Trabajo Practico Nº 4-oscilaciones amortiguadas

Trabajo Practico N 4

Oscilaciones Amortiguadas

Autores: Bibiloni, Agustin Roldan, Juan Manuel Gimenez, Juan Manuel Robles, Nicolas

ResumenMediante el anlisis de posicin en funcin del tiempo de un sistema amortiguado, se logra calcular la constante de amortiguamiento haciendo uso de herramientas graficas y matemticas.

IntroduccionEn esta experiencia, se suspendi un resorte con una masa en uno de sus extremos y se lo aparto de su posicin de equilibrio para que oscilara verticalmente. Su posicin en funcin del tiempo fue registrada mediante un sensor de ultrasonido, ubicado debajo del resorte a una cierta distancia para que este pudiera oscilar, con el propsito de poder calcular su constante de amortiguamiento, su frecuencia angular y su factor de calidad. Si un resorte oscila libremente, acaba detenindose porque las fuerzas de rozamiento disipan su energa mecnica. El efecto del amortiguamiento siempre est presente en cualquier sistema real, suponiendo que este es proporcional a la velocidad. Aplicando la ley de Newton, la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula ser: (1) amortiguamiento. siendo la constante de

Se pueden distinguir tres tipos de amortiguamiento: Gran amortiguamiento: el movimiento es aperidico, es decir, no existe oscilacin; se mueve a la posicin de equilibrio con

una velocidad que tiende a cero cuando la partcula se acerca a dicha posicin. Amortiguamiento crtico: cuando se tiene el amortiguamiento mnimo para que se produzca un movimiento no oscilatorio.

Pequeo amortiguamiento: la amplitud decrece lentamente con el tiempo, existe oscilacin.

En esta experiencia, se estudiara el pequeo amortiguamiento. Un sistema que cumple con la ecuacin (1) se dice que esta amortiguado linealmente. La fuerza de amortiguamiento es antagnica a la direccin del movimiento, por lo tanto realiza trabajo negativo y produce una disminucin de energa mecnica en el sistema. Esta energa es proporcional al cuadrado de la amplitud, y esta, a medida que el tiempo transcurre disminuye exponencialmente. siendo Donde:

(2)

E = energa A = amplitud del movimiento = amplitud inicial (para t=0) = constante de tiempo

Resolviendo la ecuacin (1), llegamos a que la solucin para nuestro caso es:

Donde:

= amplitud mxima = seudo-frecuencia angular = fase inicial (3)

Observando lo anterior vemos que si b es igual a cero (no hay amortiguamiento), entonces , estando as en el caso de

una masa ligada a un resorte. Para un amortiguamiento muy dbil ,y es aproximadamente .

Grafico de la posicin en funcin del tiempo para una oscilacin dbilmente amortiguada:

La envolvente de la curva en el grafico, corresponde a la ecuacin: (4) Elevando ambos miembros y comparando con la (2) se llega a = . Como la energa en un oscilador es proporcional al cuadrado de la amplitud, la energa de un oscilador con pequeo amortiguamiento tambin disminuye exponencialmente en el tiempo:

Donde:

El efecto del rozamiento en un oscilador real suele cuantificarse a travs del factor de calidad Q del oscilador definido en funcin de perdida de energa mecnica por ciclo a travs de:

En el caso del oscilador dbilmente amortiguado podemos encontrar una expresin sencilla para Q en funcin de los parmetros del problema quedando como:

cuanto mayor es el valor de Q (Q es adimensional) menor energa se pierde en el sistema por ciclo de oscilacin y menos amortiguado es el movimiento. En funcin de Q, la frecuencia exacta de un oscilador dbilmente amortiguado es:

Procedimiento

Se dispuso un sistema de masa-resorte en posicin vertical, dicha masa es de (249.9 0.1) gr. Se coloc un sensor de movimiento previamente calibrado (ver apndice) 24 cm por debajo de la posicin de equilibrio conectado a una computadora mediante una interfaz.

