momento fletor do Exemplo 2
para EE+ 1 ,
EE+ e Fora Bruta. 103
Figura 6.14 Envoltria de momento fletor do Exemplo 2 para
Cargas-em-picos. 103 Figura 6.15 Exemplo 3. 105 Figura 6.16
Envoltria de esforo normal do Exemplo 3 para EE+ 1 ,
EE+ , Fora Bruta e Cargas-em-picos. 105
Figura 6.17 Envoltria de esforo cortante do Exemplo 3 para EE+ 1
,
EE+ , Fora Bruta e Cargas-em-picos. 106
Figura 6.18 Envoltria momento fletor do Exemplo 3 para EE+ 1
,
EE+ , Fora Bruta e Cargas-em-picos. 108
Figura 6.19 Exemplo 4. 110 Figura 6.20 Envoltria de esforo
cortante do Exemplo 4 para EE+ 1 ,
EE+ , Fora Bruta e Cargas-em-picos. 110
Figura 6.21 Envoltria de momento fletor do Exemplo 4 para EE+ 1
,
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EE+ , Fora Bruta e Cargas-em-picos. 111
Figura 6.22 Trem-tipo do Caso 1. 113 Figura 6.23 Envoltria de
esforo cortante no balano da estrutura do Exemplo
4 utilizando o trem-tipo do Caso 1 . 114
Figura 6.24 LI de esforo cortante da seo dirB do Exemplo 3 com
trem-tipo
nas posies crticas. 114 Figura 6.25 Trem-tipo caso 2. 115 Figura
6.26 Envoltria de esforo cortante da estrutura do Exemplo 4 para
o
trem-tipo do Caso 2 utilizando EE+ 1 . 115 Figura 6.27 Envoltria
de esforo cortante da estrutura do Exemplo 4 para o
trem-tipo do Caso 2 utilizando Cargas-em-picos. 116 Figura 6.28
Nmero de avaliaes da funo aptido na envoltria de esforo
cortante mximo. 116 Figura 6.29 Tempo de processamento do
programa para clculo da envoltria
de esforo cortante mximo. 117
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Lista de quadros
Quadro 4.1 Botes de manipulao do trem-tipo. 64 Quadro 4.2
Possveis tipos de ocorrncia de eventos. 74 Quadro 4.3 Botes para
calcular a envoltria de esforos. 75
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Lista de tabelas
Tabela 2.1 Envoltrias de Esforo Cortante [kN]. 31 Tabela 2.2
Resultados obtidos na envoltria de momento fletor. 33 Tabela 3.1
Comparao entre Estratgia Evolutiva e Algoritmo Gentico 58 Tabela
4.1 Cargas dos veculos (NBR 7188, 1982). 60 Tabela 4.2
Caractersticas dos veculos (NBR 7188, 1982). 61 Tabela 4.3 Cargas
dos trens-tipo (NBR 7189, 1985). 62 Tabela 5.1 . Parmetros adotados
na ES+ )( . 87
Tabela 6.1 Resultados obtidos na envoltria de esforo cortante
do
Exemplo 1. 92 Tabela 6.2 Erros relativos na envoltria de esforo
cortante do Exemplo 1. 93 Tabela 6.3 Nmero de avaliaes da funo
aptido no traado da envoltria
de esforo cortante do Exemplo 1. 94 Tabela 6.4 Resultados
obtidos na envoltria de momento fletor do
Exemplo 1. 99 Tabela 6.5 Erros relativos na envoltria de momento
fletor do Exemplo 1. 99 Tabela 6.6 Nmero de avaliaes da funo aptido
no traado da envoltria
de momento fletor do Exemplo 1. 99 Tabela 6.7 Resultados obtidos
na envoltria de esforo cortante do
Exemplo 2. 101 Tabela 6.8 Erros relativos na envoltria de esforo
cortante do Exemplo 2. 102 Tabela 6.9 Nmero de avaliaes da funo
aptido no traado da envoltria
de esforo cortante do Exemplo 2. 102 Tabela 6.10 Resultados
obtidos na envoltria de momento fletor do
Exemplo 2. 103 Tabela 6.11 Erros relativos na envoltria de
momento fletor do Exemplo 2. 104 Tabela 6.12 Nmero de avaliaes da
funo aptido no traado da envoltria
de momento fletor do Exemplo 2. 104 Tabela 6.13 Resultados
obtidos na envoltria de esforo normal na coluna do
prtico do Exemplo 3. 105 Tabela 6.14 Erros relativos na
envoltria de esforo normal na coluna do
prtico do Exemplo 3. 106 Tabela 6.15 Nmero de avaliaes da funo
aptido no traado da envoltria
de esforo normal do Exemplo 3. 106
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Tabela 6.16 Resultados obtidos na envoltria de esforos cortantes
do
Exemplo 3. 107 Tabela 6.17 Erros relativos na envoltria de
esforo cortante do Exemplo 3.107
Tabela 6.18 Nmero de avaliaes da funo aptido no traado da
envoltria
de esforo cortante do Exemplo 3. 107 Tabela 6.19 Resultados
obtidos na envoltria de momento fletor do Exemplo
3. 108 Tabela 6.20 Erros relativos na envoltria de momento
fletor do
Exemplo 3. 109 Tabela 6.21 Nmero de avaliaes da funo aptido no
traado da envoltria
de momento fletor do exemplo 3. 109 Tabela 6.22 Resultados
obtidos na envoltria de esforo cortante do
Exemplo 4. 110 Tabela 6.23 Erros relativos na envoltria de
esforo cortante do Exemplo 4.111 Tabela 6.24 Nmero de avaliaes da
funo aptido no traado da envoltria
de esforo cortante do Exemplo 4. 111 Tabela 6.25 Resultados
obtidos na envoltria de momento fletor do
Exemplo 4. 112 Tabela 6.26 Erros relativos na envoltria de
momento fletor do Exemplo 4. 112 Tabela 6.27 Nmero de avaliaes da
funo aptido no traado da envoltria
de momento fletor do Exemplo 4. 112
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Lista de Smbolos
Romanos dx Distncia que a estrutura discretizada
E Esforo ou reao
fd Funo densidade
g Carga uniformemente distribuda
i Indica uma das variveis da funo objetivo
IND ndice fornecido pela decodificao da varivel
k Nmero mximo de geraes que um indivduo pode permanecer na
populao
sLIM Ordenada genrica da linha de influncia de momento
fletor
SM Momento fletor em S
n nmero de variveis da funo objetivo
na nmero de avaliaes da funo aptido em uma seo transversal
da
estrutura
nb Nmero de bits
gern Nmero de geraes
secn Nmero de sees transversais que a estrutura foi
discretizada
totn Nmero total de avaliaes da funo aptido em toda
estrutura
P Carga concentrada p Carga de multido externa
'p Carga de multido interna
cp Probabilidade de recombinao (crossover)
ip Probabilidade de seleo
mp Probabilidade de ocorrncia de mutao de um gene
q Carregamento acidental de ocupao q Carga distribuda
correspondente ao vago cheio no trem-tipo ferrovirio
'q Carga distribuda correspondente ao vago vazio no trem-tipo
ferrovirio
R Reao de apoio
S Seo transversal da estrutura
t Tamanho dos sub-grupos de torneios na PE
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u Varivel aleatria uniforme
v Indivduo genitor
'v Indivduo descendente
x Ponto de busca no espao
x Posio da carga unitria no clculo da linha de influncia
x Posio da carga concentrada do trem-tipo
xa Posio inicial da carga distribuda do trem-tipo
xb Posio final da carga distribuda do trem-tipo Lx Limite
inferior do espao de busca Ux Limite superior do espao de busca
z Varivel aleatria normal padro
l comprimento do caminho que o trem-tipo ir percorrer
tl comprimento do trem-tipo
totl Comprimento total da estrutura
Gregos Mdia
Deslocamento generalizado
Nmero de descendentes Nmero de genitores
Rotao Nmero de indivduos que participam da recombinao
Desvio padro 2 Varincia
Parmetro da Estratgia Evolutiva
' Parmetro da Estratgia Evolutiva
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Lista de Abreviaturas
AE Algoritmo Evolucionrio
AG Algoritmo Gentico
EE Estratgia Evolutiva
FTOOL Two-dimensional Frame Analysis Tool
LI Linha de influncia
LIM Linha de influncia de momento fletor
LIQ Linha de influncia de esforo cortante
PDV Princpio dos deslocamentos virtuais
PE Programao Evolutiva
PG Programao Gentica
v.a. Varivel aleatria
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1 Introduo
1.1. Objetivo
Para o dimensionamento de estruturas submetidas a cargas mveis,
tais
como pontes rodovirias, ferrovirias e prticos industriais,
essencialmente
necessrio o conhecimento dos esforos limites, mnimos e mximos,
atuantes
nas sees das estruturas. Esses esforos so geralmente dispostos
em um
diagrama denominado de envoltria de esforos.
O traado de envoltrias de esforos um processo muito
trabalhoso.
Ele se baseia na determinao de linhas de influncia (considerao
de efeitos
de cargas unitrias) do esforo em questo para cada seo da
estrutura e no
posicionamento da carga mvel em relao linha de influncia.
Esse
posicionamento feito em vrias tentativas, pois, em geral, no
obvia a
posio da carga mvel que provoca um valor extremo do esforo em
uma
seo.
O objetivo deste trabalho desenvolver, dentro do programa
FTOOL
(Two-dimensional Frame Analysis Tool), uma ferramenta para
determinar
envoltrias de esforos a partir das posies de atuao do trem-tipo
(carga
mvel) que causam os esforos limites.
O FTOOL um programa educacional de anlise estrutural de
prticos
planos. Ao contrrio de muitos programas educativos que se
preocupam em
ensinar tcnicas de anlise numrica, o objetivo bsico do FTOOL
(MARTHA,
1999) motivar os alunos a aprender o comportamento estrutural.
Para tanto,
possui uma interface amigvel que permite fcil criao e manipulao
dos
modelos.
So poucos os programas que possuem ferramentas para traado
de
envoltrias de esforos e, dos que possuem, muitos o fazem de
maneira
incorreta ou incompleta. A idia natural que surge para explicar
o traado de
envoltrias movimentar a carga mvel ao longo da estrutura
calculando o valor
do esforo em sees pr-estabelecidas da estrutura para cada posio
da
carga mvel e, aps percorrer toda estrutura, determinar os
valores extremos do
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-
Introduo 21
esforo em cada seo. Isso feito, por exemplo, pelo programa Dr.
Beam (Dr.
SOFTWARE, 2005). Entretanto, esse processo no considera todas
as
particularidades dos trens-tipo, como a existncia da carga de
multido. Outros
programas, como o STRAP (ATIR, 2005), embora considerem esse
tipo de
carga, percorrem toda estrutura com a carga mvel por passos de
tamanho pr-
estabelecidos para determinar os esforos limites e, sendo assim,
no verificam
todas as posies possveis.
As dificuldades no processo do traado de envoltrias de esforos
muitas
vezes limitam a percepo dos alunos ao comportamento das
estruturas
submetidas a cargas mveis. Este trabalho busca no s traar
envoltrias de
esforos provocados por cargas mveis de forma correta como tambm
oferecer
uma ferramenta educativa eficiente para o ensino do traado. A
implementao
da envoltria de esforos enriquece ainda mais a caracterstica
educacional do
FTOOL, pois alm da obteno da envoltria propriamente dita, o
aluno pode
analisar para uma seo da estrutura as posies crticas do
trem-tipo. Alm
disso, pode-se testar diferentes alternativas de trens-tipo,
adquirindo
sensibilidade ao comportamento estrutural.
1.2. Organizao do Trabalho
O captulo dois mostra como se pode obter o esforo em uma seo
da
estrutura devido ao de uma carga mvel a partir da sua linha de
influncia.
Alguns mtodos de otimizao so apresentados no captulo trs,
onde
dado uma maior nfase a Computao Evolucionria, que uma famlia
de
mtodos probabilsticos de otimizao a qual pertence a Estratgia
Evolutiva,
que foi utilizada neste trabalho.
No captulo quatro descreve-se a implementao computacional,
incluindo
as modificaes na estrutura de dados e na interface grfica do
FTOOL para a
criao dos trens-tipo e o traado das envoltrias de esforos.
Os detalhes da implementao dos algoritmos utilizados para a
determinao dos esforos limites esto no captulo cinco.
Para a validao da ferramenta desenvolvida, o captulo seis
mostra
exemplos e comparaes dos resultados obtidos.
As concluses finais e comentrios foram feitos no captulo sete,
onde
tambm se ressaltam as caractersticas dos resultados obtidos
atravs de cada
mtodo.
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2 Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos
2.1. Introduo
Para o dimensionamento de qualquer estrutura necessrio conhecer
os
esforos mximos e mnimos que ela apresentar ao ser submetida
ao
carregamento que ser destinada. Para estruturas submetidas a
cargas mveis
existe um diagrama, denominado de envoltria de esforos, que
determina os
valores limites, mximo ou mnimo, para as sees transversais da
estrutura.
A seguir, sero apresentados conceitos, relacionados a cargas
mveis e
traado de linhas de influncia, necessrios ao clculo das
envoltrias de
esforos, bem como ser exemplificada a determinao de uma
envoltria de
esforos e discutida as maneiras de obt-la.
2.2. Classificao das aes atuantes nas estruturas
De acordo com a NBR 8681 (1984), as aes atuantes nas
estruturas,
que so as causas que provocam esforos ou deformaes, podem
ser
classificadas segundo sua variabilidade no tempo em trs
categorias:
Aes permanentes
So as cargas que ocorrem com valores constantes ou de
pequena
variao em torno de sua mdia, durante praticamente toda a vida
da
construo. As aes permanentes so divididas em diretas, tais como
os
pesos prprios dos elementos da construo, incluindo-se o peso
prprio
da estrutura e de todos os elementos construtivos permanentes,
e
indiretas, como protenso, recalques de apoio e a retrao dos
materiais.
Aes variveis
So as cargas que ocorrem com valores que apresentam variaes
significativas em torno de sua mdia, durante a vida da construo.
So
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 23
as cargas mveis ou acidentais das construes, isto , cargas que
atuam
nas construes em funo de seu uso (pessoas, mobilirio,
veculos,
materiais diversos, etc.).
Elas podem ser normais, quando possuem probabilidade de
ocorrncia
suficientemente grande para que sejam obrigatoriamente
consideradas no
projeto das estruturas de um dado tipo de construo, ou
especiais, como
aes ssmicas ou cargas acidentais de natureza ou de
intensidade
especiais.
Aes excepcionais
So as cargas que tm durao extremamente curta e muito baixa
probabilidade de ocorrncia durante a vida da construo, mas que
devem
ser consideradas nos projetos de determinadas estruturas. Por
exemplo,
aes excepcionais podem ser decorrentes de exploses, choques
de
veculos, incndios, enchentes ou sismos excepcionais.
2.3. Cargas Mveis
Diversas estruturas so solicitadas por cargas mveis. Exemplos
so
pontes rodovirias e ferrovirias ou prticos industriais que
suportam pontes
rolantes para transporte de cargas. Os esforos internos nestes
tipos de
estrutura no variam apenas com a magnitude das cargas aplicadas,
mas
tambm com a posio de atuao das mesmas. Portanto, o projeto de
um
elemento estrutural, como uma viga de ponte, envolve a
determinao das
posies das cargas mveis que produzem valores extremos dos
esforos nas
sees do elemento.
No projeto de estruturas submetidas a cargas fixas, a posio de
atuao
de cargas acidentais de ocupao tambm influencia na determinao
dos
esforos dimensionantes. Por exemplo, o momento fletor mximo em
uma
determinada seo de uma viga contnua com vrios vos no
determinado
pelo posicionamento da carga acidental de ocupao em todos os
vos.
Posies selecionadas de atuao da carga acidental vo determinar os
valores
limites de momento fletor na seo. Assim, o projetista ter que
determinar, para
cada seo a ser dimensionada e para cada esforo dimensionante, as
posies
de atuao das cargas acidentais que provocam os valores extremos
(mximos
e mnimos de um determinado esforo).
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 24
Uma alternativa para este problema seria analisar a estrutura
para vrias
posies das cargas mveis ou acidentais e selecionar os valores
extremos.
Este procedimento no prtico nem eficiente de uma maneira geral,
exceto
para estruturas e carregamentos simples. O procedimento geral e
objetivo para
determinar as posies de cargas mveis e acidentais que provocam
valores
extremos de um determinado esforo em uma seo de uma estrutura
feito
com auxlio de Linhas de Influncia.
2.4. Linhas de Influncia
Linhas de Influncia ( LI ) descrevem a variao de um determinado
efeito
(por exemplo, uma reao de apoio, um esforo cortante ou um
momento fletor
em uma seo) em funo da posio de uma carga vertical unitria que
passeia
sobre a estrutura. Assim, a LI de momento fletor em uma seo
a
representao grfica ou analtica do momento fletor, na seo de
estudo,
produzida por uma carga concentrada vertical unitria, geralmente
de cima para
baixo, que percorre a estrutura. Isso exemplificado na Figura
2.1, que mostra a
LI de momento fletor em uma seo S indicada. Nesta figura, a
posio da
carga unitria 1=P dada pelo parmetro x , e uma ordenada genrica
da LI
representa o valor do momento fletor em S em funo de x , isto
,
)(xMLIM SS = . Em geral, os valores positivos dos esforos nas
linhas de
influncia so desenhados para baixo e os valores negativos para
cima.
S
MS(x)
P = 1 x
Figura 2.1 Linha de influncia de momento fletor em uma seo de
uma viga contnua.
Com base no traados de sLI ' , possvel obter as chamadas
envoltrias
limites de esforos que so necessrias para o dimensionamento de
estruturas
submetidas a cargas mveis ou acidentais.
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 25
2.4.1. Traado de LI
O FTOOL calcula a linha de influncia de um esforo E utilizando o
Princpio de Mller-Breslau (SSSEKIND, 1997), tambm conhecido
como
mtodo cinemtico para o traado de LI , que foi formulado por
Mller-Breslau
no final do sculo 19.
Este mtodo pode ser demonstrado atravs do Princpio dos
Deslocamentos Virtuais - PDV (Martha, 2005) e pode ser aplicado
para qualquer
tipo de estrutura, isosttica ou hiperesttica. Embora este mtodo
possa ser
utilizado para obteno de LI de esforos e reaes, o FTOOL no
calcula LI
de reaes.
De uma maneira resumida, para se traar a linha de influncia de
um efeito
E (esforo ou reao), procede-se da seguinte forma (SSSEKIND,
1997):
rompe-se o vnculo capaz de transmitir o efeito E cuja linha de
influncia se deseja determinar;
na seo onde atua o efeito E , atribui-se estrutura, no sentido
oposto ao de E positivo, um deslocamento generalizado unitrio, que
ser tratado com sendo muito pequeno;
a configurao deformada (elstica) obtida a linha de
influncia.
O deslocamento generalizado que se faz referncia depende do
efeito em
considerao, tal como indicado na Figura 2.2. No caso de uma reao
de apoio,
o deslocamento generalizado um deslocamento absoluto da seo do
apoio.
Para um esforo normal, o deslocamento generalizado um
deslocamento axial
relativo na seo de esforo normal. Para um esforo cortante, o
deslocamento
generalizado um deslocamento transversal relativo na seo do
esforo
cortante. E para um momento fletor, o deslocamento generalizado
uma rotao
relativa entre as tangentes elstica adjacentes seo do momento
fletor.
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 26
= 1
V
Q
M M
Q
Reao de apoio
Esforo cortante
Momento fletor
= 1
= 1
Efeito Deslocamento generalizado
N N
Esforo normal = 1
Figura 2.2 Deslocamentos generalizados utilizados no mtodo
cinemtico.
2.5. Determinao de esforo extremo com base em LI
A determinao de valores mximo e mnimo de um esforo interno
em
uma seo de estudo exemplificada para o caso do momento fletor na
seo
S da Figura 2.1. O carregamento permanente, constitudo do peso
prprio da
estrutura, representado por uma carga uniformemente distribuda g
, tal como
indica a Figura 2.3.
g S
LIMS
Figura 2.3 Carga permanente uniformemente distribuda atuando em
uma viga
contnua.
Considerando que a ordenada de ( )( )xMLIM SS = funo de uma
carga concentrada unitria, o valor do momento fletor em S devido ao
carregamento permanente pode ser obtido por integrao do produto da
carga infinitesimal
gdx por ( )xM S ao longo da estrutura (Equao 2.1):
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 27
==12
0
12
0
)( gdxLIMgdxxMM SSgS (2.1)
Considere que existe uma carga mvel atuando sobre a estrutura,
que
composta por uma carga concentrada P e por um carregamento
acidental de ocupao que representado por uma carga uniformemente
distribuda q . Por
ser acidental, a carga q pode atuar parcialmente ao longo da
estrutura. O que
se busca so as posies de atuao das cargas P e q que maximizam
ou
minimizam o momento fletor em S . O valor mximo de sM obtido
quando a
carga q est posicionada sobre ordenadas positivas da sLIM e a
carga P est
sobre a maior ordenada positiva, e o valor mnimo obtido quando a
carga q
est posicionada sobre ordenadas negativas da sLIM e a carga P
est sobre a
maior ordenada negativa. Isso mostrado nas Figuras 2.4 e
2.5.
q q
q S
LIMS
P
Figura 2.4 Posicionamento da carga mvel para provocar mximo
momento fletor em
uma seo.
q
S LIMS
P
Figura 2.5 Posicionamento da carga mvel para provocar mnimo
momento fletor em
uma seo.
Os valores mximo e mnimo de sM devidos somente ao
carregamento
acidental podem ser obtidos por integrao do produto qdxLIM s .
nos trechos
positivos e negativos, respectivamente, da linha de influncia,
conforme
equaes 2.2 e 2.3:
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 28
( ) +=12
9
4
0
qdxLIMqdxLIMM SSmxqS (2.2)
( ) =9
4
qdxLIMM SmnqS (2.3)
Os valores mximo e mnimo de sM devidos carga concentrada
podem
ser obtidos pelo produto PLIM s . , onde sLIM a maior ordenada
positiva ou
negativa da linha de influncia, respectivamente :
( ) PLIMM mxmxPS S = (2.4) ( ) PLIMM mnmnPS S = (2.5)
Assim, os valores mximos e mnimos finais de sM provocados
pelo
carregamento permanente e pela carga mvel so :
( ) ( ) ( )mxPSmxqSgSmxS MMMM ++= (2.6) ( ) ( ) ( )mnPSmnqSgSmnS
MMMM ++= (2.7)
Observe que, no caso geral, o valor mximo final de um
determinado
esforo em uma seo no necessariamente positivo, nem o valor mnimo
final
necessariamente negativo. Isto vai depender da magnitude dos
valores
provocados pelos carregamentos permanente e acidental. Quando
mximo e
mnimo tiverem o mesmo sinal, o esforo dimensionante ser o que
tiver a maior
magnitude. Quando mximo e mnimo tiverem sentidos opostos,
principalmente
no caso de momento fletor, ambos podem ser dimensionantes.
2.6. Envoltria Limite de Esforos
As envoltrias limites de um determinado esforo em uma
estrutura
descrevem para um conjunto de cargas mveis ou acidentais, os
valores
mximos e mnimos deste esforo em cada uma das sees da estrutura,
de
forma anloga a que descreve o diagrama de esforos para um
carregamento
fixo. Assim, o objetivo da Anlise Estrutural para o caso de
cargas mveis ou
acidentais a determinao de envoltrias de mximos e mnimos de
momentos
fletores, esforos cortantes, etc., o que possibilitar o
dimensionamento da
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 29
estrutura submetida a este tipo de solicitao. As envoltrias so,
em geral,
obtidas por interpolao de valores mximos e mnimos,
respectivamente, de
esforos calculados em determinado nmero de sees transversais ao
longo da
estrutura.
A seguir mostrado um exemplo de determinao de envoltria de
esforos internos de uma viga bi-apoiada com balanos, carga
permanente e
carga mvel (Figura 2.6). Na figura tambm esto indicadas as sees
adotadas
para o clculo dos valores limites e para o traado das
envoltrias. Devido a
simetria da estrutura em relao seo D , a obteno dos valores
limites ser
demonstrada apenas para as sees A , B , C e D , visto que a
envoltria de
esforo cortante ser anti-simtrica e a de momento fletor ser
simtrica.
Carga Mvel
Carga Permanente
A B C D E F G Besq Bdir Fesq Fdir
Estrutura e sees trans-versais para envoltrias
Figura 2.6 Viga bi-apoiada com balanos, carga permanente e carga
mvel.
Os esforos devidos carga permanente foram primeiramente
calculados,
ou seja, determinaram-se os diagramas de esforo cortante e de
momento fletor
(Figura 2.7).
A C D E G Besq
Bdir Fesq
Fdir
A B
C D E F
G
Carga Permanente: Esforos Cortantes [kN]
Carga Permanente: Momentos Fletores [kNm]
Figura 2.7 Esforos internos da carga permanente.
Em seguida, determinaram-se os esforos cortantes mximos e
mnimos
devidos carga mvel para cada seo transversal adotada da
estrutura
(Figuras 2.8 a 2.11). O posicionamento do trem-tipo para
determinar os valores
limites em cada seo segue o procedimento mostrado na seo
2.5.
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 30
Posio da carga mvel para QBesq mnimo
Posio da carga mvel para QBesq mximo (carga mvel no atuando)
LIQBesq Besq
( ) [ ] kNQ mcmnBesq
00.60)00.1(310)00.1(10)00.1(20...
=++=
( ) 0...
=mcmxBesq
Q
Figura 2.8 Esforo cortante mximo e mnimo na seo esqB .
Posio da carga mvel para QBdir mnimo
Posio da carga mvel para QBdir mximo
LIQBdir Bdir
( ) [ ] kNQ mcmnBdir 75.8)25.0(35.010)25.0(20.. . =+=
( ) [ ] kNQ mcmxBdir
25.91)00.1(125.010)25.0(35.010)75.0(10)00.1(20.. . +=+++=
Figura 2.9 Esforo cortante mximo e mnimo na seo dirB .
Posio da carga mvel para QC mnimo
Posio da carga mvel para QC mximo
LIQC C
( ) [ ] kNQ mcmnC 50.12)25.0(35.010)25.0(35.010)25.0(20.. .
=++=
( ) [ ] kNQ mcmxC
50.57)75.0(95.010)25.0(35.010)50.0(10)75.0(20.. . +=+++=
Figura 2.10 Esforo cortante mximo e mnimo na seo C .
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 31
Posio da carga mvel para QD mnimo
Posio da carga mvel para QD mximo
LIQD D
( ) [ ] kNQ mcmnD
25.31)25.0(35.010)50.0(65.010)25.0(10)50.0(20.. . =+++=
( ) [ ] kNQ mcmxD
25.31)25.0(35.010)50.0(65.010)25.0(10)50.0(20.. . +=+++=
Figura 2.11 Esforo cortante mximo e mnimo na seo D .
A Tabela 2.1 mostra os resultados do esforo cortante mximo e
mnimo
nas sees da estrutura devido a cada carregamento atuante e o
valor final das
envoltrias de esforo cortante, que esto representadas na Figura
2.12. O
esforo cortante devido carga mvel na extremidade livre do
balano
corresponde carga de 20 kN posicionada sobre esta seo.
Tabela 2.1 Envoltrias de Esforo Cortante [kN].
Seo Carga Carga Mvel Envoltrias
Permanente mnimo mximo mnimo mximo
A 0 -20.00 0 -20.00 0
Besq -60 -60.00 0 -120.00 -60.00
Bdir +120 -8.75 +91.25 +111.25 +211.25
C +60 -12.50 +57.50 +47.50 +117.50
D 0 -31.25 +31.25 -31.25 +31.25
E -60 -57.50 +12.50 -117.50 -47.50
Fesq -120 -91.25 +8.75 -211.25 -111.25
Fdir +60 0 +60.00 +60.00 +120.00
G 0 0 +20.00 0 +20.00
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 32
-120
Envoltrias: Esforos Cortantes [kN]
-20 -60
2012060
mnimos
mximos 211.25
111.25
-211.25
-111.25
-47.50
-117.50
47.50
117.50
-31.25
31.25
carga permanente faixa de
trabalho
Figura 2.12 Envoltrias de Esforo Cortante.
As Figuras de 2.13 a 2.15 mostram como foi feita a determinao
dos
momentos fletores mximos e mnimos devidos carga mvel para cada
seo
transversal da estrutura.
Posio da carga mvel para MB mnimo
Posio da carga mvel para MB mximo
LIMB
(carga mvel no atuando)
B
( ) [ ] kNmM mcmnB 00.105)00.3(35.010)00.3(20.. . =+=
( ) 0.. . =mcmxBM
Figura 2.13 Momento fletor mximo e mnimo na seo B .
Posio da carga mvel para MC mnimo
Posio da carga mvel para MC mximo
LIMC C
( ) [ ] kNmM mcmnC 00.90)75.0(35.010)25.2(35.010)25.2(20.. .
=++=
( ) [ ] kNmM mcmxC 00.195)25.2(125.010)50.1(10)25.2(20.. .
+=++=
Figura 2.14 Momento fletor mximo e mnimo na seo C .
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 33
Posio da carga mvel para MD mnimo
Posio da carga mvel para MD mximo
LIMD D
( ) [ ] kNmM mcmnD 00.75)50.1(35.010)50.1(35.010)50.1(20.. .
=++=
( ) [ ] kNmM mcmxD 00.255)00.3(125.010)50.1(10)00.3(20.. .
+=++=
Figura 2.15 Momento fletor mximo e mnimo na seo D .
A Tabela 2.2 mostra os resultados do momento fletor mximo e
mnimo
nas sees da estrutura devido a cada carregamento atuante e o
valor final das
envoltrias de momento fletor, que esto representadas na Figura
2.16.
Tabela 2.2 Resultados obtidos na envoltria de momento
fletor.
Seo Carga Carga Mvel Envoltrias
Permanente mnimo mximo mnimo mximo
A 0 0 0 0 0
B -90 -105 0 -195 -90
C +180 -90 +195 +90 +375
D +270 -75 +255 +195 +525
E +180 -90 +195 +90 +375
F -90 -105 0 -195 -90
G 0 0 0 0 0
Envoltrias: Momentos Fletores [kNm]
mnimos
mximos carga permanente
faixa de trabalho
-195 -195-90 -90
90 90195
525
375 375
Figura 2.16 Envoltrias de momento fletor.
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Cargas Mveis, Linhas de Influncia e Envoltrias de Esforos 34
Conforme visto, para determinar os valores limites de esforos em
uma
seo transversal precisa-se conhecer as posies de atuao do
trem-tipo que
causam esses esforos limites. Para casos mais simples de
trem-tipo e linhas de
influncia, como no exemplo acima, intuitiva a determinao dessas
posies
limites. Porm, para casos mais complexos, torna-se impossvel
essa
determinao por simples observao.
Esse problema de determinar posies limites constitui um problema
de
otimizao, em que o objetivo minimizar e maximizar os valores dos
esforos
nas sees transversais dos elementos estruturais em funo da posio
de
atuao do trem-tipo. Porm, no existe uma funo matemtica que
descreva a
envoltria de esforos de uma estrutura, o que torna impossvel o
uso da maioria
dos mtodos clssicos de otimizao para resolver este problema, j
que muitos
deles utilizam derivadas da funo objetivo, como ser visto no
capitulo seguinte.
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3 Mtodos de Otimizao
3.1. Introduo
Os problemas de otimizao so problemas de maximizao ou
minimizao de funo de uma ou mais variveis num determinado
domnio,
sendo que, geralmente, existe um conjunto de restries nas
variveis.
Os algoritmos usados para a soluo de um problema de otimizao
podem ser, basicamente, determinsticos ou probabilsticos.
Neste captulo so apresentadas as principais caractersticas
desses
mtodos, apresentando suas vantagens e desvantagens. Sero
abordados de
uma maneira mais detalhada os algoritmos de computao
evolucionria, que
pertencem a uma famlia de mtodos probabilsticos de otimizao,
visto que
este trabalho se baseou em um destes mtodos, conhecido como
Estratgia
Evolutiva ( EE ).
Alguns trabalhos utilizando algoritmos de computao evolucionria
vm
sendo desenvolvidos no Departamento de Engenharia Civil da
PUC-Rio, dos
quais pode-se citar DEL SAVIO (2005), RAMIRES (2004) e
BORGES(2003).
3.2. Definies
Para melhor entendimento dos algoritmos de otimizao, faz-se
necessrio
o conhecimento de alguns conceitos e definies utilizados na
literatura
(BASTOS, 2004). A seguir so listados alguns termos usualmente
relacionados a
um problema de otimizao qualquer:
Variveis de projeto: So aquelas que se alteram durante o
processo de
otimizao, podendo ser contnuas (reais), inteiras ou
discretas.
Restries: So funes de igualdade ou desigualdade sobre as
variveis
de projeto que descrevem situaes de projeto consideradas no
desejveis.
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Mtodos de Otimizao
36
Espao de busca: o conjunto, espao ou regio que compreende as
solues possveis ou viveis sobre as variveis do projeto do
problema a
ser otimizado, sendo delimitado pelas funes de restrio.
Funo Objetivo: a funo de uma ou mais variveis de projeto que
se
quer otimizar, minimizando-a ou maximizando-a.
Ponto timo: o ponto formado pelas variveis de projeto que
extremizam
a funo objetivo e satisfazem as restries.
Valor timo: o valor da funo objetivo no ponto timo.
3.3. Mtodos Determinsticos
Os mtodos de otimizao baseados nos algoritmos determinsticos
maioria dos mtodos clssicos geram uma seqncia determinstica
de
possveis solues requerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo
menos a
primeira derivada da funo objetivo em relao s variveis de
projeto.
Nestes mtodos, a funo objetivo e as restries so dadas como
funes matemticas e relaes funcionais. Alm disso, a funo objetivo
deve
ser contnua e diferencivel no espao de busca (BASTOS, 2004).
Esse tipo de
problema pode ser representado matematicamente da seguinte
forma:
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Mtodos de Otimizao
37
Maximizar / Minimizar: ),...,,( 21 nxxxf
Satisfazendo:
( ){ } 1211 ,...,, bxxxg n =
M
( ){ } mnm bxxxg =,...,, 21 em que:
nxxx ,...,, 21 - variveis de projeto
),...,,( 21 nxxxf - funo objetivo
mggg ,...,, 21 - restries
Figura 3.1 Formulao de um problema de otimizao.
Quando se trata de um problema de variveis discretas,
considera-se um
espao de busca com variveis contnuas que, aps a otimizao,
fornecero
uma aproximao das variveis de projeto para as disponveis no
espao
discreto. Entretanto, isso gera um trabalho adicional na escolha
das variveis
discretas mais prximas das contnuas encontradas. Sempre existiro
duas
opes de variveis discretas para cada varivel contnua, ou seja,
uma
imediatamente superior e outra imediatamente inferior.
Os mtodos determinsticos apresentam teoremas que lhes garantem
a
convergncia para uma soluo tima que no necessariamente a
soluo
tima global. Como nesses mtodos a soluo encontrada
extremamente
dependente do ponto de partida fornecido, pode-se convergir para
um timo
local, por isso no possuem bom desempenho em otimizar funes
multimodais,
isto , funes que possuem vrios timos locais.
De acordo com OLIVIERI (2004), BASTOS (2004) e HAFTKA(1993),
os
problemas de otimizao abordados pelos mtodos clssicos podem
ser
classificados em duas classes, conforme as caractersticas da
funo objetivo e
das restries:
Programao Linear: quando a funo objetivo e as restries so
funes
lineares das variveis de projeto. O Mtodo Simplex (HADLEY, 1982)
o
mtodo mais tradicional para solucionar este tipo de problema
de
otimizao;
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Mtodos de Otimizao
38
Programao No-Linear: quando a funo objetivo, ou pelo menos
uma
das restries, uma funo no-linear das variveis de projeto.
Nesta
classe, os mtodos que mais se destacam so:
Mtodo de Programao Linear Seqencial, Mtodo de Programao
Quadrtica Seqencial, Mtodo das Direes Viveis e Mtodo do
Gradiente Reduzido, entre outros.
3.4. Mtodos Probabilsticos
Os mtodos de otimizao baseados nos algoritmos probabilsticos
usam
somente a avaliao da funo objetivo e introduzem no processo de
otimizao
dados e parmetros estocsticos. Por no utilizarem a derivada da
funo
objetivo, so considerados mtodos de ordem zero.
So listadas a seguir algumas vantagens dos algoritmos
probabilsticos em
relao aos algoritmos determinsticos (BASTOS, 2004):
a funo objetivo e as restries no precisam necessariamente ter
uma
representao matemtica;
no requerem que a funo objetivo seja contnua ou
diferencivel;
trabalham adequadamente, tanto com parmetros contnuos quanto
com
discretos, ou ainda com uma combinao deles;
no necessitam de formulaes complexas ou reformulaes para o
problema;
no h restrio alguma quanto ao ponto de partida dentro do espao
de
busca da soluo;
realizam buscas simultneas no espao de possveis solues atravs
de
uma populao de indivduos;
Otimizam um grande nmero de variveis, desde que a avaliao da
funo objetivo no tenha um custo computacional demasiadamente
alto.
A maior desvantagem em relao aos mtodos clssicos o tempo de
processamento.
3.4.1. Computao Evolucionria
Segundo BCK et al.(1997), a Computao Evolucionria teve origem
no
final da dcada de 50 e permaneceu relativamente desconhecida da
comunidade
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Mtodos de Otimizao
39
cientfica por aproximadamente trs dcadas, devido principalmente
falta de
computadores eficientes na poca, mas tambm devido metodologia
pouco
desenvolvida durante as primeiras pesquisas. Durante a dcada de
setenta, os
trabalhos de Holland, Rechenberg, Shwefel e Foger foram
fundamentais para
modificar a imagem da Computao Evolucionria que, a partir de
ento,
comeou a ser largamente desenvolvida.
Os Algoritmos Evolucionrios ( sAE ' ) formam uma classe de
mtodos de
otimizao probabilsticos que so inspirados por alguns princpios
baseados em
mecanismos evolutivos encontrados na natureza, como
auto-organizao e o
comportamento adaptativo (BEYER et al, 2002).
De acordo com BARBOSA (1997), um algoritmo evolucionrio se
distingue
dos mtodos determinsticos mais comuns basicamente por:
empregar uma populao de indivduos, ou solues;
trabalhar sobre uma codificao das possveis solues (gentipos) e
no
sobre as solues (fentipos) propriamente ditas;
empregar regras de transio probabilsticas;
no requerer informaes adicionais (derivadas, por exemplo) sobre
a
funo a otimizar e as restries.
Assim, a busca de solues pode se dar em conjuntos no-convexos
com
funes objetivo tambm no-convexas e no-diferenciveis
podendo-se
trabalhar simultaneamente com variveis reais, lgicas e inteiras.
Vale ressaltar
tambm que os sAE ' no so facilmente presos a mnimos locais como
o
caso dos algoritmos usuais dos mtodos determinsticos. Ao
utilizar um AE ,
essas caractersticas podem levar descoberta de solues no
convencionais
que no poderiam ser vislumbradas por serem contra-intuitivas. um
paradigma
que no exige conhecimento prvio de uma maneira de encontrar a
soluo.
Para a utilizao de AE em problemas de otimizao com restries,
uma
das possibilidade utilizar um mtodo de penalizao. Isso pode ser
feito
atravs da pena de morte, onde um indivduo simplesmente eliminado
da
populao quando violar as restries ou quando no for possvel
avaliar sua
aptido*. Porm, possui a desvantagem de poder estar descartando
um indivduo
potencialmente til ao processo evolutivo. Outra maneira seria
introduzir uma
* Utilizou-se a palavra aptido como traduo da palavra fitness
usualmente
adotada na literatura inglesa para se referir ao desempenho de
um indivduo da
populao.
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Mtodos de Otimizao
40
funo de penalizao para incorporar as restries funo objetivo,
de
maneira anloga ao que se faz nos mtodos clssicos de otimizao,
reduzindo
a aptido dos indivduos que violam as restries (BARBOSA,
1997).
Para ilustrar o comportamento de um AE , considera-se uma
funo
objetivo unidimensional a ser maximizada. A Figura 3.2 mostra
trs etapas da
busca evolucionria, mostrando como os indivduos so distribudos
no comeo
(a), meio (b) e fim (c) do processo de evoluo. Na primeira fase,
imediatamente
aps a inicializao da populao, os indivduos so aleatoriamente
espalhados
em todo o espao de busca. Depois de algumas geraes a
distribuio
modifica-se: devido aos operadores de variao e seleo, a
populao
abandona as regies de baixa aptido e comea a ocupar reas de
maior
aptido. No final da busca, tendo sido escolhida uma condio de
parada
apropriada, toda a populao est concentrada em torno de poucos
pontos,
onde alguns desses pontos podem ser sub-timos. Pode ocorrer de
todos os
membros da populao se posicionarem em torno de um timo local ao
invs de
um timo global. Essa convergncia prematura um efeito conhecido
de perda
rpida de diversidade, que leva a populao a ficar presa a timos
locais (EIBEN
& SMITH, 2003).
Figura 3.2 Evoluo tpica de um AE , ilustrada de acordo com a
distribuio da populao. Adaptado de EIBEN & SMITH (2003).
Conforme CORTES & SAAVEDRA (2000), a Computao
Evolucionria
tem sido utilizada com sucesso para resoluo de complexos
problemas de
otimizao. Seu principal obstculo a preciso da soluo a ser
encontrada,
pois o quanto mais prximo da soluo tima se deseja chegar, mais
poder
computacional e tempo de processamento so exigidos,
principalmente quando
so utilizadas funes multimodais.
Indivduos no domnio da
funo aptido
Fun
o a
ptid
o
Indivduos no domnio da
funo aptido
Fun
o a
ptid
o
Indivduos no domnio da
funo aptido
Fun
o a
ptid
o
(a) (b) (c)
Incio Meio Fim
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Mtodos de Otimizao
41
3.4.1.1. Definies
Para a utilizao de um AE so necessrias algumas definies
adicionais que so particulares a esse tipo de algoritmo (BASTOS,
2004; EIBEN
& SMITH, 2003). Como a Computao Evolucionria baseada em
mecanismos
evolutivos encontrados na natureza, muitos termos adotados pelos
sAE '
baseiam-se na Gentica, tais como:
Cromossomo ou gentipo representa um indivduo no espao do AE , ou
seja, representa um indivduo codificado;
Fentipo representa um indivduo no espao de busca original;
Indivduo um membro da populao;
Gene unidade bsica do cromossomo, ou seja, um elemento do
vetor
que representa o cromossomo;
Populao conjunto de indivduos ou cromossomos;
Gerao ordem evolutiva das diferentes populaes;
Operaes genticas conjunto de operaes que o AE realiza sobre
cada um dos cromossomos;
Funo aptido quando o AE utilizado em um problema de otimizao, a
funo aptido equivale funo objetivo.
3.4.1.2. Algoritmo Evolucionrio
A principal idia em que se baseia qualquer variao de um
Algoritmo
Evolucionrio : dada uma populao de indivduos, a presso do meio
ambiente
causa uma seleo natural que evolui a populao. Sendo assim,
qualquer
algoritmo evolucionrio deve ter as seguintes componentes bsicas
para
resolver um problema (MICHALEWICZ, 1996; EIBEN & SMITH,
2003;
BARBOSA, 1997; BCK et al, 1997):
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Mtodos de Otimizao
42
Uma representao gentica das solues do problema;
A representao ou codificao de um indivduo quando se utiliza um
AE
consiste em relacionar o espao real do problema com o espao
adotado
pelo AE , ou seja, representar/codificar os elementos do espao
real no espao do AE . Cada elemento do espao de busca denominado
fentipo e sua representao no espao do AE denominado gentipo.
Para ilustrar esse processo, considere que em um problema de
otimizao
bidimensional de nmeros inteiros que adote um AE com
representao
binria, onde o alfabeto composto dos smbolos 0 e 1, { }21, xxx =
seja uma possvel soluo do problema. Sendo o cromossomo codificado
com
cinco bits para cada uma das variveis do problema, elas podem
ser
representadas da seguinte maneira:
1x =00100
2x =10100
Essas codificaes seriam os genes que concatenados formam o
cromossomo, que representa uma possvel soluo do problema:
0010010100
Para recuperar os valores das variveis no espao real, ou seja,
obter o
fentipo, necessrio um processo de descodificao:
1IND = 0x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 0x20 = 4
2IND = 1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 0x20 = 20
Para um problema com variveis inteiras, o valor da varivel igual
ao
prprio ndice fornecido pela codificao ( IND ). No caso de
variveis
discretas, a decodificao fornece um ndice que localiza o valor
da
varivel numa lista de referncia, que representa o espao de busca
para
esta varivel (BASTOS, 2004).
Para as variveis contnuas, tem-se a seguinte decodificao:
12
+= nb
Li
Ui
iLii
xxINDxx (3.1)
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Mtodos de Otimizao
43
Onde:
x - ponto de busca no espao.
Lx - limite inferior do espao de busca;
Ux - limite superior do espao de busca;
nb - nmero de bits;
IND -ndice fornecido pela decodificao da varivel;
i - nmero de variveis;
Segundo BASTOS (2004), a utilizao de codificao binria dada
pelas
seguintes razes:
Extrema facilidade para criar e manipular vetores binrios;
Utiliza rigorosamente a preciso determinada para cada
varivel;
Altamente indicada para se operar com variveis discretas.
Porm, quando o problema em anlise necessita que as variveis
envolvidas sejam de alta preciso numrica, a codificao binria
possui
enorme desvantagem pois, neste caso, faz-se necessrio que os
cromossomos possuam um comprimento extremamente grande,
reduzindo
a performance do AE . Outra desvantagem a necessidade constante
de converso entre os valores reais e os binrios nas diversas
iteraes do
processo.
Populao
O papel da populao manter as possveis solues. Enquanto os
indivduos so estticos, isto , no se modificam, a populao uma
unidade de evoluo. Dada uma representao, definir uma populao
equivale a decidir o nmero de indivduos que iro form-la. Em
alguns
sAE' mais sofisticados a populao pode ter uma estrutura
adicional, com
medidas de distncia ou relaes de vizinhana. Em quase todas
as
aplicaes de AE o tamanho da populao constante, no sendo
modificado durante a evoluo.
Uma maneira de inicializar a populao;
A inicializao da populao geralmente simples na maioria das
aplicaes de AE , e feita gerando indivduos aleatoriamente. Porm,
algumas heursticas podem ser usadas para gerar uma populao
inicial
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Mtodos de Otimizao
44
com maior aptido, como, por exemplo, iniciar a populao com
solues
aproximadas conhecidas ou contendo algum tipo de informao prvia.
Se
isso vale o esforo computacional extra envolvido, depende muito
da
aplicao.
Uma funo aptido
A funo aptido a responsvel pelo processo de seleo dos
indivduos
e deve indicar a qualidade de cada indivduo na populao, sendo
assim,
influi diretamente na evoluo da populao. Tecnicamente, uma
funo
que designa uma medida de qualidade ao gentipo, ou seja, a
aptido.
Operadores genticos
Os operadores genticos alteram a composio gentica dos filhos
durante
a reproduo. O papel dos operadores criar novos indivduos a
partir dos
antigos. Os operadores trabalham sobre a codificao das
possveis
solues (gentipo) e no sobre as solues (fentipos)
propriamente
ditas. Os principais operadores so recombinao e mutao.
A recombinao um operador que une informaes de dois ou mais
gentipos pais para gerar um ou dois descendentes. O operador
de
recombinao estocstico, isto , aleatria a escolha de que partes
de
cada pai ser recombinada e o modo que estas partes sero
recombinadas.
A mutao um operador que aps ser aplicado a um gentipo gera
um
filho. Similar a recombinao, a mutao um operador sempre
estocstico: seu resultado o filho depende dos resultados de uma
srie
de escolhas aleatrias.
Um mecanismo de seleo
O papel da seleo diferenciar os indivduos baseados nas suas
qualidades, em particular, permitir que os melhores indivduos
tornem-se
pais da prxima gerao.
Um critrio de parada
Caso o problema tenha um valor timo da funo aptido conhecido,
o
critrio de parada pode ser quando este valor for atingido,
considerando
uma certa preciso. Porm, como sAE ' so estocsticos e no h
garantias de que o valor timo ser atingido, essa condio pode
nunca
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Mtodos de Otimizao
45
ser satisfeita e o algoritmo nunca parar. As opes comumente
usadas
como critrio de parada so:
1. tempo mximo transcorrido;
2. o nmero total de avaliaes da funo aptido atingir um nmero
limite;
3. quando a aptido melhorar muito pouco durante um certo perodo
de
tempo (ou um certo nmero de geraes ou um certo nmero de
avaliaes da funo aptido);
4. quando a diversidade da populao diminuir at um certo limite,
sendo
diversidade uma medida do nmero de diferentes solues presente
na
populao, que pode ser medido pelas diferentes aptides presentes
na
populao ou pelo nmero de diferentes fentipos ou gentipos
presentes.
A partir do que foi visto acima, percebe-se que a combinao da
aplicao
de variao, atravs dos operadores genticos, e seleo levam a
melhorar o
valor da aptido e, em conseqncia, melhorar a populao. Pode-se
perceber
essa evoluo como se fosse um processo de otimizao, atravs da
busca de
valores timos, que, no decorrer do processo, ficam cada vez mais
prximos.
Alternativamente, essa evoluo vista como um processo de
adaptao.
Deste ponto de vista, a aptido no vista como uma funo objetivo a
ser
otimizada, mas como uma necessidade do meio ambiente. O processo
evolutivo
faz a populao adaptar-se ao meio ambiente cada vez melhor. A
seguir
mostrado um pseudo-cdigo que representa um algoritmo
evolucionrio.
Gerao = 0
Inicializa populao (P) ;
Avalia os indivduos;
Enquanto o critrio de parada no for satisfeito repita:
1. Recombinao
2. Mutao
3. Avaliao dos descendentes
4. Seleo
5. Gerao = Gerao +1
Figura 3.3 Esquema geral de um Algoritmo Evolucionrio. Adaptado
de BCK et al
(1997).
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Mtodos de Otimizao
46
Porm, para que a implementao de um algoritmo evolucionrio
tenha
sucesso quando aplicado a um problema real, as componentes
listadas acima
requerem algumas heursticas adicionais, que esto
relacionadas
representao gentica das solues, aos operadores que alteram
suas
composies, aos valores de vrios parmetros, aos mtodos de
inicializao
da populao e at mesmo prpria funo aptido.
3.4.1.3. Principais Ramos da Computao Evolucionria
A Computao Evolucionria uma das reas da Inteligncia
Artificial,
juntamente com as Redes Neurais e os Sistemas de Lgica Nebulosa
(Figura
3.4). A maioria das implementaes de algoritmos evolucionrios vem
de trs
ramos fortemente relacionados, porm independentemente
desenvolvidos
(BEYER, 2002 e BCK et al, 1997):
Algoritmos Genticos ( sAG' );
Programao Evolutiva ( sPE ' );
Estratgias Evolutivas ( sEE ' ).
Alm dos ramos citados acima, alguns autores, com MICHALEWICZ
(1996), citam ainda a Programao Gentica ( sPG' ) como um
importante ramo
da Computao Evolucionria.
Figura 3.4 Ramificao da Inteligncia Artificial. Adaptada de
OLIVIERI (2004).
As principais diferenas entre esses ramos esto na representao
dos
indivduos, nos operadores utilizados (mutao e/ou recombinao) e
no
mecanismo de seleo, embora ultimamente a fronteira entre eles
vem se
tornando menos ntida.
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Mtodos de Otimizao
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3.4.1.4. Algoritmos Genticos (AGs)
Segundo BARBOSA (1977) e BCK (1997), o AG foi desenvolvido
principalmente por John Holland no final da dcada de 60 buscando
inspirao
no que se conhece sobre o processo de evoluo natural,
conhecimento este
iniciado solidamente com a teoria da evoluo de Darwin no seu
famoso livro A
Origem das Espcies.
Na maioria das aplicaes que utilizam sAG' , a forma mais comum
de
construo de uma codificao utilizar uma cadeia binria, de
comprimento
fixo. Isso ocorre porque a teoria dos sAG' foi desenvolvida com
base nesta
representao, mas DAVIS (1991) acha que essa representao no
natural e
desnecessria na maioria dos casos.
O principal operador a recombinao, tambm conhecido como
crossover na literatura inglesa, e a mutao vista como um
operador de
pequena importncia. De forma simplificada, no alfabeto binrio,
os operadores
funcionam da seguinte maneira:
A mutao definida pela modificao do smbolo ocorrente em uma
posio do cromossomo: se 1 ele passa a 0 e vice-versa. A
probabilidade
mp de ocorrncia de mutao de um gene geralmente muito
pequena,
da ordem de l/1 , onde l nmero de bits do cromossomo.
O crossover, no algoritmo padro, chamado crossover de um
ponto.
Atravs de um esquema de seleo implementado, dois indivduos
so
escolhidos e, com probabilidade pc, so submetidos operao de
recombinao. Uma posio de crossover sorteada e o material
gentico
dos pais recombinado conforme o esquema abaixo:
p1 : 1111111 f1 : 1111000
p2: 0000000 f2 : 0000111
Existem outras variaes deste operador que podem ser
empregadas,
como crossover de dois pontos, crossover uniforme, etc.
A seleo tipicamente implementada utilizando um esquema
probabilstico. A probabilidade ip de seleo do i -simo indivduo
da
populao vir a ser selecionado proporcional sua aptido
relativa,
conforme equao 3.2 (BCK et al, 1997;BARBOSA,1977).
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Mtodos de Otimizao
48
=
= m
i
i
fi
fip
1
(3.2)
Onde )( ixffi = assumida positiva e m o nmero de indivduos
da
populao.
Um mtodo que aplica essa tcnica o Mtodo da Roleta (roullete
wheel
selection, na literatura inglesa), onde indivduos de uma gerao
so
escolhidos para fazer parte da prxima gerao, atravs de um
sorteio de
roleta. Os indivduos so representados na roleta
proporcionalmente ao
seu ndice de aptido. Finalmente, a roleta girada um
determinado
nmero de vezes, dependendo do tamanho da populao, e so
escolhidos como indivduos que participaro da prxima gerao,
aqueles
sorteados na roleta (Figura 3.5).
Figura 3.5 Seleo utilizando o mtodo da roleta (Barbosa,
1977).
3.4.1.5. Programao Gentica (PG)
O paradigma da PG foi desenvolvido por John Koza
(KOZA,1992).
Segundo MICHALEWICZ (1996), esta tcnica constitui uma maneira de
fazer
uma busca no espao de possveis programas computacionais para
escolher o
melhor deles, ou seja, uma tcnica de gerao automtica de
programas de
computador, onde a partir de especificaes de comportamento, o
computador
deve ser capaz de induzir um programa que as satisfaa (KOZA,
1992).
p1 p2 p3 p4
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Mtodos de Otimizao
49
Conforme descrito por RODRIGUES (1992), a tcnica baseia-se
na
combinao de idias da teoria da evoluo (seleo natural),
gentica
(reproduo, cruzamento e mutao), inteligncia artificial (busca
heurstica) e
teoria de compiladores (representao de programas como rvores
sintticas).
Os programas so formados pela livre combinao de funes e
terminais
adequados ao domnio do problema. Parte-se de dois conjuntos: F
como sendo
o conjunto de funes e T como o conjunto de terminais. O conjunto
F pode
conter operadores aritmticos (+, -, * etc), funes matemticas
(seno, logaritmo
etc), operadores genticos (E, OU etc) dentre outros. Cada Ff
tem
associada uma aridade (nmero de argumentos) superior a zero. O
conjunto T
composto pelas variveis, constantes e funes de aridade zero
(sem
argumentos).
O processo evolutivo ocorre a partir da aplicao dos operados
genticos a
populao e pelo processo de seleo, que baseado na aptido dos
programas, at atingir um determinado critrio de parada.
Usualmente, para avaliar a aptido fornecido um conjunto de casos
de
treinamento, contendo valores de entrada e sada a serem
aprendidos. A cada
programa so fornecidos os valores de entrada e confronta-se a
sua resposta ao
valor esperado de sada. A aptido ser proporcional proximidade da
resposta
do programa ao valor de sada esperado. O operador de reproduo
apenas
seleciona um programa e o copia para a prxima gerao sem sofrer
nenhuma
mudana em sua estrutura. As Figuras 3.6 e 3.7 mostram a aplicao
do
operador de recombinao (crossover) em duas funes selecionadas,
que
partilham informao gentica e do origem a duas novas funes
diferentes.
Figura 3.6 Crossover na PG : seleo aleatria dos ramos que
sofrero o corte
(SOUSA & ANDRADE, 1998).
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Figura 3.7 Crossover na PG : funes resultantes (SOUSA &
ANDRADE, 1998).
A mutao nem sempre efetuada, pois depende de um valor que indica
a
probabilidade de existir mutao numa determinada gerao.
Quando
efetuada, uma funo escolhida aleatoriamente para sofrer mutao
(Figura
3.8).
Figura 3.8 Aplicao do operador de mutao na PG (SOUSA &
ANDRADE,
1998).
3.4.1.6. Programao Evolutiva (PE)
De acordo com BCK et al. (1997) e MICHALEWICZ (1996), a PE
surgiu originalmente como uma tentativa de criar inteligncia
artificial. O objetivo era
desenvolver mquinas de estado finitas (MEF) para prever eventos
com base em
observaes anteriores. Uma MEF uma mquina abstrata que transforma
uma
seqncia de dados de entrada em uma seqncia de dados de sada.
A
transformao depende de certas regras de transio.
Os indivduos so usualmente representados por vetores de
nmeros
reais. Geralmente cada genitor gera um filho. A mutao ocorre
tipicamente com
probabilidade uniforme e originalmente implementada como uma
mudana
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randmica (ou atravs de mltiplas mudanas) da descrio das MEF de
acordo
com cinco diferentes modificaes:
mudana de um dado de sada;
mudana de uma regra de transio;
incluso de uma regra de transio;
excluso de uma regra de transio;
mudana da regra de transio inicial.
No utilizada a recombinao.
O processo de seleo ocorre como uma srie de torneios entre
sub-
grupos dentro da populao. Cada indivduo da populao avaliado
contra t
(obrigatoriamente 1>t e usualmente 10t ) outros indivduos
escolhidos
randomicamente da populao. Para cada comparao marcado um
vencedor.
Permanecem na populao os indivduos que tiveram o maior nmero
de
vitrias.
3.4.1.7. Estratgia Evolutiva (EE)
A primeira verso de sEE ' foi EE+ )11( , que empregava um
esquema
simples de seleo-mutao trabalhando em um nico indivduo que gera
um
nico descendente atravs da mutao Gaussiana e ambos so submetidos
ao
processo de seleo, que elimina a soluo mais pobre. Mais tarde,
esta teoria
evolui para EE+ )1( , no qual uma populao de indivduos se
recombina
de maneira randmica para formar um descendente, que sofre mutao
e em
seguida, passa pelo processo de seleo.
Nas verses descritas acima, a convergncia era lenta e a busca
ponto a
ponto era susceptvel a estagnar em mnimos locais.
Mais tarde, visando sanar essas deficincias, desenvolveram-se
outras
verses, utilizando a estratgia denominada multi-membros, onde o
tamanho da
populao maior que um. Atualmente, os dois principais tipos so
(COSTA &
OLIVEIRA, 2002; BEYER et al., 2002; BCK et al., 1997):
EE+ )(
Conhecida como estratgia soma, onde pais produzem filhos,
sendo
> , gerando uma populao de + indivduos. Nesta estratgia,
os
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+ indivduos participam do processo de seleo, que determina
os
indivduos que sero os pais da prxima gerao.
EE),(
Conhecida como estratgia vrgula, se difere da estratgia soma
porque
apenas os filhos participam do processo de seleo. Assim, o
perodo
de vida de cada indivduo limitado a apenas uma gerao.
Segundo
CORTES & SAAVEDRA (2000), este tipo de estratgia tem bom
desempenho em problemas onde o ponto timo em funo do tempo,
ou
onde a funo afetada por rudo.
Note tambm que ambas estratgias apresentadas so extremos da
estratgia mais geral EEk ),,( , onde k1 representa o nmero
mximo
de geraes que um indivduo pode permanecer na populao.
Nas verses atuais, a descendncia obtida submetendo-se os
indivduos
da gerao a dois operadores: cruzamento e mutao. O cruzamento
feito de
forma aleatria e a mutao feita tipicamente atravs de uma
perturbao
Gaussiana de mdia nula e desvio padro unitrio, porm outros tipos
de
mutao so possveis. Aplica-se tambm a idia de auto-adaptao do
parmetro desvio padro ( ) durante o processo evolutivo, o que
uma das
caractersticas chaves do sucesso das estratgias evolutivas.
3.4.1.7.1. Distribuio Normal
Para utilizar um algoritmo de sEE' necessrio conhecer uma
maneira de
gerar variveis aleatrias segundo uma distribuio normal ou
gaussiana.
O modelo probabilstico citado acima chamado Modelo Normal e
suas
origens remontam a Gauss em seus trabalhos sobre erros de
observaes
astronmicas, por volta de 1810, da o nome de distribuio
Gaussiana para tal
modelo (BUSSAD & MORETTIN, 2004).
De uma maneira geral, diz-se que uma varivel aleatria (v.a.)
tem
distribuio normal com mdia e varincia 2 , onde +
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53
Podemos dizer que ),(~ 2 N .
A Figura 3.9 ilustra uma curva normal, determinada por valores
particulares
de e .
Figura 3.9 Funo de densidade de probabilidade de uma v.a. normal
com mdia e
desvio padro .
Quando 0= e 1= , temos uma distribuio padro ou reduzida.
H vrios mtodos para gerar v.a. normais, mas uma observao
importante que basta gerar uma v.a. normal padro, pois qualquer
outra pode
ser obtida desta. De fato, gerado um valor 1z da v.a. )1,0(~ NZ
, para gerar um
valor 1 de uma v.a. ),(~2 N basta usar a transformao;
11 .z += (3.4)
Um mtodo eficiente para gerar v.a. com distribuio normal o Mtodo
de
Box-Mller (BUSSAD & MORETTIN, 2004). Nesse mtodo so geradas
duas
v.a. normal padro 1z e 2z , independentes, e )1,0(N , a partir
de duas v.a. com
distribuio uniforme em [0,1], 1u e 2u , como mostra as equaes
3.5 e 3.6
(BUSSAD & MORETTIN, 2004) :
)2cos(log2 211 uuz = (3.5)
)2(log2 212 usenuz = (3.6)
A Figura 3.10 mostra o resultado da gerao de nmeros
aleatrios
usando a funo rand da biblioteca padro da linguagem C.
0 +
( )fd
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0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 200 400 600 800 1000
Figura 3.10 Nmeros gerados pela funo rand da biblioteca da
linguagem C.
Na Figura 3.11 apresentado o resultado da gerao de nmeros
aleatrios com distribuio normal a partir da varivel aleatria
uniforme gerada
pela funo rand da biblioteca da linguagem C.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Figura 3.11 Nmeros gerados pela transformao da v.a. uniforme em
v.a. normal.
Nmero de variveis
Var
ive
is a
leat
ria
s no
rmai
s
Nmero de variveis
Var
ive
is a
leat
ria
s no
rmai
s
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3.4.1.7.2. Algoritmo Padro de EE
As componentes bsicas de um Algoritmo Evolucionrio quando
aplicadas
a um algoritmo de sEE ' possuem caractersticas particulares, que
esto
detalhadas a seguir (CORTES & SAAVEDRA, 2000; EIBEN &
SMITH,2003 ):
Representao dos Indivduos
Nas sEE ' , cada indivduo representado por um par de vetores
reais da
forma ( ),xv = , onde x representa um ponto de busca no espao,
ou seja, o vetor das variveis da funo objetivo, e o vetor de
desvio
padro associado.
Inicializao da populao
A inicializao da populao geralmente feita de maneira muito
simples,
gerando aleatoriamente os indivduos. Porm, pode-se utilizar
alguma
heurstica para iniciar a populao, tal como gerar indivduos que
sejam
possveis solues do problema.
Recombinao dos pais at gerar descendentes.
H inmeras variaes desse operador. Quanto ao nmero de
genitores
que participam da recombinao, ela pode ser chamada de
recombinao
de multi-pais, onde mais de dois indivduos participam da gerao
de
apenas um descendente, sendo (1 ), onde o nmero de
indivduos que iro participar da recombinao para gerar um
descendente. Normalmente, escolhe-se =2 ou = (recombinao
global). Quanto as diferentes maneiras de recombinar os
genitores, pode-
se citar como exemplos tpicos a recombinao discreta e a
recombinao
intermediria:
Recombinao discreta
Um descendente gerado a partir de dois ou mais genitores
escolhidos
randomicamente na populao ancestral. As variveis que iro formar
o
novo descendente so escolhidas randomicamente entre as variveis
dos
genitores.
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Para ilustrar esse processo mostrado um exemplo onde dois
indivduos
da populao ancestral, ( )aaxa ,= e ( )bbxb ,= , so escolhidos
randomicamente e recombinados para formar um descendente,
( )','' xv = . A recombinao feita gerando-se uma varivel
aleatria u com distribuio uniforme no intervalo de [0,1], amostrada
individualmente
para cada componente do vetor 'v .
u 0.5 iai xx ,
' =
u >0.5 ibi xx ,
' =
u 0.5 iai ,
' =
u >0.5 ibi ,
' =
Com i=1,...,n ; onde n o nmero de variveis da funo objetivo.
Recombinao Intermediria
A diferena da recombinao discreta que as variveis que iro formar
o
novo indivduo so obtidas atravs da mdia aritmtica das variveis
dos
pais ao invs de realizar uma escolha randomica das variveis.
Sendo
assim, usando o mesmo exemplo mostrado acimo, as variveis do
novo
descendente poderiam ser obtidas da seguinte
( ) 2/xxx i,bi,a'i +=
( ) 2/i,bi,a'i +=
As vantagens e desvantagens da recombinao para uma funo
objetivo
em particular devem ser notadas durante o desenvolvimento, pois
no h
uma recomendao generalizada para o uso deste operador.
Mutao do desvio padro e dos descendentes
Faz-se a mutao dos desvios padres e, em seguida, a mutao dos
descendentes seguindo as equaes 3.7 e 3.8 (BCK & HAMMEL,
1994;
BCK et al, 1997):
)),(N.),(N'.(exp. ii'i 1010 += (3.7)
),(Nxx 'ii'i 0+= (3.8)
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onde:
i = 1,...,n; sendo n o nmero de variveis da funo objetivo;
N (0,1) representa um nmero Gaussiano com mdia zero e desvio
padro unitrio. Nota-se que esse nmero o mesmo para todos os
indivduos quando multiplicado pelo fator ' e, quando
multiplicado por ,
deve ser obtido independentemente para cada valor de i. Os
valores
sugeridos para os parmetros ' e so mostrados nas equaes 3.9
e
3.10, respectivamente.:
1)2(' = n (3.9)
1
2
= n (3.10)
Este esquema pode sofrer modificaes. Uma opo usar uma verso
simplificada, onde usado o mesmo desvio padro