Presentacin de PowerPoint
LEYDI JHOANNA SALINAS VARGASDEISY JOHANA JIMNEZ AVENDAODIANA
FARLEY PINILLA REDONDOJOS RICARDO GALINDO ESPEJORICARDO GIOVANNY
CCERES LENNSTOR LAUREANO BARRIOS PINEDA
PAOLA LORENA SALAZARTUTORAPROBABILIDADVARIABLES ALEATORIASABRIL
DE 2013INTRODUCCINEn todo fenmeno, los datos obtenidos tienen un
comportamiento especfico, es as como el anlisis de las
distribuciones de probabilidad permite determinar que distribucin
de probabilidad es la pertinente para un conjunto de datos.
segn la variable aleatoria que este en cuestin, las
distribuciones de probabilidad son de tipo discreto y continuo,
.VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Una variable aleatoria X es discreta
si el nmero de valores que puede tomar es finito (o infinito
contable). Debe tomar un valor particular; para ello se requiere
primero definir claramente la variable aleatoria.
Simbologa: {X = x} denotar el evento formado por todos los
resultados para los que: X = x por tanto P(X = x) ser la
probabilidad de dicho evento. La distribucin de probabilidad de una
variable aleatoria X es una descripcin del conjunto de posibles
valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de
estos valores.
Toda distribucin de probabilidad debe satisfacer estos dos
requisitos: P( X = x) = 10 P( X = x) 1VARIABLE ALEATORIA DISCRETA4
Cuando la distribucin de probabilidad se describe a partir de una
ecuacin, se le denomina funcin de probabilidad.
Esta funcin f(x) = P(X = x) va del conjunto de los valores
posibles de la variable aleatoria discreta X (denominado rango de
X) al intervalo [0,1] y satisface las siguientes propiedades:f ( x)
0 x f ( x) = 1
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA5EJ. Determinar si la funcin f ( x) =
P ( X = x) = x/3 (donde x puede ser 0, 1 2) es una funcin de
probabilidad.En la siguiente tabla se resumen los posibles valores
de la variable aleatoria X.
x 0 1 2 f(x)=P(X=x) 0 1/3 2/3
Observe que todos los valores de f(x) son positivos, esto es 0.
Adems se cumple el segundo requisito:
f ( x) = 0 +1/3+2/3=1VARIABLE ALEATORIA DISCRETA6En ocasiones,
es til poder expresar probabilidades acumuladas, esto es, valores
para los que X son menores o iguales a un valor especfico x.
El uso de probabilidades acumuladas es una alternativa para
describir la distribucin de probabilidad de una variable
aleatoria.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETAFUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADAS7La
funcin de distribucin acumulada de una variable aleatoria discreta
X, denotada por F(x) es:F ( x) = P( X x) = f (xi ) xi xPara una
variable aleatoria discreta X, F(x) satisface las siguientes
propiedades:0 F ( x) 1Si x y, entonces F ( x) F ( y )P ( X > x )
= 1 F ( x)F () = 0F (+) = 1VARIABLE ALEATORIA DISCRETAFUNCIN DE
DISTRIBUCIN ACUMULADAS8VARIABLE ALEATORIA DISCRETASuponga que la
funcin de distribucin acumulada de la variable aleatoria X es: 0 x
8VarianzaV(x)= (5 6)2(4/10) + (6-6)2(3/10) + (7-6)2(2/10)+
(8-6)2(1/10) = 1
FUNCIN DE DISTRIBUCIN ACUMULADASVARIABLE ALEATORIA
CONTINUADEFINICINSe dice que una variable aleatoria X es continua
si el nmero de valores que puede tomar estn contenidos en un
intervalo (finito o infinito) de nmeros reales.
Dichos valores pueden asociarse a mediciones en una escala
continua, de manera que no haya huecos o interrupciones.VARIABLE
ALEATORIA CONTINUACARACTERSTICASLa distribucin de probabilidad de
una variable aleatoria continua X est caracterizada por una funcin
f(x) que recibe el nombre de funcin de densidad de
probabilidad.
Esta funcin f(x) no es la misma funcin de probabilidad de una
variable aleatoria discreta.
La grfica de la funcin f(x) es una curva que se obtiene para un
nmero muy grande de observaciones y para una amplitud de intervalo
muy pequea.VARIABLE ALEATORIA CONTINUArecuerde que la grfica de una
funcin de probabilidad de una variable aleatoria discreta es
escalonada, dando la sensacin de peldaos en ascendencia.
