Page 1
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 1/12
Trabalho – 2
______________________________________________________________________
Processamento Digital de Sinais
Prof. Éderson Rosa da Silva
______________________________________________________________________
Sistemas Discretos
Data de entrega: 28/01/2013
Alunos
Mateus Martins Lemes 11011EMT026
Vinicius Mainardi de Moraes 100779
Page 2
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 2/12
2
Trabalho 2 Sistemas Discretos
1 –
Objetivos
O presente trabalho tem como objetivo o uso do MatLab aplicado a sistemas
discretos como ferramenta para facilitar os cálculos e facilitar a visualização dos sinais.
2 – Fundamentação Teórica
Matematicamente, um sistema de tempo discreto (ou sistema discreto, mais
resumidamente) é descrito por um operador T{.} que torna numa sequência x[n]
(chamada de excitação) e a transforma em outra sequência y[n] (chamada de resposta).
Isto é,
Sistema Linear
Em PDS nós dizemos que o sistema processa um sinal de entrada e gera um sinal
de saída. Sistemas discretos são classificados em sistema linear e não-linear. Um
sistema discreto T{.} é um operador linear L{.} se, e somente se, L{.} satisfaz ao
princípio da superposição:
Sabemos que uma sequência arbitrária x[n] pode ser sintetizada como uma soma
de impulsos unitários escalados e deslocados no tempo, tal como:
Page 3
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 3/12
3
Usando as Equações (2) e (3), a saída y[n] de um sistema linear a uma entrada
arbitrária x[n] é dada por:
A resposta L{δ[n-k]} pode ser interpretada como a resposta de um sistema linear
no tempo n devido a um impulso unitário no tempo k. Ela é chamada de resposta à
amostra unitária e é denotada hk [n]. A saída completa é dada pela soma de superposição
O cálculo da Equação (5) requer a resposta à amostra unitária variante no tempo
hk [n], a qual na prática não é muito conveniente. Por isso, sistemas de tempo invariante
são mais usados em PDS.
Sistema Linear Invariante no Tempo
Um sistema linear no qual um par entrada-saída, x[n] e y[n], é invariante a um
deslocamento n no tempo é chamado de Sistema Linear Invariante no Tempo (SLIT).
Para um SLIT os operadores L{.} e deslocamento no tempo são reversíveis, como
mostrado abaixo:
Para um SLIT a função variante no tempo hk [n] torna-se uma função invariante
no tempo h[n-k], e a saída na Equação (5) será dada por:
Page 4
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 4/12
4
Convolução
A resposta à amostra unitária de um SLIT é dada por h[n]. A operação
matemática na Equação (6) é chamada de soma da convolução linear e é denotada por:
Portanto, um SLIT é completamente caracterizado no domínio do tempo por sua
resposta à amostra unitária h[n], como mostrado a seguir:
A operação de convolução de dois sinais pode ser obtida de vários modos. Se as
sequências são funções matemáticas (de duração finita ou infinita), então pode-se
avaliar analiticamente a Equação (6) para todo n para se obter a forma funcional de y[n].
3 – Procedimentos e Resultados
Com o auxílio de um computador, com o software MatLab, conectado à internet,
realizaram-se os seguintes procedimentos e obtiveram-se os resultados correspondentes.
Item 3.1
Considerando um pulso retangular x[n] = u[n]-u[n-10] usado como entrada de
um SLIT com resposta à amostra unitária h[n] = (0,9)n .u[n], determinou-se a saída y[n],
e traçou-se os sinais envolvidos.
Utilizou-se do seguinte código:
x = ones(1,10); nx = 0:9; n = 0:100; h = (0.9).^n; nh = 0:100; y = conv(x,h); ny = nh(1) + nx(1) : nh(end) + nx(end); figure(1), stem(nx,x);
figure(2), stem(nh,h);
figure(3), stem(ny,y);
Page 5
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 5/12
5
E chegaram-se nos seguintes resultados:
Figura 1 – Sinal envolvido 1
Figura 2 – Sinal envolvido 2
Page 6
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 6/12
6
Figura 3 – Sinal envolvido 3
Item 3.2
Utilizando a função conv do MatLab, calculou-se manualmente a convoluçãoentre as sequências x[n] e h[n], e depois traçaram-se os sinais envolvidos.
x[n]=[11,7,0,-1,4]
h[n]=[3,0,-5,2,1]
Código para gerar as sequências:
X = [11,7,0,-1,4]; NX = -2:2;
H = [3,0,-5,2,1]; NH = 0:4;
figure(4), stem(NX,X);
Código para convoluir x[n] e h[n]:
Y = conv(X,H); NY = NH(1) + NX(1) : NH(end) + NX(end); figure(6), stem(NY,Y);
Page 7
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 7/12
7
Resultados obtidos:
Figura 4 – x[n]
Figura 5 – h[n]
Figura 6 – x[n] * h[n]
Page 8
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 8/12
8
Item 3.3
Considerando o SLI causal descrito pela equação de diferenças dada abaixo:
y[n]- 0,6 y[n - 2] = 0,3 x[n]+ 0,5 x[n -1] + 0,3 x[n - 2]
Escreveu-se um programa MatLab para simular a saída do sistema para asseguintes entradas (0 n 127):
a) Amostra unitária, x[n] = d[n]
b) Degrau unitário, , x[n] = u [n]
c) Exponencial discreta, x[n] = 3.(0,4)nu [n]
a) Utilizou-se do seguinte código:
nyy = 0:127; yya(1) = 0.3;
yya(2) = 0.5;
yya(3) = 0.9;
for i=4:128 yya(i) = 0.6*yya(i-2);
end figure(1), stem(nyy,yya);
E obteve-se o seguinte resultado:
Figura 7 – Resultado a
Page 9
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 9/12
9
b) Utilizou-se o seguinte código:
yyb(1) = 0.3;
yyb(2) = 0.8;
for j=3:128 yyb(j) = 0.6*yyb(j-2) + 1.1;
end figure(1), stem(nyy,yyb);
E obteve-se o seguinte resultado:
Figura 8 – Resultado b
c) Utilizou-se o seguinte código:
yyc(1) = 0.3*3*(0.4)^0;
yyc(2) = 0.3*3*(0.4)^1 + 0.5*3*(0.4)^0;
for k=3:128
yyc(k) = 0.6*yyc(k-2) + 3*(0.3*(0.4)^k + 0.5*(0.4)^(k-1) +0.3*(0.4)^(k-2)); end figure(1), stem(nyy,yyc);
Page 10
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 10/12
10
E obteve-se o seguinte resultado:
Figura 9 – Resultado c
Item 3.4
Utilizando-se a função filter do MatLab, obteve-se a saída do item anterior e
descobriu-se os valores dos vetores a e b usados como argumentos na referida função.
Posteriormente, simulou-se o sistema para as entradas utilizadas no item anterior.
a) Utilizou-se seguinte código:
A = [1 0 -0.6]; B = [0.3 0.5 0.3]; X(1) = 1; N = 0:127; for i = (length(X) + 1) : length(N)
X(i) = 0; end Y = filter(B,A,X); figure (1), stem(N,Y);
Page 11
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 11/12
11
E obteve-se o seguinte resultado:
Figura 10 – Resultado a
b) Utilizou-se o código:
A = [1 0 -0.6]; B = [0.3 0.5 0.3]; N = 0 : 127; for i = 1 : length(N)
X(i) = 1; end Y = filter(B,A,X); figure(2), stem(N,Y);
E obteve-se o seguinte resultado:
Figura 11 – Resultado b
Page 12
7/18/2019 Trabalho 2 de PDS
http://slidepdf.com/reader/full/trabalho-2-de-pds 12/12
12
c) Utilizou-se o código:
A = [1 0 -0.6]; B = [0.3 0.5 0.3]; N = 0:127;
for i = 1 : length(N) X(i) = 3*(0.4^(i-1)); end Y = filter(B,A,X);
figure (3), stem(N,Y);
E obteve-se o seguinte resultado:
Figura 12 – Resultado c
4 – Conclusão
O presente trabalho trouxe facilidade no cálculo de convoluções de sinais
discretos no tempo e mostrou a variedade de caminhos a seguir quando se trata de
programação.
5 – Referências Bibliográficas
[1] Engenharia de Controle Moderno, OGATA.
[2] Processamento Digital de Sinais, HAYES.