Se alej la masa de su posicin de equilibrio dejndola oscilar y a travs del programa Data Studio se registr su posicin en funcin de t.

Se registraron 5 corridas diferentes de dicho sistema.

Con los datos de cada corrida se realizaron grficas de las cuales se obtuvieron respectivamente el valor de la constante de amortiguacin del sistema.

Anlisis de datos

Se tomo una de las corridas de la que se registro los siguientes datos:Tiempo (s) t (s) 0,80 2,00 3,20 4,40 5,60 6,80 8,00 9,20 10,40 Log Amax (m) Amax promedio (m) Log (Amax) (Amax) 0,112 0,004 -0,95 0,02 0,102 0,004 -0,99 0,02 0,090 0,004 -1,04 0,02 0,081 0,004 -1,09 0,02 0,073 0,004 -1,13 0,02 0,067 0,004 -1,17 0,03 0,061 0,004 -1,21 0,03 0,055 0,004 -1,26 0,03 0,051 0,004 -1,29 0,03

0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03

Los errores tomados para cada variable, fueron determinados de distintas maneras. El error en la medicin del tiempo es la inversa de la frecuencia del sensor. Haciendo la diferencia entre dos puntos sucesivos cercanos a un mximo, se obtiene un error max, debido a que los errores son distintos para cada mximo se tomo nueve de ellos y se calculo un promedio. Para obtener Log (Amax), se utiliza el mtodo de la deribada para una variable, siendo esta Amax. Graficando de tres maneras diferentes:

Escala lineal, utilizando regresin lineal, log(Amax) vs t.

Escala semilogaritmica, Amax vs t.

Escala lineal, utilizando regresin exponencial, Amax vs t.

Observando los grficos anteriores, se llega a la conclusin de que la relacin entre las variables Amax y t corresponde a una ecuacin exponencial, por lo que hay una relacin lineal entre log(Amax) y t, siendo ms til trabajar con una escala logartmica en el eje de las ordenadas para as omitir el clculo de logaritmos. Para las cuatro corridas restantes, se uso la escala antes mencionada. Corrida 2:Tiempo(s) 1,00 2,20 3,41 4,61 5,81 7,01 8,21 9,41 10,61 t(s) 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 Amax(m) 0,09 0,08 0,07 0,07 0,06 0,06 0,05 0,05 0,04 Amax promedio(m) 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

Corrida 3:Tiempo(s) 0,70 1,90 3,11 4,31 5,41 6,61 7,81 8,91 10,11 t(s) 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 Amax(m) 0,16 0,14 0,13 0,12 0,10 0,09 0,08 0,08 0,07 Amax promedio(m) 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

Corrida 4:Tiempo(s) 0,70 1,90 3,11 4,31 5,51 6,71 7,91 9,11 10,31 t(s) 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 Amax(m) 0,182 0,160 0,143 0,124 0,112 0,100 0,089 0,082 0,075 Amax promedio(m) 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008

Corrida 5:Tiempo(s) 0,90 2,10 3,31 4,51 5,71 6,91 8,1 9,31 10,51 t(s) 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03 Amax(m) 0,163 0,145 0,129 0,116 0,103 0,095 0,084 0,077 0,070 Amax promedio(m) 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008 0,008

Para cada corrida se obtuvo los siguientes valores de pendiente con su error, por cuadrados mnimos :

Corrida 1: p= -0.030 0.003

Corrida 2: p= -0.035 0.003 Corrida 3: p= -0.039 0.003 Corrida 4: P= -0.039 0.003 Corrida 5: p= -0.034 0.009 Debido a que los errores son distintos, por promedio pesado se obtiene un nico valor de pendiente, con su respectivo error, que es igual a: ppromedio= -0,0358 0,0014 Aplicando log a la ecuacin (4), es posible obtener tericamente esta pendiente, quedando la siguiente ecuacin lineal:

De esta, se observa que p =

, luego es posible hallar el valor

de b, coeficiente de amortiguamiento, con su respectivo error mediante propagacin.

Calculo de `: Dado que , fue necesario hallar =

Siendo T el periodo de la oscilacin natural (sin amortiguamiento). Dicho valor se calcula restando el tiempo entre dos mximos sucesivos y su incerteza por propagacin: T= (1.20 0.05) s. Luego se obtiene el valor de con su error:

Finalmente llegamos a que:

Calculo de Q: Dado que y , queda:

Los errores de y T se calcularon por propagacin y por el mtodo de la derivada de una funcin.

DiscusinAnalizando los resultados, se observa que los valores de y son prcticamente iguales. El motivo se debe a que la constante de amortiguamiento , es muy pequea. El mecanismo implementado para la experiencia presenta ventaja en cuanto al montaje del mismo y la practicidad para realizar

mediciones. Sin embargo, presenta ciertas fuentes de error tales como que el resorte no oscilaba perfectamente sobre un eje vertical, la no-uniformidad del k (constante del resorte) a lo largo del mismo, etc.

ConclusinEn esta experiencia, se puede apreciar una manera sencilla de estudiar las caractersticas de un sistema amortiguado, lo que es de gran utilidad en cualquier situacin que involucre el uso de un resorte. Aun as, esta experiencia podra ser mejorada teniendo un sensor de mayor resolucin, evitando las deviaciones perpendiculares al eje de oscilacin y tomando mayor nmero de corridas para disminuir el error.

Apendice

Funcionamiento del sensor de movimiento El sensor de movimiento marca PASCO CI-6742A, funciona con una interfase para computadora CI-7500 y un Software DataStudio, para medir y registrar datos en movimiento. Se produce una serie de pulsos de ultrasonido y detecta el sonido que se refleja a partir de un objeto enfrente del sensor. La interfaz mide los tiempos entre los pulsos de salida y los ecos recibidos. Determinando el programa DataStudio, la posicin, velocidad, y la aceleracin del objeto. Conecte el sensor de movimiento a la interfase, conector amarillo al canal digital 1, conector de color negro al canal digital 2. Luego encienda la interfase, posteriormente encienda la computadora para que el sistema operativo detecte el hardware de la interfase.

Configurar DataStudio Iniciar el programa DataStudio y seleccionar crear experimento. En la imagen de la interfaz de configuracin en la ventana Setup, haga clic en el sensor de movimiento y arrastrar al canal digital que el Sensor se conecte al canal 1 conector amarillo, y canal 2 el conector negro. Luego haga doble clic en el icono de Display (Grfico) para crear una base de datos de la posicin. Retire los objetos que pueden interferir con la medicin. stos incluyen objetos entre el sensor y el objetivo, o bien directamente en frente del sensor o en los lados. Recogida de datos, Para grabar datos en el programa DataStudio, haga clic en Start (Iniciar). Si el objetivo se encuentra al alcance, el objetivo indicador parpadea. DataStudio comienza la recogida de datos y visualizacin. Haga clic en Stop (Detener) para detener la recoleccin

de datos. Haga clic en Inicio de nuevo para iniciar la grabacin de datos de datos en una nueva corrida. Configuracin del sensor, se recomienda cambiar la frecuencia de muestreo a 40 Hz o 50 Hz (por defecto el programa toma 10 Hz). Para eso hacer doble clic en el sensor, ventana Setup y abrir propiedades de sensor en la ficha MOTION SENSOR. Para calibrar el sensor de movimiento: En la ventana Setup, haga clic en la ficha Motion Sensor ficha. Coloque un objeto en una distancia en frente del Sensor (tpicamente alrededor de 0,5 a 1 m). Medir con una cinta mtrica, la distancia desde el sensor de movimiento al objeto. Ingresar esta distancia (en metros) en el campo Distancia. Haga clic en Ajuste del Sensor de Distancia, y el programa DataStudio ajusta la velocidad del sonido que se utiliza para calcular la distancia.