Esta funcin de densidad de probabilidad f(x) permite calcular el
rea bajo la curva que representa la probabilidad de que la variable
aleatoria continua X tome un valor entre el intervalo donde se
define la funcin.CARACTERSTICASVARIABLE ALEATORIA CONTINUA FUNCIN
DE DENSIDADFormalmente, la funcin de densidad de probabilidad f(x)
de una variable aleatoria continua, se define como tal, si para
cualquier intervalo de nmeros reales [a, b] se cumple que:PROPIEDAD
F (x) 0 f(x) dx =1 - b P (a x b) = f(x) dx aVARIABLE ALEATORIA
CONTINUAPuesto que el rea total bajo f(x) es uno, la probabilidad
del intervalo [a,b] es el rea acotada por la funcin de densidad y
las rectas X=a y X=b, como se muestra en la figura siguiente
El modelo de variable aleatoria continua implica lo siguiente:P
(a x b = P ( a x b) = P ( a x b ) = P ( a x b)VARIABLE ALEATORIA
CONTINUA
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
VARIABLE ALEATORIA CONTINUALa funcin de distribucin acumulada de
una variable aleatoria continua X con funcin de densidad f(x) se
define para todo x, como
VALOR ESPERADOTambin llamado Media o Esperanza Matemtica.
Es una medida de posicin para la distribucin de X.
Se representa con el smbolo .
Se calcula sumando el producto de cada valor de X con su
Probabilidad correspondiente.
Frmula:
(x) = E(x) = [x f (x)]VALOR ESPERADOEj: Dada la siguiente
distribucin de una variable aleatoria:
X 0 1 2F(x) 0,02 0,5 0,89
La Media est dada por:
(x) = E(x) = [x f (x)]
(x) = E(x) = (0x0,02)+(1x0,5)+(2x0,9) = 0 + 0,5 + 1,8= 2,3
24VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIALa Varianza de una Variable
Aleatoria es una medida de la dispersin de la distribucin de su
probabilidad.
Es calculada ponderando el cuadrado de cada desviacin con
respecto a la media con la probabilidad asociada con la
desviacin.
2x = V(X) = E(X- x)2 = (X- x)2.F(x)
2x = V(X) = (X2 - fx) - 2x
xxVARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIAEjemplo. Damos la siguiente
tabla. Hallar Varianza
No. Ocurrencias Probabilidad1 1/52 2/53 3/54 4/55 5/5
2x = V(X) = (X2 - fx) - 2x
2x = (12 - 1/5) + (22 - 2/5) + (32 - 3/5) + (42 - 4/5) + (52 -
5/5) 2x = (1 - 0,2) + (4 - 0,4) + (9 - 0,6) + (16 - 0,8) + (25 -
1)2x = 0,8 + 3,6 + 8,4 + 15,2 + 242x = 52
xDESVIACIN ESTNDARCorresponde a la raz cuadrada positiva de la
varianza.
Se representa con x
Continuando con el ejemplo anterior tendremos:
2x = 52
x = 52
x = 7,2111
TEOREMA DE CHBYSHEVPara demostrar cmo la desviacin estndar es
indicadora de la dispersin de la distribucin de una variable
aleatoria, el matemtico ruso Pafnuty Lvovich Chbyshev desarroll un
teorema en el que ofrece una garanta mnima acerca de la
probabilidad de que una variable aleatoria asuma un valor dentro de
k desviaciones estndar alrededor de la media.Para cualquier
variable aleatoria X con media m y desviacin estndar , la
probabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones
estndar de la media, siendo k una constante positiva cualquiera, es
cuando menos 1 1 - -------- kSimblicamente, el teorema se expresa
de cualquiera de las siguientes maneras:TEOREMA DE CHBYSHEV2
TEOREMA DE CHBYSHEVLa desigualdad de Chbyshev es muy importante,
ya que permite determinar los lmites de las probabilidades de
variables aleatorias discretas o continuas sin tener que
especificar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura que
la probabilidad de que una variable aleatoria se aleje de la media
no ms de k desviaciones estndar, es menor o igual a 1/k para algn
valor de k > 1.
Aunque la garanta no siempre es muy precisa, la ventaja sobre
este teorema es su gran generalidad por cuanto es aplicable a
cualquier variable aleatoria con cualquier distribucin de
probabilidad, ya sea discreta o continua.2TEOREMA DE
CHBYSHEVEjemplo.
El nmero de licencias de conduccin expedidas en una ciudad
durante el mes de junio puede considerarse como una variable
aleatoria cuya distribucin de probabilidad se desconoce, pero se
estima que su media sea aproximadamente m=124 y su desviacin
estndar =7,5. Segn el teorema de Chbyshev, con qu probabilidad se
puede afirmar que se expedirn entre 64 y 184 licencias de conduccin
en esa ciudad durante el mes de junio?
TEOREMA DE CHBYSHEVPara dar solucin a este problema se debe
conocer cul es ese valor de k. Para ello se parte de la definicin
de una desigualdad menor que de un valor absoluto:
Tomando el factor de la izquierda, se tiene
TEOREMA DE CHBYSHEVDe manera que la desigualdad de Chbyshev
queda planteada:
De modo que se puede afirmar que se expedirn entre 64 y 184
licencias de conduccin en esa ciudad durante el mes de junio con
una probabilidad del 98,44%.Esto quiere decir que: -k + m=64 o bien
que k + m=184. Al despejar k de cualquiera de ellas se tiene: